Presentación El grupo de profesores del Departamento de Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira que durante años han venido orientando el primer curso de matemáticas que deben tomar los alumnos que recien inician su vida en la educación superior en los programas de: Ingenierı́as, Tecnologı́as, Quimica Industrial, Administración del medio Ambiente, y Licenciatura en Matemáticas y Fı́sica; han puesto su experiencia y su conocimiento en la elaboración de este material con el objetivo de facilitar la comprensión y desarrollo de todos los temas que se exponen en él. Aquı́ encontrarán gran cantidad de talleres con sus respuestas sistemáticamente presentados conforme se desarrolle el curso, ajustados completamente al contenido de la asignatura; permitiendo que el alumno avance hacia la consecución de las habilidades y competencias necesarias que le darán la solidez matemática para afrontar con solvencia las diferentes asignaturas que requieran de unas buenas bases matemáticas. Es de recalcar que los talleres aquı́ planteados requieren fundamentalmente tan solo de los elementos teóricos que el docente entregará en cada clase, siendo esto ventajoso dado que le evita al alumno el gasto asociado a la compra de un texto guı́a. Finalmente se han agregado unos temas al inicio de este libro y corresponden en gran medida a los tópicos fundamentales que cualquier alumno debe manejar con soltura para poder dar inicio con responsabilidad al desarrollo de ejercicios y problemas propuestos en este material que hemos denominado Talleres de Matemáticas I Profesores Matemáticas I Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1 Preliminares 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 El sistema de los números reales El orden y la recta numérica Valor absoluto Exponentes y leyes de exponentes enteros Exponentes racionales Expresiones algebráicas Ecuaciones e inecuaciones en una variable Ecuaciones de segundo grado con una incognita Secciones cónicas 1.1. El sistema de los números reales Empezaremos con algunos de los conjuntos básicos de números con los que ya está familiarizado: Los números naturales N = {1, 2, 3, 4, ...} Los números enteros Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} Los números racionales Q= p | p, q ∈ Z, q 6= 0 q El número asociado con la recta numérica se llama coordenada del punto. Los números enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma: 1. Elige un punto cualquiera de la recta. Ası́gnele el valor 0. 2. Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y ası́gnele el valor 1. La distancia entre ambos puntos será la unidad de medida de longitud. Si marcas esa unidad de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lo mismo a la derecha del 2, obtienes el 3. Y ası́ sucesivamente representas todos los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..... 1 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los números negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6, . . . Este conjunto se denomina números enteros Figura 1: Números enteros Los números racionales se asocian con puntos sobre la recta numérica. Para representar el número 2,5 que es un número comprendido entre 2 y 3, dividimos el segmento entre los números 2 y 3 en 10 partes iguales. Tomamos 5 de esas partes contando a la derecha desde el 2. Después de asociar cada número racional con un punto de la recta numérica, nos encontramos que todavı́a faltan puntos por asociar. Estos números que no corresponden a ningún número racional se llaman números irracionales I. 1 Los decimales finitos como por ejemplo = 0.25 y los decimales periódicos como 4 1 = 0.33333̄ representan números racionales. 3 Es un hecho que los decimales que no son finitos ni periódicos no son números racionales. En otras palabras, un decimal de este tipo no se puede representar como el cociente de dos enteros. Este conjunto de decimales que no son finitos √ ni periódicos recibe el nombre de números irracionales I. Por ejemplo, π, 2 son números irracionales. Lo importante para nosotros es reconocer que los números irracionales también representan puntos sobre la recta numérica. Si tomamos todos los números racionales junto con todos los números irracionales (tanto positivos como negativos), obtenemos todos los puntos de la recta numérica. Este conjunto se llama el conjunto de los números reales y, por lo general, se designa con la letra R. Los números reales R corresponden a un punto sobre la recta numerica. La siguiente figura ilustra la relación que existe entre los conjuntos antes expuestos 2 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Figura 2: Números Reales 1.1.1 Propiedades de los números reales Terminologı́a La adición es conmutativa La adición es asociativa 0 es el neutro aditivo −a es el inverso aditivo La multiplicación es La multiplicación es 1 es el neutro multiplicativo 1 Si a 6= 0, es el inverso a La multiplicación es distributiva en la adición Caso general a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c a+0=a a + (−a) = 0 ab = ba a(bc) = (ab)c a1 =a 1 a =1 a a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc 1.1.2 Propiedades de la igualdad A continuación se enuncian las propiedades básicas de la igualdad Si a = b y c es cualquier número real, entonces 1. a + c = b + c 2. ac = bc 3 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.1.3 Productos en los que interviene el cero 1. a0 = 0 para todo número real a 2. Si ab = 0, entonces a = 0, o bien b = 0 1.1.4 Propiedad de los números negativos Propiedad −(−a) = a (−a)b = −(ab) = a(−b) (−a)(−b) = ab (−1)a = −a Ejemplo −(−3) = 3 (−2)3 = −(2 · 3) = 2(−3) (−2)(−3) = 2 · 3 (−1)3 = −3 1.1.5 Notación para los números recı́procos El recı́proco con a−1 , 1 de un número a distinto de cero, se representa con frecuencia, a como se ve en la siguiente tabla Definición Si a 6= 0, entonces a−1 1 = a Ejemplo 1 • 2−1 = −12 3 1 4 • = 3 = 4 3 4 1.1.6 Sustración y división Las operaciones sustración (−), y de división Definición a −b = a + (−b) 1 a÷b=a . = ab−1 ; b 6= 0 b (÷), se definen como sigue: Ejemplo 3 − 7 = 3+ (−7) 1 3÷7=3 = 3 × 7−1 7 1.1.7 Propiedades de los cocientes Las siguientes propiedades de los cocientes son válidas, siempre que los denominadores sean números reales distintos de cero. 4 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Propiedad a c 1. = si ad = bc b d Ejemplo 2 6 = porque 2 × 15 = 5 × 6 5 15 2. ad a = bd b 2×3 2 = 5×3 5 3. a −a a = =− −b b b −2 2 2 = =− −5 5 5 a+c a c 4. + = b b b 2 9 2+9 11 + = = 5 5 5 5 ad + bc a c 5. + = b d bd (2 × 3) + (5 × 4) 26 2 4 + = = 5 3 (5 × 3) 15 2 7 2×7 14 × = = 5 3 5×3 15 6. a c ac × = b d bd 7. a c a d ad ÷ = × = b d b c bc 2 7 2 3 6 ÷ = × = 5 3 5 7 35 a Nota: Si a es un número distinto de cero, entonces: esta indefinido, mientras que 0 0 0 = 0 y es indeterminado. a 0 Taller 1 1. Evalúe las expresiones numéricas a. 3 + (−6) − (+4) − (−8) d. −4 + 7,29 b. (−6)(−2)(−3) e. −2[3 − (2 − 5)] g. 6 − [4 − (5 − 8)2 ] h. 9 − 3 − [6 − 2(9 − 4)2 ] 2. Escriba cada expresión como una expresión 3 2 2 1 3+ 4− − 5 b. 3 c. 3 2 d. a. 1 2 1 2 5− −6 + 8 5 8 5 5 c. −2 − 3,552 f. 2 − (−3)2 3 2 1 i. − + 4 3 2 fracción simple reducida a su mı́nima 3 1 − 5 2 7 −2 10 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3. Reemplace el simbolo con = o bien con 6= para que el enumerado se cumpla con todos los números reales a, b, c, d; siempre que las expresiones esten definidas ab + ac b + ac a b+c b c c. + a a a a−b e. −1 b−a a. ab + ac b+c a a+c a c d. + b+d b d f. −(a + b) − a + b b. 6 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.2 El orden y la recta numérica Sean a y b números reales: Si a − b es positivo, a es mayor que b. Se nota a > b (> Mayor que) Si a − b es negativo, a es menor que b. Se nota a < b (< Menor que) Si a − b es cero, a es igual a b. Se nota a = b (= Igual a) a>b a<b a=b si y solo si si y solo si si y solo si a − b ∈ R+ a − b ∈ R− a−b=0 El conjunto de los números reales es un Campo ordenado. Teorema 1. Axioma de tricotomı́a Para todo a y b reales, una y sólo una de las proposiciones siguientes es válida: a > b, a = b ó a < b 1. El sı́mbolo ≤ significa ”menor o igual que”: 5 ≤ 6, 6 ≤ 6. 2. El sı́mbolo ≥ significa ”mayor o igual que”: 6 ≥ 5, 6≥6 3. La doble desigualdad a < x < b, es una combinación de dos desigualdades: a < x, y x < b que deben satisfacerse simultáneamente: −2 < x < 5: x está entre −2 y 5. En el campo de los reales: 1. Si a, b, c son números reales tales que a > b y b > c, entonces a > c. Propiedad Transitiva. 2. Si a, b son reales y a > b entonces a + c > b + c, para todo c que pertenezca a los reales. 3. Si a, b son reales y a > b entonces ac > bc, para todo c que pertenece a R+ 4. Si a, b son reales y a > b entonces ac < bc, para todo c que pertenece a R− 5. Si a, b pertenecen a R y si ab > 0 entonces (a > 0 y b > 0) ó (a < 0 y b < 0 ) 6. Para todo real a, a2 ≥ 0 7 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 7. Si a > b siendo a y b positivos entonces a2 > b2 8. Si a > 0, 1 >0 a 9. Si a > b y c > d, a + c > b + d 10. Si a, b, c y d son positivos y a > b, Ejemplo Determine la veracidad a) 6 > −2 (V) e) 18 > 24 (F) 1 1 > b a o no de los siguientes i) −15 < −12 (V) 12 12 < (V) 7 5 b) 4 < 12 (V) f) c) −4.50 < 2.26 (V) g) −2 = 2 (F) enunciados: j) 9 > −1 (V) k) −9 > −11 (V) 1 3 d) π < −2e (F) h) < −0.35 (F) l) > −2 (V) 5 16 Ejemplo Reemplace el sı́mbolo 2 con <, > ó = 28 −7 2 − 4 −7 × 4 2 − 28 × 1 −28 2 − 28 −28 = −28 Taller 2 1. Reemplace el sı́mbolo 2 con <, > ó = 1 8 45 9 a.− 2 − b. − 2 − 3 23 10 2 d. c. − 12 13 2 − 7 8 3 3 2 25 22 2. En cada caso ordene de menor a mayor y represente en una recta numérica: 3 5 5 −2 3 7 6 4 1 −5 1 4 −5 , , b. − , , , c. − , , , , a. − , 8 −11 7 −3 2 9 8 −5 3 2 3 7 −3 3. Por que no tiene sentido escribir: a) −2 < x < −4 b) 2 > x > 5 8 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.2.1 La notación de intervalos Otra manera de expresar conjuntos de números descritos por desigualdades es utilizando la notación de intervalos. Esta notación es una manera conveniente y compacta de representar intervalos en la recta numérica. Empezaremos con intervalos acotados, es decir, intervalos que tienen dos extremos. Utilizaremos paréntesis para indicar que un extremo no está incluido, y corchetes para indicar que se incluye el extremo. Intervalos acotados {x|a ≤ x ≤ b} [a, b] {x|a < x < b} (a, b) {x|a ≤ x < b} [a, b) {x|a < x ≤ b} (a, b] Intervalos {x|x ≥ a} {x|x > a} {x|x ≤ a} {x|x < a} no acotados [a, ∞) (a, ∞) (−∞, a] (−∞, a) Los sı́mbolos −∞ y ∞ no representan números; son simplemente sı́mbolos que nos recuerdan que el intervalo continúa por siempre, o aumenta (o disminuye) sin fin. Por lo tanto, siempre escribimos un paréntesis junto al sı́mbolo ∞. Recordemos que siempre que utilizamos la notación de intervalos, estamos trabajando dentro del marco del sistema de los números reales. La lı́nea gruesa de la gráfica señala que se incluyen todos los puntos de la lı́nea. Ejemplo 1. Graficar las siguientes desigualdades en la recta numérica y expresar el conjunto utilizando la notación de intervalos. a) {x|x > −3} b) {s|s ≤ 4} c) {t| − 2 < t ≤ 6} 9 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Figura 3: Conjunto solución Taller 3 1. Exprese el enunciado en forma de desigualdad: a. x es negativo. b. y es no negativo. c. q es menor que o igual a π. d. d está entre 2 y 4. e. t no es menor que 5. f. El inverso aditivo de z no es mayor que 3. g. El cociente de p y q es, cuando mucho 7. h. El recı́proco de w es, cuando menos 9. 2. Grafique cada conjunto sobre la recta numérica real: a.{x|x < 4} d.{x| − 8 < x < −2} b.{x|x > 5} e.{x| − 2 ≤ x < 4} c.{x| − 3 < x ≤ 2} 3. Grafique el conjunto sobre la recta numérica y expreselo mediante la notación de intervalos. a.{x|x < 4} b.{x|x ≤ 1} c.{x|x ≥ 5} d. {x| − 3 < x} e. {x| − 8 ≤ x < 5} f. {x|0 < x ≤ 6} g. {x| − 2 ≥ x} h.{x| − 3 < x < 4} i.{x| − 9 < x ≤ −2} j. {x|0 ≤ x ≤ 6} 10 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.3 Valor absoluto De manera geométrica, el valor absoluto de un número es su distancia al cero sobre la recta numérica. El valor absoluto de x se simboliza por |x|. Por tanto: | − 3| = 3 ya que −3 está 3 unidades de distancia del cero en la recta numérica. Además, |3| = 3 ya que 3 está a 3 unidades del cero en la recta numérica. Figura 4: Interpretación gráfica De manera algebraı́ca, definimos el valor absoluto de la siguiente manera: |x| = x si x ≥ 0 −x si x < 0 Definición Sean a,b las coordenadas de dos puntos A y B respectivamente en una recta coordenada l. La distancia entre A y B, notada d(A, B) = |A − B| = |B − A|. 11 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.3.1 Algunas propiedades del valor absoluto 1.|x| ≥ 0 2.|x| ≥ x 3.| − x| = |x| 4.|x|2 = x2 5.|x| = |y|, x = y ó x = −y ó −x = y 6.|xy| = |x||y| x |x| 7. = , y 6= 0 y |y| 8. |x − y| = |y − x| 9.|x + y| ≤ |x| + |y| 10.|x| − |y| ≤ |x − y| Ejemplo Escriba cada expresión sin los sı́mbolos de valor absoluto a) |π − 3| b) |3 − π| c) |x4 + 1| d) |x − 2| e) |x + 1| Solucion 1. Como π ' 3,14, entonces π − 3 es positivo, por tanto |π − 3| = π − 3 2. |3 − π| es negativo, por tanto |3 − π| = −(3 − π) = −3 + π = π − 3 3. x4 es no negativo y x4 + 1 también es positivo, por tanto |x4 + 1| = x4 + 1 4. |x − 2| = x − 2 cuando x − 2 ≥ 0, x ≥ 2, |x − 2| = −(x − 2) = −x + 2 cuando x − 2 < 0, x < 2 por tanto x − 2 cuando x ≥ 2 |x − 2| = 2 − x cuandox < 2 Taller 4 1. Determine el valor de cada expresión, si x = 3, y = −2 a.|x + y| b.|x| + |y| c. |x − y| d.|x| − |y| 2. Escriba cada expresión sin los sı́mbolos de√valor absoluto a. |3 − √ 5| b. |x − 5| c. | 2 − 1| d. |x + 4| 2 e. |1 − 2| f.|x + 1| g. |π − 3, 14| h. |x4 + 3| 12 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3. Determine la distancia sobre la recta numérica entre cada par de puntos con las coordenadas dadas. a. 2 y 5 b. -3 y 8 c. 5 y 9 d. -8 y 4 4. La distancia entre x y a se define como |x−a|. En cada caso grafique el conjunto solución sobre la recta numérica y expréselo mediante notación de intervalos. a. |x − 2| < 1 b. |x − 2| < 3 c. |x| < 4 d. |x − 4| < 3 e. |x − 2| ≥ 1 f. |x| ≥ 3 g. |x − 3| > 5 h. |x − 4| ≥ 3 i. |x + 2| < 1 j. |x + 2| ≥ 1 5. Calcule |x − y| − |x| − |y| si x = −1 y y = −2 13 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.4 Exponentes y leyes de exponentes enteros El concepto de exponente es de mucha utilidad para expresar números en una forma más corta. Por ejemplo: el producto 2 × 2 × 2 × 2 × 2 se expresa de la forma 25 y se lee dos a la cinco.Ê La expresiónÊ2 × 2 × 2 × 2 × 2 está en la forma expandida y la expresión 25 es una expresión exponencial.ÊEl valor 32 es la quinta potencia de 2. Definición La expresión xn significa que x aparece multiplicada n veces. x se conoce como la base y n como el exponente. Se llama potencia al valor que se obtiene al multiplicar la base n veces. Esto es, xn = x | × x × x{z× x × ××} multiplicado por si n veces mismo n veces. Ejemplo a) La notación exponencial de (−3)(−3)(−3)(−3) es (−3)4 . b) La notación exponencial de b × b × b es b3 . Definición Para toda base x, x1 = x. Esto es, cualquier número elevado a la uno es el mismo número. Ejemplo 31 = 3 (17)1 = 17 (259)1 = 259 Definición Cualquier número diferente de cero, elevado a la cero es igual a uno. Esto es, para toda base x x 6= 0 x0 = 1. Ejemplo 30 = 1 (−5)0 = 1 ( 85 )0 = 1 Definición Cualquier número diferente de cero y n un número entero, tenemos x−n = Ejemplo 2−3 = 1 xn 1 1 = 3 2 8 1.4.1 Propiedades 1. Si n y m son enteros positivos y x un real: xn xm = xn+m 2. Si n y m son enteros positivos y x un real: (xn )m = xnm 14 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3. Si n es entero positivo y 4. Si n y m xn = xn−m xm x, y reales: son enteros positivos, (xy)n = xn y n n > m y x Ejemplo a) 32 × 35 = 32+5 = 38 b) (a + 2b)3 (a + 2b)7 = (a + 2b)3+7 = (a + 2b)10 c) (( 12 + 13 )−2 )4 = (( 56 )−2 )4 = ( 56 )−8 = ( 56 )8 d) (2a−2 b)−3 (−3ab)−2 a−4 −3 2 a6 b−3 (−3)−2 a( − 2)b−2 = a−4 2−3 (−3)−2 a6 a−2 b−3 b−2 = a−4 −3 −2 6+(−2)−(−4) −3+(−2) = 2 (−3) a b = 2−3 (−3)−2 a8 b−5 a8 = 3 2 (−3)2 b5 a8 = 72b5 Taller 5 Elimı́nense les exponentes negativos y simplifiquese: 1. (a5 )4 2. 2−3 3−2 3. (ar as )t 4. (x2m × x3n )4 5. (−3)3 6. (2x5 )(3x4 ) (x2 )3 15 un real, x 6= 0 : Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 7. (−2xy 2 )5 x7 8y 3 8. (2xn )n 9. (a−1 + b−1 ) ÷ (a + b)−1 (2x3 y −2 ) (3x−2 y 3 ) 0 3 2 4a b 11. a4 b 10. 12. a−1 + b−1 (a + b)−1 13. x−2 − y −2 x2 − y 2 14. ((x2 y 3 )2 )3 16 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.5 Exponentes racionales Definición Si n es un entero positivo y a un número para el cual a1/n está definido, √ entonces la expresión n a denomina raiz n-ésima de a, donde el número a se llama cantidad subradical y a n el ı́ndice del radical. • La raı́z principal de un número positivo es la raı́z positiva • La raı́z principal de un número negativo es la raı́z negativa, si n es impar √ • Se nota y = a1/n = n a Nota: Si n = 2 (ı́ndice del radical) entonces se omite al escribir la expresión. Ejemplo 251/2 = √ 2 √ 25 = 25 = 5 25 es el radicando y 2 es el ı́ndice; 52 = 25 Definción Si a es un número real √ y m, un número real, entonces am/n = n am Ejemplo a) 22/3 = √ 3 22 = b) a−(2/3) = 1 2 √ 3 = a3 4 1 √ 3 2, a a 6= 0 Taller 6 Reduzcanse a su forma más simple: 1. 251/2 2. x1/4 ÷ x−1/5 3. (2x1/6 y 5/6 )−6 4. (210 )−3/5 5. x1/4 x1/5 6. (x + y −1 )2 7. (x−1/4 )−1/5 8. 37/2 31/2 9. (a1/2 + b1/2 )2 17 n dos enteros para la cual: √ n a es Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 10. (125x4 y 3 ÷ 27x−2 y 6 )1/3 11. (x1/3 + y 1/3 )(x2/3 − x1/3 y 1/3 + y 2/3 ) 1.5.1 Reglas de los radicales Para cualquier entero positivo n y números reales a y b donde b 6= 0, y si todas las raı́ces son números reales: Definición Regla del producto de radicales √ n a·b= √ √ n n a b Ejemplo √ √ √ √ a) 9 × 3 = 9 3 = 3 3 √ √ √ √ b) 3 2 3 4 = 3 2 × 4 = 3 8 = 2 Definición Regla de la división de radicales r n Ejemplo q a) 4 16 81 = b) √ √48 3 = √ n a a = √ n b b √ 4 16 √ 4 81 q 48 3 = √ 16 = 4 1.5.2 Simplificación de radicales Un radical está en su forma más simple si: 1. El radicando no tiene factores con una raı́z enésima perfecta. 2. No hay fracciones dentro del signo del radical. 3. No existen radicales en el denominador. 18 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Nota: La regla del producto se usa para hallar las raı́ces perfectas de los factores del radicando. La regla de la división de radicales se usa cuando las fracciones están dentro del signo del radical. Taller 7 Redúzcanse a su forma más simple: √ 1. 50 √ 2. 4 32 √ 3. 3 −81 √ √ 4. 3 6 3 18 q 10 5. 5 −32a b4 6. 7. 8. √ √75 27 √ 3 x a2 b2 + b2 c2 q q x3 a2 4 x 3 2a4 √ n a2n b3n rq p 5 4 3 10. (32)2 9. 11. 12. q x+6+ √ 10 9 x 32a5 1.5.3 Número imaginario Definición Un número imaginario se define como: i= √ −1 y i2 = −1 Definición Para todo número real positivo a, tenemos que: √ −a = √ √ √ −1 a = i a 19 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Ejemplo Simplificar: a) b) √ −36 = √ −17 = √ √ √ −1 36 = i 36 = 6i √ √ √ √ −1 17 = i 17 = 17i 1.5.4 Operaciones con radicales Suma y Resta: En la suma y la resta utilizamos los siguientes pasos: 1. Simplificar todos los radicales que no estén expresados en su forma más simple. 2. Sumar y restar términos que contienen los mismos radicales (es decir, que son semejantes) usando la propiedad distributiba. Multiplicación: En la multiplicación de radicales hacemos los siguientes pasos: 1. Multiplicar los coeficientes de los radicales. 2. Multiplicar los radicales y buscar la raı́z enésima del producto. 3. Simplificar si es necesario. Ejemplo Realizar las operaciones y expresar la respuesta en su forma más simple a) 5x − 10 3x − 2 + x−4 4−x 5x − 10 2 − 3x + x−4 x−4 5x − 10 + (−3x + 2) = x−4 2x − 8 = x−4 2(x − 4) = =2 x−4 = 20 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I b) 4x(x + 1) 1 + 2 (x2 − 2)3 (x − 2)2 4x(x + 1) 1 + 2 2 3 (x − 2) (x − 2)2 −4x(x + 1) + (x2 − 2) = (x2 − 2)3 −3x2 − 4x − 2 = (x2 − 2)3 =− Taller 8 Evaluar: √ √ √ 1. 3 16 − 3 54 + 3 250 √ √ √ 2. 12 + 75 − 18 √ √ 3 3. 3ab2 18a3 b √ √ √ √ 4. (2 3 + 3 2)(3 3 − 2 2) √ √ 5. 6 75 ÷ 2 15 División: Antes de dividir expresiones con radicales tenemos que definir lo que es el conjugado. √ √ √ √ DefiniciónLas expresiones ( a + b) y ( a − b), donde a y b representan cualquier término algebraico positivo se llaman conjugados. √ √ Cada √ expresión es el √ conjugado de la otra expresión. De manera que: ( a + b)( a − b) = a − b Definición El proceso para eliminar radicales que están en el denominador se llama racionalizar el denominador. Ejemplo Racionalizar √ √ √ 4 4(2 − 5) 4(2 − 5) 4(2 − 5) √ = √ √ = a) = (4 − 5) −1 2+ 5 (2√+ 5)(2 − 5) = −4(2 − 5) √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 11 + 2 ( 11 + 2)( 11 + 2) ( 11 + 2)( 11 + 2) √ = √ √ √ √ = b) √ 9 11 − 2 ( 11 − 2)( 11 + 2) 21 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Taller 9 1. El factor racionalizante de 1 √ 5a es √ 5 a √ 5 2 b) a √ 5 c) a4 a) p 12 x5 y 7 es igual a: 2. La expresión qp √ 3 xy √ xy p 6 x2 y 3 b) √ c) 3 xy p d ) 12 x2 y 5 a) a+b es: 3. El factor racionalizante de √ 3 2 a + b2 √ a) 3 a + b √ b) 3 a − b √ c) 3 a4 + b4 √ d ) 3 a4 + b4 + 2a2 b2 4. El factor racionalizante de a) 1 + √ 3 1 √ es: 1− 3x x2 b) 1 + x + x2 √ √ 3 c) 1 + 3 x + x2 √ √ 3 d ) 1 − 3 x + x2 22 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.6 Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una expresión que se obtiene sumando, restando, multiplicando, dividiendo y calculando raı́ces de constantes y/o variables. Por ejemplo: √ 3xy 2x + 5 −1/3 a. 3x + 9, b. , c. 5x3 + + 4, 3 7x + 1 x d. 2x5 + x3 + 1 Todas son expresiones algebraicas donde x, y son variables. Si números especı́ficos se sustituyen por las variables en una expresión algebraica, el número real que resulta se llama valor de la expresión para estos números. Por ejemplo, el valor de 2xy + 3x , cuando x = −2 y y = 3 es: y−1 2(−2)(3) + 3(−2) −12 − 6 = = −9 3−1 2 Cuando se trabaja con expresiones algebraicas, se supone que los dominios se escogen de tal manera que las variables no representan números que dejen sin sentido la expresión. Entonces se supone que los denominadores no se anulan, siempre existen raı́ces, etc. 1.6.1 Expresiones algebraicas - Polinomios Definición Un polinomio en la variable x es una expresión algebraica formada solamente por la suma de términos de la forma axn , donde a es cualquier número y n es un número entero no negativo. Ejemplo a) 3x − 2 b) x4 + 5 c) 2n2 − 5n + 3 d) 5y 3 + 4y 2 − 3y + 1 e) 23 Las siguientes expresiones algebriacas no son polinomios: √ 1 x−3 a) + 2x b) c) 2x2 + x − 5 2 x x +4 Nota Los polinomios son expresiones algebraicas pero no toda expresión algebraica es un polinomio. 23 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.6.2 Componentes de un polinomio 1. Término: Un término es una parte de una expresión algebriaca. Los términos se separan entre sı́ por los signos de suma (+) o resta (-). 2. Coeficiente: El coeficiente numérico de un término de un polinomio es el factor numérico del mismo. 3. Término constante: Es el coeficiente numérico que no contiene variable. Ejemplo El polinomio 5x2 + 3x − 8 a) Tiene tres términos b) Los coeficientes numéricos son 5, 3 y -8 c) -8 es el término constante 1.6.3 Clasificación de los polinomios Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos. Un polinomio que tiene un solo término se llama monomio. Si el polinomio tiene dos términos se llama un binomio y si tiene tres términos se llama trinomio. Los polinomios formados por más de tres términos no reciben ningún nombre en especial, simplemente son polinomios con la cantidad de términos que contiene. Ejemplo Monomio 3x 25 −9x2 y 3 Binomio 7x − 4 3a + 5b n2 − 4n Trinomio n2 + 3n + 2 3x4 − x3 + 5x2 4xy + pxy 2 − 11xy 4 El polinomio 8x3 + 5x2 − 3x + 7 es un polinomio de cuatro términos. 1.6.4 Grado de un polinomio Si el polinomio es en una variable, el grado del polinomio está determinado por el término que contiene el mayor exponente. Ejemplo Polinomio − 5y 3 + 3y 2 + 7y − 2 2n2 − 3n + 1 3 5 3x y + 5x2 y 4 − 7xy 2 + 6 9y 4 24 Grado cuatro dos ocho Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.6.5 Términos Semejantes Dos términos son semejantes cuando ambos son numéricos o cuando tienen las mismas variables y sus exponentes son respectivamente iguales. Ejemplo a) 6 semejante 6 b) 9x2 semejante 3x2 c) 11x no semejante 11x2 1.6.6 Operaciones entre polinomios 1. Suma. Encuéntrese la suma de los polinomios x3 + 2x2 − 5x + 7 y 4x3 − 5x2 + 3 (x3 + 2x2 − 5x + 7) + (4x3 − 5x2 + 3) = x3 + 4x3 + 2x2 − 5x2 − 5x + 3 + 7 = (1 + 4)x3 + (2 − 5)x2 − (5)x + (3 + 7) = 5x3 − 3x2 − 5x + 10 2. Diferencia. Encuéntrese la diferencia de los polinomios x3 + 2x2 − 5x + 7 y 4x3 − 5x2 + 3 (x3 + 2x2 − 5x + 7) − (4x3 − 5x2 + 3) = x3 + 2x2 − 5x + 7 − 4x3 + 5x2 − 3 = x3 − 4x3 + 2x2 + 5x2 − 5x + 7 − 3 = (1 − 4)x3 + (2 + 5)x2 − 5x + (7 − 3) = −3x3 + 7x2 − 5x + 4 3. Producto. Encuéntrese el producto de 2x3 + 3x − 1 y x2 − x + 4 (2x3 + 3x − 1)(x2 − x + 4) = (2x3 + 3x − 1)x2 + (2x3 + 3x − 1)(−x) + (2x3 + 3x − 1)4 = 2x5 + 3x3 − x2 − 2x4 − 3x2 + x + 8x3 + 12x − 4 = 2x5 − 2x4 + (3 + 8)x3 + (−1 − 3)x2 + (1 + 12)x − 4 = 2x5 − 2x4 + 11x3 − 4x2 + 13x − 4 25 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 4. Cociente. Antes de proceder a dividir dos polinomios se deben escribir ambos en orden descendente de exponente y luego realizar un proceso muy parecido a la división de números en aritmética. Ejemplo x3 − x + 3x2 − 3 entre x − 1 Proceso: 1. Ordenamos en forma descendente el dividendo y el divisor ası́ x3 + 3x2 − x − 3 (dividendo) y x − 1 (divisor) 2. El termino de más grado del dividendo se divide entre el término de más grado 3 del divisor. xx = x2 . Luego se multiplica x2 por el divisor y el resultado se resta al dividendo 3. Este proceso se continua hasta lograr que el residuo sea un polinomio de grado inferior al del divisor o una constante. x3 − x + 3x2 − 3 −x3 + x2 0 + 4x2 − x − 3 −4x2 + 4x 0 + 3x − 3 −3x + 3 0 Taller 10 Completar 1. (x + 2)(x + 3) = 2. (x − 2)(x + 3) = 3. (2x + 3)(3x − 5) = 4. x3 − y 3 = x−y 5. x4 − y 4 = x−y 6. x4 − y 4 = x+y 26 |x − 1 x2 + 4x + 3 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.6.7 Factorización Factorizar un polinomio es volverlo a escribirlo como un producto de polinomios. Ejemplo a) y 5 + y 4 = y 4 (y + 1) b) 25 − x2 = (5 + x)(5 − x) 1.6.8 Algunos casos de factorización 1. Factor común Consiste en la aplicación de la propiedad distributiva. Ejemplo a) 3x3 y − 5x2 y 2 + 7xy = xy(3x2 − 5xy + 7) b) x2 − xy − x + y = (x2 − xy) + (−x + y) = x(x − y) − (x − y) = (x − y)(x − 1) 2. Factorización de trinomios Trinomio de la forma x2 + bx + c: En este trinomio b y c son enteros y se busca factorizarlo ası́: se buscan, si existen, dos números enteros que sumados algebraicamente den como resultado b y multiplicados c. Ejemplo x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) x2 − 5x − 24 = (x − 8)(x + 3) 3. Trinomio de la forma ax2 + bx + c: En este caso b y c son enteros y se factoriza de la siguiente forma: Se multiplica y se divide el trinomio por a quedando (ax)2 + b(ax) + ac , una vez ası́ se procede como el caso anterior, simplificando a cuando sea posible. Ejemplo a) 3x2 + 7x − 6 = (3x)2 + 7(3x) − 18 (3x + 9)(3x − 2) = = (x + 3)(3x − 2) 3 3 (6x)2 − 5(6x) − 36 (6x − 9)(6x + 4 3(2x − 3)(3x + 2)2 = = 6 6 6 = 6x2 − 5x − 6 = (2x − 3)(3x − 2) b) 6x2 − 5x − 6 = Taller 11 Factorizar completamente cada una de las siguientes expresiones: 1. 6x2 − 7x − 3 27 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 2. 4x4 y − 10x3 y 2 + 6x2 y 3 3. a(x2 − y) + 2b(x2 − y) 4. xy + xz 5. −6ax + 2ya 6. 2x2 − 9x − 5 7. 3y 2 + 7y − 6 8. x2 + x + 1 1.6.9 Productos notables Ciertos productos ocurren tan frecuentemente en álgebra, que merecen un lugar especial (produntos notables). Hacemos una lista de éstos, en donde las letras representan números reales. 1. (x + y)(x − y) = x2 − y 2 2. (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd 3. (x ± y)2 = x2 ± 2xy + y 2 4. (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3 5. (x + y)(x2 − xy + y 2 ) = x3 + y 3 6. (x − y)(x2 + xy + y 2 ) = x3 − y 3 1.6.10 Factorización utilizando los productos notables Taller 12 Factorizar completamente cada una de las siguientes expresiones: 1. 49 − a2 2. a2 − (x − y)2 3. 27 − b3 4. a3 + 216 5. x2 + x − 20 28 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 6. 6x2 − 7x − 3 7. 3x3 − 3x2 − 6x 8. (x − 3)2 − (x − 3) 9. x4 − 16 10. x2 − 8x + 16 11. x2 + 2xy + y 2 12. 8x3 − 1 13. x3 − 3x2 − 25x + 75 14. x2 + 4x + 4 − y 2 15. (x2 + 4)2 1.6.11 Expresiones algebraicas - Expresiones racionales Conocemos lo que es un número racional, un número que se expresa de la forma: a donde a y b son enteros con b 6= 0 b Definición Una expresión racional es una expresión algebraica de la forma: P donde P y Q son polinomios y Q 6= 0 Q Ejemplo a) 5 x b) − 3 x+1 c) 1 −4 x2 De acuerdo con lo anterior, el denominador de una expresión racional no puede ser cero, entonces: 29 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 5 x 3 − x+1 1 x2 − 4 No esta definida para x = 0 No esta definida para x = −1 No esta definida para x ± 2 El numerador puede ser cero ya que la expresión: 0 para b 6= 0 es cero b 1.6.12 Simplificación de expresiones racionales Para simplificar una expresión racional seguimos los siguientes pasos: 1. Factorizar completamente el numerador y el denominador. 2. Dividir el numerador y el denominador por los factores comunes en ambos.Esto se hace cancelando los factores comunes en el numerador y el denominador. 3x2 − 5x − 2 x2 − 4 3x2 − 5x − 2 (3x + 1)(x − 2) 3x + 1 Solución : = = 2 x −4 (x − 2)(x + 2) x+2 Ejemplo Simplifı́quese En el ejemplo anterior, dividimos numerador y denominador por x − 2. Debe enfatizarse que esta simplificación es válida y las expresiones son iguales, sólo bajo la hipótesis de que x − 2 6= 0, esto es x 6= 2. Sin embargo 2 no esta en el dominio de x ya que nos lleva, cuando se sustituye en la expresión original, a un denominador igual a cero. Taller 13 Enmarcar con un cı́rculo la respuesta correcta a cada problema. 1. Al reducir la fracción a. x x+y b. x y x2 + xy a su mı́nima expresión se obtiene: x2 − y 2 x 1 c. d. e. Ninguna de las anteriores x−y 1+y x2 + 3x − 10 a su mı́nima expresión se obtiene: 4x − x3 x+5 3x − 10 x+5 b. − c. d. − x(2 − x) 3x x(x + 2) 2. Al reducir la fracción a. x+5 x(x + 2) 30 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I e. Ninguna de las anteriores 3. x2 − 16y 2 = x + 4y a. x + 4y b. x − 4y c. x−y d. x+y e Ninguna de las anteriores. 4. Completar con una expresión adecuada. 15x2 + 10x = 5 5x3 y 2 − xy 2 + 3xy b) = −xy a) x3 − 3x2 + 3x − 1 = x−1 x3 − 2x2 − 17x + 6 d) = x2 + 5x − 2 c) 2 − x − 3x2 6x2 − x − 2 2 2 − x − 3x (1 + x)(2 − 3x) −(1 + x) Solución : 2 = = 6x − x − 2 (2x + 1)(3x − 2) 2x + 1 Ejemplo Simplifı́quese Donde hemos usado el hecho de que (2 − 3x) = −(3x − 2). Esto explica el signo menos en la respuesta final. Ejemplo Realı́cense y simplifı́quense las operaciones indicadas: a) x2 − 6x + 9 2x − 2 × x2 − 1 x−3 b) x+2 x2 − 4 ÷ 2 2x − 3 2x − 3x Solución: a) b) x2 − 6x + 9 2x − 2 (x − 3)2 × 2(x − 1) 2(x − 3) × = = x2 − 1 x−3 (x − 1)(x + 1)(x − 3) x+1 x+2 x2 − 4 x+2 2x2 − 3x (x + 2)x(2x − 3) ÷ 2 = × 2 = 2x − 3 2x − 3x 2x − 3 x −4 (2x − 3)(x + 2)(x − 2) x = x−2 31 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 2x + 5 x 1 + 2 + + 6x + 9 x − 9 x − 3 Solución: Las formas factorizadas de los denominadores son: (x + 3)2 , (x + 3)(x − 3) y (x − 3). Entonces el m.c.d es (x + 3)2 (x − 3). Luego: Ejemplo Simplifı́quese x2 x2 2x + 5 x 1 2x + 5 (x − 3) x (x + 3) + 2 + = × + × 2 + 6x + 9 x − 9 x − 3 (x + 3) (x − 3) (x + 3)(x − 3) (x + 3) 1 (x + 3)2 + × x − 3 (x + 3)2 (2x2 − x − 15) + (x2 + 3x) + (x2 + 6x + 9) = (x + 3)2 (x − 3) 4x2 + 8x − 6 = (x + 3)2 (x − 3) 2(2x2 + 4x − 3) = (x + 3)2 (x − 3) A veces es necesario simplificar cocientes en los que el numerador y denominador no son polinomios, como se muestra en el siguiente ejemplo: 1− Ejemplo Simplificar: 2 x+1 1 −x x 2 (x + 1) − 2 x+1 = x+1 1 1 − x2 −x x x x x−1 × = x + 1 1 − x2 (x − 1)x = (x + 1)(1 − x)(1 + x) −x = (x + 1)2 1− Taller 14 Simplificar: 1. p4 + 3p3 − 8p − 24 p3 − 2p2 − 9p + 18 32 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a2 − 2. a+ 1 a 1 +1 a 33 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.7 Ecuaciones e inecuaciones en una variable Una ecuación es una igualdad de dos expresiones matemáticas. Una ecuación de primer grado en una variable es una ecuación en la que aparece una variable elevada al exponente uno. A estas ecuaciones también se le conocen como ecuaciones lineales en una variable. La variable puede aparecer por más de una ocasión, por ejemplo, en la ecuación 5n − 3 = 3n + 1 es una ecuación de primer grado en una variable. Se puede observar que la variable n aparece dos veces pero ambas elevadas al exponente uno. Otros ejemplos de ecuaciones lineales en una variable son: 5x + 1 = 16; 2(x + 1) − 3 = x + 5 Resolver una ecuación de primer grado en una variable consiste en hallar el valor de la variable que hace cierta la igualdad. A este valor se le conoce como la solución o la raı́z de la ecuación. Por ejemplo, es 2 unaÊ solución de la ecuación 5n − 3 = 3n + 1? Si lo es, pues al sustituir el valor de 2 en la ecuación observamos que es cierta la igualdad: 5(2) − 3 = 3(2) + 1 luego 10 − 3 = 6 + 1 7 = 7 Se cumple Lo que hacemos para resolver una ecuación de primer grado en una variable es despejar para la variable, es decir, dejarla a un lado de la ecuación y escribir las constantes (los números) al otro lado de la ecuación usando las propiedades correspondientes: 1. Si a = b, entonces a + c = b + c y a − c = b − c. 2. Si a = b y c 6= 0, entonces: ac = bc y a b = b c Ejemplo a) b) x+5 = 5 ⇒ x + 5 = 5(3x − 2) 3x − 2 15 ⇒ x + 5 = 15x − 10 ⇒ 5 + 10 = 15x − x ⇒ x = 14 3 4−x +5= x−1 x−1 34 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3 4−x (x − 1) + 5(x − 1) = (x − 1) x−1 x−1 3 + 5(x − 1) = 4 − x 5x − 2 = 4 − x 6x = 6 x=1 Taller 15 1. Resolver para x: 1 3 2 + = 2 x x+1 3(x + x) 2 45 e. 5 + 1 = 8 3 − 4−x 3x + 5 4 − x x − 2 − − =0 12 6 3 3x + 2 6 b. − =0 x−1 5 7−x 3 − 2x =2+ c. 3x − 7 5 d. a. f. x x−1 x x−1 −1 = +1 x x+1 x x+1 −1 +1 1.7.1 Solución a problemas Para una buena formación en Matemáticas, a cualquier nivel, es necesaria la solución a problemas. Con este proceso puede confrontarse lo aprendido y sembrar bases que serán la fuente de trabajos posteriores. Taller 16 Resolver utilizando ecuaciones en una variable: 1. Una tienda de descuento de computadores realiza una promoción de fin de año de dos tipos de computadores. Se obtienen 41800 dólares por la venta de 58 computadoras. Si uno de los tipos se vendió a 600 dólares y el otro a 850 dólares. Cuántos computadores se cada tipo se vendieron? 2. Carlos puede procesar 200 hojas de un trabajo en una hora y Pedro puede procesar 150 hojas del mismo trabajo en una hora. Cuánto tardarı́an en procesar 900 hojas juntos, si Carlos comienza 12 hora después de Pedro? 35 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3. Un camión transporta una carga de 50 cajas; algunas de éstas cajas son cajas de 20 kg y el resto son cajas de 25 kg. Si el peso total de de todas las cajas es de 1175 kg; Cuántas cajas hay de cada tipo? 4. La tuberı́a A puede llenar una piscina con agua en 3 dı́as y la tuberı́a B puede llenar la misma piscina en 2 dı́as. Si se utilizaran ambas tuberı́as, En cuánto tiempo se llenará la piscina? 5. Cuando se abre la llave de una bañera (y el desagüe) está tapado, la bañera se llena en 10 minutos; cuando el desagüe se destapa (y se cierra la llave), la bañera llena, se vacı́a en 15 minutos. Cuánto tarda en llenarse la bañera si se abre la llave y el desagüe se destapa?. 1.7.2 Inecuaciones lineales Anteriormente has usado los sı́mbolos ¿(mayor que), ¡(menor que), ≥ (mayor o igual que) y ≤ (menor o igual que) para describir como es la relación entre un número y otro. Por ejemplo: 4 > −1 para señalar que 4 es mayor que -1, −2 < 3 para señalar que -2 es menor que 3 y −3 < −1 para señalar que -3 es menor que -1. Estos ejemplos se conocen como desigualdades. Definición Una inecuación lineal es una expresión matemática que describe cómo se relacionan entre sı́ dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3+5x ≥ 18; −2(x+3) < −9. La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales. Para resolver inecuaciones lineales hacemos uso de las siguientes propiedades: 1. Para todo número real a, b y c, si a < b entonces: a + c < b + c y a − c < b − c 2. Para todo número real a, b y c, donde c > 0 y a < b, entonces: a b ac < bc y < c c 3. Para todo número real a, b y c, donde c < 0, si a < b, entonces: a b ac > bc y > c c Taller 17 Resolver las siguientes inecuaciones lineales y representar la solución en la recta numérica: 36 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1. x + 5 < 3 2. 3x + 2(x − 4) > 4x 3. 5x − 7 ≤ 2x + 8 4. 3x + 8 ≥ 5x 5. 1 1 (x + 5) > (x + 1) 7 5 6. 5x + 2 < 4 − x 7. 7(x − 3) ≥ 4(1 + 2x) 8. x x 1 −1≤ − 3 5 5 37 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.8 Ecuaciones de segundo grado con una incognita En el apéndice anterior trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas. Definición Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma: ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero. Ejemplo a) x2 − 9 = 0 b) x2 − x − 12 = 0 c) 2x2 − 3x − 4 = 0 La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este apéndice estudiaremos los siguientes métodos: factorización, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. 1. Factorización Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. 2. Completando el cuadrado Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma: x2 + bx+? Regla para hallar el último término de x2 + bx+?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto (con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son x2 + bx es : b x2 + bx + ( )2 2 Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que 38 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. 3. Fórmula cuadrática La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a Donde el número b2 − 4ac se denomina el discriminante y si: b2 − 4ac > 0, las raı́ces son reales y diferentes. b2 − 4ac = 0, las raı́ces son reales e iguales. (raı́z doble) b2 − 4ac < 0, las raı́ces son complejas. Taller 18 Resolver para x, 1. x2 − 7x + 10 = 0 2. x2 + 3xy − 10y 2 = 0 3. x2 + 6x + 5 = 0 4. x2 + 2ax + a2 − b2 = 0 5. x2 + 12x + 11 = 0 6. x2 + x − 6 = 0 7. 4x2 − 12x + 9 = 0 8. 2x2 + 6x + 7 = 0 39 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.9 Secciones cónicas 1.9.1 Distancia entre dos puntos En el sistema coordenado - bidimensional rectangular: Figura 5: Sistema coordenado Taller 19 1. Mostrar que los puntos (6, 5), (1, 3) y (5, −7) son vértices de un triángulo rectángulo. Determinar su área. 2. Determinar la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto P (x, y) equidista de los puntos (−3, 5), (7, −9) 1.9.2 Coordenadas del punto medio Las coordenadas del punto medio del segmento cuyos puntos extremos son : (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) x̄ = x1 + x2 y1 + y2 , ȳ = 2 2 Taller 20 1. Demostrar que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los vértices. Sug: Tomar el triángulo con vértices en (0, 0), (a, 0), (0, b) 2. Uno de los puntos extremos de un segmento es (7, 8) y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro extremo. 40 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3. Mostrar que los puntos (6, 5), (1, 3) y (5, −7) son vértices de un triángulo rectángulo. Determinar su área. Verificar que el punto medio de la hipotenusa equidista de los vértices. 4. Mostrar que los puntos (1, 1), (3, 5), (11, 6) y (9, 2) son vértices de un paralelogramo. 5. Mostrar que los puntos (0, 1), (3, 5), (7, 2) y (4, −2) son vértices de un cuadrado. 6. Mostrar que los puntos (2, 2), (5, 6), (9, 9) y (6, 5) son vértices de un rombo. 7. Los vértices de un triángulo son A(−1, 3), B(3, 5) y C(7, −1). Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, verificar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC. 8. Hallar las coordenadas del punto situado a tres cuartas partes del punto a (6, −2) a (2, 6) 9. Determinar los puntos del eje Y que estén a una distancia de 6 del punto (5, 3) 10. Determinar el punto que tenga coordenadas de la forma (2a, a), que esté en el tercer cuadrante y a la distancia 5 de (−2, 4) 1.9.3 Recta Inclinación: Es el ángulo menor a 180◦ medido en sentido contra-reloj, fomado por una recta y el eje positivo de las X. Pendiente: Es la razón (cociente) del ascenso o descenso y el avance de una recta que no es paralela al eje Y . 41 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Figura 6: Pendiente Pendiente: m Elevación por unidad de avance. elevacion y2 − y1 m= = avance x2 − x1 Figura 7: Tipos Pendiente Rectas paralelas y perpendiculares: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y son perpendiculares si el producto de sus pendientes es −1 Ecuaciones de la recta Punto pendiente Pasa por un punto fijo (x1 , y1 ) y tiene una pendiente dada m: y − y1 = m(x − x1 ) 42 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Pendiente intercepto Intercepta al eje y en b, y tiene una pendiente dada m: y = mx + b Interceptos La que intercepta al eje y en b intercepta al eje x en a x y + =1 a b Forma general: Ax + By + C = 0, con A;B;C constantes reales cualesquiera, pero A y B no pueden ser cero simultaneamente y de la cual: Si C = 0, la recta pasa por el origen. −A Si B = 0, la recta es vertical, si B 6= 0 la recta tiene pendiente y corta al B −C eje y en . B Si A = 0, la recta es horizontal. Taller 21 1. Resolver gráficamente los sistemas: ( y x− =2 2 a. 2x − 3y 2 =7 3x + 2y = 3 3x + 2y = 3 c. b. 6x + 4y = 6 6x + 4y = 24 2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y (−6, 5) 3. Determine la ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes X,Y son 2 y7 4. Cuál es la ecuación del sistema de rectas que pasa por (−1, 3) ? 5. Cuál es la ecuación del sistema de rectas paralelas a 2x − 3y + 6 = 0? 6. Cuál es la ecuación del sistema de rectas perpendicular a 3x − 2y = 5? 7. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A(−3, 2), B(1, 6) 43 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 8. Hallar el valor de k, para que kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0 9. Hallar el valor de k, para que k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x − 2y − 11 = 0 10. Muestre que las rectas 5x − y − 6 = 0, x + 5y − 22 = 0, 5x − y − 32 = 0, x + 5y + 4 = 0, forman un cuadrado. 11. Dados los cuatro puntos A(2, −4), B(10, 0), C(6, 3) y D(4, 2). Demuestre por medio de pendientes que los cuatro puntos A, B, C y D son los vértices de un trapecio y calcule el área de este trapecio. 1.9.4 Circunferencia El conjunto de puntos en el plano tales que su distancia a un punto fijo C(h, k), centro, es siempre una constante r, radio, se denomina circunferencia. • Su ecuación: (x − h)2 + (y − k)2 = r2 x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 • Con centro en el origen: x2 + y 2 = r 2 Taller 22 1. Dibujar el conjunto de puntos en el plano que satisfacen: a) 3x2 + 3y 2 + 6x − 8y = 48 b) x2 + y 2 + 2x − 4y = −5 c) x2 + y 2 + 2x − 4y = −7 d ) x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0 e) x2 + y 2 − 2x − 8y = −13 f ) x2 + y 2 − 2x − 8y = −13 g) 9x2 + 9y 2 − 18x − 54y + 54 = 0 2. Determinar la ecuación de la circunferencia en la cual el segmento de recta que determinan los puntos (−3, −4) y (4, 3) es un diámetro. 44 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en (5, 3) y es tangente al eje Y 4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (2, −1), (0, 2) y (1, 1) 5. Hallar la ecuación de la familia de circunferencias que tienen radio 5 y sus centros pertenecen a la recta x = −2. Determinar los miembros de esta familia que deben pasar por el punto (2, −5) 6. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en (0, −2) y es tangente a 5x − 12y + 2 = 0 7. Una cuerda de la circunferencia x2 +y 2 = 25 está sobre la recta x−2y+5 = 0. Cual es la longitud de la cuerda? 8. La ecuación de una circunferencia es (x − 4)2 + (y − 3)2 = 20. Hallar la ecuación de la recta tangente a ella en el punto (6, 7) 9. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en x − 3y − 11 = 0 y pasa por (−1, 1) y (2, 3) 10. i) Hallar la distancia del punto (5, 7) a la recta x + 3y − 6 = 0. Ilustre gráficamente. ii) obtenga la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (5, 7) y que es tangente a la recta x + 3y − 6 = 0. Ilustre gráficamente la recta y la circunferencia. 1.9.5 La parábola Una parábola es el conjunto de puntos en un plano cuya distancia a un punto fijo es igual a su distancia a una recta fija. 45 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Ecuaciones de la parábola 1. Ecuación de la parábola con vértice en el orı́gen, eje focal en el eje x, foco (p, 0) es y 2 = 4px 2. Ecuación de la parábola con vértice en el orı́gen, eje focal en el eje y, foco (0, p) es x2 = 4py Taller 23 1. Grafique y determine las coordenadas del vértice, del foco, las ecuaciones de las directriz y del eje de las parábolas: a) y 2 = 12x b) x2 = 12y 46 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I c) y 2 + 8x = 0 d ) x2 + 2y = 0 2. Determinar la ecuación de la parábola con foco en (3, 0) y directriz x + 3 = 0.: Parábolas trasladadas 1. Vértice en (h, k), eje focal paralelo al eje x: 2. Vértice en (h, k), eje focal paralelo al eje y: Taller 24 1. Graficar y determinar las coordenadas del vértice, de las siguientes parábolas: a) 4y 2 − 48x − 20y = 71 47 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I b) 4x2 + 48y + 12x = 15 c) x2 − 4x − 3y + 7 = 0 d ) y 2 − 6y − 2x + 1 = 0 e) x2 − 4x − 4y = 0 f ) x2 − 4x + 2y = 1 2. Se debe contruir un reflector parabólico con una fuente de luz en su foco, que 9 está a cm del vértice. Si el reflector debe tener 10 cm. de profundidad, ¿Cuál 4 debe ser el ancho de su boca? 3. Los extremos del cable de un puente de suspensión están a 1000 mt de distancia y a 100 mt sobre el piso de la vı́a horizontal, mientras que el centro del cable está en el piso. Encontrar la altura del cable sobre el piso a una distancia de 300 mt de la base de la torre de amarre. 4. Cuál es la mayor área rectangular que puede encerrarse con 400 mt de cerca? 5. Un canalón para captar agua de lluvia ha de tener lados iguales y un fondo y es fabricado con hojas de aluminio de 12 pulgadas de ancho, doblando los lados 90◦ hacia arriba. Qué altura del canal proporciona el mayor flujo de agua? 1.9.6. La elipse Conjunto de puntos en un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, también en el plano, es igual a una constante, mayor que la distancia entre sus focos. La suma de las distancias se expresa como el real positivo 2a, la distancia entre los focos es 2c, el punto medio entre los focos es el centro de la elipse. a > c > 0, a2 − c2 > 0, a2 − c2 = b2 1. La ecuación de la elipse con centro en el orı́gen, focos (±c, 0) es 2. La elipse con centro en el orı́gen, focos (0, ±c) es x2 y 2 + 2 =1 a2 b y 2 x2 + 2 =1 a2 b Taller 25 1. Grafique y determine las coordenadas del centro, vértices y focos de las elipses: 48 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) 9x2 + 4y 2 = 36 b) 4x2 + 9y 2 = 36 c) 16x2 + 25y 2 = 400 d ) x2 + 3y 2 = 6 e) x2 + 9y 2 + 2x − 18y + 1 = 0 f ) 9x2 − 18x + 4y 2 − 16y = 11 g) 4x2 + 9y 2 − 16x − 18y = 11 1.9.7 La hipérbola Conjunto de puntos en un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, también en el plano, es igual a una constante positiva menor que la distancia entre los focos. La diferencia de las distancias se expresa como el real positivo 2a, la distancia entre los focos es 2c, el punto medio entre los focos es el centro de la hipérbola 0 < a < c, c2 − a2 > 0, c2 − a2 = b2 x2 y 2 1. La ecuación de la hipérbola con centro en el orı́gen, focos en (±c, 0) es 2 − 2 = a b 1 2. La ecuación de la hipérbola con centro en el orı́gen, focos (0, ±c) es y 2 x2 − =1 a2 b2 Taller 26 1. Graficar y determinar las coordenadas del centro, vértice y focos de las hipérbolas: a) 9x2 − 4y 2 = 36 b) 4x2 − 9y 2 = 36 c) 9y 2 − 4x2 = 36 d ) 4y 2 − 9x2 = 36 e) x2 − 4y 2 − 2x + 16y − 31 = 0 f ) y 2 + 2y − 4x2 + 8x = 7 49 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Taller 27 1. Grafique sobre la recta numérica el conjunto solución de la desigualdad |x−1| ≥ 2. Exprese también la solución mediante notación de intervalos. 2. a−b los exponentes − b−2 negativos y simplifique hasta su mı́nima expresión. A) Haciendo todo el procedimiento, elimine en B) Haciendo todo el 4 1/3 4 −2/3 4 x − 1 x − x = 3 3 3 x2/3 a−2 procedimiento, verifique que 3. Utilizando el resultado notable a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) obtenga el factor 1 √ racionalizante de (1 − 3 x) 4. Factorice y simplifique: (3x2 − 7x + 2) (x2 − x − 2) (x3 − 8) ii) 2 (x − x − 2) i) 5. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (6, 5) y que es perpendicular a al recta x − 2y − 6 = 0. Ilustre gráficamente. 6. Haciendo todo el procedimiento (completar cuadrados y expresar en forma canónica la ecuación dada), grafique cada una de las siguientes ecuaciones: i) y 2 − 6y − 2x + 1 = 0 ii) x2 + 9y 2 + 2x − 18y + 1 = 0 Taller 28 1. Grafique sobre la recta numérica el conjunto solución de la desigualdad |x−3| ≤ 2. Exprese también la solución mediante notación de intervalos. x−1 − y −1 los exponentes x−2 − y −2 negativos y simplifique hasta su mı́nima expresión. 2. Haciendo todo el procedimiento, elimine en 3. Utilizando la suma de cubos a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) obtenga el factor 1 √ . racionalizante de 1+ 3x 50 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I r 9 4. Haciendo todo el procedimiento, determine si la expresión x + 6 + es igual x √ x(x + 3) o no a la expresión . Aquı́ suponemos que x es mayor que cero. x 5. Sea l una recta cuya ecuación es x − 2y − 5 = 0. a) Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (6, 3) y que es perpendicular a l. b) Obtenga la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (6, 3) que es tangente a la recta l cuya ecuación es x − 2y − 5 = 0. Ilustre gráficamente las rectas y la circunferencia. 51 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 2 Coordenas y gráficas 2.1 Taller A 2.1 Taller A 1. Obtenga una ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y que es paralela a la recta cuya ecuación es x + 2y − 2 = 0. Dibuje las rectas. 2. Obtenga una ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 4) y que es perpendicular a la recta cuya ecuación es −2x − y + 4 = 0. Dibuje las rectas. 3. Tres vertices consecutivos de un paralelogramo son (−4, 1), (2, 3) y (8, 9). Determine las coordenadas del cuarto vértice. 4. Dados los puntos A = (2, 1), B = (6, −1) y C = (4, 5) a) Pruebe por medio de pendientes que los tres puntos A, B y C son los vértices de un triángulo rectángulo y calcule el área del triángulo. b) Verifique que el punto A pertenece a la recta l que es perpendicular al segmento BC en su punto medio. 5. Demuestre que el punto medio de la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo equidista de los tres vértices. Sugerencia: Puede suponer que el triángulo rectángulo tiene vértices en (0, 0), (a, 0) y (0, b) con a > 0 y b > 0 6. Dados los cuatro puntos A = (2, −4), B = (8, −1), C = (6, 4) y D = (4, 3). Demuestre por medio de pendientes que los cuatro puntos A, B, C y D son los vértices de un trapecio y calcule el área de este trapecio. 7. Sea l1 la recta que pasa por los puntos (2, 0) y (0, 4) a) Halle la ecuación de la recta l2 que pasa por el punto (5, 4) y que es perpendicular a la recta l1 . Ilustre gráficamente. b) Halle la intersección de las rectas l1 y l2 halladas anteriormente. 52 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I c) Halle la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (5, 4) y que es tangente a la recta l1 dada anteriormente. Ilustre gráficamente. 8. Sea l una recta cuya ecuación es x − 2y − 4 = 0 a) Obtenga la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (3, 7) y que es tangente a la recta l dada. Ilustre gráficamente la recta y la circunferencia. b) Determine los cortes con los ejes coordenados, si es que existen, de la circunferencia obtenida en el literal a). 9. Encuentre los valores de la constante k tal que la recta: 3y − kx = 6 sea tangente a la circunferencia x2 − 2x + y 2 = 3. Ilustre gráficamente. 10. Halle la ecuación de la circunferencia que tiene el centro sobre la recta y = x+1, y que pasa por los puntos (1,4) y (5,2). Ilustre gráficamente. 11. La recta y = mx + b corta a la parábola y = x2 − 2x + 4 en el punto (3,7). Encuentre los valores de m y b tal que la recta y = mx + b corte a la gráfica de y = x2 − 2x + 4 únicamente en el punto (3,7). 12. La recta y = mx + b pasa por el punto (5,0) y corta a la gráfica de y = 9 − x2 . Encuentre los valores de m y b de tal manera que esa recta corte a la gráfica de y = 9 − x2 en un único punto, y además halle dicho punto. 13. Dada la relación y 2 − 6y − 2x = −5 a) Halle los cortes de la relación dada con los ejes coordenados. b) Trace la gráfica de la relación dada, y determine cual es el dominio y el rango de esta relación. c) Represente gráficamente la solución del siguiente sistema de desigualdades en dos variables ( y 2 − 6y < 2x − 5 2x + 1 ≤ y 14. Suponga que el agua que fluye del extremo de un tubo, el cual se encuentra a 25 pies del suelo, describe una curva parabólica, de modo que el vértice de la parábola es el extremo del tubo. Si en un punto 4 pies debajo del tubo el flujo 53 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I de agua en su trayectoria curva se localiza a 8 pies de distancia de la recta vertical que pasa por el extremo del tubo. ¿Qué tan alejado de esta recta llega el agua al piso? 15. Trace la gráfica de 9x2 − 54x + 4y 2 − 8y = −49. Determine el dominio y el rango de esta relación. 16. Dada la relación x2 + y 2 − 2x − 8y = −13 a) Trace su gráfica e indique su dominio y su rango. b) Despeje a y en términos de x, y represente gráficamente cada una de las relaciones obtenidas, indicando sus respectivos dominios y rangos. 17. En cada uno de los siguientes ejercicios trace la gráfica de la relación dada e indique su dominio y su rango. √ a) x2 − 6x − 2y + 11 = 0 f ) y = 4 + 8 − x2 + 2x √ b) y 2 − 4y − 2x + 6 = 0 2x − x2 + 3 √ g) y = 2 − c) y − x − 1 = 2 2 √ √ d) y + x − 1 = 2 3 6x − x2 − 5 √ h) y = 1 + e) y = 4 − 8 − x2 + 2x 2 54 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3 Funciones 3.1 Taller A 3.2 Taller B - Funciones exponenciales y logaritmicas 3.1 Taller A 1. Trace la gráfica de cada una de las siguientes relaciones y determine cuales de ellas son funciones y cuales no. si la relación dada es función, exprésela en la forma y = f (x), e indique su dominio y su rango. √ 2x − x2 + 3 a) x2 − 6x − 2y + 11 = 0 i) y = 2 − 2 b) y 2 − 4y − 2x + 6 = 0 √ 3 6x − x2 − 5 c) x2 + y 2 − 2x − 8y = −13 j) y = 1 + 2 √ √ d) y − x − 1 = 2 2+8=2 k ) y − 4/3 2x − x √ √ e) y + x − 1 = 2 l ) y + 4/3 2x − x2 + 8 = 2 √ 2 f ) y − 2x − x = 0 x2 − 2x − 15 √ m) y − =2 2 g) y = 4 − 8 − x + 2x 2 √ √ h) y = 4 + 8 − x2 + 2x n) y − 2 x2 − 2x + 2 + 1 = 0 2. Para cada una de las siguientes funciones: a) Determine el dominio de f y halle los puntos de intersección de la gráfica de f con los ejes coordenados, si existen estos cortes. b) Trace su gráfica. √ i) f (x) = 2 vi) f (x) = 2 − ii) f (x) = 2x − 1 vii) f (x) = 1 − iii) f (x) = x2 − 6x + 5 viii) f (x) = 4 + 8 − x2 + 2x √ ix) f (x) = 2x + 1 + 3 √ x) f (x) = 4 − 2x iv) f (x) = x2 − 4x + 5 √ v) f (x) = 3 + x − 1 55 √ √ x−1 4x − x2 + 5 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3. Sea f la función que tiene como regla de correspondencia: f (x) = x2 − 2x − 3 A) a) Trace la gráfica de f . b) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−1, f (−1)) y (4, f (4)). c) Encuentre f (x + h) − f (x) y simplifique. h B) Sea f la función que tiene como regla de correspondencia: √ f (x) = 2 x − 1 − 2 a)Trace la gráfica de f b)Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, f (1)) y (5, f (5)) c)Encuentre f (x + h) − f (x) y simplifique h 4. Suponga que el agua que fluye del extremo de un tubo, el cual se encuentra a 25 pies del suelo, describe una curva parabólica, de modo que el vértice de la parábola es el extremo del tubo. Si en un punto 4 pies debajo del tubo el flujo de agua en su trayectoria curva se localiza a 8 pies de distancia de la recta vertical que pasa por el extremo del tubo. Exprese la distancia desde la recta vertical que pasa por el extremo del tubo hasta el flujo de agua en su trayectoria curva, en función de b pies debajo del tubo. 5. Uno de los cables de un puente colgante pende en forma de parábola cuando la carga está uniformemente distribuida de manera horizontal. La distancia entre las dos torres es de 160m, los puntos de del cable estan a 24m arriba de la carretera, y el punto má bajo del cable esta a 8m sobre dicha carretera. Determine la distancia vertical de la carretera al cable de un punto que se encuentra a b m de la base de una torre. Exprese esta distancia vertical y, en función de b. Indique el dominio admisible para b 56 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 6. Un arco parábolico tiene una altura de 25m y un ancho de 40m en la base. Si el vértice de la parábola está en la parte superior del arco, a qué altura sobre la base tiene un ancho de b m? 7. El techo de un vestı́bulo de 8m de ancho tiene la forma de una semielipse de 9m de altura en el centro y 6m de altura de las paredes laterales. Determinar la altura del techo a b m de cualquier pared. Exprese la altura y del techo, en función de b. Indique el dominio admisible para b 57 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 8. Un telescopio refractante tiene un espejo parabólico para el cual la distancia del vértice al foco es de 30 pies, Si el diametro de la parte superior del espejo es de b pulgadas, exprese la profundidad h del espejo en función de b 9. Un depósito hemisférico de radio R esta lleno de agua. Si empieza a gotear agua del fondo, exprese el radio r de la superficie del agua en función de la profundidad h del casquete esférico, tal como se ilustra 10. Una antena de satélite de TV consta de un plato parabólico con el receptor colocado en su foco. El plato parabólico puede describirse girando un trozo de parábola con respecto de su eje de simetrı́a (tal como se ilustra) con −b ≤ x ≤ b donde x se mide en pies. a) Exprese la profundidad que tiene el plato en función de b b) ¿Dónde debe colocarse el receptor con respecto de la parte inferior (vértice) del plato? 58 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 11. El arco de un túnel recto en una carretera de doble sentido es semielptı́co con eje mayor horizontal. La base del arco abarca los 50 pies de ancho de la carretera y la parte más alta del arco mide 16 pies en forma vertical sobre la lı́nea central de la carretera. a) Exprese la altura y del túnel en función de la distancia x pies desde la lı́nea central de la carretera (ilustrar graficamente) b) ¿Puede un camión de 15 pies de altura y 11 pies de ancho, pasar por este túnel, manteniéndose a la derecha de la lı́nea central? 12. Algunos cometas siguen una orbita hiperbólica, con el sol en uno de sus focos (y nunca volvemos a verlos de nuevo). Se puede mostrar que el vértice de una rama de una hipérbola es el punto sobre ella más cercano al foco asociado a esa rama. Dado este hecho y el que la trayectoria del cometa queda descrita por la hipérbola 4x2 − 3y 2 − 12 = 0, con el sol en uno de los focos (los números están dados en términos de U.A, donde 1U.A equivale a 149,6 millones de kilómetros, distancia medida de la tierra al sol) a) Determine cual es la distancia más corta del cometa al sol b) Exprese la distancia del cometa al sol en función de x (ver figura) 59 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 13. Dibuje la gráfica de la función a trozos dada y determine su dominio y su rango. x + 5, si −6 ≤ x < −3, √3 − x2 − 2x, si −3 ≤ x ≤ 1, f (x) = 1 si 1 < x < 2, 2x2 − 12x + 17, si 2 < x ≤ 5. 14. Dibuje la grafica de la función a trozos dada y determine su dominio y su rango −1 2 (x + 7), −1, √ 3 −x2 − 4x 3− 2 f (x) = x + 2, √ 2 − 6x − x2 − 5, √ x − 5 + 2, si x < −5 si − 5 ≤ x < −4 si −4≤x≤0 si 0<x<1 si 1≤x<5 si 5≤x 15. En la figura se da la gráfica de una función f . Formada por una semirecta horizontal, una semielipse, un segmento de recta, y un trozo de parábola. Defina f (x) a trozos sobre el intervalo cerrado [−2, 3]. 60 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 16. En la figura se da la gráfica de una función f . Defina f (x) a trozos sobre todo el eje real. 17. En la figura se da la gráfica de una función f formada por una semirecta, tres segmentos de recta, un cuarto de circunferencia y un trozo de parábola. Defina f (x) a trozos sobre todo el eje real 18. En la figura se da la gráfica de una función f formada por una semirecta, una semielipse, un segmento de recta, una semicircunferencia y un trozo de 61 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I parábola con el vértice en el punto (5, 2). Defina f (x) a trozos sobre todo el eje real 19. Al dividir el polinomio P (x) = x3 − 3kx + 1 entre x − 2, el residuo es 15. Determine el valor de k. 20. Halle el valor de la constante k para que el polinomio: P (x) = x3 − 2kx + 3 sea divisible por x − 1 21. Halle el valor de la constante k para que el polinomio: P (x) = x3 +k 2 x2 −kx+21 sea divisible por x + 3 22. Para cada una de las siguientes funciones polinomiales: a) Factorice la expresión polinomial: an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 como producto de factores lineales o factores cuadráticos irreducibles. b) Bosqueje la gráfica de la función polinomial dada, indicando los cortes con los ejes coordenados, cuando estos existen. i) f (x) = x3 − 4x2 + 5x − 2 ii) f (x) = x4 + 2x3 − 5x2 − 4x + 6 iii) f (x) = 2x3 − x2 − 8x + 4 iv) f (x) = x4 − 5x2 − 10x − 6 v) f (x) = 2x5 − 13x4 + 20x3 + 18x2 − 54x + 27 vi) f (x) = x3 − 2x vii) f (x) = x3 − 2x + 1 62 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I viii) f (x) = x5 + 2x4 − 2x3 − 4x2 + x + 2 ix) f (x) = 2x5 − x4 − x3 − 2x2 + x + 1 23. Para cada una de las siguientes funciones racionales a) Factorice el denominador y el numerador. Simplifique. b) Determine el dominio y los ceros reales de la función dada. i) f (x) = x3 2x − 3 − 3x − 2 3x − 1 − 3x2 + 4x − 2 x2 − 3x + 2 v) f (x) = 4 x − x3 − 5x2 + 3x + 6 x3 − 2x2 − x + 2 vi) f (x) = x2 − 3x + 2 iv) f (x) = x2 + 2x − 3 x3 − 3x + 2 x+2 iii) f (x) = 3 x − 3x + 2 ii) f (x) = x3 x3 − 6x2 + 5x + 12 factorice el numerador y x−4 determine el dominio y los ceros de la función dada. Además, trace la gráfica de f . 24. Dada la función racional f (x) = 25. Para cada una de las siguientes funciones irracionales a) Factorice el denominador b) Determine el dominio de f y halle los puntos de intersección de la gráfica de f con los ejes coordenados, si existen estos cortes. √ √ x+2−x 2x − 1 − x i) f (x) = 3 iii) f (x) = 3 x + x2 − 5x + 3 x − 4x2 + x + 6 √ √ 2x − 1 − x 2x − 1 ii) f (x) = 3 iv) f (x) = 2 x − 7x + 6 x −x−2 26. Halle el dominio y los ceros reales de cada una de las siguientes funciones irracionales: r √ x+3 a) f (x) = x − 1 + 2 d ) f (x) = x−4 √ b) f (x) = 4 − 2x 1 e) f (x) = q √ x−1 c) f (x) = x2 − x − 2 3x+1 − 1 63 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I √ r x3 − 3x + 2 f ) f (x) = 2x2 + 5x − 3 g) f (x) = 27. Halle el dominio y trace la gráfica de f (x) = √ x3 − 2x2 + 1 x−2 x2 − 2x − 3 + 2 28. Trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones: f (x) = 2x − 1 f (x) = x2 − 2x − 3 f (x) = 3x − 1 f (x) = x + 2x − 1 hh 1 ii e) f (x) = x + x+1 2 a) b) c) d) f ) f (x) = 2x − 1 x + 1 |x| g) f (x) = x x h) f (x) = 1 2x + 1 29. Escriba cada una de las siguientes funciones como una función a trozos y dibuje su gráfica. a) f (x) = 2x − 3 − x + 4 b) f (x) = x + 2 + 2x − 1 + 2x c) f (x) = x + 2 + x − 1 − x + 4 d ) f (x) = x2 − 2x − 3 + 1 30. Sea f una función cuyo dominio es el intervalo cerrado [−2, 4] y su gráfica es la que se ilustra. Trace la gráfica de |f | 31. Sea f una función cuya gráfica se ilustra. Trace la gráfica de |f |. 64 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 32. Dibuje la gráfica de la + 3|, |x f (x) = 3x − 1 , 2 x − 6x + 7, función dada y determine su dominio y su rango. si −5 ≤ x < 0, si 0 ≤ x < 1, si 1 ≤ x ≤ 4. 33. Dibuje la gráfica de 0, f (x) = −2x2 + 1, 3x + 1, la función dada y determine su dominio y su rango. 34. Dibuje la gráfica de + 5|, |x √ f (x) = 16 − x2 , x − 6, la función dada y determine su dominio y su rango. si x < −1, si −1 < x ≤ 0, si 0 < x < 2. si x ≤ −4, si −4 < x ≤ 4, si 4 < x. 35. Dibuje la gráfica de la función dada y determine su dominio y su rango. |x + 10|, si x < −5, √ 2 25 − x , si −5 ≤ x ≤ 0, f (x) = 5, si 0 < x ≤ 12 , 2x + 1 , si 12 < x < 2, 6 − x, si 2 ≤ x. 65 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 36. Dibuje la gráfica de la −1, x + 3, (x − 2)2 − 1, f (x) = x−3 , |x − 8|, 2, función dada y determine su dominio y su rango. si si si si si si x < −4, −4 ≤ x < 0, 0 ≤ x < 3, 3 ≤ x < 6, 6 ≤ x < 10, 10 ≤ x. 37. En cada uno de los siguientes ejercicios A. Hallar (f ◦ g)(x) y su dominio para cada par de funciones. √ √ i) f (x) = 1 − x2 , g(x) = x √ x2 + 2 ii) f (x) = x2 − x − 2 , g(x) = x2 √ 1 x2 + x − 6 iii) f (x) = 2 , g(x) = x x−2 B. a) Halle f ◦ g y su respectivo dominio. b) Halle g ◦ f y su respectivo dominio. √ i) f (x) = x2 + 1, g(x) = x √ x+3 ii) f (x) = x, g(x) = x−1 √ 2x + 3 iii) f (x) = x − 1, g(x) = x−2 √ iv) f (x) = x2 , g(x) = x2 − x − 2 √ x2 v) f (x) = 2 , g(x) = x − 1 x −1 1 2x − 1 vi) f (x) = √ , g(x) = x+3 x−1 √ 1 vii) f (x) = 2 , g(x) = x − 1 x√ x x+3 viii) f (x) = , g(x) = x−2 x−1 √ si x ≤ 0, 1x− x, , si 0 < x < 2, C. Sea f (x) = x + 1 x2 − 2x − 2, si 2 ≤ x 66 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I y g(x) = x−2 . x−1 Hallar (f ◦ g)(x) y su respectivo dominio 38. Sea f (x) = x2 − 2x − 1. Encuentre dos funciones g tales que: (f ◦ g)(x) = x2 − 3x. √ 39. Sean f (x) = x2 + 1, g(x) = x y h(x) = 1 − x. a) Encuentre [(f ◦ g) ◦ h](x) y [f ◦ (g ◦ h)](x). b) ¿Qué se puede decir de (f ◦ g) ◦ h y f ◦ (g ◦ h) ?. 40. Para cada una de las siguientes funciones: a) b) c) d) Verifique que f es uno a uno sobre su dominio. Halle la fórmula de correspondencia de f −1 . Dibuje en un mismo plano las gráficas de f y de f −1 . Verifique que (f −1 ◦ f )(x) = x, y que (f ◦ f −1 )(x) = x. √ √ i) f (x) = x − 2 iii) f (x) = 2x − 2 + 3 √ ii) f (x) = x − 2 + 3 iv) f (x) = x3 + 1 41. Para cada una de las siguientes funciones: a) b) c) d) Verifique que f es uno a uno sobre el dominio indicado. Halle la fórmula de correspondencia de f −1 Dibuje en un mismo plano las gráficas de f y de f −1 Verifique que (f −1 ◦ f )(x) = x, y que (f ◦ f −1 )(x) = x i) ii) iii) iv) f (x) = x2 − 2x − 3, con x ≥ 1 √ f (x) = 4 − x2 + 1, con 0 ≤ x ≤ 2 √ f (x) = 4x − x2 − 3, con 1 ≤ x ≤ 2 √ f (x) = 4x − x2 − 3, con 2 ≤ x ≤ 3 42. Para cada una de las siguientes funciones: a) Verifique que f es uno a uno sobre su dominio. b) Halle la fórmula de correspondencia de f −1 . c) Verifique que (f −1 ◦ f )(x) = x, y que (f ◦ f −1 )(x) = x 67 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1 x−1 9x + 1 ii) f (x) = 3x − 2 i) f (x) = iii) f (x) = x+5 2x + 1 Los ejercicios que siguen tienen como objetivo manejar los siguientes aspectos para trazar las gráficas de determinados tipos de funciones: I. Desplazamiento vertical de la gráfica de y = f (x) a) y = f (x) + c, donde c > 0. La gráfica de f se desplaza verticalmente hacia arriba una distancia c b) y = f (x) − c, donde c > 0. La gráfica de f se desplaza verticalmente hacia abajo una distancia c II. Desplazamiento horizontal de la gráfica de y = f (x) a) y = f (x+c), donde c > 0. La gráfica de f se desplaza horizontalmente hacia la izquierda una distancia c b) y = f (x−c), donde c > 0. La gráfica de f se desplaza horizontalmente hacia la derecha una distancia c III. Ampliación o compresión vertical de la gráfica de y = f (x) a) y = cf (x), donde c > 1. La gráfica de f se amplia verticalmente en un factor c b) y = cf (x), donde 0 < c < 1. La gráfica de f se reduce verticalmente en un factor c IV. Ampliación o reducción horizontal de la gráfica de y = f (x) a) y = f (cx), donde c > 1. La gráfica de f está comprimida 1 horizontalmente en un factor c b) y = f (cx), donde 0 < c < 1. La gráfica de f está expandida 1 horizontalmente en un factor c V. Principio de graficación para y = −f (x) Para obtener la gráfica de y = −f (x), se refleja la gráfica de y = f (x) con respecto del eje x. VI. Principio de graficación para y = f (−x) Para obtener la gráfica de y = f (−x), se refleja la gráfica de y = f (x) con respecto del eje y. 68 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 43. Utilice la gráfica que se ilustra de y = f (x) para obtener cada una de las graficas solicitadas. a) i) ii) iii) iv) v) y y y y y b) i) y = f (x − 3) + 1 ii) y = −f (x − 1) vi) vii) viii) ix) x) = f (x) + 1 = f (x) − 2 = f (x − 2) = f (x + 1) = 2f (x) y y y y y = 13 f (x) = f (2x) = f ( 12 x) = −f (x) = f (−x) 44. Utilice la gráfica que se ilustra de y = f (x) para obtener cada una de las gráficas solicitadas. √ a) Utilice la gráfica de f (x) = 2x − x2 + 3 para obtener la gráfica de cada una de las siguientes funciones: i) ii) iii) iv) v) y y y y y vi) vii) viii) ix) x) = f (x) + 1 = f (x) − 2 = f (x − 1) = f (x + 2) = 3f (x) y y y y y = 12 f (x) = f (2x) = f ( 12 x) = −f (x) = f (−x) √ b) Sea f (x) = 2x − x2 + 3. En cada uno de los siguientes casos: calcule g(x) dado, trace la gráfica de la función g y compare la gráfica de esta función con la gráfica obtenida en el literal a) de este ejercicio. i) ii) iii) iv) g(x) = f (x − 1), a) iii) g(x) = f (x + 2), a) iv) g(x) = f (2x), a) vii) g(x) = f ( 12 x), a) viii) 69 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I v) g(x) = f (−x), a) x) √ c) Sea f (x) = 2x − x2 + 3. En cada uno de los siguientes casos: calcule g(x) dado y trace la gráfica de esta función. i) g(x) = f (2x − 1) ii) g(x) = f (−2x + 3) iii) g(x) = f (− 12 x + 1) + 2 45. Utilice la gráfica que se ilustra de y = f (x) para obtener la gráfica de cada una de las funciones solicitadas. a) y = f (x) + 1 g) y = f (2x) b) y = f (x) − 2 h) y = f ( 12 x) c) y = f (x − 1) i ) y = −f (x) d ) y = f (x + 2) j ) y = f (−x) e) y = 2f (x) k ) y = f (x + 2) + 1 f) y = 1 2 f (x) l ) y = |f (x)| + 1 46. Utilice la gráfica que se ilustra de y = f (x) para obtener la gráfica de cada una de las funciones dadas. 70 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) y = f (x) + 2 g) y = f (2x) b) y = f (x) − 1 h) y = f ( 12 x) c) y = f (x − 2) i ) y = −f (x) d ) y = f (x + 1) j ) y = f (−x) e) y = 2f (x) k ) y = −f (x − 2) f) y = 1 2 f (x) l ) y = |f (x)| + 2 47. a) Si la gráfica dada corresponde a y = f (x − 1) + 1, trace la gráfica de y = f (x) b) Si la gráfica dada corresponde a y = f (x + 1) − 1, trace la gráfica de y = f (x) c) Si la gráfica dada corresponde a y = f (−x), trace la gráfica de y = f (x) 71 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3.2 Taller B. Funciones exponenciales y logarı́tmicas 1. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones a) f (x) = 1 f ) f (x) = ex2 −2x−3 −1 b) f (x) = ln(x + 1) c) f (x) = ln(x2 + x − 2) 2x − 1 d ) f (x) = ln x+2 1 e) f (x) = ln 1 + ln x 1 (ln x)2 − 1 1 (x − 2) ln x |x − 1| h) f (x) = ln 2x − 1 g) f (x) = i ) f (x) = ln(|3x − 1| − 2x) 2. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones i) e−x = 1 xvii) ln(2x − 1) + ln(x − 1) = 0 ii) e3x−1 = 1 xviii) 2x = 4 1 xix) 2x = 4 1 xx) log1/2 =2 x xxi) e2x − 3ex + 2 = 0 iii) e2x−1 = 4 1 x−1 =1 iv) 2 2 v) 3x +x−2 = 1 x vi) xe 2 = 0 ln x vii) =0 x 1 − ln x viii) =0 x2 ix) (x + 2) ln x = 0 xxii) (x + 2) ln(2x − 1) = 0 1 x−1 xxiii) =9 3 1 x−1 1 xxiv) = 3 3 x xxv) (x + 2) = 1 x) (ln x)2 + 2 ln x = 0 1 + ln x xi) =0 x xii) ln x + 1 = 0 3 xxvi) e1−x = e9 3 xxvii) 2x +x−2 = 1 1 x+2 1 2x−1 xxviii) = 3 3 xxix) log1/2 (3 − 2x) − log1/2 (x + 1) = 0 x2 − x − 1 xxx) ln + ln(2x − 3) = 0 2x − 3 xxxi) log2 (x + 3) = 1 xiii) 1 − (ln x)2 = 0 xiv) 2x ln x + x = 0 2x + 1 xv) ln =0 x−2 xvi) log1/2 (3x − 1) = 0 72 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I |x + 1| xxxii) ln =0 2x − 1 ex + e−x xxxiii) =1 2 3 xxxiv) log9 x = 2 xxxv) log4 x2 = −1 xli [[log2 (x) − 1]] = 3 3 +4) xlii 7(x = (74x )x (7x ) xliii log2 (2x − 1) + log2 (x + 1) = 1 xliv e2x + ex − 2 = 0 xlv log2 (x) + log2 (x + 3) = 2 x 1 −1 =0 xlvi 2 xlvii log2 (x) + log2 (x + 2) = 3 xxxvi) log1/3 x − log1/3 (x + 1) = 2 xxxvii) log2 x − log2 (x + 1) = 3 log2 4 xxxviii log2 (2x − 1) − log2 (x + 1) = −1 xlviii log(1/2) (8 − x)−log(1/2) (2 − x) = 2 log(1/2) (3) xxxix 3(x −3x−1) = 27 xl log1/2 (x − 2) + log1/2 (x − 4) = −3 2 xlix 23 log2 (x) − log2 [(4)x (2x )] + log3 9 = 0 3. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones √ i) ln( x + 2 − x + 1) = 0 1 2 ii) 32x −x−1 = 3 iii) 42x = 4x + 2 ex − 3e−x iv) =1 2 √ √ v) ln x = ln x 3x − 10 vi) ln(x − 4) = ln x x vii) (x − 1) = 1 x) ln(|3x − 1| − 2x) = 0 xi) 3x = 21−3x √ xii) e x+2−x =1 x2 − x − 1 xiii) ln =0 x+2 √ xiv) 3ex − 2 = ex xv) x(1 − 2 ln x) = 0 xvi) ln(x2 − x − 1) = 0 x2 − x − 1 xvii) ln + ln(x − 3) = 0 x−3 viii) ln(1 + e2x ) = 1 ix) ln x2 = (ln x)2 4. En cada uno de los siguientes ejercicios use logaritmo natural para despejar a x en función de y: √ ex − e−x a) y = e2x − 1 c) y = 2 x e + e−x √ d) y = b) y = e2x + 1 2 73 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I e) y = 5. ex − e−x ex + e−x ex + e−x ex − e−x √ g) y = 42x − 4x − 2 √ c) y = 42x − 4x − 2 f) y = √ a) y = ln (x + x2 + 1) 1 1+x b) y = ln 2 1−x 6. Resolver cada una de las siguientes desigualdades: 1 ≤ 2x < 4 4 1 xxi) log1/2 <2 x 1 1 x−1 xxii) < <9 3 3 xxiii) (x + 2)x > 1 i) e−x > 1 xx) ii) e3x−1 > 2 1 x−1 iii) >1 2 2 iv) 3(x +x−2) > 1 v) ln(x − 1) < 0 3 xxiv) e1−x < e9 1 x+2 1 3x−1 xxv) > 3 3 xxvi) log1/2 (3 − 2x) > log1/2 (x + 1) vi) ln(2x − 1) < 0 2x + 1 vii) ln <0 3−x viii) ln x + 1 > 0 ln(3x − 1) ≥0 x−2 2 ln x − 3 xxviii) >0 x3 xxix) (ln x)(ln x + 2) > 0 ix) ln x + 1 < 0 1 + ln x x) >0 x ln x xi) 2 < 0 x 1 − ln x xii) >0 x2 1 − ln x xiii) <0 x2 xiv) x(2 ln x + 1) > 0 xxvii) xxx ln (2x − 1) + ln (x − 1) < 0 xxxi (1/2)x 2 −x−2 >1 xxxii log2 (x − 1) < 1 (x2 −2x−4) 1 xxxiii >3 3 xxxiv ln (2x + 1) < ln (x + 2) xv) x(2 ln x + 1) < 0 xvi) (ln x)2 < 1 x + 1 xvii) ln <0 x−2 xviii) log1/2 (3x − 1) > 0 xxxv log2 (x − 1) + log2 (x − 3) ≤ 3 1 3 2 xxxvi 3(x −2x −x) ≤ 9 x−1 1 xxxvii 4(x+2) > 2 xix) ln(2x − 1) + ln(x + 1) > 0 74 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 7. Haciendo todo el procedimiento, en cada uno de los siguientes ejercicios: √ ! 3 1 − 4x a) Verifique que log3 = , para todo x real 9x 2 1 = −2x, para todo x real b) Verifique que log2 4x (3 log2 (x)) 1 1 c) Verifique que = 3 , para todo x > 0 2 x ! √ 2 p 4 x +1 d ) Verifique que log2 = 2 x2 + 1 − 4, para todo x real 16 ! 3 7(x +4) e) Verifique que log7 = x3 − 4x2 − x + 4, para todo x real (74x )x (7x ) 8. Sea f (x) = ln(x − 1). a) Determine una función g tal que (f ◦ g)(x) = x b) Calcule (g ◦ f )(x) √ 9. Sea f (x) = e x. a) Determine una función g tal que (f ◦ g)(x) = x b) Calcule (g ◦ f )(x) 10. Crecimiento bacteriano: Se pueden utilizar funciones exponenciales para representar el crecimiento de alguna población a) Supóngase que se observa experimentalmente que el número de bacterias en un cultivo se duplica cada dı́a. Si al comienzo hay 1000 bacterias y si se supone que el crecimiento es exponencial, ¿Cuál serı́a la fórmula para predecir la cantidad f (x) de bacterias presentes en cualquier momento t? b) El número de bacterias en determinado cultivo aumentó de 600 a 1800, de las 7:00 a.m. a las 9:00 a.m. si se supone que el crecimiento es exponencial, ¿Cuál serı́a la fórmula para predecir la cantidad f (x), de bacterias t horas después de las 7:00 a.m.? 75 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 11. Desintegración radiactiva: Algunas cantidades fı́sicas decrecen en forma exponencial. En estos casos, si a es la base de la función exponencial, entonces 0 < a < 1. Uno de los ejemplos más comunes del decrecimiento exponencial es la desintegración de una sustancia radiactiva. La semivida (o ”vida mediana”) de un isótopo radiactivo es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la cantidad original en una muestra dada. La semivida es la caracterı́stica principal que se usa para diferenciar una sustancia radiactiva de otra. El isótopo del polonio, Po , tiene una semivida aproximada de 140 dı́as, es decir, dada cualquier cantidad, la mitad de ellas se desintegrará en 140 dı́as. Otras sustancias radiactivas tienen semividas mucho más largas. En especial, un subproducto de los reactores nucleares es el isótopo radiactivo del plutonio, Pu , cuya semivida aproximada es de 24000 años. Este es el motivo por el cual el destino de los desechos radiactivos es un gran problema de la sociedad moderna. a) Si hay al principio 20 mg de Po , ¿Cuál serı́a la fórmula para predecir la cantidad que queda después de cierto tiempo t? 76 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 4 Funciones matemáticos como modelos 4.1 Taller A 4.1. Taller A 1. Un granjero tiene 80 metros de tela de alambre para cercar un corral rectangular tal como se ilustra en la figura. a) Exprese el área A, del corral en función de x. Además trace la gráfica de A indicando los valores admisibles de x para este problema. b) Encuentre las dimensiones del corral que tenga como área 300 m2 ? c) Encuentre los valores de x, para los cuales, el área del corral sea mayor o igual a 300 m2 . d ) Encuentre los valores de x, para los cuales, el área del corral sea menor o igual a 256 m2 y mayor que 175 m2 . e) ¿Cuáles son las dimensiones del corral de área máxima? 2. Sea V1 el volumen de un cubo de arista x centı́metros y sea V2 el volumen de un paralelepı́pedo recto rectángular de altura x centı́metros, y cuya base es un rectángulo de área 3 cm2 . a) Exprese V = V1 − V2 en función de x. Además, trace la gráfica de V . b) Encuentre los valores de x para los cuales V = −2 77 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I c) Encuentre los valores de x para los cuales V ≥ 18 3. Suponga que una partı́cula se lanza verticalmente hacia arriba y que su posición en pies después de t segundos, con respecto al piso, está dada por s(t) = −16t2 +320t+ 80. a) ¿Para qué valores de t estará la partı́cula a más de 656 pies sobre el piso? b) ¿Cuál es la altura máxima, sobre el piso, que alcanza la partı́cula? 4. Se tienen 14 metros de tela de alambre para cercar un corral rectángular que se ajuste a una esquina de 2 × 4 metros como se muestra en la figura (toda la esquina debe ser aprovechada y no necesita cerca). a) ¿ Entre qué valores debe estar x para poder construir el corral con las condiciones indicadas? b) ¿ Entre qué valores debe estar x para que el área del corral rectángular sea mayor o igual a 16m2 ? c) ¿ Cuáles son las dimensiones de x, y para que el área del corral sea máxima? 78 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 5. Se desea construir un tanque sin tapa de altura y metros y de base cuadrada de lado x metros, de tal manera que el área lateral y la del fondo suman un área de 9 m2 Entre qué valores debe estar x para obtener un tanque con una 5 capacidad mayor o igual a m3 2 Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle la función en términos de la variable especificada e indique el dominio admisible para dicha variable (esto es, el dominio de la variable para que el problema tenga sentido). Además si la función hallada es una función polinomial o una función racional, bosqueje su gráfica. 6. 7. Se tienen 80 metros de malla de alambre para cercar tres corrales rectángulares, tal como se ilustra en la figura. Exprese el área total de los tres corrales en términos de x. Se tienen 60 metros de malla de alambre para construir un corral rectángular que se ajuste a una esquina de 10 × 20 metros, como se ilustra en la figura (toda la esquina debe ser aprovechada y no necesita malla de alambre). Exprese el área del corral en términos de x. 8. Exprese el área de la región sombreada en términos de x. 79 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 9. Un canalón metálico para el agua de lluvia va a tener caras de 2 pulgadas y un fondo horizontal de 2 pulgadas también, con lados tornando ángulos iguales θ con la prolongación del fondo 0 < θ < 90◦ , ver figura. a) Exprese el área de la sección transversal del canalón en términos de x. b) Exprese el área de la sección transversal del canalón en términos de h. 10. 11. Una central eléctrica está ubicada en la orilla de un rı́o rectilı́neo de 0.5 kilómetros de ancho. En la orilla opuesta está situada una fábrica, 3 kilómetros rı́o abajo del punto A que está directamente en frente de la central eléctrica. Si tender un cable desde la central eléctrica hasta la fábrica cuesta 500 dóllares por kilómetro bajo el agua y 400 dolares por kilómetro a lo largo de la ribera del rı́o. Exprese el costo total en términos únicamente de x, en donde x es la distancia en kilómetros de la fábrica a un punto cualquiera P entre el punto A y la fábrica. Sea ABP un triángulo inscrito en un semicı́rculo de radio R. Exprese el área del triángulo ABP en términos de x, en donde x es la medida del lado BP del triángulo ABP . 80 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 12. Sea ABC un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia de radio 5 y sea h la altura del triángulo desde el vértice C, con 0 < h < 5. Si x es la mitad de la medida del lado AB : a) Exprese la altura h del triángulo en términos de x. b) Exprese el área del triángulo ABC en términos de x. 13. Sea ABC un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia de radio 5 y sea h la altura del triángulo desde el vértice C, con 5 ≤ h ≤ 5. Si x es la mitad de la medida del lado AB : a) Exprese la altura h del triángulo en términos de x. b) Exprese el área del triángulo ABC en términos de x. 14. Un trazo de alambre de 36 centı́metros de longitud se va a cotar en dos partes; una de longitud x se doblará para formar una circunferencia y la otra parte se doblará para formar un triángulo equilátero. Exprese la suma de las áreas del cı́rculo y del triángulo equilátero en términos de x. 81 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 15. A partir de un alambre de 4 metros de largo se va a construir un rectángulo de la siguiente manera: de un pedazo de alambre de longitud x metros, con 1√ ≤ x < 4, se cortan dos lados del rectángulo, cada uno de longitud 3 x metros, y con el pedazo 4 − x se termina de construir el rectángulo. 2 (a) Exprese en términos de x, la cantidad de alambre que queda después de construir el rectángulo. (b) Exprese en términos de x el área del rectángulo. 16. Un sector circular de radio r centı́metros y ángulo en el vértice Θ tiene un área de 100 cm2 . Exprese el perı́metro del sector circular en términos del radio R. 17. Un rectángulo tiene dos vértices consecutivos en el eje de las x, y los otros dos sobre la parábola y = 12 − x2 , con y > 0. Exprese el área del rectángulo en términos de x, con x > 0. 18. Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje x positivo. Los otros dos vértices están sobre las rectas y = 2x, y , y = 12 − x, con 0 < y < 8. Exprese el área del rectángulo en términos únicamente de x. 19. Un rectángulo se inscribe en un semicı́rculo de radio 4, de tal manera que dos de sus vértices están sobre el diámetro. Si el lado sobre el diámetro tiene longitud x, exprese el área del rectángulo en términos de x. 82 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 20. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un triángulo equilatero. El perı́metro de la ventana es de 4 metros. Si la base del rectángulo mide x metros; exprese el área total de la ventana en términos de x. 21. Angélica mide 6 pies de estatura y se aleja de la luz de un poste del alumbrado público que está a 42 pies de altura, tal como se ilustra. Si x pies es la distancia de Angélica al poste; exprese la longitud de la sombra que proyecta Angélica sobre el piso en términos de x. 22. La página de un libro debe tener 27 pulg 2 de impresión. Las márgenes superior, inferior e izquierda de la página, son de 2 pulgadas y la margen derecha es de 1 pulgada. Si x pulgadas es la base del rectángulo de impresión; exprese el área total de la página en términos de x. 23. Una pieza rectángular de papel muy larga tiene 20 centı́metros de ancho. Se va a doblar la esquina inferior derecha a lo largo del pliegue que se muestra en la figura, de modo que la esquina apenas toque el lado izquierdo de la página. Exprese La longitud l del doblez en términos del x centı́metros que se ilustra. 83 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 24. Una viga de acero de 27 pies de longitud se trasporta por un pasillo de 8 pies de ancho hasta un corredor perpendicular al pasillo limitado por una pared movible que se ajusta a la viga tal como se ilustra en la figura. (Aqui suponemos que P resbala sobre una pared y Q resbala sobre la pared movible). Si x es la distancia de P a la esquina E; exprese el ancho y del corredor en términos de x. No considere la anchura horizontal de la viga. 25. Por dos pasillos perpendiculares entre si de 8 pies y 27 pies, respectivamente, se transporta una viga cuya longitud se puede aumentar o disminuir, ver figura (Aqui suponemos que P resbala. sobre una pared y Q resbala sobre la otra pared). Si x es la distancia de P a la esquina E; exprese la longitud y de la viga en términos de x 26. Se desea construir una caja sin tapa, con base rectangular, a partir de una pieza rectangular de cartón de 16 centı́metros de ancho y 24 centı́metros de largo, recortando un cuadrado de x centı́metros de lado de cada esquina y doblando los lados, tal como se ilustra en la figura. a) Encuentre el volumen de la caja en términos de x. Bosqueje su gráfica. b) Encuentre el área de la superficie de la caja en términos de x. Además, trace su gráfica. 84 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 27. Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto invertido tal que su altura es de 12 pies y el radio de su base circular es de 6 pies. Si se echa agua hasta una profundidad de h pies, con 0 < h < 12, tal como se muestra en la figura. a) Exprese a R como función de h. Trace su gráfica. b) Exprese la cantidad de agua en el tanque en términos de h. Trace su gráfica. 28. Un cilindro circular recto con radio de la base R y altura h está inscrito en una esfera de radio 4 a) Exprese la altura h del cilindro como función de r. b) Exprese el área de la superficie lateral del cilindro como función de r. c) Exprese el volumen del cilindro como función de r 29. Un tanque tiene la forma que se ilustra en la figura. Si se le echa agua hasta una profundidad h, con 0 < h < 6 a) Exprese la cantidad de agua que hay en el tanque en términos de h. b) Exprese el área de la superficie del agua en términos de h. 85 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 30. Un cilindro circular recto de altura h pies y radio de la base R pies, se inscribe en un cono circular recto de altura 12 pies y base 6 pies de radio. a) Exprese la altura h del cilindro en función de R. b) Exprese el volumen del cilindro en función de R. 31. Un cono circular recto con radio de la base R y altura h, se circunscribe alrededor de una esfera de radio 8. a) Exprese la altura h del cono en función de R. Bosquéje su gráfica. b) Exprese el volumen del cono en función de R. Bosqueje su gráfica. 32. Un observatorio debe tener la forma de un cilindro circular recto, rematado por una bóbeda hemisférica, con un volumen total de 18πm3 a) Exprese la altura h del cilindro en función de R. Bosqueje su gráfica. b) Si la bóveda hemisférica cuesta el doble por metro cuadrado que el muro cilı́ndrico y si el metro cuadrado de muro cilı́ndrico cuesta a pesos. Exprese el costo del observatorio en función de R 86 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 33. La figura muestra dos conos circulares rectos, uno invertido dentro del otro. Sus bases son paralelas, y el vértice del cono menor se encuentra en el centro de la base del cono mayor. a) Exprese el volumen del cono menor en función de R b) Exprese el volumen del cono menor en función de h 34. Se desea fabricar un recipiente cilı́ndrico de altura h con sus dos tapas circulares de radio r, de modo que su volumen sea de 250 πcm3 . Exprese el área total del recipiente cilı́ndrico en función de r. 35. Se echa agua a un tanque que tiene la forma de cono truncado circular recto hasta una profundidad h, con 0 < h < 80. El tanque tiene una altura de 80 centı́metros y radios inferior y superior de 20 y 40 centı́metros respectivamente. Si x es el radio del cı́rculo de la superficie del agua, exprese la cantidad de agua que hay en el tanque en función de x. 87 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 36. 37. Los extremos de un tanque de agua de 20 pies de largo tienen la forma de un triángulo equilátero con lados de 4 pies. Si se le echa agua hasta una profundidad de h pies; exprese la cantidad de agua en el tanque en función de h Se va a hacer un cono con una pieza circular de lámina metálica, de 10 metros de radio, recortando un sector y soldando las aristas recortadas de la pieza restante (ver figura). Si el ángulo θ en el vértice del sector suprimido está dado en radianes: a) Exprese la longitud l de la circunferencia de la base del cono en función de θ. b) Exprese el radio r de la base circular del cono en función de θ. c) Exprese el área lateral A del cono en función de r. d ) Exprese el área lateral A del cono en función de θ. e) Exprese el volumen del cono en función de r. 88 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 5 Trigonometrı́a 5.1 Taller A. 5.2 Taller B. Funciones trigonométricas inversas 5.3 Taller C. La ley de senos y la ley de cosenos 5.1. Taller A 1. Identidades básicas A. Utilizando la circunferencia unitaria que se ilustra, verificar cada una de las siguientes identidades para todo número real t a) cos2 (t) + sen2 (t) = 1 b) cos(t + 2π) = cos(t); sen(t + 2π) = sen(t) c) cos(−t) = cos(t); sen(−t) = − sen(t) B. Utilizando la figura que se ilustra, verificar que: 89 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) cos(µ − υ) = cos(µ) cos(υ) + sen(µ)sen(υ) b) Verificar cos(µ + υ) = cos(µ) cos(υ) − sen(µ) sen(υ) a) Utilizando la figura que se ilustra, probar que para todo radián µ, sen(π/2 + µ) = cos(µ) C. b) Pruebe que para todo radián µ, sen(π/2 − µ) = cos(µ) c) Verifique que: sen(µ + υ) = sen(µ) cos(υ) + cos(µ) sen(υ) d) Verifique que: sen(µ − υ) = sen(µ) cos(υ) − cos(µ) sen(υ) Utilizando la variable x en lugar de la variable t dada en el ejercicio A, comprobar cada una de las siguientes identidades: D. a) cos(2x) = cos2 (x) − sen2 (x) b) sen(2x) = 2 sen(x) cos(x) 1 + cos(2x) c) cos2 (x) = 2 1 − cos(2x) d) sen2 (x) = 2 E. Haciendo A = a + b y B = a − b se tiene que a = Probar que: 90 A+B A−B , b= . 2 2 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a+b a−b sen 2 2 a−b a+b cos ii) sen(a) + sen(b) = 2 sen 2 2 a−b a+b sen iii) cos(a) − cos(b) = −2 sen 2 2 a−b a+b cos iv) cos(a) + cos(b) = 2 cos 2 2 F. Verifique cada una de las siguientes identidades i) sen(a) − sen(b) = 2 cos 1 + tan2 (x) = sec2 (x) 1 + cot2 (x) = csc2 (x) p G. Demuestre que 1 − cos2 (x) = sen(x) no es una identidad en los reales. 2. Halle todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones: a) cos x = − 1 2 g) 2 sen2 x − 7 sen x + 3 = 0 h) 2 cos2 x + cos x − 1 = 0 1 b) cos(3x) = − 2 c) sen(2x) + sen x = 0 i ) 2 sen2 (3x) + sen(3x) − 1 = 0 j ) 2 sen2 x − 5 sen x + 2 = 0 d ) 2 cos2 x − 3 cos x − 2 = 0 k ) sen(2x) − cos x = 0 e) 2 sen2 x − 3 cos x = 0 l ) 2 sen3 x + sen2 x − 2 sen x − 1 = 0 m) 2 sen2 (3x) + sen(3x) − 1 = 0 f ) 2 sen2 x − 3 sen x − 2 = 0 3. Halle todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones: a) 10 tan2 x − sec2 x = 2 b) sen(3x) − sen x = 0 c) 3 tan2 x − sec2 x = 5 d ) cos(5x) − cos(3x) = 0 e) 2 tan2 x + 3 sec x = 0 f ) sen(3x) + sen(2x) = 0 g) cos(3x) + cos x = 0 4. Halle todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones sobre el intervalo indicado: 91 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1 a) sen x = − , en el intervalo (0, 2π] 2 b) 2 tan x csc x + 2 csc x + tan x = −1, sobre el intervalo [0, 2π] 5. Indicando amplitud, perı́odo, desplazamiento de fase y cortes con el eje x, trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones: a) y = 4 cos(2x − π3 ) b) y = −3 sen(2x + c) y = 1 2 2π 3 ) sen(2x − π3 ) d ) y = −3 cos( 12 x + π6 ) e) y = 2 sen( 31 x + π9 ) f ) y = 4 sen(2x − 2π 3 ) 6. Hallando amplitud, perı́odo, desplazamiento de fase y todos los cortes con el eje x, trazar la gráfica de cada una de las siguientes funciones sobre el intervalo cerrado dado a) y = 3 sen(2x − 2π/3), sobre el intervalo [−π/6, 4π/3] b) y = −4 cos(2x + π/3), sobre el intervalo [−5π/12, 4π/3] c) y = −4 sen(2x − π/3), sobre el intervalo [−π/3, 5π/3] d ) y = 3 cos(2x + 2π/3), sobre el intervalo [−7π/12, 5π/3] 7. a) Hallando amplitud, perı́odo , desplazamiento de fase y todos los cortes con el eje x, trazar la gráfica de la función y = 4 cos(2x − π/3) sobre el intervalo cerrado [−7π/12, 7π/6] b) Halle todos los cortes de la gráfica de y = 4 cos(2x − π/3) con la recta y = −2 Sobre el intervalo cerrado [−7π/12, 7π/6]. Ilustre gráficamente. 8. a) Hallando amplitud, perı́odo, desplazamiento de fase y todos los cortes con el eje x, trazar la gráfica de la función. y = sen(2x − π/6) sobre el intervalo cerrado [−2π/3, 19π/12] b) A partir de la gráfica de y = sen(2x − π/6)trazar la gráfica de y = sen(2x − π/6) + 1 sobre el intervalo cerrado [−2π/3, 19π/12], y hallar todos los cortes de esta gráfica con los ejes coordenados en el intervalo dado 92 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 9. a) Hallando amplitud, perı́odo, desplazamiento de fase y todos los cortes con el eje x, trazar la gráfica de la función. y = −2 sen(2x − π/3) sobre el intervalo cerrado [−7π/12, 5π/3] b) A partir de la gráfica de y = −2 sen(2x − π/3) trazar la gráfica de y = −2 sen(2x − π/3) + 1 sobre el intervalo cerrado [−7π/12, 5π/3], y hallar todos los cortes de esta gráfica con el eje x y con la recta y = 3 en el intervalo dado 10. a) Indicando amplitud, perı́odo, desplazamiento de fase y cortes con el eje x, trace la gráfica de y = cos(2x − 2π 3 ). 2π b) Trace la gráfica de y = cos(2x − ). 3 c) A partir de la gráfica de y = cos(2x − 2π 3 ), trace la gráfica de y = sec(2x − 2π ), e indique el perı́odo y el desplazamiento de fase. 3 11. a) Indicando amplitud, perı́odo, desplazamiento de fase y cortes con el eje x, trace la gráfica de y = sen(2x − π2 ). b) A partir de la gráfica de y = sen(2x − π2 ), trace la gráfica de y = sen(2x − π2 ) + 12 , y halle todos los cortes de esta gráfica con el eje x. c) Trace la gráfica de y = sen(2x − π ) + 1 sobre el intervalo [0, 2π]. 2 2 12. En un dı́a de primavera, con 12 horas de luz diurna, la intensidad solar I llega a su valor máximo de 510 cal/cm2 a medio dı́a. Si t = 0 corresponde a la salida del sol, deduzca una fórmula del tipo I = A sen(Bt) que se ajuste a esta información. Haga una ilustración gráfica. 13. Suponga que la fórmula f (t) = a sen(bt+c)+d sirve para simular las variaciones de temperatura durante el dı́a, donde el tiempo t está en horas, la temperatura f (t) en ◦ C y t = 0 corresponde a medianoche. Suponga que f (t) es decreciente a medianoche. a) Calcule los valores de a, b, c y d que se ajuste a la siguiente información: La temperatura máxima es 10 ◦ C y la mı́nima es -10 ◦ C, esta última a las 4 A.M. b) Trace la gráfica de f para 0 ≤ t ≤ 24, con la información dada. 14. En una región particular, el dı́a más largo del año ocurre el 21 de junio (15 horas con luz de dı́a); el dı́a más corto es el 21 de diciembre (9 horas con luz de dı́a). Los equinoccios (los dı́as en que la longitud del dı́a y la noche son 93 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I ambos iguales a 12 horas) sucede el 21 de mayo y el 21 de septiembre. Dado que el número de horas con luz de dı́a se relaciona con el dı́a del año mediante una fórmula de la forma: H(t) = A sen(Bt + C) + D, donde H(t) es el número de horas con luz del dı́a y t es dı́a del año, donde t = 1 corresponde al primero de enero. Calcule los valores de A, B, C, y D que se ajusten a la información dada anteriormente. (Suponga que no es un año bisiesto). 15. a) Indicando perı́odo, el desplazamiento de fase, los cortes con el eje x, y las ası́ntotas verticales, trace la gráfica de: i) y = 2 tan(3x − π2 ) ii) y = 3 cot(2x + 2π 3 ) b) Indicando perı́odo, el desplazamiento de fase y las ası́ntotas verticales, trace la gráfica de: i) y = 3 sec( 12 x − π4 ) ii) y = csc(2x + π2 ) 16. a) Utilizando la figura, comprobar que: √ i) a cos x ± b sen x = a2 + b2 cos(x ∓ w) √ ii) a sen x ± b cos x = a2 + b2 sen(x ± w) √ b) Exprese a 2 sen(2x) − 2 3 cos(2x) en la forma: i) A sen(Bx + C) i) A cos(Bx + C) c) Exprese cada una de las funciones dadas en la forma: a) f (x) = A sen(Bx + c) b) f (x) = A cos(Bx + c) 94 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I e indique en cada forma la amplitud, el perı́odo y el desplazamiento de fase. Además, trace la gráfica de cada una de ellas utilizando la forma f (x) = A sen(Bx + c). i) f (x) = cos x − sen x √ ii) f (x) = 3 sen(2x) − 3 3 cos(2x) √ iii) f (x) = −2 3 cos(3x) − 2 sen(3x) 17. Verifique cada una de las siguientes identidades a) b) c) d) e) f) g) h) 18. sen2 (x) = 1 − cos(x) 1 + cos(x) 1 − sen(x) cos(x) = cos(x) 1 + sen(x) 1 − cos(2x) = tan(x) sen(2x) 1 + cos(2x) = cot(x) sen(2x) tan2 (x) 1 − cos(x) = sec(x) + 1 cos(x) cos(5x) − cos(3x) = − tan(x) sen(5x) + sen(3x) sen(2x) = tan(x) 1 + cos(2x) sen(3x) + sen(x) = 2 sen(x) 1 + cos(2x) i) sen(x) + cos(x) sen(x) = sec(x) + csc(x) sec(x) j) sen(x) sec(x) = sen2 (x) tan(x) + cot(x) k) cot(x) csc(x) − 1 = csc(x) + 1 cot(x) l) sen(x) + cos(x) sen(2x) = sec(x) + csc(x) 2 m) sec(x) − cos(x) = cos(x) sec2 (x) − 1 n) 1 + sen(2x) + cos(2x) = cot(x) 1 + sen(2x) − cos(2x) ñ) tan3 (x) − cot3 (x) = tan2 (x) + csc2 (x) tan(x) − cot(x) a) Verifique que 21 [sen(u + v) + sen(u − v)] = sen(u) cos(v) b) Utilice el resultado anterior para expresar a sen(5x) cos(3x) como una suma de senos. 19. Halle todas las soluciones de la ecuación √ √ 3 cos x − sen x + 2 = 0 √ 20. Si (−1, 3) son las coordenadas rectangulares de un punto P calcular las coordenadas polares (r, θ) de P . 21. Dado que sen θ = −3 5 , y 3π 2 < θ < 2π, determine los valores de sen( 2θ ) y cos( 2θ ). 95 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 22. Si tan θ = 34 , y θ está en el tercer cuadrante, calcule el valor de las otras funciones trigonométricas del ángulo θ. 23. Si tan θ = 21 , y θ está en el tercer cuadrante, calcule los valores de cos θ, cos(2θ), sen(2θ), sen 2θ , cos 2θ y tan 2θ . 24. Si csc θ = 2, y θ está en el segundo cuadrante, calcule los valores de sen(2θ), cos(2θ) y tan(2θ). 5.2 Taller B. Funciones Trigonométricas Inversas 1. Justifique cada uno de los pasos dados en la siguiente demostración de que arccot x = π2 − arctan x para todo x real. Demostración: Consideremos las funciones tan : (− π2 , π2 ) −→ R, y cot : (0, π) −→ R. Si x ∈ (0, π) entonces −x ∈ (−π, 0) y por consiguiente: π −π π −x∈( , ). Puesto que tan( π2 − x) = cot x, tomando 2 2 2 y = tan( π2 − x) = cot x vemos que π2 − x = arctan y, x = arccot(y). Por lo tanto arccot (y) = π2 − arctan(y) para todo y real. Finalmente, si intercambiamos los papeles de x e y, tenemos que: arccot (x) = π 2 − arctan(x) para todo x real. 96 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 2. Tú estás en un salón de clases, sentado junto a una pared mirando el tablero que se encuentra al frente. Este mide 12 pies de largo y empieza a 3 pies de la pared tal como se ilustra. Verifica que tu ángulo de visión α (dado en radianes) es: α = x arccot ( 15 ) − arccot ( x3 ), si estás a x pies de la pared del frente. 3. Un hombre de 6 pies de altura parado en la cima de un acantilado vertical, observa un bote de motor que se aleja del pie del acantilado con velocidad constante. a) Si θ radianes es el ángulo de depresión de su lı́nea visual cuando el bote está a x pies de la base del acantilado y si el acantilado tiene 194 pies de altura tal como se ilustra, exprese a θ en función de x. b) ¿Cuál es el ángulo de depresión en radianes, cuando: 200 x = √ pies ? 3 c) ¿Cuál es la distancia recorrida por el bote desde el instante en que el ángulo de depresión es de π3 hasta el instante en que el ángulo de depresión es de π6 ? d ) Si la velocidad del bote es de 25 pies/segundo, ¿Cuál es el tiempo empleado por el bote para que el ángulo de depresión θ hacia el bote sea igual: i) a π3 ii) a π6 4. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones: 97 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3x − 2 5 1+x b) f (x) = arc cos 1−x √ c) f (x) = arctan( x2 + 2x − 3) 1+x d ) f (x) = arccot 1−x e) f (x) = arcsec(2x − 3) a) f (x) = arc sen f ) f (x) = arccsc(x2 + 2x − 2) 1−x g) f (x) = arc sen √ 2 r x−1 h) f (x) = arc sen x+2 5. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine en qué intervalo debe estar θ (dado en radianes), para que: a) arc sen(sen(θ)) = θ b) arc cos(cos(θ)) = θ c) arctan(tan(θ)) = θ 6. Calcule: a) arc sen(sen(π/6)) b) arc sen(sen(2π/3)) c) arc sen(sen(−π/4)) 7. Calcule: a) arc cos(cos(π/6)) b) arc cos(cos(−π/4)) c) arc cos(cos(2π/3)) 8. Calcule: a) arctan(tan(4π/3)) b) arctan(tan(π/4)) c) arctan(tan(−π/6)) 98 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 9. Desde un punto al nivel del terreno, a 135 pies del centro de la base de una torre, el ángulo de elevación de la punta de dicha torre es el ángulo θ que se da en cada uno de los siguientes casos. Calcular la altura h de la torre en cada uno de esos casos: a) θ = 57◦ 200 b) θ = 60◦ 10. Una mujer se encuentra parada en una ventana a 80 pies sobre el nivel del suelo. Observa a un niño que camina directamente hacia la base del edificio, mientras que el ángulo de depresión hacia el niño cambia de 42◦ a 65◦ . ¿Qué distancia ha recorrido el niño? 11. Desde la azotea de un edificio que da al mar, un observador ve un bote navegando directamente hacia el edificio. Si el observador está a 100 pies sobre el nivel del mar, y si el ángulo de depresión del bote cambia de 30◦ a 45◦ durante el perı́odo de observación, calcular la distancia que recorre el bote durante este perı́odo de observación. 99 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 12. Para determinar la distancia d entre dos puntos P y Q en las orillas opuestas de un lago, un topógrafo localiza un punto R que está a 50 metros de P , de tal modo que la recta que pasa por los puntos R y P es perpendicular a la recta que pasa por los puntos P y Q, como se ve en la figura. A continuación con un teodolito, el topógrafo mide el ángulo P RQ, que resulta de 72◦ 40’. Calcule d. 13. Los ángulos de elevación de un globo visto desde los puntos A y B a nivel del suelo son 24◦ 10’y 47◦ 40’, respectivamente. Los puntos A y B están separados 8.4 millas, y el globo se encuentra entre ellos, en el mismo plano vertical. Calcule la altura del globo respecto al suelo. 100 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 14. Cuando un globo aerostático sube verticalmente, su ángulo de elevación desde un punto P , sobre terreno horizontal a 10km de distancia del punto Q, directamente abajo del globo, cambia de 15◦ a 30◦ . ¿Qué ascenso alcanza el globo durante esas observaciones? 15. La Gran Pirámide de Egipto tiene 147 metros de altura; su base es cuadrada y mide 230 metros por lado (véase la figura). Calcule el ángulo θ que se forma cuando un observador está de pie en el punto medio de uno de los lados y contempla el vértice de la pirámide. 16. Un vaso cónico de papel se fabrica quitando un sector a un cı́rculo de 5 pulgadas de radio, y pegando la orilla OA con la orilla OB. Calcule el ángulo θ para que el vaso tenga una profundidad de 4 pulgadas. 101 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 17. Se desea abrir el tunel para una nueva carretera, atravesando una montaña de 260 pies de altura. A una distancia de 200 pies de la base de la montaña, el ángulo de elevación es de 30◦ (véase la figura). Desde una distancia de 150 pies, al otro lado, el ángulo de elevación es 45◦ . Calcule la longitud del tunel. 18. Cuando se ve la cumbre de una montaña desde el punto P que se indica en la figura, el ángulo de elevación es α. Desde un punto Q, que está a d millas más cerca de la montaña, el ángulo de elevación se incrementa a β. Demuestre que la altura h de la montaña es h= . 19. 102 d cot α − cot β Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Desde el punto medio de la distancia entre los pies de dos torres, los ángulos de elevación de sus extremos superiores son 30◦ y 60◦ respectivamente. Verificar que la altura de una de las torres es el triple de la otra. 20. Un canalón metálico para el agua de lluvia va a tener caras de 2 pulgadas y un fondo horizontal de 2 pulgadas también, con lados formando ángulos iguales θ con la prolongación del fondo (0 < θ < π2 ), (ver la figura). Exprese el área A de la sección transversal del canalón en función de θ. 21. Una escalera de 30 pies de longitud está apoyada contra una pared vertical, de modo que su extremo superior se desliza hacia abajo. Exprese el ángulo θ, formado por la escalera con el piso, en función de x. Siendo x pies la distancia del pie de la pared al extremo inferior de la escalera, e indique además el dominio admisible de la variable x. 103 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 22. Los extremos de un tanque de 20 pies de largo tienen la forma de un triángulo isósceles tal como se indica en la figura a). Si se echa agua hasta una profundidad de 34 H pies tal como se ilustra en la figura b). Exprese el volumen V de agua en función de θ. 23. La fórmula para el volumen V de un cono circular recto es V = 31 πr2 h. Si r = 6, utilice el diagrama dado para expresar el volumen V como función de θ. 24. Dada la figura, exprese AC en términos de θ. 25. Muchos satélites son lanzados a una órbita geosincrónica, lo cual significa que la posición del satélite con respecto a la tierra permanece sin cambio. Supongamos que desde uno de estos satélites uno observará un ángulo de 41.4◦ con el horizontal, como se indica en la figura. Dado que el radio de la tierra es de aproximadamente 4000 millas, determine la altitud del satélite sobre la tierra. 104 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 26. Un alambre de soporte debe ser colocado en la punta de un poste telefónico de 10 metros de altura y fijado en la tierra. ¿Qué cantidad de alambre se necesitará para que haga un ángulo de 60◦ con el nivel del suelo? 27. La figura muestra dos postes fijados por cables de soporte a un punto en el suelo entre ellos. Determine la distancia entre los dos postes. 5.3 Taller C. La ley de senos y la ley de cosenos Triángulos Oblicuángulos: Un triángulo oblicuángulo es aquel en que ninguno de sus ángulos es recto. En un triángulo oblicuángulo los tres angulos son agudos o dos son agudos y el tercero es obtuso. Observación: Cuando en un triángulo ABC, hablemos de los ángulos A, B y C, nos referimos a los ángulos α, β, Υ respectivamente. 105 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1. Para cada uno de los triángulos dados en la figura anterior, verifique que: a) h = a sen B = b sen A b) k = b sen C = c sen B 2. Para cada uno de los triángulos dados en la figura, verifique que: a2 = b2 + c2 − (2bc) cos A 3. En cada uno de los siguientes ejercicios resolver el triángulo ABC cuando se conocen los datos: a) a = 6, A = 45◦ y B = 60◦ √ √ b) a = 2 3, b = 2 2 y C = 75◦ p √ √ c) a = 3 2, b = 3 y c = 3 2 + 3 4. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine cuántos triángulos ABC se pueden construir con la información dada, y halle en cada caso esos triángulos. 106 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I √ a) a = 6, b = 6 3, A = 30◦ √ √ b) a = 2, b = 3, A = 45◦ √ c) a = 3 2, b = 3, A = 135◦ √ d ) a = 2 3, b = 4, A = 60◦ e) a = 2, b = 10, A = 30◦ √ f ) a = 3 2, b = 3, A = 45◦ 5. Como se ve en la figura, un teleférico transporta pasajeros del punto A, que se ubica a 1 milla de un punto B en la base de la montaña, y llega a la cumbre P de ésta. Los ángulos de elevación de P desde A y B son 15◦ y 60◦ , respectivamente. a) Determine la distancia de A a P . b) Calcule la altura de la montaña. 6. Un guardabosque está en una torre de observación y observa dos incendios a distancias de 3 y 5 millas, respectivamente, en relación con la torre. Si el ángulo entre las lı́neas de visión hacia los dos puntos de fuego es de 120◦ . ¿A qué distancia están entre si los incendios? 107 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 7. Resolver el ejercicio 5, cambiando el dado de que el ángulo de elevación de P desde el punto A es de 30◦ . 8. El triángulo equilatero 4ABC está inscrito en un cı́rculo de radio 4. Determine el área de la porción sombreada que se ilustra en la figura. 9. Un poste telefónico se sostiene mediante dos cables sujetos a la parte superior del poste, y además estos cables están sujetos al suelo en lados opuestos al poste, en los puntos A y B que están a 30 metros de distancia entre sı́. Si los ángulos de elevación de la parte superior del poste desde los puntos A y B son de 60◦ y 45◦ respectivamente, determine las longitudes de ambos cables y la altura del poste. 108 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 10. Un helicóptero vuela a una altitud de 550 metros sobre la cima de una montaña A, con una altura conocida de 1563 metros. Una segunda cima de otra montaña cercana B, más alta, se ve desde el helicóptero. Si el ángulo de elevación de la cima B desde la cima A es de 30◦ y si la distancia entre las dos cimas de las montañas es de 450 metros, a) Calcule la distancia del helicóptero a la cima B. b) Calcule la altitud de la cima B. 11. Un helicóptero vuela a una altitud de 450 metros sobre la cima de una montaña A, con una altura conocida de 1440. Una segunda cima de otra montaña cercana B, más alta, es vista con un ángulo de depresión de 45◦ desde el helicóptero y con un ángulo de elevación de 15◦ desde A. Véase la figura. Determine la distancia entre las dos cimas de las montañas y la altitud de la cima B. 12. Un globo aerostático de observación G y dos puntos A y B del suelo están en un mismo plano vertical. El ángulo de elevación del globo, medido desde A, es de 75◦ , y medido desde B es de 30◦ . La distancia entre A y B es de 1000 metros. Si el globo se encuentra elevado en algún punto entre A y B, ¿Cuál es su elevación? 13. A las 2 P.M. salen de un aeropuerto dos aviones. Uno vuela al N 60◦ E a 350 109 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I km/h y el otro hacia el sur a 450 km/h. ¿Qué distancia hay entre ellos a las 4 P.M.? 14. Sea el 4ABC un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia de radio R y sea h la altura del triángulo desde el vértice C, y sean θ y α los ángulos que se ilustran, dados en radianes. a) Verifique que θ = 2α. b) Utilizando la ley de los senos, compruebe que: a = b = 2R sen α. c) Exprese el perı́metro P del triángulo 4ABC en función de α. d ) Exprese la altura h en función de α. e) Exprese el área del triángulo en función de α. 15. Los sismólogos investigan la estructura interna de la tierra analizando las ondas sı́smicas causadas por terremotos. Si se supone que el interior de la tierra es homogéneo, entonces esas ondas viajan en lı́nea recta a velocidad constante v. La figura muestra un corte de tierra, un epicentro E y un punto de observación S. Emplee la ley de los cosenos para demostrar que el tiempo t para que una 2R θ onda viaje por el interior de la tierra de E a S es t = sen en el cual v 2 R es el radio de la tierra y θ es el ángulo indicado con vértice en el centro de la tierra. 110 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 111 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 6 Limite de funciones 6.1 Taller A 6.1. Taller A 1. Calcule cada uno de los siguientes lı́mites, si existen: √ x−9 1 − cos x i) lı́m √ xi) lı́m x→9 x−3 x→0 x x−2 1 − cos x ii) lı́m 2 xii) lı́m x→2 x + 2x − 8 x→0 x2 x3 + x2 − 2 tan x − sen x iii) lı́m xiii) lı́m x→1 x→0 x−1 x cos x √ 2 1 − x+1 1 − cos x xiv) lı́m iv) lı́m x→0 x2 x→1 x − 1 x √ 1 − cos x x−2 xv) lı́m v) lı́m 2 x→0 sen x x→4 x − 3x − 4 tan x − sen x x3 − 8 xvi) lı́m vi) lı́m 2 x→0 x3 x→2 x − x − 2 √ 1 x−1 xvii) lı́m x sen vii) lı́m 2 x→0 x x→1 2x + 5x − 7 x − 2x − 1 x−8 viii) lı́m √ xviii) lı́m x→8 3 x − 2 x→2 x−3 √ √ 3 x−1 x−1 xix) lı́m 3 ix) lı́m √ x→1 x + x2 − 2 x→1 x−1 1 − cos(2x) x2 − x − 2 xx) lı́m x) lı́m 3 2 x→0 x sen(3x) x→2 x + 2x − 5x − 6 2. Sea ( x2 + 1, si x ≤ 1, f (x) = −x + 3, si 1 < x. 112 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) Trace la gráfica de f . b) Calcule, lı́m f (x) x→1 3. Sea ( 3 − x, si x < 2, f (x) = 2 x − 4x + 3, si 2 ≤ x. a) Trace la gráfica de f . b) Calcule, si existen: i) lı́m f (x) x→0 ii) lı́m f (x) x→2 iii) lı́m f (x) x→5 4. Calcule cada uno de los siguientes lı́mites laterales, si existen: x2 − x − 2 x − 2x − 1 x) lı́m i) lı́m |x − 2| x→2+ x−3 x→2− p x − 2x − 1 1 − cos(x) ii) lı́m xi) lı́m x−3 x→2+ x x→0− 2 x − x − 3x − 2 (x − 1) iii) lı́m − x2 + x − 2 x→1 x2 − x − 3x − 2 (x − 1) iv) lı́m x2 + x − 2 x→1+ x2 − 2|x − 1| − 1 v) lı́m x−1 x→1− p 2 x − 2|x − 1| − 1 1 − cos(x) vi) lı́m xii) lı́m x−1 x→1+ x x→0+ √ 3 2x(x − 1) x − x2 − 4x + 4 vii) lı́m xviii) lı́m 2 x→1− |x − 3x + 2| x2 − 2x + 1 x→1+ √ 3 2x(x − 1) x − 2x − 3x − 2 (x − 1) + 1 viii) lı́m xiv) lı́m x→1+ |x2 − 3x + 2| x2 + x − 2 x→1+ 2 x − 2x x −x−2 ix) lı́m xv) lı́m √ |x − 2| x−1 x→2− x→1− 113 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I x − 2x xvi) lı́m √ x−1 x→1+ x3 − x2 − 4x + 4 xvii) lı́m x2 − 2x + 1 x→1− 5. xiii) lı́m x3 − 2x − x→1− a) Calcule: |x| √ x x2 + 1 |x| i) lı́m √ + x→0 x x2 + 1 i) lı́m x→0− b) ¿Existirá |x| lı́m √ ? x x2 + 1 x→0 ( x2 + 1, si x < 1, 6. Sea f (x) = √ x − 1 + 2, si 1 ≤ x. a) Trace la gráfica de f . b) Calcule cada uno de los siguientes lı́mites, si existen: i) lı́m f (x) x→1− ii) lı́m f (x) x→1+ iii) lı́m f (x) x→1 ( x2 , si x ≤ 2, 7. Sea f (x) = √ x − 2, si 2 < x. a) Trace la gráfica de f . b) Calcule cada uno de los siguientes lı́mites, si existen: i) lı́m f (x) x→2− ii) lı́m f (x) x→2+ iii) lı́m f (x) x→2 √ si x ≤ 0, 4 − x, 8. Sea f (x) = x2 − 2x + 2, si 0 < x < 3, √ x − 3, si 3 ≤ x. 114 3x − 2 (x − 1) + 1 x2 + x − 2 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) Trace la gráfica de f . b) Calcule cada uno de los siguientes lı́mites, si existen: i) lı́m f (x) x→0 ii) lı́m f (x) x→3 3 x + x + 2 , si x < −1, 9. Sea f (x) = x+1 3 x − 3x2 + 6, si −1 ≤ x. a) Calcule: i) ii) lı́m f (x) x→−1− lı́m f (x) x→−1+ b) ¿Existirá lı́m f (x)? x→−1 10. Sea 2 si x < 0, x , f (x) = x, si 0 < x < 1, 2 x + 1, si 1 ≤ x. a) Trace la gráfica de f . b) Calcule cada uno de los siguientes lı́mites, si existen: i) lı́m f (x) x→0 ii) lı́m f (x) x→1 11. Sea −1, x + 3, 2 − 4x + 3, x f (x) = x−3 , 3, |x − 8|, 2, si si si si si si si x < −4, −4 ≤ x < 0, 0 < x ≤ 3, 3 ≤ x < 6, x = 6, 6 < x < 10, x ≥ 10. 115 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) Trace la gráfica de f . b) Calcule cada uno de los siguientes lı́mites, si existen: i) lı́m f (x) v) lı́m f (x) ii) lı́m f (x) vi) lı́m f (x) iii) lı́m f (x) vii) lı́m f (x) iv) lı́m f (x) viii) lı́m f (x) x→−4 x→5 x→6 x→0 x→8 x→3 x→4 x→10 12. Sea ( ex + 1, si x ≤ 0, f (x) = ln x, si 0 < x. a) Trace la gráfica de f . b) Calcule cada uno de los siguientes lı́mites, si existen: i) lı́m f (x) x→0− ii) lı́m f (x) x→0+ iii) lı́m f (x) x→0 13. Sea x 2 , f (x) = log2 x, cos(πx), si x ≤ 0, si 0 < x ≤ 2, si 2 < x ≤ 4. a) Trace la gráfica de f . b) Calcule cada uno de los siguientes lı́mites, si existen: i) lı́m f (x) iv) lı́m f (x) ii) lı́m f (x) v) lı́m f (x) iii) lı́m f (x) vi) lı́m f (x) x→0− x→2− x→2+ x→0+ x→0 x→2 14. Sea ( x2 − 2x + 2, si 1 ≤ x, f (x) = 2 −x + 2x − 2, si x < 1. 116 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) Trace las gráficas de f y de |f |. b) Verifique que lı́m |f (x)| = 1, pero que lı́m f (x) no existe. x→1 x→1 15. Calcule lı́m x 3x + 2 , si existe. x→0 16. Si lı́m x→4 f (x) − 5 = 1, calcule lı́m f (x). x→4 x−2 f (x) − 4 = 3, calcule lı́m f (x). x→1 x − 1 x→1 4− x . 18. Sea f (x) = x−4 17. Si lı́m a) Trace la gráfica de f sobre [0, 8) − {4} b) Calcule i) lı́m f (x) iv) lı́m f (x) ii) lı́m f (x) v) lı́m f (x) iii) lı́m f (x) v) lı́m f (x) x→3− x→4+ x→5− x→3+ x→4− x→5+ 19. Calcule cada uno de los siguientes lı́mites, si existen 1 x→3 (x − 3)2 x−1 lı́m x→2 (x − 2)2 x−5 lı́m 2 x→2 x − 4x + 4 x+3 lı́m x→1 x2 − 2x + 1 −2x lı́m x→1 (x − 1)2 1 3 lı́m + 2x x→1 (x − 1)2 sen(2x) lı́m ln(x) + x x→0+ lı́m (x + 4) ln(x) a) lı́m b) c) d) e) f) g) h) sen(2x) x3 ln(x) lı́m x x→0+ 1 1 lı́m √ − x x x→0+ p lı́m x( x2 + 2x − x) x→+∞ 1 − sen(x) 2 lı́m + tan (x) x→π/2 (x − π/2)2 i ) lı́m x→0 j) k) l) m) n) ñ) x→0+ 117 lı́m (ln(2x + 1) − ln(4x − 1)) x→+∞ 2x ln(x2 + 1) − ln(2x + 1) x→+∞ x + 1 lı́m Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 20. Calcule cada uno de los siguientes lı́mites, si existen: 1 x→−∞ x 1 ii) lı́m x→+∞ x i) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) x) xi) xii) lı́m xiii) lı́m ln x→−∞ x+1 x−2 ln x x x+1 xv) lı́m ln x→+∞ x−2 xvi) lı́m ln(3x − 1) − ln(6x + 4) xiv) lı́m x→0+ x2 x→−∞ 1 + x2 x2 lı́m x→+∞ 1 + x2 x lı́m 2 x→−∞ x − 6x + 5 x lı́m x→+∞ x2 − 6x + 5 4x3 + 2x2 − 5 lı́m x→−∞ 8x3 + x + 2 34 − 7x2 + 2 lı́m x→+∞ 2x4 + 1 √ x2 + 1 lı́m x→−∞ x √ 2 x +1 lı́m x→+∞ x 2x − 1 lı́m √ x→−∞ x2 + x 3x − 1 lı́m √ x→−∞ x2 + 1 lı́m x→+∞ xvii) xviii) xix) xx) xxi) xxii) xxiii) xxiv) ex − e−x x→−∞ ex + e−x ex − e−x lı́m x x→+∞ e + e−x 1+x lı́m arctan x→−∞ 1−x 1+x lı́m arctan x→+∞ 1−x 2x arctan x lı́m x→−∞ x+1 2x arctan x lı́m x→+∞ x+1 x lı́m arc sen √ x→−∞ 1 + x2 x lı́m arc sen √ x→+∞ 1 + x2 lı́m 21. Calcule cada uno de los siguientes lı́mites, si existen: 1 1 3 1 √ −1 − 2 i) lı́m v) lı́m x→0 x x −4 x→2− x − 2 1+x p p ii) lı́m ( x2 + x − x) vi) lı́m ( x2 + 3 − x) x→+∞ x→−∞ √ p 16 − x2 iii) lı́m vii) lı́m ( x2 + 3 − x) − x−4 x→4 x→+∞ 2 p 2x − x − 3 iv) lı́m 3 viii) lı́m x( x2 + 1 − x) x→−1 x + 2x2 + 6x + 5 x→+∞ 118 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I ix) x) xi) xii) xiii) xiv) xv) xvi) √ 3 x3 + 2x2 − 6x + 1 lı́m √ x→−∞ 9x6 − 3x4 + 10 1 1 − 2 lı́m x x→0+ x x − 2x − 1 lı́m x−2 x→2+ x−3 lı́m x→1+ x3 + x − 2 x2 − 2|x − 1| − 1 lı́m (x − 1)2 x→1− x2 − 2|x − 1| − 1 lı́m (x − 1)2 x→1+ √ 3 x−1 lı́m x→1 x − 1 √ x−1 lı́m x→1 x2 + x − 2 xvii) lı́m x→1 x−1 x2 + x − 2 xxii) x2 − 4x + 3 x→1+ x3 − 3x + 2 x+2 lı́m 3 x→1− x − 3x + 2 √ 3 x−1 lı́m x→+∞ x − 1 x − 2x − 1 lı́m x−2 x→2− p lı́m ( x4 + 2x2 − x2 ) xxiii) p lı́m x( x2 + 1 + x) xviii) lı́m xix) xx) xxi) x→+∞ x→−∞ xxiv) lı́m x2 (cot x)(csc(2x)) x→0 22. calcule cada uno de los siguientes lı́mites, si existen: tan x − x→0 2 − 2 cos2 x tan x lı́m √ x→0+ 2 − 2 cos2 x 1 − cosx lı́m x→0 x sen x 1 − sen x lı́m π x→π/2 2 −x tan x − sen x lı́m x→0 x3 arc sen x lı́m x→0 x x − sen(2x) lı́m x→0 x + sen(3x) 1 − 2 cos x lı́m π − 3x x→ π3 i) lı́m √ x) ii) xi) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) lı́m x→−2 xii) xiii) xiv) xv) xvi) xvii) tan(πx) x+2 xviii) 119 x − 3x − 1 lı́m x2 + x − 2 x→1− |x − 1| − x + 1 lı́m − x2 + x − 2 x→1 cos( π2 x) √ lı́m x→1 1 − x x − 3x − 1 lı́m x2 + x − 2 x→1+ x − 3x − 2 lı́m x2 + x − 2 x→1− x − 3x − 2 lı́m x2 + x − 2 x→1+ sen x lı́m x→0 3x2 + 2x x2 + 3x lı́m x→0 sen x 1 lı́m x cos x→0 x Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I sen x x−π (cos x) sen(x − π) xxiii) lı́m x→π x−π 1 − cos(2x) x→0 4x 1 + cos x xx) lı́m x→π x − π (sen x)(1 − cos x) xxi) lı́m x→0 x3 √ 2x − 1 23. Sea f (x) = 3 . Calcule: x − 7x + 6 xxii) lı́m xix) lı́m x→π a) lı́m f (x) x→1− b) lı́m f (x) x→1+ c) lı́m f (x) x→2− d ) lı́m f (x) x→2+ √ 24. Sea f (x) = x2 + 7 . Verifique que: 2x − 6 a) lı́m f (x) = −∞ x→3− b) lı́m f (x) = +∞ x→3+ c) d) lı́m f (x) = − x→−∞ lı́m f (x) = x→+∞ 1 2 1 2 25. 120 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Sea f una función cuya gráfica se ilustra. Calcule, si existe (justificando cada respuesta): a) lı́m f (x) i ) lı́m f (x) x→−∞ x→−1 b) f (−3) j ) f (2) c) lı́m f (x) k ) lı́m f (x) lı́m f (x) l ) f (4) d) x→−3− x→2 x→−3+ e) lı́m f (x) m) lı́m f (x) f ) f (−1) n) lı́m f (x) g) lı́m f (x) ñ) lı́m f (x) lı́m f (x) o) x→4− x→−3 h) x→4+ x→−1− x→4 x→−1+ lı́m f (x) x→+∞ 26. Sea f una función cuya gráfica se ilustra. Evalúe, justificando claramente su respuesta para cada caso o explicando por qué no existe: a) b) c) lı́m f (x) d ) f (−3) lı́m f (x) e) lı́m f (x) f) x→−∞ x→−3− x→−3+ 121 lı́m f (x) x→−2− lı́m f (x) x→−2+ Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I g) f (−2) m) lı́m f (x) h) lı́m f (x) n) lı́m f (x) x→2 x→0 x→3 i ) f (0) ñ) f (3) j ) lı́m f (x) o) lı́m f (x) x→1 x→4− k ) lı́m f (x) p) lı́m f (x) x→2− x→4+ l ) lı́m f (x) q) x→2+ 122 lı́m f (x) x→+∞ Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 7 Continuidad de funciones 7.1 Taller A 7.1. Taller A 1. Determine cuales de las siguientes funciones es discontinua en a = 1. En el caso de que la función sea discontinua en a = 1, explique por qué sucede esta discontinuidad. 3 x3 − 1 x − 1 a) f (x) = , si x 6= 1, c) h(x) = x − 1 (x − 1 1, si x = 1. x2 + 1, si x ≤ 1, b) g(x) = d ) F (x) = x2 + x + 1 2 − x, si 1 < x. 2. Sea f una función cuya gráfica se ilustra. Indique en qué puntos de la recta real, f es discontinua y justifique su respuesta. Diga en cada caso si la discontinuidad es removible o esencial. 3. Para cada una de las siguientes funciones, determine si la función dada es continua o discontinua en el punto a, justificando cada respuesta. Si la 123 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I discontinuidad es removible, redefina la función en a de manera que la función resulte continua en ese punto. √ 1 − cosx a) f (x) = , a = 0. x2 √ x−1 b) f (x) = 2 , a = 1. x +x−2 ( log2 x, si 0 < x ≤ 2, c) f (x) = , a = 2. cos(πx), si 2 < x ≤ 4. 1 − cos x , si x 6= 0, d ) f (x) = , a = 0. x2 1, si x = 0. 1 − cos x , a = 0. x sen x x − 2x − 1 f ) f (x) = , a = 2. x−3 e) f (x) = 4. Para cada una de las siguientes funciones: a) Dibuje la gráfica de la función dada. b) Determine en que puntos la función dada es discontinua e indique que tipo de discontinuidad tiene en cada uno de esos puntos. |x + 3|, si −5 ≤ x < 0, 3x − 1 , si 0 ≤ x < 1, i) f (x) = x2 − 6x + 6, si 1 < x ≤ 5, 2 − 8x + 15 x , si 5 < x. x−5 1 , si x < −3, x 6= −4, x+4 √ 9 − x2 , si −3 ≤ x < 0, ii) f (x) = 2x + 3, si 0 < x < 1, 2, si x = 1, 2 x − 4x + 8, si 1 < x ≤ 4. 5. Dibuje la gráfica de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas a continuación: 124 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) f es continua sobre cada uno de los intervalos (−∞, −2), [−2, 1] y (1, +∞). b) lı́m f (x) = 3, x→−∞ lı́m f (x) = 2, x→1− lı́m f (x) = +∞, x→−2− lı́m f (x) = 6, x→1+ lı́m f (x) = 1, x→−2+ f (0) = 4, lı́m f (x) = −1. x→+∞ 6. Dibuje la gráfica de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas a continuación: a) f es continua sobre cada uno de los intervalos (−∞, −1), [−1, 2), [2, 4], (4, +∞). b) lı́m f (x) = 1, x→−∞ lı́m f (x) = 1, x→2− lı́m f (x) = +∞, x→4+ lı́m f (x) = −∞, x→−1− lı́m f (x) = 3, x→2+ lı́m f (x) = 3, x→−1+ f (3) = −1. f (0) = 0, lı́m f (x) = 2, x→4− lı́m f (x) = −2 x→+∞ 7. Para cada una de las siguientes funciones: a) Halle el dominio de f . b) Determine los números en donde f es discontinua e indique en cada caso el tipo de discontinuidad. c) Determine las ası́ntotas verticales de la gráfica de la función f , si existen. d ) Determine las ası́ntotas horizontales u oblicuas de la gráfica de la función f , si existen. e) Utilizando la información dada por los lı́mites y la continuidad, intente un bosquejo de la gráfica de la función f . i) f (x) = ii) f (x) = iii) f (x) = iv) f (x) = v) f (x) = x2 − 2x − 3 x2 − 5x + 6 x2 − 4x + 3 x2 − 3x + 2 x+1 2 x −x−2 x2 − 2x − 8 x2 + x − 2 x3 + x2 − 14x − 24 x2 + x − 2 125 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I x3 − 2x2 − x + 2 x2 − 3x + 2 √ x − 2x − 1 f (x) = 3 x − 7x + 6 x − 2x − 1 f (x) = x−2 1 f (x) = (ln x)2 − 1 x arctan x f (x) = x−1 x , si x < 1, x−1 f (x) = x3 − 11x2 + 38x − 40 , si x ≥ 1, con x 6= 5. x−5 x−1 f (x) = 2 x − 5x + 6 vi) f (x) = vii) viii) ix) x) xi) xii) 2 x +x−2 √ , si 0 ≤ x < 1 8. Sea f (x) = x−1 2 2 a x − 7ax + 18 , si 1 ≤ x a) Escriba las condiciones que debe cumplir la función f para que sea continua en x = 1 b) Calcule lı́m f (x) y lı́m f (x) x→1− x→1+ c) Halle los valores de la constante a tales que la función f dada sea continua en x = 1 2 x − 7x + 12 √ , si 0 ≤ x < 4 9. Sea f (x) = x−2 2 x − 2ax + a2 , si 4 ≤ x a) Escriba las condiciones que debe cumplir la función f que sea continua en x = 4 b) Calcule lı́m f (x) y lı́m f (x) x→4− x→4+ c) Halle los valores de la constante a, tales que la función f dada sea continua en x = 4 126 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 10. Determine los valores de la constante a, tales que la función f sea continua en 2 y después dibuje la gráfica de f si: ( ax + 1, si x < 2, f (x) = 2 2 a − x + x, si 2 ≤ x. 11. Determine los valores de la constante a, tales que la función x3 + x2 − 2 , si x < 1 f (x) = Sea continua en x = 1 x − 1 x2 − 3ax + a2 , si 1 ≤ x 12. Para cada una de las siguientes funciones determine los valores de las constantes a y b tales que la función f sea continua en el conjunto de todos los números reales. si x < 1, ax + 2, 2 a) f (x) = x + 2ax + b, si 1 ≤ x ≤ 4, 3ax − b, si 4 < x. x2 + x − 2 x − 1 , si x < 1, b) f (x) = ax + b, si 1 ≤ x < 2, 3x − 2, si 2 ≤ x. 13. ¿Existirá un valor de b para el cual, la función x + b, si x ≤ 0, f (x) = 1 − cos x , si 0 < x. x2 sea continua en el número a = 0? 14. ¿Existirá un valor de b para el cual, la función 2 x − 4x + 3 , si x < 1, f (x) = x−1 2bx + b2 , si 1 ≤ x. sea continua en el número a = 1? 127 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 15. Considere la función f , cuya gráfica se ilustra. a) Escriba una función que corresponda a la gráfica que se ilustra. b) Escriba la ecuación de cada ası́ntota vertical y cada ası́ntota horizontal de la gráfica de f . c) Indique todas las discontinuidades de la función f y establezca en cada caso si la discontinuidad es removible o esencial d ) Explique si f es continua o no en el intervalo dado. i) ii) iii) iv) v) vi) vii) (−∞, −3) (−∞, −3] (−3, −2) [−3, −2) [−3, −2] (−2, 0) [−2, 0] viii) ix) x) xi) xii) xiii) xiv) (−2, 1) [1, 2] (2, 4] [2, 4] [5, 6] [4, +∞) (4, +∞) e) Determine si se puede aplicar o no el teorema del valor intermedio a la función f en el intervalo indicado. Justifique cada respuesta. i) [−3, −2] ii) [−2, 0] 128 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I iii) [0, 1] iv) [1, 2] v) [2, 3] 16. Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que el polinomio P (x) = x3 − x2 + x − 2 tiene un cero real en el intervalo abierto (1, 2). 17. Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que la función f (x) = x2 + 3x − 4 x+1 tiene un cero real en el intervalo abierto (0, 2). 18. Sea f (x) = x3 − x − 4 . x−2 a) Vefifique que f satisface la hipótesis del teoréma del valor intermedio sobre el intervalo cerrado [0, 1]. b) Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que existe un c ∈ (0, 1) tal que f (c) = 3. 19. Sea f (x) = 2 + sen(x) 1 + cos(x) a) Verifique que f satisface la hipótesis del teorema del valor intermedio sobre el intervalo cerrado [0, π/2]. b) Utilice elteorema del valor intermedio para comprobar que existe un valor c ∈ 0, π2 tal que f (c) = 2. 20. Sea f (x) = 2x + cos(x) − 2 a) Verifique que f satisface la hipótesis del teorema del valor intermedio sobre el intervalo cerrado 0, π2 . b) Utilice elteorema del valor intermedio para comprobar que existe un valor c ∈ 0, π2 tal que f (c) = 0. (no hay que hallar el valor de c). 21. Sea f (x) = 4 ln(x) − x − 1 129 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) Verifique que f satisface la hipótesis del teorema del valor intermedio sobre el intervalo cerrado [1, e]. b) Utilice el teorema del valor intermedio para comprobar que existe un valor c ∈ (1, e) tal que f (c) = 0. (no hay que hallar el valor de c). 22. En cada uno de los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor intermedio, para comprobar que la función dada tiene un cero real en el intervalo dado. i) f (x) = 3 ln(x) − x, en el intervalo (1, e). x2 + 1 x arctan x − , en el intervalo (−1, 1). 2 2 iii) f (x) = x + sen x − 1, en el intervalo 0, π2 . √ iv) f (x) = arc sen(2x − 1) + 4x − 1, en el intervalo 14 , 12 . ii) f (x) = v f (x) = x3 + x − 4 en el intervalo (1, 2) x+1 130 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 8 Derivadas 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Taller Taller Taller Taller Taller A B. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Intermedio C D. E Funciones Hiperbólicas y sus funciones inversas 8.1. Taller A 1. Obtenga una ecuación de la recta tangente a la gráfica de: f (x) = 4 − x2 que sea paralela a la recta 2x + y − 5 = 0. Ilustre gráficamente. 2. Obtenga √ una ecuación de la recta tangente a la gráfica de: f (x) = x − 1 que sea perpendicular a la recta 2x + y + 1 = 0. Ilustre gráficamente. 3. Halle los valores de a pertenecientes al intervalo abierto π2 , 3π tales que la 2 recta tangente a la gráfica de f (x) = sen x en el punto (a, f (a)) sea paralela a la recta x + 2y + 2 = 0. Ilustre gráficamente. 4. En cada uno de los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función dada, en el punto indicado: a) f (x) = x2 + 3 en el punto (1, 4). Ilustre gráficamente. √ b) f (x) = x − 2 + 1 en el punto (3, 2). Ilustre gráficamente. 5. Halle el punto sobre la gráfica de f (x) = x2 − 2x + 3 donde la recta normal sea paralela a la recta x + 4y = 4. Ilustre gráficamente. 6. Sea (√ f (x) = x + 2, si 0 ≤ x ≤ 1, ax + b, si 1 < x. a) ¿Qué condiciones debe cumplir f para que sea continua en x = 1?. 131 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I b) Suponiendo que f es continua en x = 1, utilice la definición de derivadas laterales para calcular f−0 (1) y f+0 (1). c) Determine los valores de a y b tales que la función dada sea continua y derivable en x = 1, y después trace la gráfica de la función f . 7. Sea √ 2 , si −3 < x ≤ 1, x+3 f (x) = ax + b, si 1 < x. Siguiendo un procedimiento análogo al del ejercicio 6, determine los valores de las constantes a y b tales que la función f dada sea continua y derivable en el punto x = 1. 8. Sea √ 1 + 3 , si 1 < x ≤ 2 f (x) = x−1 x2 + ax + b , si 2 < x a) ¿Qué condiciones debe cumplir f para que sea continua en x = 2? b) Suponiendo que f es continua en x = 2, utilice la definición de derivadas laterales para calcular f−0 (2) y f+0 (2) c) Determine los valores de a y b tales que la función dada sea continua y derivables en x = 2. 9. Sea √ a x + b , si 0 < x < 1 f (x) = x2 + 3x − 2 , si 1 ≤ x a) ¿Qué condiciones debe cumplir f para que sea continua en x = 1? b) Suponiendo que f es continua en x = 1, utilice la definición de derivadas laterales para calcular f−0 (1) y f+0 (1). c) Determine los valores de ay b tales que la función dada sea continua y derivables en x = 1. 10. Sea √ 1 − x + 2, si x ≤ 0, f (x) = x2 − 2x + 3, si 0 < x < 3, √ x − 3 + 1, si 3 ≤ x. 132 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) Verifique que f es continua en x = 0. b) Utilizando la definición calcule f−0 (0) y f+0 (0) y determine si f 0 (0) existe o no existe. c) Calcule lı́m f (x) y lı́m f (x), y determine si f es continua o no en x = 3. x→3− x→3+ d ) Detemine por qué f no es derivable en x = 3. e) Calcule f 0 (x) en donde exista. f ) Trace la gráfica de f . 11. Sea ( x2 + 1, f (x) = x2 + 2, si x ≤ 1 si 1 < x a) Calcule si existe f 0 (1). b) Trace la gráfica de f . c) Calcule f 0 (x) en donde exista. 12. Haciendo todo el procedimiento, verifique que:: 7 √ 1 x /2 − 1 a) Dx 2 x + 3 = 3x x4 √ 5 (x − 2) (x + 2) √ b) Dx x x2 − 20 = 2 x 2 1 4 (1 − x) c) Dx 10 − 3+ = x x x3 h 1 i 4 (x − 1) d ) Dx x /3 (x − 4) = 2 3x /3 hp i 4−x 3 e) Dx 6x2 − x3 = 2 1/3 x (6 − x) /3 3 (x − 1) (x + 1) x2 + 1 −1 f ) Dx x + 3x = x2 2 x − 2x − 3 8 g) Dx = 2 (x − 1) (x − 1)3 4 (x − 1) 4 (x + 2) h) Dx = 2/3 5 3x 9x /3 133 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I " i ) Dx j) k) l) m) n) ñ) o) p) q) r) s) t) 4−x 1 2 x) /3 # = −8 5 4 x /3 (6 − x) /3 h 2 i 2−x /3 5 Dx x (5 − x) = /3 1 x /3 −10 1 + x 5 2−x = Dx 1 4 3 9 x /3 x /3 3x − 6 3 (2x + 1) Dx √ = 3 x2 + 1 (x2 + 1) /2 1 x−4 Dx √ = 3 4 5 6x2 − x3 x /3 (6 − x) /3 " 2 # cos(x) 2 cos(x) Dx = 1 − sen(x) (1 − sen(x))2 h i p 1 2 Dx ln x + x + 1 = √ 2 x +1 1+x 1 1 Dx ln = 2 1−x 1 − x2 x 1 √ Dx arc sen = 2 1 + x2 1+x 1+x 1 Dx arctan = 1−x 1 + x2 h x i p p Dx 4 arc sen + x 4 − x2 = 2 4 − x2 2 " 2 # −2 arctan x1 1 = Dx arctan x 1 + x2 h x p i x Dx x arc sen + 4 − x2 = arc sen 2 2 x /3 (6 − 13. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule y simplifique la derivada de la función dada. i) f (x) = ln(x) x2 1 ii) f (x) = arctan + ln 1 + x2 x 134 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I iii) f (x) = sen(x) 1 + cos(x) 2 iv) f (x) = xesen(2x) 1 v) f (x) = 2 1 + ecos(3x) q vi) f (x) = 1 + (ln x)2 vii) f (x) = x3 (ln x)2 p viii) f (x) = 1 + sen2 (3x) q 2 + (ln x)2 ix) f (x) = x x) f (x) = x (arctan (ln x))2 r 2x − 1 xi) f (x) = 3 x+2 x xii) f (x) = (ln x)2 p xiii) f (x) = 1 + esen(2x) 1 xiv) f (x) = (sec(x) + tan(x))2 1 xv) f (x) = (csc(x) + cot(x))3 √ xvi) f (x) = sec 2x − 1 √ xvii) f (x) = tan 3 5 − 6x 3 2 3 1 xviii) f (x) = 4x − x cot x 1 xix) f (x) = x csc x 1 xx) f (x) = arc cos x p xxi) f (x) = arc sen (1 − x) + 2x − x2 1 + x2 arctan(x) − x xxii) f (x) = 2 135 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1 ex √ √ xxiv) f (x) = e x + ex 1 xxiii) f (x) = e /x + xxv) f (x) = ln (arc sen(x)) xxvi) f (x) = x2 log2 e3x − 5x xxvii) f (x) = 5sen(2x) xxviii) f (x) = log1 x2 − 2x − 3 /2 xxix) f (x) = p x arc sen(x) √ + ln 1 − x2 1 − x2 2 xxx) f (x) = esen (3x) ln(x) 1 xxxi) f (x) = 3 xxxii) f (x) = x2 csc(5x) √ xxxiii) f (x) = 3 xxxiv) f (x) = 2x−1 −4 + x + 1)3 2 3 1 xxxv) f (x) = x tan x 1 xxxvi) f (x) = x sec x 2 cos(x) xxxvii) f (x) = p 2 + sen(x) ln (1 + sen(x)) xxxviii) f (x) = cos(x) (2x2 xxxix) f (x) = tan2 (x) sec3 (x) 1 2x − 1 /3 xl) f (x) = x+2 2 (3x) xli) f (x) = 5cos xlii) f (x) = arctan 1−x 2 xliii) f (x) = x sec3 (2x − 1) 2 (5x) xliv) f (x) = ecos 136 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xlv) f (x) = arctan x 2 xlvi) f (x) = tan (2x − 1) 3 x xlvii) f (x) = xe /2 2x + 1 4 xlviii) f (x) = 3x − 1 1 xlix) f (x) = 3 x −x 4x +1 l) f (x) = 1 + x2 4x − 3 li) f (x) = x+1 √ lii) f (x) = e 1+sen(2x) liii) f (x) = e2x sen(x) liv) f (x) = ln 1 + esen(x) lv) f (x) = log10 x2 − 2x − 3 x lvi) f (x) = 3arc sen( /2) lvii) f (x) = sec3 (2x − 1) lviii)f (x) = e−x arctan x2 lvix) f (x) = sen2 cos3 4x5 lx) f (x) = x arc sen2 (3x) x 3/ lxi) f (x) = 4 − x2 2 + 9 arc sen 2 2 1 −3x2 lxii) f (x) = 2 arc sen (3x) + e + 3sen(x ) 2 14. Calcule y simplifique cada una de las siguientes derivadas: h sen x i a) Dx 1 + cos x h cos x i b) Dx 1 − sen x h 1 i c) Dx arctan x i h 4/3 d ) Dx x − 4x1/3 137 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I e) Dx h 2x + 1 4 i 3x − 1 x − 1 i f ) Dx arc sen 2 h arc sen(x/2) i g) Dx √ 4 − x2 h arctan(x/2) i h) Dx 4 + x2 h 15. Calcule cada una de las siguientes derivadas: h x i i h√ 2 a) Dx h) D 1 + x x 1 + x2 h i hp i b) Dx x2/3 (5 − x) i ) Dx 1 + sen(4x) h i h i 1 c) Dx x1/3 (4 − x) j ) D x i h√ (1 + cos(2x))3 d ) Dx 3 6x2 − x3 h i h i k ) Dx x(ln x)2 e) Dx ecos(3x) h (ln x)2 i h i 2 l ) Dx f ) Dx esen (5x) x i h i h g) Dx arctan(ln x) m) Dx x(arctan x)2 16. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de: f (x) = ln x que sea perpendicular a la recta y+2x+4 = 0. Ilustre gráficamente. 17. Halle todos los puntos (a, f (a)) de la gráfica de: f (x) = x + 2 sen x donde la recta tangente sea paralela al eje x. 18. Halle los valores de a pertenecientes al intervalo abierto (π, 2π) tales que la recta tangente a la gráfica de f (x) = cos x en el punto (a, f (a)) sea paralela a la recta en x − 2y + 2 = 0. 19. Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle todos los puntos (a, f (a)) de la gráfica de la función f dada, donde la recta tangente a esa gráfica en el punto (a, f (a)) sea paralela a la recta dada: a) f (x) = x2 ; b) f (x) = x2 y = 2x − 4 − 2x + 4; y − 2x = 1 138 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I c) f (x) = arc sen x; 2x − √ 3y − 4 = 0 d ) f (x) = arctan x; x − 2y + 4 = 0 1 e) f (x) = arctan ; x + 2y = 4 x 1 + x f ) f (x) = arctan ; y−x=1 1−x g) f (x) = 2x ln x; 2x − y − 2 = 0 h) f (x) = x[(ln x)2 − 2 ln x + 2]; y−x+2=0 1 tal que la recta tangente a esa curva en x dicho punto corta al eje x en el punto (6, 0). 20. Encuentre el punto de la curva y = 21. Una mosca camina de izquierda a la derecha a lo largo de un camino representado por la parte superior de la curva y = 9 − x2 . Una araña espera en el punto (5, 0). Encuentre el punto sobre la gráfica de y = 9 − x2 , donde la araña y la mosca se ven por primera vez. Ilustre graficamente. ln x 22. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) = en el punto x 2 2 e , e2 . 23. Considere la gráfica de la función 1 f (x) = con x > 0, tal como se x ilustra. a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, a1 ). b) Halle la distancia del punto A al punto B en función de a. 24. Halle todos los valores de a pertenecientes al intervalo abierto (0, π) tales que la recta tangente a la gráfica de f (x) = cos x en el punto (a, f (a)) sea paralela a la recta x − 2y + 2 = 0. Ilustre gráficamente. 139 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I ln x 25. Halle el punto (a, f (a)) de la gráfica de la función f (x) = donde la recta x tangente a esa gráfica en dicho punto pase por el origen. 26. Halle el punto (a, f (a)) de la gráfica de la función f (x) = ln(x), donde la recta tangente a esa gráfica en el punto (a, f (a)) pase por el punto (0, 1). 27. Halle todos los puntos (a, f (a)) de la gráfica de la función f (x) = x2 − 4x + 7, donde la recta tangente a esa gráfica en el punto (a, f (a)) pase por el punto (0, 1). Ilustre gráficamente. 28. Halle el punto (a, f (a)) de la gráfica de la función f (x) = x2 − 2x + 4, donde la recta tangente a esa gráfica en dicho punto sea perpendicular a la recta x + 4y − 2 = 0. Ilustre gráficamente. 29. Calcule dy para: dx 1 (x2 + 2x)3 p b) y = x + sen2 (2x) a) y = 30. Para cada una de las siguientes funciones A) Para cada una de las siguientes funciones, calcule f 0 , f 00 , y f 000 cuando: 1 1−x f (x) = cos2 (6x) 1+x f (x) = 1−x 2 f (x) = e−x 1 f (x) = 2 x +1 f (x) = xex x f (x) = 1 + x2 ln x x x 1 f (x) = + 4 x f (x) = arc sen(x) √ f (x) = x 1 f (x) = arctan x f (x) = 5x2/3 − x5/3 f (x) = sen(3x) a) f (x) = h) f (x) = b) i) c) d) e) f) g) j) k) l) m) n) B) Para cada una de las siguientes funciones, calcule y 0 , y 00 , y y 000 cuando: 140 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I √ h) y = ln (x + x2 + 1) i ) y = ln x 1 j ) y = (ln 1 + x1 − x) 2 k ) y = ex sen(x) x l ) y = arc sen √ 1 + x2 x 2 m) y = e (sen (x)) 1 2 ) n) y = (arctan x 1+x a) y = √ x b) y = e2 x cos(x) sen(x) c) y = 1 + cos(x) d ) y = (ln x)2 cos(x) e) y = 1 − sen(x) f ) y = x(ln x)2 g) y = tan(x) 31. Halle la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva: √ 1 + cos x en el punto ( π2 , 1). x+2 b) y = √ en el punto (0,1). 3 + cos2 x a) y = 32. Suponiendo que la ecuación dada define implı́citamente a y como una función de x, calcule y 0 : a) xey + ln y − x2 = 1 d ) ln(x2 y) + 3y 2 = 2x2 − x − 1 b) 3x2 y − 3y = x3 − 1 y y c) arc cos = arctan x x e) ln(xy 2 ) − x + y = 2 f ) ln(xy + 3) + 3x2 + y = 1 33. Suponiendo que la ecuación ln(x2 y) − 3x2 + 4y = 1 define a y implı́citamente como función de x, calcule y 0 , y encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto (−1, 1). 34. Utilizando diferenciación implı́cita en cada uno de los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la curva dada en el punto indicado: a) ln(xy 2 ) + x2 = y + 2, en el punto (1, −1). b) exy + x2 = 4 − 3y 2 , en el punto (0, 1). c) 2xy 2 − 3y = x3 + 1, en el punto (1, 2). d) xey + ln y − x2 = 0, e) sen(xy) = x cos y, en el punto (0, 1). en el punto (1, π4 ). 141 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I f ) cos(xy 2 ) = 1 + sen y, en el punto (1, 0). π g) arctan y = xy 2 − x2 + , en el punto (1, 1). 4 xy 2 2 h) e + x − y = 0, en el punto (0, 1). i ) ln(xy 2 − 3) + 3x2 + 2y = −1, en el punto (1, −2). j ) xey + ln(1 + y) − 2y = x3 − 6, en el punto (2, 0). k) x2 e y + ln(y) + y2 = x + 1, en el punto (0, 1). 35. Suponiendo que la ecuación dada define a y implı́citamente como función de x, calcule y 0 , y encuentre la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la curva dada en el punto indicado: a) y + sen(xy 2 ) = y cos x + 2, en el punto (π, 1). 1 en el punto (0, π3 ). b) cos(x + y) = x + , 2 c) x cos(xy) + x2 y = sen y + y − x, en el punto (1, π). d ) ln(xy 2 ) − x2 = y, en el punto (1, −1). e) exy + x2 = 4 − 3y 2 , en el punto (0, 1). f ) xy 2 − 3y = 2x3 − 4, en el punto (1, 2). g) y + sen(xy 2 ) = y cos x + 2, en el punto (π, 1). π h) arc sen y + 3 + 2xy = 2x + , en el punto (1, 12 ). 6 y π 2 = 2x2 + x, en el punto (1, 2). i ) ye(x +x−2) + x arctan 2 4 2 2 j ) 3y + sen(xy) = y cos x + x + 2, en el punto (0, 1). √ 36. Verifique que las hipérbolas xy = 2, y, x2 − y 2 = 3 se intersectan en ángulo recto. Sugerencia: Suponga que el punto (a, b) es un punto de intersección de las dos hipérbolas; y utilice derivación implicita para comprobar que las rectas tangentes a las dos curvas en el punto (a, b) son perpendiculares 37. Dos rectas que pasan por el punto (−2, 8/5), son tangentes a la curva x2 + 5y 2 − 10x − 30y = −49. Encuentre una ecuación de cada una de esas rectas tangentes. 142 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 38. La curva x2 − xy + y 2 = 16 es una elipse con centro en el origen y eje mayor en la recta y = x. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los dos puntos donde la elipse intersecta al eje x. ¿Que tan alto debe estar el foco en la figura dada si el punto (0, 2) está justo en el borde de la región iluminada? 39. 40. Suponga que la ecuación x2 + xy + y 2 = 1 define implı́citamente a y como una función de x, dos veces derivable. Calcule y 0 y y 00 . 41. Suponga que la ecuación x2 y − y 2 = 6x − 9 define implı́citamente a y como una función de x, dos veces derivable. Calcule y 0 y y 00 en el punto (2, 1). 42. Suponga que la ecuación 2x2 y − 4y 3 = 4 define implı́citamente a y como una función de x, dos veces derivable. Encuentre y 00 en (2, 1). 43. Utilizando derivación logarı́tmica, calcule: h i 2 a) Dx (cos x)1/x h i b) Dx (1 + x2 )x h i c) Dx xsen x h i d ) Dx (1 + x2 )1/x h i 3 e) Dx (sen x)1/x 44. Sea f una función cuya gráfica, su fórmula de correspondencia y su derivada se dan a continuación 143 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I (x + 6)3 + 1, x + 7, 2 x + 1, f (x) = −2x + 5, √ 3 6x2 − x3 , (x − 8)2 + 1, 2x − 16, si si si si si si si 3(x + 6)2 , 1, 2x, f 0 (x) = −2, 4−x , 1/3 x (6 − x)2/3 2(x − 8), 2, x < −4 −4 ≤ x < −2 −2 ≤ x < 1 1≤x<3 3≤x<7 7≤x≤9 9<x si si si si x < −4 −4 < x < −2 −2 < x < 1 1<x<3 si 3 < x < 7 x 6= 6 si 7 < x ≤ 9 si 9 < x 144 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) Determine en qué puntos c del dominio de f , la función dada tiene extremos relativos e indique que sucede con la derivada de f en cada uno de esos puntos c b) Determine todos los puntos crı́ticos de la función dada 45. Para cada de las siguientes funciones: a) Halle el dominio de la función dada. b) Encuentre todos los puntos crı́ticos de la funcion dada: i) f (x) = x3 − 3x + 2 x ii) f (x) = 1√+ x2 iii) f (x) = 3 6x2 − x3 iv) f (x) = x5/3 − 5x2/3 v) f (x) = ln(x2 − x − 2) 1+x vi) f (x) = arctan 1−x 3 2 vii) f (x) = e(x −3x +2) viii) f (x) = x(ln x)2 145 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 8.2 Taller B. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Intermedio 1. Sea f (x) = x4/3 − 3x1/3 . Verifique que las tres condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle son satisfechas por la función dada en el intervalo cerrado [0, 3], y halle un valor c ∈ (0, 3) que satisfaga la conclusión del Teorema de Rolle. 2 2. Sea f (x) = e(x +x−2) . Verifique que las tres condiciones de la hipótesis del Teorema de Rolle son satisfechas por la función dada en el intervalo cerrado [−2, 1], y halle un valor c ∈ (−2, 1) que satisfaga la conclusión del Teorema de Rolle. 3. Dos corredores inician una carrera al mismo tiempo y terminan empatados. Pruebe que en algún instante durante la carrera corrı́an a la misma velocidad. Sugerencia: considere f (t) = g(t) − h(t) en donde g y h son las funciones posición de los dos corredores. 2 4. Sea f (x) = 1 − x 3 . a) Verifique que f (−1) = f (1), pero que f 0 (c) 6= 0 para todo c en el intervalo abierto (−1,1) en donde f es derivable. b) Explique por qué razón no se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función f dada, sobre el intervalo cerrado [−1, 1]. 5. Sea f (x) = |2x − 1|. Verifique que f (0) = f (1), pero que f 0 (c) 6= 0 para todo número c en el intervalo abierto (0, 1) en donde f es derivable. ¿Por qué esto no contradice el teorema de Rolle? 6. Para cada uno de los siguientes ejercicios, verifique que las tres condiciones de la hipótesis del Teorema de Rolle son satisfechas por la función f en el intervalo cerrado [a, b] indicado y encuentre todos los números c en (a, b) que satisfaga la conclusión del Teorema de Rolle, es decir, f 0 (c) = 0. a) f (x) = x3 − 3x2 + 5, b) f (x) = 4x3 + x2 en el intervalo cerrado [−1, 2]. − 4x − 1, en el intervalo cerrado [−1, 1]. c) f (x) = x3 − 9x + 1, en el intervalo cerrado [−3, 3]. √ d ) f (x) = 3 x2 − 5x + 6, en el intervalo cerrado [2, 3]. e) f (x) = sen2 x, en el intervalo cerrado [0, π]. p f ) f (x) = 1 + sen(2x), en el intervalo cerrado [0, π2 ]. 146 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 7. Utilice el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para probar que la ecuación: x2 = x sen x + cos x tiene exactamente dos soluciones reales. Sugerencia: Haga f (x) = x2 − x sen x − cos x, y utilice primero el Teorema del valor Intermedio sobre los intervalos cerrados [−π, 0] y [0, π]. 8. Utilice el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para demostrar que la ecuación: x5 +x3 +2x−3 = 0 tiene exactamente una raı́z que se encuentra en el intervalo abierto (0, 1). √ 9. Sea f (x) = x − 2x − 1. Verifique que las dos condiciones de la hipótesis del Teorema del valor intermedio son satisfechas por la función f dada en el intervalo cerrado [1, 5], y halle un valor c ∈ (1, 5) que satisfaga la conclusión del Teorema del valor intermedio. 10. Para cada uno de los siguientes ejercicios: I Determine si las dos condiciones de la hipótesis del Teorema del valor intermedio son satisfechas o no por la función f dada sobre el intervalo cerrado [a, b] indicado. II Si las dos condiciones de la hipótesis del Teorema del valor intermedio son satisfechas por la función f sobre el intervalo cerrado [a, b], halle todos los números c en (a, b) que satisfagan la conclusión del Teorema del Valor Medio, es decir, halle todos los números c en (a, b) para los cuales f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a). √ a) f (x) = 4 + 2x − 1, en el intervalo cerrado [1, 5]. b) f (x) = x3 − 2x2 + x + 3, c) f (x) = |x − 3|, 2 3 d ) f (x) = 1 − x , en el intervalo cerrado [−1, 1]. en el intervalo cerrado [0, 4]. en el intervalo cerrado [−1, 1]. 1 3 en el intervalo cerrado [−1, 8]. 1 3 en el intervalo cerrado [0, 1]. e) f (x) = 1 − 3x , f ) f (x) = x − 3x , g) f (x) = θx2 + βx + Υ, en el intervalo cerrado [a, b], en donde θ, β y Υ son constantes con θ 6= 0. h) f (x) = x + 2 cos x, i ) f (x) = arc sen x, en el intervalo cerrado [0, 2π]. en el intervalo cerrado [0, 1]. 147 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I j ) f (x) = arctan x, k ) f (x) = ln x, en el intervalo cerrado [0, 1]. en el intervalo cerrado [1, e]. l ) f (x) = x(ln x)2 , ( x2 , m) f (x) = x2 + 8, en el intervalo cerrado [ 1e , e]. si x ≤ 1, , si 1 < x. en el intervalo cerrado [0, 2]. ( x2 , si x ≤ 1, n) f (x) = , 2 ln x + 1, si 1 < x. en el intervalo cerrado [0, e]. ( x2 , si x ≤ 1, ñ) f (x) = , 5 ln x + 1, si 1 < x. en el intervalo cerrado [0, e]. 11. Emplee el Teorema del valor intermedio para demostrar que: ex − 1 ≤ xex para todo número real x. Sugerencia: Sea f (t) = tet − et + 1, y aplique el Teorema del valor intermedio a la función f sobre cada intervalo cerrado de la forma [0, x] para x > 0, y [x, 0] para x < 0. 8.3 Taller C 1. Dadas las funciones f , g, h, F y G, cuyas gráficas se ilustran, responder la siguiente pregunta: ¿Qué hipótesis del criterio de la primera derivada cumple la función dada sobre el intervalo [a, b]?. Además establezca cuáles de ellas alcanza un valor máximo relativo ó un valor mı́nimo relativo en c, explicando en cada caso si se puede aplicar o no el criterio de la primera derivada para extremos relativos. 148 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 2. Sea f (x) = x2 − 2x + 2 , si x < 1 x2 − 2x + 3 , si 1 ≤ x a) Trace la gráfica de f . b) Verifique que c = 1 es un punto crı́tico de f . c) Verifique si se puede aplicar o no el criterio de la primera derivada a la función f , para determinar si f tiene un extremo relativo en el punto crı́tico c = 1. Justifique claramente la respuesta. 3. Para cada una de las siguientes funciones: a) Halle el dominio de la función dada b) Encuentre todos los puntos crı́ticos de la función dada c) Utilice, si se puede, el criterio de la primera derivada para determinar en cuales de esos puntos crı́ticos la función alcanza una valor máximo relativo o un valor mı́nimo relativo 149 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I d ) Utilice, si se puede, el criterio de la segunda derivada para determinar en cuales de esos puntos crı́ticos la función alcanza un valor máximo relativo o un valor mı́nimo realtivo i) f (x) = 3x5 − 20x3 ii) f (x) = 6x2 − x3 √ x 36 − x2 iii) f (x) = 2 h3 iv) f (x) = h2 − 3 x2 v) f (x) = x−1 √ x vi) f (x) = x2 − 2x + 4 + 2 3 vii) f (x) = 12x − x x4 − x3 4 ix) f (x) = x4/3 − 4x1/3 1 x x) f (x) = + x 2 xi) f (x) = x3 − 3x2 + 4 3 xii) f (x) = x3 + x xiii) f (x) = x2 + 16x−1 √ xiv) f (x) = x2 4 − x2 x xv) f (x) = − sen x 2 xvi) f (x) = xex/2 ln x xvii) f (x) = x xviii) f (x) = x(ln x)2 vii) f (x) = xix) f (x) = x1/3 (6 − x)2/3 1 + 2 ln x xx) f (x) = x √ xxi) f (x) = x − 2x − 1 150 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I x3 + 250 x 3 x xxiii) f (x) = x−2 4x2 + 39x + 81 xxiv) f (x) = x xxii) f (x) = 4. Sea f una función cuya gráfica se ilustra a) De acuerdo con la gráfica dada, establezca cuáles son los puntos crı́ticos de f y determine en cuáles de esos puntos crı́ticos la función f alcanza un valor máximo relativo ó un valor mı́nimo relativo. b) Determine los intervalos en los que f es creciente y en los que f es decreciente; determine los intervalos en donde la gráfica de f es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo. Indique además los puntos de inflexión de la gráfica de f . c) ¿A qué es igual f 0 (x) y f 00 (x) sobre cada uno de los intervalos abiertos (−4, −2) y (1, 3)?. 5. Dibuje la gráfica de una función f continua sobre el intervalo abierto (0, 6) y que cumpla todas las condiciones que se dan a continuación: 151 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) f (0) = 2, lı́m f (x) = 4, f (2) = 6, f (3) = 5, f (4) = 4, f (5) = 3, f (6) = 1 x→0+ y lı́m f (x) = 2 x→6− b) f 0 (x) > 0 en (0, 2), f 0 (x) < 0 en (2, 4) ∪ (4, 5). c) f 0 (2) = f 0 (4) = 0, f 0 (5) no existe y f 0 (x) = −1 en (5, 6). d ) f 00 (x) < 0 en (0, 3) ∪ (4, 5) y f 00 (x) > 0 en (3, 4). 6. Dibuje la gráfica de una función f que cumpla con todas las condiciones que se dan a continuación: a) f es continua sobre los intervalos abiertos (−∞, 1) y (1, +∞). b) lı́m f (x) = 0, f (−2) = 2, f (−1) = 4, f (0) = 3, lı́m f (x) = −∞, x→−∞ x→1− lı́m f (x) = 2, f (2) = 1, f (4) = −6, f (5) = −4, lı́m f (x) = −1. c) x→+∞ x→1+ f 0 (x) f 0 (x) > 0 en (−∞, −1)∪(4, +∞), = −1 en el intervalo abierto (1, 2), f 0 (x) < 0 en (−1, 1) ∪ (2, 4), f 0 (−1) = 0, f 0 (2) no existe y f 0 (4) = 0. d ) f 00 (x) > 0 en (−∞, −2) ∪ (2, 5) y f 00 (x) < 0 en (−2, 1) ∪ (5, +∞). 7. Dibuje la gráfica de una función f que cumpla con todas las condiciones que se dan a continuación: a) La función f es continua sobre los intervalos abiertos (−∞, 1) y (1, +∞). b) lı́m f (x) = 0, f (−3) = −3, f (−2) = −4, f (0) = 0, lı́m f (x) = +∞, x→−∞ x→1− lı́m f (x) = 5, f (2) = 4, f (4) = 1, c) x→1+ f 0 (x) f (5) = 2, lı́m f (x) = 3. x→+∞ f 0 (x) < 0 en (−∞, −2) ∪ (2, 4), = −1 en el intervalo abierto (1, 2), > 0 en (−2, 1) ∪ (4, +∞), f 0 (−2) = 0, f 0 (2) no existe y f 0 (4) = 0. f 0 (x) d ) f 00 (x) < 0 en (−∞, −3) ∪ (5, +∞), f 00 (x) > 0 en (−3, 1) ∪ (2, 5). 8. Dibuje la gráfica de una función f que cumpla con todas las condiciones que se dan a continuación: a) f es continua sobre los intervalos abiertos (−∞, 1) y (1, +∞). 152 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I b) lı́m f (x) = 1, f (−2) = 4, f (−1) = 5, f (0) = 3, lı́m f (x) = −∞, x→−∞ x→1− lı́m f (x) = 1, f (2) = 3, f (4) = −1, f (6) = 1, lı́m f (x) = 2. c) x→+∞ x→1+ f 0 (x) f 0 (x) > 0 en (−∞, −1) ∪ (4, +∞), = 2 en el intervalo abierto (1, 2), < 0 en (−1, 1) ∪ (2, 4), f 0 (−1) = 0, f 0 (2) no existe y f 0 (4) = 0. f 0 (x) d ) f 00 (x) > 0 en (−∞, −2) ∪ (2, 6) y f 00 (x) < 0 en (−2, 1) ∪ (6, +∞). 9. Dibuje la gráfica de una función f continua sobre los reales y que cumpla con todas las condiciones que se dan a continuación: a) f (x) > 0 para todo x ∈ R, f (0) = 2 y lı́m f (x) = lı́m f (x) = 2. x→−∞ x→+∞ √ √ (1 − x)(1 + x) 00 2x(x − 3)(x + 3) b) f 0 (x) = , f (x) = 2 2 (x + 1) (x2 + 1)3 10. Dibuje la gráfica de cada una de las siguientes funciones, determinando primero lo siguiente: el dominio de la función f , el dominio de continuidad de la función f , f 0 (x) y f 00 (x), los puntos crı́ticos de f , los extremos relativos de f , los puntos de inflexión de la gráfica de f , los intervalos en que f es creciente y en los que f es decreciente, los intervalos en donde la gráfica de f es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo y las ası́ntotas verticales, horizontales y oblicuas de la gráfica de la función f , si existen. 2 i) f (x) = 6x2 − x3 xi) f (x) = e(−x) xii) f (x) = ln(x2 − x − 2) ln x xiii) f (x) = x xiv) f (x) = e−x ii) f (x) = x3 − 3x2 + 4 iii) f (x) = x3 + 3x−1 x2 + 3 iv) f (x) = x−1 v) f (x) = x3 − 3x2 + 5 x4 vi) f (x) = − x3 4 1 vii) f (x) = x 3 (x − 4) √ viii) f (x) = 3 6x2 − x3 xv) f (x) = x2 ex xvi) f (x) = x3 − 3x + 4 xvii) f (x) = 5x2/3 − x5/3 ln x xviii) f (x) = 2 x xix) f (x) = xe(x/2) 2 + x2 xx) f (x) = 2x ix) f (x) = 3x5 − 20x3 x) f (x) = x + 2 sen x 153 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xxi) f (x) = x + 2 cos x x3 − 5x2 + 2x + 8 x2 − 7x + 12 xxix) f (x) = arc sen(1 − x) 1 xxx) f (x) = arctan x 3 xxxi) f (x) = ln(x − 3x + 2) xxviii) f (x) = xxii) f (x) = x(ln x)2 1 + x xxiii) f (x) = arctan 1−x xxiv) f (x) = e1/x 3x − 6 xxv) f (x) = √ x2 + 1 x xxvi) f (x) = x e xxvii) f (x) = ex xxxii) f (x) = x1/3 (6 − x)2/3 sen x en el intervalo xxxiii) f (x) = 2 − cos x [−π, 3π] 2 −2x xxxiv f (x) = (x − 1)2/3 (6 − x) 11. Una rueda con centro en el origen y 10 centı́metros de radio gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de tal manera que en el instante t segundos, el ángulo θ que se ilustra es igual a 8πt. Un punto P en el borde está en (10, 0) cuando t = 0 a) Exprese las coordenadas de P a los t segundos, en función de t b) ¿A cuántos radianes por segundo gira la rueda? c) ¿A cuántas revoluciones por segundo gira la rueda? d ) ¿Con qué rapidez se eleva P (o cae) en el instante t = 1 segundos? 12. Considere el dispositivo rueda-pistón (ver figura). La rueda tiene un radio de 1 pie y gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de tal manera que en el instante t segundos, el ángulo θ que se ilustra es igual a 2t. La varilla de conexión tiene 5 pies de longitud. El punto P está en (1, 0) en el momento t=0 154 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) Exprese las coordenadas de P a los t segundos, en función de t b) Encuentre la coordenada y del punto Q en el instante t segundos (la coordenada x del punto Q siempre será cero) c) ¿A cuántos radianes por segundo gira la rueda? d ) Encuentre la velocidad de Q en el instante t segundos e) ¿Con qué rapidez se eleva P (o cae) en el momento t = π/6 segundos? 8.4 Taller D 1. Si la función de posición de la partı́cula P en una recta coordenada está dada por s(t) = t3 − 12t2 + 36t − 20 donde t se mide en segundos y s(t) en centı́metros. Describa el movimiento de P durante el intervalo de tiempo [0, 9]. Además, trace las gráficas de las funciones de posición, velocidad, rapidez y aceleración sobre el intervalo [0, 9]. 2. Suponga que un corredor en una carrera de 100 metros está a s metros de la lı́nea de meta t segundos después del inicio de la carrera, donde s = 100 − 1 2 (t + 33t). Determine la rapidez del corredor: 4 a) Al inicio de la carrera. b) Cuando el corredor cruza la lı́nea de meta. 155 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3. Suponga que una partı́cula se lanza verticalmente hacia arriba y que su posicición en pies después de t segundos, con respecto al piso, está dada por s(t) = −16t2 + 320t + 80. Veáse la figura. a) ¿Para qué valores de t estará la partı́cula a más de 656 pies sobre el piso? b) ¿Cuál es la altura y la velocidad inicial de la partı́cula? c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la partı́cula y en que tiempo? d ) ¿Cuál es el tiempo en el que la partı́cula llega al suelo y la velocidad con que llega? e) ¿Cuál es la aceleración en el tiempo t? f ) Trace la gráfica de la función s. 8.5 Taller E. Funciones Hiperbólicas y sus funciones inversas Funciones Hiperbólicas El seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica se definen como: senh(x) = ex − e−x , 2 coth(x) = cosh(x) , senh(x) cosh(x) = sech(x) = ex + e−x , 2 1 , cosh(x) 156 tanh(x) = csch(x) = senh(x) cosh(x) 1 senh(x) Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1. Verificar cada una de las siguientes identidades hiperbólicas: i) cosh2 (x) − senh2 (x) = 1 ii) tanh2 (x) + sech2 (x) = 1 iii) coth2 (x) − csch2 (x) = 1 iv) senh(−x) = − senh(x) v) cosh(−x) = cosh(x) vi) tanh(−x) = − tanh(x) vii) senh(x + y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y) viii) cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y) ix) senh(2x) = 2 senh(x) cosh(x) x) cosh(2x) = cosh2 (x) + senh2 (x) xi) cosh(x) + senh(x) = ex xii) cosh(x) − senh(x) = e−x 2. Verificar que: i) Dx [senh(x)] = cosh(x) iv) Dx [coth(x)] = -csch2 (x) ii) Dx [cosh(x)] = senh(x) v) Dx [sech(x)] = −sech(x) tanh(x) 2 vi) Dx [csch(x)] = −csch(x) coth(x) iii) Dx [tanh(x)] = sech (x) 3. Siguiendo las indicaciones del ejercicio número 6 del Taller C, trazar la gráfica de cada una de las funciones hiperbólicas senh(x), cosh(x), tanh(x) y coth(x). 4. a) A partir de la gráfica de y = cosh(x) y de y = senh(x), bosquejar la gráfica de y = sech(x) y de y = csch(x). b) Siguiendo las indicaciones del ejercicio número 6 del Taller C; trazar la gráfica de sech(x) y de csch(x). 5. Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones: √ i) f (x) = senh( x) iv) f (x) = coth( x1 ) ii) f (x) = cosh(3x − 2) v) f (x) = sech(ln(x)) iii) f (x) = ln(tanh(x)) vi) f (x) = csch( x1 ) 157 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I vii) f (x) = senh2 (x) viii) f (x) = ix) f (x) = 1 2 xvii) f (x) = coth(ln(x)) ln(tanh(x)) xviii) f (x) = ex cosh(x) x2 tanh( x1 ) xix) f (x) = e3x senh(x) √ xx) f (x) = tanh( x) x) f (x) = cosh(ln(x)) xi) f (x) = coth3 (4x) xii) f (x) = ln(senh(3x)) xxi) f (x) = tanh(sen(x)) xiii) f (x) = ln(coth(x)) √ xiv) f (x) = tanh3 ( x) xxii) f (x) = cosh2 (3x − 1) xxiii) f (x) = senh(cos(x)) xv) f (x) = senh(x2 ) xxiv) f (x) = xvi) f (x) = cosh(x3 ) senh(ln(x)) x2 6. Aplicaciones: La catenaria. Si un cable flexible de densidad uniforme cuelga libremente de dos puntos fijos a la misma altura bajo su propio peso, forma una curva llamada catenaria (ver la figura). Además, se puede colocar una catenaria enunsistema coordenado, de modo que su ecuación tome la forma x y = a cosh con a > 0. Algunos cables de puentes colgantes, algunos a suspendidos de postes telefónicos y algunos otros con corriente eléctrica para los tranvı́as y trolebuses penden en esta forma. Ejercicio: Confirme analı́ticamente que el punto más bajo de la catenaria f (x) = a cosh( xa ) con a > 0 está en (0,a), y que la función f es decreciente cuando x < 0 y creciente cuando x > 0, y que la gráfica es cóncava hacia arriba en todo punto. 7. Utilice lo más que pueda las indicaciones del ejercicio número 6 del Taller C, 158 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I para trazar la gráfica de cada una de las siguientes funciones: i) f (x) = senh(ln(x)) ii) f (x) = ex senh(x) iii) f (x) = cosh(ln(x)) iv) f (x) = tanh(ln(x2 − 2x − 3)) v) f (x) = senh2 (ln(x)) vi) f (x) = sech[ln(x2 − 2x − 3)] 8. a) Verifique que cada una de las siguientes funciones es uno a uno sobre el conjunto indicado, utilizando para ello, la gráfica de la función dada y el criterio de la primera derivada para funciones crecientes y funciones decrecientes. i. f (x) = senh(x) sobre ii. f (x) = cosh(x) sobre iii. f (x) = tanh(x) sobre iv. f (x) = coth(x) sobre R [0, +∞) R R − {0} Comentario: Las inversas de las funciones anteriores se llaman Funciones Hiperbólicas Inversas y se denotan respectivamente por senh−1 , cos−1 , tanh−1 , coth−1 , sech−1 , csch−1 b) Bosqueje la gráfica de las funciones hiperbólicas inversas haciendo una reflexión de la gráfica de cada una de las funciones dadas en el numeral a) de éste ejercicio sobre la recta y = x. Además, indique el Dominio y el Rango de la respectiva función hiperbólica inversa. 9. Probar que: a) senh−1 (x) = ln(x + −1 √ √ x2 + 1) x ∈ (−∞, +∞) x2 (x) = ln(x + − 1) x ∈ [1, +∞) 1 1+x −1 c) tanh (x) = ln x ∈ (−1, 1) 2 1−x 1 x+1 −1 d ) coth (x) = ln x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) 2 x−1 b) cosh 159 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I (x) = ln 1 + x f ) csch−1 (x) = ln 1 + x e) sech −1 √ √ 1 − x2 x ! 1 + x2 x ! x ∈ (0, 1] x 6= 0 10. Probar que 1 1 + x tanh−1 (x) , si − 1 < x < 1 ln = coth−1 (x) , si |x| > 1 2 1−x 11. Probar que 1 , |x| > 1 x −1 −1 1 b) sech (x) = cosh , 0<x≤1 x −1 −1 1 c) csch (x) = senh , x 6= 0 x a) coth−1 (x) = tanh−1 12. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones 2x − 1 a) f (x) = cosh −1 x+2 −1 3x + 1 b) f (x) = tanh 2 −1 c) f (x) = tanh 1 − x2 −1 2x − 1 d ) f (x) = coth x+3 −1 7x − 1 e) f (x) = sech 2 f ) f (x) = csch−1 x2 − x − 2 g) f (x) = senh−1 (3x + 1) x h) f (x) = cosh−1 2 −1 i ) f (x) = coth (csc x) √ j ) f (x) = sech−1 2x − 1 160 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I k ) f (x) = √ √ x2 − 1 + cosh−1 (2x) x2 − 1 + cosh−1 (3 − x) 1 + coth−1 (4x) m) f (x) = 1 − x2 n) f (x) = ln (sech−1 (x)) l ) f (x) = ñ) f (x) = sech−1 (ln x) o) f (x) = tanh−1 (ln x) p) f (x) = tanh−1 (2 ln x) q) f (x) = coth−1 (ln x) 13. Verificar que: a) Dx [senh−1 (x)] = √ b) Dx [cosh−1 (x)] = √ 1 x2 +1 1 x2 +1 1 1 − x2 1 d ) Dx [coth−1 (x)] = 1 − x2 c) Dx [tanh−1 (x)] = x ∈ (−∞, +∞) x ∈ (1, +∞) x ∈ (−1, 1) x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) 14. Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones: 2x − 1 x+1 −1 6x − 1 xiii) f (x) = sech 2 i) f (x) = senh−1 (2x) xii) f (x) = coth−1 ii) f (x) = cosh−1 (2x − 1) √ ii) f (x) = tanh−1 ( x) √ iv) f (x) = coth−1 ( x2 + 1) xiv) f (x) = csch−1 (x2 − 2x − 3) v) f (x) = senh−1 (ln x) vi) f (x) = ln(tanh−1 (x)) √ vii) f (x) = sech−1 ( 2x − 1) xv) f (x) = tanh−1 (1 − x2 ) √ xvi) f (x) = coth−1 ( ex + 1) viii) f (x) = csch−1 (2x) √ ix) f (x) = senh−1 ( 2x − 1) −1 2x − 1 x) f (x) = cosh x+1 −1 3x + 2 xi) f (x) = tanh 2 xvii) f (x) = ln(sech−1 (x)) xviii) f (x) = sech−1 (ln x) √ xix) f (x) = senh−1 ( e2x − 1) x p xx) f (x) = cosh−1 + x2 − 4 2 p xxi) f (x) = 4x2 − 1 + cosh−1 (2x) 161 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xxii) f (x) = coth−1 (csc(x)) √ xxiii) f (x) = cosh−1 ( x) 3 −1 x xxiv) f (x) = + coth 4 − x2 2 xxv) f (x) = tanh−1 (ln x) √ xxvi) f (x) = tanh−1 ( ln x − 1) xxxii) f (x) = tanh−1 (sen(2x)) xxvii) f (x) = tanh−1 (cos(2x)) xxxvii) √ f (x) x4 + 1 xxviii) f (x) = tanh−1 (x3 ) −1 xxix) f (x) = coth xxxiii) f (x) = coth−1 (2 sen(x)) xxxiv) f (x) = (coth−1 (x2 ))3 xxxv) f (xt) = tanh−1 (sen(ex )) xxxvi) f (x) = senh−1 (e2x ) = x2 senh−1 (x2 ) − p xxxviii) f (x) = x senh−1 (x) − x2 + 1 p xxxix) f (x) = ln( 1 − x2 ) + x tanh−1 (x) p xl) f (x) = x2 − 1 + cosh−1 (3 − x) (x2 ) xxx)f (x) = cosh−1 (ln x) xxxi) f (x) = tanh−1 (cos x) 15. Utilice lo más que pueda las indicaciones del ejercicio 18 del taller B, para trazar la gráfica de cada una de las siguientes funciones: √ a) f (x) = senh−1 ( e2x − 1) b) f (x) = cosh−1 (x2 − 3) c) f (x) = tanh−1 ( 1+x 1−x ) √ d ) f (x) = ln( 1 − x2 ) + x tanh−1 (x) √ e) f (x) = 4x2 − 1 + cosh−1 (2x) 162 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 9 Aplicaciones de la Derivada 9.1 Taller A. Razones de cambio relacionadas 9.2 Taller B. Optimización 9.1 Taller A. Razones de cambio relacionadas 1. Angélica mide 6 pies de estatura y se aleja de la luz de un poste del alumbrado público que está a 42 pies de altura, tal como se ilustra. Si x pies es la distancia de Angélica al poste: a) i) Exprese la longitud de la sombra que proyecta Angélica sobre el piso en términos de x. ii) Exprese la punta de la sombra y en función de x. iii) Exprese tan θ en términos de x. b) Si Angélica se aleja del poste a razón de 3 pies por segundo: i) ¿Con qué rapidez crece su sombra cuando Angélica está a 24 pies del poste? ¿a 30 pies? ii) ¿Con qué rapidez se mueve el extremo de la sombra? iii) Para seguir el extremo de su sombra ¿a qué razón angular debe alzar la cabeza cuando su sombra mide 6 pies de largo? 163 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 2. El interior de un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto invertido tal que su altura es de 12 pies y el radio de su base circular es de 6 pies. Si se hecha agua hasta una profundidad de h pies, con 0 < h < 12, tal como se ilustra en la figura: a) Exprese a r como función de h. Trace su gráfica. b) Exprese la cantidad de agua en el tanque en terminos de h. Trace su gráfica. c) Si estando el tanque vacı́o se le bombea agua a razón de 8 pies3 /min, ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando ésta tiene 4 pies de profundidad?. 3. Una partı́cula se mueve siguiendo la curva y = x2 en el primer cuadrante, de tal forma que su coordenada x medida en metros, aumenta a una velocidad de 10 metros/seg. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo de inclinación θ del segmento de recta que une la partı́cula con el origen en el instante en que x = 3 metros? 4. Un tanque tiene la forma que se ilustra en la figura (Ejercicio 29 Cápitulo 4). Si se echa agua hasta una profundidad h, con 0 < h < 6: a) Exprese la cantidad de agua que hay en el tanque en términos de h. b) Exprese el área de la superficie del agua en términos de h. 164 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I c) Si estando el tanque que se ilustra vacı́o, se le vierte agua a razón de 9 pies3 /min, i) ¿Con qué rapidez se está elevando el nivel del lı́quido en el tanque cuando la profundidadde éste es de 4 pies? ii) ¿Con qué rapidez está creciendo el área de la superficie del lı́quido en el instante en que la profundidad de éste es de 4 pies? 5. La luz de un faro que está retirado 1 kilómetro de una playa rectilı́nea, gira a 2 revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se mueve el rayo a lo largo de la playa cuando pasa por un punto que está a 1/2 kilómetro con respecto a un punto en frente del faro? 6. Se echa agua a un tanque que tiene la forma de cono truncado circular recto hasta una profundidad h, con 0 < h < 80. El tanque tiene una 165 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I altura de 80 centı́metros y radios inferior y superior de 20 y 40 centı́metros, respectivamente. Si x es el radio del cı́rculo de la superficie del agua: a) Exprese x en función de h. b) Exprese la cantidad de agua que hay en el tanque en función de h. c) Si estando el tanque que se ilustra vacı́o, se le bombea agua a una razón uniforme de 2 litros por minuto. ¿Con qué rapidez sube el agua cuando la profundidad es de 30 centı́metros? 7. Los extremos de un tanque de agua de 20 pies de largo tienen la forma de un triángulo equilátero, con lados de 4 pies. Si se echa agua hasta una profundidad de h pies: a) Exprese la cantidad de agua en el tanque en función de h. b) Si estando el tanque que se ilustra vacı́o, se le vierte agua a razón de 3 pies3 /min, ¿Cuál es la rapidez, cambio o variación del nivel del agua cuando la profundidad es de 2 pies? 8. En lo alto de un poste de 15 metros brilla una luz. Una pelota es soltada desde la misma altura, a partir de un punto situado a 9 metros de la luz. ¿Con qué rapidez se mueve la sombra de la pelota sobre el suelo 21 segundo después? (Suponga que la pelota cae una distancia de 4,9t2 metros en t segundos). 166 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 9. Un hombre que está en un muelle tira de una cuerda atada a la proa de un bote que se halla a 30 centı́metros sobre el nivel del agua. La cuerda pasa sobre una polea simple que se encuentra en el muelle a 2.3 metros del agua (veáse figura). Si se tira de la cuerda a razón de 1 metro/segundo, ¿Con qué rapidez se acerca el bote al muelle en el momento en que la proa está a 6 metros del punto que se encuentra directamente debajo de la polea y a 30 centı́metros sobre el agua? 10. Una lámpara está situada en el piso de una calle recta, al fondo de la cual, y a 72 metros de distancia de la lámpara hay una pared vertical. Si desde la lámpara a la pared se desplaza un hombre de 1.8 metros de estatura a una velocidad de 12 metro por segundo. ¿ Con qué velocidad cambia el tamaño de la sombra proyectada en la pared en el instante en que el hombre se encuentra a 18 metros de la lámpara? 167 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 11. Un avión que vuela con rapidez constante a una altura de 10000 pies sobre una trayectoria recta que lo llevará directamente sobre un observador en tierra. En un instante dado, el observador nota que el ángulo de elevación del avión es de 1 3 π rad y aumenta a una tasa de 1 60 rad/seg. Determine la rapidez del avión. 12. Una escalera de 30 pies de longitud está apoyada contra una pared, de modo que su extremo superior se desliza hacia abajo a una tasa de 12 pies/segundo. a) ¿Con qué rapidez se desliza el extremo inferior de la escalera cuando su extremo superior está a 18 pies sobre el piso? b) ¿Cuál es la tasa de variación de la medida del ángulo agudo formado por la escalera con el piso cuando el extremo superior está a 18 pies sobre el piso? 13. Una escalera apoyada contra una pared vertical está resbalando. Si en un instante dado la escalera tiene su extremo inferior a 8 pies de distancia de la pared, sobre el piso horizontal, y en ese mismo instante, el extremo inferior de la escalera resbala con una rapidez de 3 pies/segundo y el extremo superior lo hace a 4 pies/segundo. ¿Cuál es la longitud de la escalera? 14. Un controlador aéreo sitúa dos aviones, el avión A y el avión B, a la misma altitud convergiendo su vuelo hacia un mismo punto O en ángulo recto. El avión A vuela con una rapidez de 400 millas/hora y el avión B vuela con una rapidez de 600 millas/hora ¿Con qué rapidez decrece la distancia entre los dos aviones en el instante en que el avión A está a 30 millas del punto de convergencia y el avión B está a 40 millas del punto de convergencia? 15. Dos camiones, uno de los cuales viaja hacia el oeste y el otro hacia el sur, se aproximan a un crucero. Si los dos camiones se desplazan a una tasa 168 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I √ de P Km/h, muestre que ellos se aproximan a una tasa de P 2 Km/h, cuando cada uno de ellos se encuentra a b kilómetros del crucero 169 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 9.2 Taller B. Optimización 1. Un granjero tiene 80 metros de tela de alambre para cercar un corral rectangular tal como se ilustra en la figura. a) Exprese el área A, del corral en función de x. Además trace la gráfica de A indicando los valores admisibles de x para este problema. b) Encuentre las dimensiones del corral que tenga como área 300m2 ? c) Encuentre los valores de x, para los cuales, el área del corral sea mayor o igual a 300 m2 d ) Encuentre los valores de x, para los cuales, el área del corral sea menor o igual a 256 m2 y mayor que 175 m2 e) ¿Cuáles son las dimensiones del corral de área máxima? 2. Se tienen 14 metros de tela de alambre para cercar un corral rectángular que se ajuste a una esquina de 2 × 4 metros como se muestra en la figura (toda la esquina debe ser aprovechada y no necesita cerca). a) Exprese el área A del corral en función de x. b) ¿ Entre qué valores debe estar x para poder construir el corral con las condiciones indicadas? Además trace la gráfica de la función A. c) ¿ Entre qué valores debe estar x para que el área del corral rectángular sea mayor o igual a 16 m2 ? d ) ¿ Cuáles son las dimensiones de x, y para que el área del corral sea máxima? 170 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3. Se desea construir un tanque sin tapa de altura y metros y de base cuadrada de lado x metros, de tal manera que el área lateral y la del fondo suman un área de 9 m2 ¿ Entre qué valores debe estar x para obtener un tanque con una 5 3 capacidad mayor o igual a m 2 ? a) Exprese la capacidad C del tanque en función de x. b) ¿Entre que valores debe estar x para poder construir el tanque con las condiciones indicadas? Además, trace la gráfica de la función C. c) ¿Cuáles son las dimensiones de x y y para que la capacidad del tanque sea máxima? Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle la función en términos de la variable especificada e indique el dominio admisible para dicha variable (esto es, el dominio de la variable para que el problema tenga sentido). Además, trace la gráfica de cada una de las funciones halladas. 4. Se tienen 80 metros de malla de alambre para cercar tres corrales rectángulares, tal como se ilustra en la figura. a) Exprese el área total de los tres corrales en términos de x. b) ¿Qué dimensiones deben tener x y y para que el área total de los tres corrales sea tan grande como se pueda? ¿Y cuál es esta área total? 171 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 5. Se tienen 60 metros de malla de alambre para construir un corral rectángular que se ajuste a una esquina de 10 x 20 metros, como se ilustra en la figura (toda la esquina debe ser aprovechada y no necesita malla de alambre). a) Exprese el área del corral en términos de x. b) ¿Que dimensiones deben tener x y y para que el área del corral sea máxima? 6. Un canalón metálico para el agua de lluvia va a tener caras de 2 pulgadas y un fondo horizontal de 2 pulgadas también, con lados tornando ángulos iguales θ con la prolongación del fondo 0 < θ < π/2, ver figura. a) Exprese el área de la sección transversal del canalón en términos de x. b) Exprese el área de la sección transversal del canalón en términos de h. c) Exprese el área de la sección transversal del canalón en términos del ángulo θ en radianes. d ) ¿Cuánto debe valer θ para maximizar la capacidad de acarreo del canalón? 172 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 7. Una central eléctrica está ubicada en la orilla de un rı́o rectilı́neo de 0.5 kilómetros de ancho. En la orilla opuesta está situada una fábrica, 3 kilómetros rı́o abajo del punto A que está directamente en frente de la central eléctrica. Si tender un cable desde la central eléctrica hasta la fábrica cuesta 500 dóllares por kilómetro bajo el agua y 400 dóllares por kilómetro a lo largo de la ribera del rı́o. a) Exprese el costo total para tender el cable desde la central hasta el punto P y desde el punto P a la fábrica en términos únicamente de x, en donde x es la distancia en kilómetros de la fábrica a un punto cualquiera P entre el punto A y la fábrica. b) ¿Cuál es la ruta más económica que conecta la central con la fábrica? 8. Sea ABP un triángulo inscrito en un semicı́rculo de radio R. a) Exprese el área del triángulo ABP en términos de x, en donde x es la medida del lado BP del triángulo ABP . b) ¿Qué dimensión debe tener x para que el área del triángulo sea máxima? 173 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 9. Sea ABC un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia de radio R y sea h la altura del triángulo desde el vértice C, y sean θ y α los ángulos que se ilustran, dados en radianes: a) Verifique que θ = 2α. b) Utilizando la ley de los senos, compruebe que a = b = 2R sen α y que c = 2R sen(2α). c) Exprese el perı́metro P del triángulo ABC en función de α. d ) Exprese la altura h en función de α. e) Exprese el área A del triángulo en función de α. f ) Entre todos los triángulos isósceles inscritos en una circunferencia de radio R, hallar el triángulo con el perı́metro máximo g) Entre todos los triángulos isósceles inscritos en una circunferencia de radio R, hallar el triángulo de área máxima. 10. Un trazo de alambre de 36 centı́metros de longitud se va a cotar en dos partes; una de longitud x se doblará para formar una circunferencia y la otra parte se doblará para formar un triángulo equilátero. a) Exprese la suma de las áreas del cı́rculo y del triángulo equilátero en términos de x. b) ¿Dónde debe hacerse el corte de modo que la suma de las áreas del cı́rculo y del triángulo equilátero sea máxima? o ¿mı́nima? (se permite la posibilidad de que no se corte). 174 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 11. A partir de un alambre de 4 metros de largo se va a construir un rectángulo de la siguiente manera: de un pedazo de alambre de longitud x metros, con 1 ≤ √ 3 x x < 4, se cortan dos lados del rectángulo, cada uno de longitud metros, 2 y con el pedazo 4 − x se termina de construir el rectángulo. a) Exprese en términos de x, la cantidad de alambre que queda después de construir el rectángulo. b) Exprese en términos de x el área del rectángulo. c) Para qué valor de x el área del rectángulo es máxima? 12. Un sector circular de radio r centı́metros y ángulo en el vértice Θ tiene un área de 100cm2 . a) Exprese el perı́metro del sector circular en términos del radio r. b) Encuentre r y θ para que el perı́metro P sea mı́nimo. 13. Un rectángulo tiene dos vértices consecutivos en el eje de las x, y los otros dos sobre la parábola y = 12 − x2 , con y > 0. a) Exprese el área del rectángulo en términos de x, con x > 0. b) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de este tipo que tiene la máxima área? 14. Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje x positivo. Los otros dos vértices están sobre las rectas y = 2x, y , y = 12 − x, con 0 < y < 8. a) Exprese el área del rectángulo en términos únicamente de x. 175 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I b) Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede obtener. 15. Un rectángulo se inscribe en un semicı́rculo de radio 4, de tal manera que dos de sus vértices están sobre el diámetro. Si el lado sobre el diámetro tiene longitud x, a) Exprese el área del rectángulo en términos de x. b) Cuáles son las dimensiones del rectángulo de este tipo que tiene la máxima área? 16. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un triángulo equilatero. El perı́metro de la ventana es de 4 metros. Si la base del rectángulo mide x metros; a) Exprese el área total de la ventana en términos de x. b) Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es máxima. 17. La página de un libro debe tener 27 pulg 2 de impresión. Las márgenes superior, inferior e izquierda de la página, son de 2 pulgadas y la margen derecha es de 1 pulgada. Si x pulgadas es la base del rectángulo de impresión; a) Exprese el área total de la página en términos de x. b) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la hoja para gastar la menor cantidad de papel? 18. Una pieza rectángular de papel muy larga tiene 20 centı́metros de ancho. Se va a doblar la esquina inferior derecha a lo largo del pliegue que se muestra en la figura, de modo que la esquina apenas toque el lado izquierdo de la página. 176 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) Exprese la longitud l del doblez en términos de los x centı́metros que se ilustran. b) ¿Para que valor de x el doblez l es lo más corto posible? 19. Una viga de acero de 27 pies de longitud se trasporta por un pasillo de 8 pies de ancho hasta un corredor perpendicular al pasillo limitado por una pared movible que se ajusta a la viga tal como se ilustra en la figura. (Aqui suponemos que p resbala sobre una pared y Q resbala sobre la pared movible). Si x es la distancia de P a la esquina E; a) Exprese el ancho y del corredor en términos de x. No considere la anchura horizontal de la viga. b) Si la viga de acero de 27 pies de longitud se transporta por el pasillo de 8 pies de ancho hasta un corredor perpendicular al pasillo. ¿Cuál debe ser el ancho del corredor para que la viga pueda doblar la esquina? No considere la anchura horizontal de la viga. 177 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 20. Por dos pasillos perpendiculares entre si de 8 pies y 27 pies, respectivamente, se transporta una viga cuya longitud se puede aumentar o disminuir, ver figura. (Aqui suponemos que P resbala sobre una pared y Q resbala sobre la otra pared). Si x es la distancia de P a la esquina E a) Exprese la longitud y de la viga en términos de x. b) ¿Cuál es la longitud de la viga de acero más larga que puede transportarse horizontalmente por los pasillos de 8 y 27 pies respectivamente, de modo que pueda doblar la esquina? No considere la anchura horizontal de la viga. 21. Se desea construir una caja sin tapa, con base rectangular, a partir de una pieza rectangular de cartón de 16 centı́metros de ancho y 24 centı́metros de largo, recortando un cuadrado de x centı́metros de lado de cada esquina y doblando los lados. a) Encuentre el volumen de la caja en términos de x. Bosqueje su gráfica. b) Encuentre el área de la superficie de la caja en términos de x. Además, trace su gráfica. c) Encuentre el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo. 178 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 22. Un cilindro circular recto con radio de la base R y altura h está inscrito en una esfera de radio 4. a) Exprese la altura h del cilindro como función de r. b) Exprese el área de la superficie lateral del cilindro como función de r. c) Exprese el volumen del cilindro como función de r d ) Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volúmen que se puede inscribir en esta esfera de radio 4. 23. Un cilindro circular recto de altura h pies y radio de la base R pies, se inscribe en un cono circular recto de altura 12 pies y base 6 pies de radio. a) Exprese la altura h del cilindro en función de R. b) Exprese el volumen del cilindro en función de R. Bosqueje su gráfica. c) Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volúmen que se puede inscribir en el cono dado, suponiendo que los ejes del cilindro y del cono coinciden. 179 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 24. Un cono circular recto con radio de la base R y altura h, se circunscribe alrededor de una esfera de radio 8. a) Exprese la altura h del cono en función de R. Bosquéje su gráfica. b) Exprese el volumen del cono en función de R. Bosqueje su gráfica. c) Encuentre las dimensiones del cono circular recto de volúmen V mı́nimo que puede ser circunscrito alrededor de la esfera dada de radio 8. 25. Un observatorio debe tener la forma de un cilindro circular recto, rematado por una bóbeda hemisférica, con un volumen total de 18πm3 a) Exprese la altura h del cilindro en función de R. Bosqueje su gráfica. b) Si la bóveda hemisférica cuesta el doble por metro cuadrado que el muro cilı́ndrico y si el metro cuadrado de muro cilı́ndrico cuesta a pesos. i) Exprese el costo del observatorio en función de R. ii) ¿Cuáles son las proporciones más económicas? es decir,¿Cuáles deben ser las dimensiones del observatorio para que el costo sea mı́nimo? 26. Se desea fabricar un recipiente cilı́ndrico de altura h con sus dos tapas circulares de radio r, de modo que su volumen sea de 250 πcm3 . a) Exprese la cantidad de material gastado en su fabricación en función de r. b) Determine el valor de r y h para que la cantidad de material gastado en su fabricación sea mı́nima. 180 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 27. La figura muestra dos conos circulares rectos, uno invertido dentro del otro. Sus bases son paralelas, y el vértice del cono menor se encuentra en el centro de la base del cono mayor. a) Exprese el volumen del cono menor en función de R b) Exprese el volumen del cono menor en función de h c) ¿Qué valores deben tener R y h para que el volúmen del cono menor sea máximo? 28. a) Trace la gráfica de y = e−x 2 b) El rectángulo de la ilustración tiene un lado sobre el eje y positivo, otro sobre el eje x positivo y su vértice 2 superior derecho está sobre la curva y = e−x i) Exprese el área del rectángulo en función de x. ii) ¿Con qué dimensiones alcanza el rectángulo su mayor área y cuál es tal área? 181 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Se va a hacer un cono con una pieza circular de lámina metálica, de 10 metros de radio, recortando un sector y soldando las aristas recortadas de la pieza restante (ver figura). Si el ángulo θ en el vértice del sector suprimido está dado en radianes: a) Exprese la longitud l de la circunferencia de la base del cono en función de θ. 29. b) Exprese el radio r de la base circular del cono en función de θ. c) Exprese el área lateral A del cono en función de r. d ) Exprese el área lateral A del cono en función de θ. e) Exprese el volumen del cono en función de r. f ) Cuál es el máximo volúmen posible del cono resultante? 30. ln x . x2 b) El rectángulo de la ilustración tiene un lado sobre el eje y positivo, otro sobre el eje x positivo y su vértice superior derecho está sobre la curva ln x y= 2 . x i) Exprese el área del rectángulo en función de x. ii) ¿Con qué dimensiones alcanza el rectángulo su mayor área y cuál es tal área? a) Trace la gráfica de y = 182 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 31. Considere la gráfica de la función: 1 f (x) = con x > 0, tal como se x ilustra. a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, a1 ). b) Halle la distancia del punto A al punto B en función de a, en donde A y B son los cortes con los ejes coordenados de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)). c) Determine el punto (a, a1 ) de la curva y = x1 tal que la distancia del punto A al punto B sea mı́nima. 32. Se desea construir un recipiente con la forma de un cilindro circular recto sin tapa con un volumen de 24 π centı́metros cubicos. El precio del material que se usa para el fondo es el triple del precio del material que se usa para la parte lateral. Encuentre las dimensiones del recipiente para los cuales el costo sea mı́nimo. 183 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 33. Dos casas A y B están a una distancia de 50 metros una de la otra y están situadas a un mismo lado de una tuberı́a principal de agua y a una distancia de 15 y 45 metros respectivamente de dicha tuberı́a. Se va a instalar agua a las casas A y B llevándola desde un mismo punto P de la tuberı́a principal. Si el costo de cada tuberı́a instalada es de 20 dólares por metro, ¿desde que punto P de la tuberı́a principal deben partir las instalaciones para que el costo de ésta sea mı́nimo? 184 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Respuestas 2. Coordenadas y gráficas 2.1. Taller A 1. x + 2y − 8 = 0 2. x − 2y + 3 = 0 3. x = 2, y = 7 4. a) Sea m1 la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B. Sea m2 la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y C. −1 , m2 = 2, entonces m1 ∗ m2 = −1. Por lo tanto l1 ⊥ l2 . Como m1 = 2 El área del triángulo rectángulo dado es 10 unidades cuadradas. b) El punto medio del segmento BC es (5, 2). La ecuacı́on de la recta l que es perpendicular al segmento BC en su punto medio es x − 3y + 1 = 0. El punto A satisface la ecuacion de la recta l a b a b a b 5. d , (0, 0) = d , (0, b) = d , (a, 0) , , , 2 2 2 2 2 2 √ a2 + b2 = 2 6. Sea mAB la pendiente de la recta l1 que pasa por los puntos A y B. Sea mDC la pendiente de la recta l2 que pasa por los puntos D y C. 1 1 Como mAB = y mDC = entonces l1 es paralela a l2 . El área del trapecio 2 2 es igual a 24 unidades cuadradas 7. a) x − 2y + 3 = 0. b) La intersección de las rectas l1 y l2 es el punto (1, 2). c) x2 + y 2 − 10x − 8y = −21. 8. a) x2 + y 2 − 6x − 14y = −13 b) Cortes con el eje y: (0, 1) y (0, 13) 9. k = 0 o k=4 10. x2 + y 2 − 8x − 10y = −31 185 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 11. m = 4 , b = −5 12. Para m = −2 y b = 10, el punto es (1, 8) para m = −18 y b = 90 , el punto es (9, −72) 14. 20 pies 15. Dominio = [1, 5] , Rango = [−2, 4] 16. a) La relación de x2 + y 2 − 2x − 8y = −13 es la circunferencia (x − 1)2 + (y − 4)2 = 4. Dominio = [−1, 3], Rango = [2, 6]. √ b) y = 4 + √2x − x2 + 3, Dominio = [−1, 3], Rango = [4, 6]. y = 4 − 2x − x2 + 3, Dominio = [−1, 3], Rango = [2, 4]. 3. Funciones 3.1 Taller A 1. a) Sı́ es función, f (x) = f =[1, +∞) 1 2 2x − 3x + 11 2 , Dominio de f = R, Rango de b) No es función. c) No es función. √ d) Sı́ es función, f (x) = x − 1 + 2, Dominio de f = [1, +∞), Rango de f =[2, +∞) √ e) Sı́ es función, f (x) = − x − 1 + 2, Dominio de f = [1, +∞), Rango de f = (−∞, 2] √ f) f (x) = 2x − x2 , el Dominio de f = [0, 2], Rango de f = [0, 1] 2. iii) Dominio de f = R, corte con el eje y: (0, 5), cortes con el eje x: (1, 0) y (5, 0) 3.B b) x − y + 1 = 0 c) el resutado es 2x − 2 + h √ 4. f (b) = 4 b, con 0 ≤ b ≤ 25 19. k = −1 186 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 20. k = 2 21. k = −1, o k = 22. 2 3 i) x3 − 4x2 + 5x − 2 = (x − 1)2 (x − 2) √ √ ii) x4 + 2x3 − 5x2 − 4x + 6 = (x + 3)(x − 1)(x + 2)(x − 2) iii) 2x3 − x2 − 8x + 4 = (2x − 1)(x − 2)(x + 2) iv) x4 − 5x2 − 10x − 6 = (x − 3)(x + 1)(x2 + 2x + 2) v) 2x5 − 13x4 + 20x3 + 18x2 − 54x + 27 = (x − 1)2 (x − 3)2 (2x + 3) √ √ vi) x3 − 2x = x(x − 2)(x + 2) vii) x3 − 2x + 1 = (x − 1)(x + √ 1− 5 2 )(x + √ 1+ 5 2 ) viii) x5 + 2x4 − 2x3 − 4x2 + x + 2 = (x + 2)(x + 1)2 (x − 1)2 ix) 2x5 − x4 − x3 − 2x2 + x + 1 = (x − 1)2 (x + 12 )(2x2 + 2x + 2) 23. i) a) x3 2x − 3 2x − 3 = − 3x − 2 (x + 1)2 (x − 2) b) Dom de (f ) = R − {−1, 2}, ceros de f = 3/2 ii) a) x2 + 2x − 3 (x − 1)(x + 3) x+3 = = 3 2 x − 3x + 2 (x − 1) (x + 2) (x − 1)(x + 2) b) Dom de (f ) = R − {−2, 1}, los ceros de f = {−3} iii) a) x3 x+2 1 x+2 = = 2 − 3x + 2 (x − 1) (x + 2) (x − 1)2 b) Dom (f ) = R − {−2, 1}, no tiene ceros iv) a) 3x − 1 3x − 1 = x3 − 3x2 + 4x − 2 (x − 1)(x2 − 2x + 2) b) Dom de (f ) = R − {1}, los ceros de f = {1/3} 187 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I v) a) x2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) √ √ = 4 3 2 x − x − 5x + 3x + 6 (x + 1)(x − 2)(x − 3)(x + 3) x−1 √ √ (x + 1)(x − 3)(x + 3) √ √ b) Dom de (f ) = R − {−1, − 3, 2, 3}, los ceros de f = {−1} = vi) a) x3 − 3x2 − x + 2 (x + 1)(x − 2)(x − 1) = = x+1 x2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) b) Dom de (f ) = R − {1, 2}, los ceros de f = {−1} 24. El dominio de f Dom (f ) = R − {4}, los ceros de f = {−1, 3} i) El dominio de (f ) = √[−2, +∞) − {1}. el corte con las gráfica de f con el eje y es el punto (0, 32 ). La gráfica de f corta el eje x unicamente en el punto (2, 0) 25. ii) El dominio de (f ) = [ 12 , +∞) − {1, 2}. la gráfica de f no tiene cortes con el eje y, ni tampoco tiene cortes con el eje x. 26. i) El dominio de (f ) = [1, +∞), la función f no tiene ceros reales. ii) El dominio de (f ) = (−∞, 2], como f (2) = 0 entonces 2 es un cero de f , y éste es el único cero de f . iii) El dominio de (f ) = (−∞, −1] ∪ [2, +∞)), los ceros de f son -1 y 2. iv) El dominio de (f ) = (−∞, −3] ∪ [4, +∞)), el unico cero de f es -3. v) El dominio de (f ) = ((−∞, − 31 ) ∪ [1, +∞)) − {−1}, no tiene ceros. vi) El dominio de (f ) = (−2, +∞)) − { 21 }, los ceros de f son -2 y 1. √ √ vii) El dominio de (f ) = (−∞, 1−2 5 ] ∪ [1, 1+2 5 ] ∪ (2, +∞), los ceros de f son √ √ 1− 5 1+ 5 , 1, . 2 2 29. a) −x + 7, f (x) = −3x − 1, x − 7, 188 Si x ≤ −4 Si −4 < x ≤ Si 32 < x 3 2 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 32. Dom de f = [−5, 4] Rango de f = [−2, 3) 33. Dom de f = (−∞, −1) ∪ (−1, 2) Rango de f = (−1, −7) 34. Dom de f = R Rango de f = (−2, +∞) 35. Dominio de f = R Rango de f = R 36. Dominio de f = R Rango de f = [−1, 3] 37. B. i) a) (f ◦ g)(x) = x √+ 1, Dom (f ◦ g) = [0, +∞) b) (g ◦ f )(x) = x2 + 1, Dom (f ) = R q , Dom (f ◦ g) = (−∞, −5] ∪ (2, +∞) iii) a) (f ◦ g)(x) = x+5 √x−2 7 x − 1 + 2x + 4 b) (g ◦ f )(x) = , Dom (g ◦ f ) = [1, +∞) − {5} x−5 x−1 v) a) (f ◦ g)(x) = , Dom (f ◦ g) = [1, +∞) − {2} x−2 b) (g ◦ f )(x) = √x12 −1 , Dom (g ◦ f ) = (−∞, −1) ∪ (1, +∞) vi) a) (f ◦ g)(x) = q 1 2x−1 x+3 , −1 Dom (f ◦ g) = (−∞, −3) ∪ [ 12 , +∞) − {4} √ 7 x − 3x + 6 , b) (g ◦ f )(x) = 9x − 4 Dom (g ◦ f ) = [0, +∞) − {1, 4/9} √ √ 38. g(x) = 1 + x2 − 3x + 2, g(x) = 1 − x2 − 3x + 2 40. i) b) f −1 (x) = x2 + 2 ii) b) f −1 (x) = x2 − 6x + 11 x2 − 6x + 11 2 √ iv) b) f −1 (x) = 3 x − 1 iii) b) f −1 (x) = 189 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 41. 42. √ i) b) f −1 (x) = 1 + 4 + x √ ii) b) f −1 (x) = 2x − x2 + 3 √ iii) b) f −1 (x) = 2 − 1 − x2 √ iv) b) f −1 (x) = 2 + 1 − x2 1+x x 2x +1 ii) b) f −1 (x) = 3x − 9 5−x iii) b) f −1 (x) = 2x − 1 i) b) f −1 (x) = 3.2 Taller B. Funciones exponenciales y logarı́tmicas 1. a) Dominio (f ) = R − {−1, 3} b) Dominio (f ) = (1−, +∞) c) Dominio (f ) = (−∞, −2) ∪ (1, +∞) d) Dominio (f ) = (−∞, −2) ∪ ( 21 , +∞) e) Dominio (f ) = ( 1e , +∞) f) Dominio (f ) = (0, +∞) − {e, 1e } g) Dominio (f ) = (0, +∞) − {1, 2} h) Dominio (f ) = ( 12 , +∞) − {1} i) Dominio (f ) = (−∞, 15 ) ∪ (1, +∞) 2. i) x = 0 ii) x = iii) x = 1 3 1 2 + ln 2 iv) x = 1 v) x = −2, x=1 vi) x = 0 vii) x = 1 viii) x = e ix) x = 1 x) x = 1 , e2 x=1 190 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xi) x = xii) x = xiii) x = 1 e 1 e 1 e, − 12 x=e xiv) x = e xv x = −3 xvi) x = xvii) x = 2 3 3 2 xviii) x = 2 xix) x = −2 xx) x = 4 xxi) x = 0, x = ln 2 xxii) x = 1 xxiii) x = −1 xxiv) x = 2 xxv) x = −1, x=0 xxvi) x = −2 xxvii) x = 1 xxviii) x = 3 xxix) x = 2 3 xxx) x = 2 xxxi) x = −1 xxxii) x = 2 xxxiii) x = 0 xxxiv) x = 27 xxxv) x = − 12 , xxxvi) x = x= 1 2 1 8 xxxvii) No tiene solución. 3. i) x = 2 ii) x = 0, iii) x = x= 1 2 1 2 191 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I iv) x = ln 3 v) x = 1, x = e4 vi) x = 5 vii) x = 0, viii) x = x=2 ln(e−1) 2 ix) x = 1, x = e2 x) x = 0, x=2 xi) x = ln(2) ln(24) xii) x = 2 xiii) x = −1, x=3 xiv) x = 0, √ xv) x = e x = ln(2) xvi) x = −1, x=2 xvii) No tiene solción 4. ln(1 + y 2 ) 2 2 ln(y − 1) x= 2 p x = ln(y + y 2 + 1) 1 1+y x = ln 2 1−y " # p 1 + 9 + 4y 2 ln 2 1 x= = log2 2 ln(2) 2 a) x = b) c) d) e) 1+ ! p 9 + 4y 2 2 6. A continuación daremos la solución de cada desigualdad en notación de intervalos. i) (−∞, 0) 1 + ln 2 ii) ( , +∞) 3 iii) (−∞, 1) iv) (−2, −1) 192 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I v) vi) vii) viii) ix) x) xi) xii) xiii) (1, 2) ( 12 , 1) (− 12 , 32 ) ( 1e , +∞) (0, 1e ) ( 1e , +∞) (0, 1) (0, e) (e, +∞) 1 xiv) (e− 2 , +∞) 1 xv) xvi) xvii) xviii) (0, e− 2 ) ( 1e , e) (−∞, −1) ( 13 , 32 ) xix) xx) xxi) xxii) xxiii) xxiv) xxv) xxvi) xxvii) ( 17−1 , +∞) 4 [−2, 2) (0, 4) (0, 2) (−2, −1) ∪ (0, +∞) (−2, +∞) ( 23 , +∞) ( 23 , 23 ) ( 13 , 32 ] ∪ (2, +∞) √ 3 xxviii) (e 2 , +∞) xxix) (0, e12 ) ∪ (1, +∞) 8. a) g(x) = ex + 1, con x ∈ R 9. a) g(x) = (ln x)2 , con x > 1 10. a f (t) = (1000)2t 10. b f (t) = 600(3)t/2 t/140 1 12. a f (t) = 20 2 193 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 4. Funciones como modelos matemáticos 4.1. Taller A. 1. a) A = 40x − x2 . Los valores admisibles de x para este problema son 0 < x < 40 b) Para x = 10, y = 30. Para x = 30, y = 10 c) 10 6 x 6 30 d) 5 < x 6 8, o, 32 6 x < 35 e) x = y = 20 2. a) V = x3 − 3x, con x > 0. b) x = 1 c) x > 3 3. a) 2 < t < 18. b) s = 1680 pies 4. a) 2 6 x 6 6. b) 2 6 x 6 6 c) x = y = 5 9. 12. 13. 15. √ a) A = (x + 2) 4 − x2 . √ b) A = h[ 4 − h2 + 2] √ a) h = 5 − 25 − x2 . √ b) A = x(5 − 25 − x2 ) √ a) h = 5 + 25 − x2 . √ b) A = x(5 + 25 − x2 ) √ a) x − 3 x. √ 3 x(4 − x) b) A = 4 18. A = 2x(12 − 3x) √ x 64 − x2 19. A = 2 194 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I √ ( 3 − 6)x2 4 20. A = 2x + , con 0 < x < 4 3 4x2 + 39x + 81 x r x3 23. l = , con 10 < x 6 20 x − 10 √ (27 − x) x2 − 64 24. y = , con 8 < x < 27 x 22. A = 15x 25. y = x + √ 2 x − 100 26. a) V = 4x(12 − x)(8 − x), con 0 < x < 8. b) A = 384 − 4x2 27. b) 28. a) b) c) 29. h . 2 πh3 V = 12 √ h = 2 16 − r2 , con 0 < r < 4 √ A = 4πr 16 − r2 √ V = 2πr2 16 − r2 a) r = a) V = b) A = 30. 40 3 h(h + 3). 40 3 (2h + 3) a) h = 12 − 2r, con 0 < r < 6. b) V = 2πr2 (6 − r) 31. 32. 16r2 . r2 − 64 16π r4 b) A = ( 2 ) 3 r − 64 a) y = 2(27 − r3 ) . 3r2 4πa 27 + 2r3 b) costo = ( ) 3 r a) h = 195 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 33. a) V = 23 πr2 (6 − r), con 0 < r < 6. b) V = πh 12 (12 34. 2π (r + 250) r 35. 4π 3 3 (x − h)2 , con0 < h < 12 − 8000) 20h2 36. √ 3 37. a) l = 20π − 10θ. 10π − 5θ b) r = . π c) A = 10πr. d) A = 50(2π − θ). √ e) V = π3 r2 100 − r2 . 5. Trigonometrı́a 5.1. Taller A. 2π x = (1 + 3n) 2π 3 , n ∈ Z, x = (2 + 3n) 3 , n ∈ Z 2π x = (1 + 3n) 2π 9 , n ∈ Z, x = (2 + 3n) 9 , n ∈ Z 2π x = nπ, n ∈ Z, x = (1 + 3n) 2π 3 , n ∈ Z, x = (2 + 3n) 3 , n ∈ Z 2π x = (1 + 3n) 2π 3 , x = (2 + 3n) 3 , n ∈ Z x = (1 + 12n) π6 , x = (5 + 12n) π6 , n ∈ Z x = (1 + 12n) π6 , x = (5 + 12n) π6 , n ∈ Z x = (2n + 1) π2 , x = (1 + 12n) π6 , x = (5 + 12n) π6 , n ∈ Z x = (7 + 12n) π6 , x = (11 + 12n) π6 , x = (1 + 4n) π2 , x = (3 + 4n) π2 n ∈ Z π π m) x = (3 + 4n) π6 , x = (1 + 12n) 18 , x = (5 + 12n) 18 ,n∈Z 2. a) b) c) d) g) j) k) l) 3. a) x = (1 + 12n) π6 , x = (5 + 12n) π6 , x = (7 + 12n) π6 , n ∈ Z b) x = πn, x = (2n + 1) π4 , n ∈ Z 2π c) x = (1 + 6n) π3 , x = (1 + 3n) 2π 3 , x = (2 + 3n) 3 , π x = (5 + 6n) 3 , n ∈ Z 196 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I d) e) f) g) x = n π4 ,n ∈ Z 2π x = (1 + 3n) 2π 3 , x = (2 + 3n) 3 , n ∈ Z x = 2n π5 , x = (2n + 1)π, n ∈ Z x = (2n + 1) π4 , x = (2n + 1) π2 , n ∈ Z 11π 4. a) x = 7π 6 , x= 6 b) x = − π4 , x = 3π 4 10. a) La amplitud = 4, el perı́odo = π, desplazamiento de fase = π6 , con π cortes con el eje x: x = (6n + 5) 12 , con n ∈ Z b) La amplitud = 3, el perı́odo = π, desplazamiento de fase = − π3 , con cortes con el eje x: x = (−2 + 3n) π6 , con n ∈ Z 11. b) Los cortes de la gráfica de y = sen(2x − π2 ) + 21 , con el eje x son: x = (7 + 6n) π6 , con n ∈ N π 12. I = 510sen( 12 t) −5π π π 6 , d = 0 ó a = −10, b = 2 ,c = 6 , d = 0 a) i) El perı́odo = π3 , el desplazamiento de fase = π6 , los cortes eje x son: = (1 + 2n) π6 , con n ∈ Z, las ası́ntotas verticales son las verticales x = (1 + n) π3 , n ∈ Z 13. a = 10, b = 15. π 12 ,c = con el rectas 16. b) √ i. 2 sen(2x) − 2 3 cos(2x) = 4 sen(2x − π3 ) √ √ ii. 2 sen(2x) − 2 3 cos(2x) = −[2 3 cos(2x) − 2 sen(2x)] = −4 cos 2x + π6 c) √ √ i. f (x) = 2 cos(x + π4 ), f (x) = − 2 sen(x − π4 ) ii. f (x) = −6 cos(2x + π6 ), f (x) = 6 sen(2x − π3 ) iii. f (x) = −4 cos(3x − π6 ), f (x) = −4 sen(3x + π3 ) π 19. x = (7 + 24n) 12 , x = (13 + 24n) π2 , con n ∈ N 20. (2, 2π 3 ) es un par de coordenadas polares de P , los otros pares de coordenadas polare P son de la forma (2, 2π 3 + 2nπ), con n ∈ N √ √ θ 10 θ −3 10 21. sen = , cos = 2 10 2 10 22. sen(θ) = −3 5 , cos(θ) = csc(θ) = −5 3 −4 5 , cot(θ) = 43 , sec(θ) = 197 −5 4 , Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I q √5+2 −2 3 4 θ √ , 23. cos(θ) = √ , cos(2θ) = , sen(2θ) = , sen 5 5 2 = 5q 2 5 √ √ √ , tan θ = −2 − 5 cos 2θ = − 25−2 2 5 √ √ 24. sen(2θ) = −2 3 , cos(2θ) = 21 , tan(2θ) = − 3 5.2 Taller B. Funciones trigonométricas inversas 1. Consideramos las funciones tan : (− π2 , π2 ) → R. Si x ∈ (0, π) entonces −x ∈ (−π, 0), y por consiguiente π 2 −x∈ −π π 2 , 2 . Puesto que tan( π2 − x) = cot(x), tomamos y = tan( π2 − x) = cot(x) vemos que π2 − x = arctan(y), x = arccot(y). Por lo tanto arccot(y) = π2 − arctan(y) para todo y real. Finalmente, si intercambiamos los papeles arccot(x) = π2 − arctan(x) para todo x real. 200 3. a) θ = arctan x b) θ = π 3 √ 400 3 c) La distancia recorrida = pies. 3 √ √ 8 3 d ) i) segundos, ii) 8 3 segundos 3 4. a) [−1, 37 ] b) (−∞, 0] c) (−∞, −3] ∪ [1, +∞) d ) R − {1} e) (−∞, 1] ∪ [2, +∞) f ) (−∞, −3] ∪ [−1 − √ √ g) [1 − 2, 1 + 2] √ 2, −1 + √ 2] ∪ [1, +∞) h) [1, +∞) 198 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 9. a) h = 135 tan(57o 200 ) ≈ 210,55 pies √ o b) h = 135 tan(60 ) = 135 3 pies 10. x = 80(tan(48o ) − tan(25o )) ≈ 51,54 pies √ 11. d = 100( 3 − 1) pies 12. d = 50 tan(72o 400 ) ≈ 160,2031 metros 13. h = 8,4(tan(24o 100 ) tan(47o 400 ) ≈ 2,6755 millas tan(24o 100 ) + tan(47o 400 ) 14. x = 10(tan(30o ) − tan(15o )) ≈ 3,094 pies 15. θ ≈ 51,9635o 4π radianes ó, θ = 144o 5 √ 17. La longitud del tunel es 260 3 − 90 ≈ 360,33 pies 16. θ = 20. A = 2 sen(2θ) + 4 sen(θ) x 21. θ = arc cos 30 22. V = 90 sen(θ) pies3 23. V = 72π tan(θ), con 0 < θ < π 2 24. |AC| = 10 sec(θ) 25. Altitud = 4000(csc(41,4o ) − 1) ≈ 2048,58 millas √ 20 3 26. metros 3 √ 27. x + y = 5(3 3 + 5) metros 5.3 Taller C. La ley de senos y la ley de cosenos √ √ 3. a) C = 45o , b = 3 6, c = 3( 3 + 1) 4. √ a) Se pueden construir dos triángulos: el primero con a = 6, b = 6 3, c = 12, A = 30o , B = 60o , C = 90o . √ El segundo con a = 6, b = 6 3, c = 6, A = 30o , B = 120o , C = 30o . 199 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I √ √ b) Se pueden construir dos triángulos: el primero con a = 2, b = 3, p √ c = 2 + 3, A = 45o , B = 60o , C = 75o . p √ √ √ El segundo con a = 2, b = 3, c = 2 − 3, A = 45o , B = 120o , C = 15o . √ √ 6 6−2 3 5. a) d = millas, b) h = millas 2 8 6. x = 7 millas 7. a) d = √ √ 3 millas, b) h = 3 millas 2 √ 8. Area = 16π − 12 3 √ 60 30 6 metros y √ metros. 9. Las longitudes de los cables son de: √ 3+1 3+1 √ 30 3 La altura del poste es de √ 3+1 14. c) P = 2R(2 sen(α) + sen(2α)), con 0 < α < π2 . d) h = 2R sen2 (α), e) Area = 4R2 sen3 (α) cos(α) 6.Limite de funciones 6.1. Taller A 1. i) 6 ii) 1 6 iii) 5 iv) v) 1 4 1 20 vi) 4 vii) 1 18 viii) 12 ix) x) 2 3 1 5 200 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xi) NO EXISTE xii) 1 2 xiii) 0 xiv) 1 4 xv) 0 xvi) 1 2 xvii) 0 xviii) NO EXISTE xix) xx) 1 10 2 3 2. b) 2 3. b) i) 3 ii) NO EXISTE iii) 8 4. i) 0 ii) 1 iii) 1 3 iv) 0 v) 4 vi) 0 √ vii) − 2 √ viii) 2 ix) −3 x) 3 xi) xii) xiii) √ − 2 2 √ 2 2 1 3 xiv) 0 201 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xv) 2 xvi) −∞ xvii) +∞ xviii) −∞ 5. a) i) −1 ii) 1 iii) NO EXISTE 6. b) i) 2 ii) 2 iii) 2 7. b) i) 4 ii) 0 iii) NO EXISTE 8. b) i) 2 ii) NO EXISTE 9. a) i) 4 ii) 2 b) NO EXISTE 10. b) i) 0 ii NO EXISTE 202 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 11. b) i) −1 ii) 3 iii) 0 iv) NO EXISTE v) NO EXISTE vi) 2 vii) 0 viii) 2 12. b) i) 2 ii) −∞ iii) NO EXISTE 13. b) i) 1 ii) −∞ iii) NO EXISTE iv) 1 v) 1 vi) 1 15. 0 16. 7 17. 4 18. b) i) −2 ii) −1 iii) −∞ 203 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I iv) 0 v) 0 vi) −1 20. i) 0 ii) 0 iii) 1 iv) 1 v) 0 vi) 0 vii) viii) 1 2 3 2 ix) −1 x) 1 xi) −2 xii) −3 xiii) 0 xiv) −∞ xv) 0 xvi) −ln(2) xvii) −1 xviii) 1 xix) − π4 xx) − π4 xxi) −π xxii) π xxiii) − π2 xxiv) 21. π 2 i) − 21 ii) 1 2 iii) −∞ 204 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I iv) −1 v) −∞ vi) +∞ vii) 0 viii) 1 2 ix) − 13 x) −∞ xi) −∞ xii) −∞ xiii) −∞ xiv) 1 xv) xvi) xvii) 1 3 1 6 1 9 xviii) −∞ xix) +∞ xx) 0 xxi) 1 xxii) 1 xxiii) − 21 xxiv) 1 2 √ 22. 2 2 i) − √ ii) iii) 2 2 1 2 iv) 0 v) 1 2 vi) 1 vii) − 14 √ viii) − 3 3 205 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I ix) π x) 1 3 xi) − 32 xii) π xiii) −∞ xiv) −∞ xv) xvi) 1 3 1 2 xvii) 3 xviii) 0 xix) 0 xx) 0 xxi) 1 2 xxii) −1 xxiii) −1 7. Continuidad de funciones 7.1. Taller A. 1. a) f es discontinua en a = 1, por que f no es está definida en a = 1 b) g es discontinua en a = 1, porque el lı́m g(x) no existe x→1 c) h es discontinua en a = 1, porque el lı́m h(x) 6= h(1) no existe x→1 2. La función f es discontinua en: a = −3, a = −1 y a = 4 4. i) b) f es discontinua en a = 0, a = discontinuidad removibles en a = 1 1 3, a = 2 3, a = 5, a = 1, y tiene un ii) b) g es discontinua en a = −4, a = 32 , a = 13 , a = −3, a = 0, a = 1 , y tiene un discontinuidad removible en a = 1 y a = 0 7. i) a) El dominio de la f = R − {2, 3} b) f tiene discontinuidades en: a = 2, a = 3, y tiene una discontinuidad removible en a = 3 206 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I c) La recta x = 2 es ası́ntota vertical de la gráfica f d) La recta y = 1 es ası́ntota horizontal izquierda y derecha de la gráfica de f ii) a) El dominio de la f = R − {1, 2} b) f tiene discontinuidades en: a = 1, a = 2, y tiene una discontinuidad removible en a = 1 c) La recta x = 2 es ası́ntota vertical de la gráfica f d) La recta y = 1 es ası́ntota horizontal izquierda y derecha de la gráfica de f iii) a) El dominio de la f = R − {−1, 2} b) f tiene discontinuidades en: a = −1, a = 2, y tiene una discontinuidad removible en a = −1 c) La recta x = 2 es ası́ntota vertical de la gráfica f d) La recta y = 0 es ası́ntota horizontal izquierda y derecha de la gráfica de f iv) a) El dominio de la f = R − {−2, 1} b) f tiene discontinuidades en: a = −2, a = 1, y tiene una discontinuidad removible en a = −2 c) La recta x = 1 es ası́ntota vertical de la gráfica f d) La recta y = 1 es ası́ntota horizontal izquierda y derecha de la gráfica de f v) a) El dominio de la f = R − {−2, 1} b) f tiene discontinuidades en: a = −2, a = 1, y tiene una discontinuidad removible en a = −2 c) La recta x = 1 es ası́ntota vertical de la gráfica f d) La recta y = x es ası́ntota oglicua izquierda y derecha de la gráfica de f vi) a) El dominio de la f = R − {1, 2} b) f tiene discontinuidades en: a = 1, a = 2, y estas discontinuidades son removible vii) a) El dominio de la f = [ 21 , +∞) − {1, 2} b) f tiene discontinuidades en: a = 1, a = 2, y tiene una discontinuidad removible en a = 1 c) La recta x = 2 es ası́ntota vertical de la gráfica f 207 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I d) La recta y = 0 es ası́ntota horizontal derecha de la gráfica de f viii) a) El dominio de la f = R − {2} b) f tiene discontinuidades en todos los numeros de la formula a = m 2, en donde m es un entero, y todas las discontinuidades son esenciales c) La recta x = 2 es ası́ntota vertical de la gráfica f d) La recta y = −1 es ası́ntota horizontal izquierda y derecha de la gráfica de f ix) a) El dominio de la f = (0, +∞) − { 1e , e} b) f tiene discontinuidades en: a = 1e , a = e, y estas dos discontinuidades son esenciales c) Las rectas x = 1e y x = e son ası́ntotas verticales de la gráfica f d) La recta y = 0 es ası́ntota horizontal derecha de la gráfica de f x) a) b) c) d) El dominio de la f = R − {1} f tiene discontinuidades en: a = 1, y esta discontinuidad es esencial La recta x = 1 es ası́ntota vertical de la gráfica f La recta y = π2 ası́ntota horizontal derecha y la recta − π2 es la ası́ntota horizontal izquierda de la gráfica de f xi) a) El dominio de la f = R − [1, 5] b) f tiene discontinuidades en: a = 1, a = 5, y tiene una discontinuidad removible en a = 5 c) La recta x = 1 es ası́ntota vertical de la gráfica f d) La recta y = 1 es ası́ntota horizontal izquierda de la gráfica de f xii) a) El dominio de la f = R − {2, 3} b) f tiene discontinuidades en: a = 2, a = 3, y estas discontinuidades son esenciales c) La recta x = 2 y x = 3 son ası́ntotas verticales de la gráfica f d) La recta y = 0 es ası́ntota horizontal izquierda y derecha de la gráfica de f 10. a = −1, ó a = 3 12. i) a = 3, b = −2 14. b = ii) a = 1, b = 2 1 2 208 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 15. a) −1 + 1, x + 3 x + 4, 3, √ 4 − x2 , 1, f (x) = x + 2, 3 − x, −x2 + 6x − 6, 9 − 2x, −6 + 3, x−4 si x < −3 , si −3 6 x < −2, si x = −2, si −2 < x < 0, x=0, si 0 < x < 1, si 1 6 x 6 2, si 2 < x < 3, si 3 < x 6 4, si 4 < x d) f no es continua en el intervalo dado en: ii), v), vii) vii) x) xi) xiii) e) De los intervalos indicados en e) solamente se puede aplicar el teorema de valor intermedio a la función f en intervalo [1, 2] 8. Derivadas 8.1. Taller A 1. y = −2x + 5 2. x − 2y = 0 3. a = 2π 3 , a= 4π 3 4. a) Recta tangente 2x − y + 2 = 0, recta normal x + 2y − 9 = 0 b)Recta tangente x − 2y + 1 = 0, recta normal 2x + y − 8 = 0 5. El punto (3, 6) 6. √ a) i) f (1) = 3, ii) lı́m f (x) = lı́m ( x + 2) = lı́m (ax + b), esto es: x→1 x→1− x→1+ lı́m f (x) = 3 = a + b, iii) lı́m f (x) = f (1) x→1 x→1 √ 1+h+2−3 1 f (1 + h) − f (1) 0 b) f− (1) = lı́m = lı́m = h h 2 h→0− h→0− f (1 + h) − f (1) a(1 + h) + b − 3 f+0 (1) = lı́m = lı́m =a h h h→0+ h→0+ 209 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1 5 c) a = , b = 2 2 9 −1 ,b= 7. 8 8 10. √ a) i) f está definida en 0, ii) lı́m ( 1 − x + 2) = lı́m (x2 − 2x + 3) = 3 x→0− x→0+ = lı́m f (x), iii) lı́m f (x) = f (0) x→0 x→0 √ f (0 + h) − f (0) 1−h+2−3 1 b) = lı́m = lı́m =− h h 2 h→0− h→0− 2 − 2h + 3) − 3 f (0 + h) − f (0) (h f+0 (0) = lı́m = lı́m = −2 h h h→0+ h→0+ f 0 (0) no existe, ya que f−0 (0) 6= f+0 (0) f−0 (0) c) lı́m f (x) = lı́m (x2 − 2x + 3) = 6, x→3− x→3− √ lı́m f (x) = lı́m ( x − 3 + 1) = 1, f no es continua en x = 3 x→3+ x→3+ d) f no es derivable en x = 3, ya que f no es continua en x = 3 e) −1 √ , si x < 0 , 2 1 − x f 0 (x) = 2x − 2, si 0 < x < 3, 1 , si 3 < x √ 2 x−3 11. a) f 0 (1) no existe, ya que f−0 (1) = lı́m h→o− f (1 + h) − f (1) h [(1 + h)2 + 1] − 2 = lı́m =2 h h→0− f (1 + h) − f (1) [(1 + h)2 + 2] − 2 f+0 (1) = lı́m = lı́m = +∞ h h h→0+ h→0+ c) ( 2x, si x < 1, f (x) = 2x, si 1 < x 0 Esto es f 0 (x) = 2x con x 6= 1 14. 1 1 + cos(x) 1 b) 1 − sen(x) a) 210 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I −1 1 + x2 4 x−1 d) 3 x2/3 c) −20(2x + 1)3 (3x + −1)5 1 f) √ 3 − x2 + 2x √ 4 − x2 + x arc sen( x2 ) g) 3 (4 − x2 ) 1 e) h) 15. 2 − 2x arctan( x2 ) (4 + x2 )2 (1 − x)(1 + x) (1 + x2 )2 5 2−x b) 3 x1/3 4 1−x c) 3 x2/3 4−x d) 1/3 x (6 − x)2/3 a) e) −3ecos(3x) sen(3x) f) 10esen 2 (5x) sen(5x) cos(5x) = 5esen 1 x[1 + (ln x)2 ] x h) √ 1 + x2 2 cos(4x) i) p 1 + sen(4x) g) j) 6 sen(2x) (1 + cos(2x))4 k) (ln x)(ln x + 2) l) (ln x)(2 − ln x) x2 211 2 (5x) sen(10x) Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I m) (arctan x)2 + 2 arctan x 1 + x2 16. x − 2y + 2 ln 2 − 2 = 0 √ √ 17. ((2 + 6n) π3 , (2 + 6n) π3 + 3), ((4 + 6n) π3 , (4 + 6n) π3 − 3), donde n es cualquier número entero 18. a = 19. 7π 11π ,a= 6 6 a) (1, 1) b) (2, 4) −π 1 π c) ( −1 2 , 6 ), ( 2 , 6 ) π d) (−1, −π 4 ), (1, 4 ) e) (−1, − π4 ), (1, π4 ) f) (0, π4 ) g) (1, 0) h) (e, e), (e−1 , 5e−1 ) 20. (3, 1/3) 21. (1, 8) 22. x + e4 y − 3e2 = 0 √ a4 + 1 2 23. a)x + a2 y − 2a = 0, b) a π 5π ,a= 6 6 √ 1 25. e, √ 2 e 24. a = −6(x + 1) dy = 2 . dx (x + 2x)4 dy 1 + 2 sen(4x) b) = p dx 2 x + sen2 (2x) 29. a) 31. a) Recta tangente x + 2y − 2 − 32. a) y 0 = π 2 = 0, recta normal 2x − y + 1 − π = 0 (2x−ey )y xyey +1 212 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I x(x − 2y) x2 − 1 y c) y 0 = x (4x2 − x − 2 d) y 0 = x(1 + 6y 2 ) b) y 0 = e) y 0 = (x − 1)y x(y + 2) f) y 0 = −6x2 y − y − 18x x + xy + 3 33. y 0 = 34. (6x2 − 2 , 4x + 5y − 1 = 0 x(4y + 1) a) y 0 = (1 + 2x2 )y , x(y − 2) b) y 0 = −2x − ye(xy) ) , 6y + xexy c) y 0 = 3x2 − 2y 2 , 4xy − 3 x+y−3=0 d) y 0 = (2x − ey )y , xyey + 1 ex + y − 1 = 0 e) y 0 = cos(y) − y cos(xy) , x[cos(xy) + sen(y)] f) y 0 = −y 2 sen(xy 2 ) , 2xy sen(xy 2 ) + cos(y) g) y 0 = (1 + y 2 )(y 2 − 2x) , 1 − 2xy + 2xy 3 h) y 0 = −2x − ye(xy) , xexy − 2y i) y 0 = 18x − 6x2 y 2 − y 2 , 2xy + 2xy 2 − 6 j) y 0 = (3x2 − ey )(1 + y) , xey + xyey − 2y − 1 x−y−2=0 x + 6y − 6 = 0 (4 − π)x − 8y + 3π − 4 = 0 y=0 2x − 3y + 1 = 0 y = 12 x + 1 y = 5x − 7 11x − y − 22 = 0 213 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 35. −ysen(x) − y 2 cos(xy 2 ) , 1 − cos(x) + 2xy cos(xy 2 ) 1 3π − 2 Recta tangente y = x+ , 2(1 − π) 2(π − 1) a) y 0 = Recta normal y = 2(π − 1)x − 2π(π − 1) + 1 √ −1 − sen(x + y) −2 3 − 3 π b) y = , Recta tangente y = x+ , sen(x + y) 3 3 π 3 x+ Recta normal y = √ 3 2 3+3 cos(xy) − xy sen(xy) + 2xy + 1 , c) y 0 = −x2 + x2 sen(xy) + cos(y) + 1 Recta tangente y = −2πx + 3π, 0 Recta normal x − 2πy + 2π 2 − 1 = 0 (2x2 − 1)y , Recta tangente x + 3y + 2 = 0, d) y 0 = x(2 − y) Recta normal y = 3x − 4 −yexy − 2x e) y 0 = , Recta tangente x + 6y − 6 = 0, xexy + 6y Recta normal 6x − y + 1 = 0 6x2 − y 2 f) y 0 = , Recta tangente y = 2x, 2xy − 3 Recta normal x + 2y − 5 = 0 −y sen(x) − y 2 cos(xy 2 ) 1 , Recta tangente y − 1 = (x − π), g) y 0 = 2 1 − cos(x) + 2xy cos(xy ) 2(1 − π) Recta normal y − 1 = 2(π − 1)(x − π) p √ √ 7 3 (2 3 + 2xy − y) 1 − y 2 0 1 √ (x − 1), p h) y = √ , Recta tangente y− 2 = 2(4 + 3) 3 + 2xy + x 1 − y 2 √ −2(4 + 3) 1 √ Recta normal y − 2 = (x − 1) 7 3 2 +x−2) − arctan( y2 ) + 4x + i) y = 2x e(x2 +x−2) + 4 + y2 Recta tangente 8x + 5y − 18 = 0, 0 −(2x + 1)ye(x 214 π 4 , Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Recta normal 5x − 8y + 11 = 0 j) y 0 = 2x − y sen(x) − y cos(xy) −1 , Recta tangente y = x + 1, 6y + x cos(xy) − cos(x) 5 Recta normal y = 5x + 1 36. La pendiente de la recta tangente a la curva xy = 2, en el punto (a, b) es −2 m1 = y 0 (a) = 2 , la pendiente de la recta tangente a la curva x2 − y 2 = 3 en a a2 a el punto (a, b) es m2 = y 0 (a) = = , por lo tanto m1 .m2 = −1 b 2 37. 4x − 5y = −16, x + 10y = 14 38. y = 2x + 8, y = 2x − 8 √ 5 3 39. y = 3 40. y 0 = −2x − y , x + 2y 6 − 2xy 41. = , x2 − 2y y”(2)=-4 y0 y 00 = −6(x2 + xy + y 2 ) (x + 2y)3 y 0 (2) = 1 y 00 −3x4 y + 12x3 + 4y 3 − 36 = −2 , (x2 − 2y)3 42. y 00 en (2, 1) es igual a 15. 43. a) Dx b) Dx c) Dx d) Dx e) Dx −x sen(x) − 2 cos(x) ln(cos(x)) = = x3 cos(x) 2x2 = [(1 + x2 )x ] = (1 + x2 )x ln(1 + x2 ) + 1 + x2 sen(x) sen(x) sen(x) = [x ]=x cos(x) ln(x) + x 2 2x − (1 + x2 ) ln(1 + x2 ) 2 1/x 2 1/x = [(1 + x ) ] = (1 + x ) x2 (1 + x2 ) 3 x cos(x) − 3x2 sen(x) ln(sen(x)) 3 3 1/x 1/x ] = (sen(x)) = [(sen(x)) x6 sen(x) 2 [(cos(x)1/x )] 2 (cos(x))1/x 215 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 44. a) f tiene extremos realtivos en c = −4, c = −2, c = 0, c = 1. c = 4, c = 7. c = 8. en todos los puntos donde f tiene extremo relativo y la derivada existe, la derivada en ese punto es igual a cero b) f tiene puntos crı́ticos en: c = −6, c = −4, c = −2, c = 0, c = 1, c = 3, c = 4, c = 6, c = 7, c = 8 45. b) f tiene puntos crı́ticos en c = −1, c = 1 i) a) Dom (f ) = R, b) f tiene puntos crı́ticos en c = −1, c = 1 ii) a) Dom (f ) = R, iii) a) Dom (f ) = R, b) f tiene puntos crı́ticos en c = 0, c = 4, c = 6 iv) a) Dom (f ) = R, b) f tiene puntos crı́ticos en c = 0, c = 2 v) a) Dominio (f ) = (−∞, −1) ∪ (2, +∞), vi) a) Dom (f ) = R − {1}, b) f no tiene puntos crı́ticos b) f no tiene puntos crı́ticos vii) a) Dom (f ) = R, b) f tiene puntos crı́ticos en c = 0, c = 2 1 viii) a) Dom (f ) = (0, +∞), b) f tiene puntos crı́ticos en c = 2 , c = 1 e 8.2. Taller B. Teorema de Rolle y Teorema del valor intermedio 1. 2. i) f (x) = x4/3 − 3x1/3 es continua en cada punto del intervalo cerrado [0, 3] 4x − 3 ii) f 0 (x) = existe en cada punto del intervalo abierto (0, 3) 3x2/3 iii) f (0) = 0 = f (3) por lo tanto, existe c ∈ (0, 3), tal que 4c − 3 = 0. Entonces c = 3/4 ∈ (0, 3) f 0 (c) = 0 esto es, 3c2/3 i) f (x) = e(x ii) 2 +x−2) es continua en cada punto del intervalo cerrado [−2, 1] f 0 (x) = (2x + 1)ex(x (−2, 1) 2 +x−2) existe en cada punto del intervalo abierto iii) f (−2) = 1 = f (1) por lo tanto, existe c ∈ (−2, 1), tal que f 0 (c) = 0 esto 2 es, (2c + 1)e(c +c−2) = 0. Entonces c = −1/2 ∈ (−2, 1) 3. f (t) = g(t) − h(t) satisface las tres condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle sobre el intervalo cerrado [0, T ], siendo T el tiempo que duró la carrera. Ası́, por el teorema de Rolle existe t0 ∈ (0, T ) tal que f 0 (t0 ) = 0 4. a) Como f 0 (c) = −2 3c 1 3 entonces f 0 (c) 6= 0 para todo c ∈ (−1, 1) con c 6= 0 216 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I b) L = 0 tres condicones de la hipótesis del teorema de Rolle no son satisfechas por la función dada en el intervalo cerrado [−1, 1], ya que f 0 (0) no existe ( 2, Si x > 12 5. Como f 0 ( 12 ) no existe, y f 0 (x) = entonces −2, Si x < 12 f 0 (c) 6= 0 para todo c ∈ (0, 1) con c 6= 12 . Lo anterior no contra dice el teorema de Rolle, ya que las tres condiciones son safisfechas por la función dada en el intervalo cerrado [0, 1] 6 a) i) f (x) = x3 − 3x2 + 5 es continua en cada punto del intervalo cerrado [−1, 2] ii) f 0 (x) = 3x2 − 6x existe en cada punto del intervalo abierto (−1, 2) iii) f (−1) = 1 = f (2), Por lo tanto, existe c ∈ (−1, 2) tal que f 0 (c) = 0. Esto es, 3c(c − 2) = 0. Entonces c = 0, o, c = 2, c = 0 ∈ (−1, 2) 217 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 6. −2 1 ,c= 3√ 2√ c = − 3, c = 3 √ i) f (x) = 3 x2 − 5x + 6 es continua en cada punto del intervalo cerrado [2, 3] 2x − 5 ii) f 0 (x) = existe en cada punto del intervalo 3[(x − 3)(x − 2)]2/3 abierto (2, 3) iii) f (2) = f (3) = 0. Por lo tanto, existe c ∈ (2, 3) tal que f 0 (c) = 0 esto 2c − 5 5 es, 2 = 0, entonces c = 2 ∈ (2, 3) 3[(c − 3)(c − 2)] 3 c = π2 , c = π, c = 3π 2 p i) f (x) = 1 + sen(2x) es continua en cada punto del intervalo cerrado [0, π2 ] cos(2x) existe en cada punto del intervalo abierto ii) f 0 (x) = p 1 + sen(2x) (0, π2 ) iii) f (0) = f ( π2 ) = 1. Por lo tanto, existe c ∈ (0, π2 ) tal que f 0 (c) = 0 esto cos(2c) es, p = 0, los números reales c tales que cos(2c) = 0 y 1 + sen(2c) 1 + sen(2c) 6= 0 son de la forma c = (4n + 1) π4 donde n es cualquier número entero. Ası́, para n = 0, c = π4 ∈ (0, π2 ) b) c = c) d) e) f) 7. f (x) = x2 + x sen(x) − cos(x) satisface la hipótesis del teorema del valor intermedio sabre cada uno de los intervalos cerrados [−π, 0] y [0, π] como k = 0 está entre f (−π) = π 2 + 1 y f (0) = −1 entonces existe un c1 ∈ (−π, 0) tal que f (c1 ) = k = 0. Como k = 0 esta entre f (0) = −1 y f (π) = π 2 + 1 218 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Entonces existe c2 ∈ (0, π) tal que f (c2 ) = k = 0. De lo anterior vemos que f tiene por lo menos dos ceros reales c1 y c2 y por consiguiente, la ecuación f (x) = 0, esto es x2 − x sen(x) − cos(x) = 0 tiene por lo menos dos soluciones reales c1 y c2 . Para ver que c1 y c2 son las únicas soluciones de la ecuación x2 = x sen(x) + cos(x) basta observar que f 0 (x) = x(2 − cos(x)) es igual a cero unicamente cuando x = 0. De esta manera vemos que si la ecuación x2 = x sen(x) + cos(x) tiene otra solución c3 distinta de c1 y de c2 entonces f (c3 ) = 0 y por consiguiente c3 6= 0 y por lo tanto c3 serı́a positiva o negativa. Suponiendo que c3 > 0 entonces f (x) = x2 − x sen(x) − cos(x) satisface las hipótesis del teorema de Rolle sobre el intervalo cerrado con extremos c2 y c3 tal que f 0 (c) = 0. Un argumento similar se puede decir si c3 fuera negativo. 8. Aplicar el teorema del valor intermedio a f (x) = x5 + x3 + 2x − 3 sobre el intervalo cerrado [0, 1] y utilizar el teorema de Rolle para comprobar que no pueden existir dos ceros reales de f en el intervalo (0, 1). √ 9. Veamos que f (x) = x − 2x − 1 satisface las dos condiciones de la hipótesis del teorema del valor intermedio sobre el intervalo cerrado [1, 5] √ 1) Como f (x) = x − 2x − 1 es continua sobre su dominio de definición = [ 12 , +∞) entonces f es continua sobre el intervalo cerrado [1, 5]. 2) f 0 (x) = 1 − √ 1 existe en cada punto del intervalo abierto (1, 5). 2x − 1 Por lo tanto, el teorema del valor intermedio garantiza que existe por lo menos un c ∈ (1, 5) tal que f (5) − f (1) = f 0 (c)(5 − 1). 1 Esto es, 2 − 0 = 1 − √ (5 − 1). 2c − 1 Entonces c = 52 ∈ (1, 5) 219 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 10. √ I) 1. f (x) = 4 + 2x − 1 existe en cada punto del intervalo abierto [1, 5] 1 2. f 0 (x) = √ existe en cada punto del intervalo (1, 5) 2x − 1 II) Existe c ∈(1, 5) tal que f (5) − f (1) = f 0 (c)(5 − 1) esto es 7 − 5 = 1 5 √ (5 − 1). Entonces c = ∈ (1, 5) 2 2c − 1 3 2 b) I) f (x) = x − 2x + x + 3 satisface las dos condiciones de la hipótesis del teorema del valor intermedio sobre el intervalo cerrado [−1, 1] II) Existe c ∈ (−1, 1) tal que f (1) − f (−1) = f 0 (c)(1 − (−1)) esto es 2 2 3 − (−1) = (3c √ − (−1)). Por lo tanto 3c√− 4c − 1 = 0. √ − 4c + 1)(1 2+ 7 2− 7 2± 7 ,c= ∈ / (−1, 1), pero c = ∈ (−1, 1) Ası́ c = 3 3 3 c) I) 1. f (x) = |x − 3| es continua en el intervalo cerrado [0, 4] 2. ( −1, si x < 3 f 0 (x) = 1, si x > 3 . a) Pero f 0 (3) = lı́m h→0 ya que: f−0 (3) = lı́m h→0− |h| − 0 |h| f (3 + h) − f (3) = lı́m = lı́m no existe h→0 h→0 h h h f (3 + h) − f (3) |h| −h = lı́m = lı́m = −1 − − h h h h→0 h→0 , y, f+0 (3) = lı́m h→0+ f (3 + h) − f (3) |h| h = lı́m = lı́m =1 h h→0+ h h→0+ h Ası́ f no es derivable en cada punto del intervalo abierto (0, 4) Entonces, una condición de la hipótesis del teorema del valor intermedio no es satisfecha por la función f sobre el intervalo cerrado [0, 4]. d) i) 1. f (x) = 1 − x2/3 es continua sobre el intervalo cerrado [−1, 1] −2 2. La derivada f 0 (x) = no existe en x = 0; Entonces f no es 3x1/3 derivable en cada punto del intervalo abierto (-1,1). 220 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Ası́, una condición de la hipótesis del teorema del valor intermedio no es satisfecha por la función f sobre el intervalo cerrado [−1, 1] e) I) 1. f (x) = 1 − 3x1/3 es continua sobre el intervalo cerrado [−1, 8] 1 2. La derivada f 0 (x) = − 2/3 no existe en x = 0; Entonces f no es x derivable en cada punto del intervalo abierto (−1, 8). Ası́, una condición de la hipótesis del teorema del valor intermedio no es satisfecha por la función f sobre el intervalo cerrado [−1, 8] I) 1. f (x) = x − 3x1/3 es continua sobre el intervalo cerrado [0, 1] 1 2. f 0 (x) = 1 − 2 existe en cada punto intervalo abierto (0, 1) x3 II) Existe c ∈(0, 1) tal que f (1) − f (0) = f 0 (c)(1 − 0) esto es −2 − 0 = 1 1 1 1 − 2/3 (1 − 0). Por lo tanto c = ± √ c = − √ ∈ / (0, 1), pero c 3 3 3 3 1 c = √ ∈ (0, 1) 3 3 g) I) 1. f (x) = θx2 + βx + γ es continua sobre el intervalo cerrado [a, b] 2. f 0 (x) = 2θx + β existe en cada punto del intervalo abierto (a,b) II) Existe c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a) esto es (θb2 + βb + a+b γ) − (θa2 + βa + γ) = (2θc + β)(b − a). Por lo tanto c = ∈ (a, b) 2 h) I) 1. f (x) = x + 2 cos(x) es continua sobre el intervalo cerrado [0, 2π] 2. f 0 (x) = 1 − 2 sen(x) existe en cada punto del intervalo abierto (0, 2π) II) Existe c ∈ (0, 2π) tal que f (2π) − f (0) = f 0 (c)(2π − 0); Esto es (2π + 2) − 2 = (1 − 2 sen(c))(2π − 0). Por lo tanto sen(c) = 0 entonces c = nπ. Ası́, para n = 1, c = π ∈ (0, 2π) f) i) I) 1. f (x) = arc sen(x) es continua sobre el intervalo cerrado [0, 1] 1 2. f 0 (x) = √ existe en cada punto del intervalo abierto (0, 1) 1 − x2 II) Existe c ∈ (0, 1) tal que f (1) − f (0) = √f 0 (c)(1 − 0); Esto es π 1 π2 − 4 ( − 0) = √ (1 − 0). Entonces c = ± . Por lo tanto 2 √ π 1 − c2 π2 − 4 c= ∈ (0, 1) π j) I) 1. f (x) = arctan(x) satisface las dos condiciones de la hipótesis del teorema del valor intermedio sobre el intevalo cerrado [0, 1] 221 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I II) Existe c ∈ (0, 1) tal que f (1) − f (0) = f 0 (c)(1 − 0); Esto es ( π4 − 0) = r r 1 4−π 4−π (1 − 0). Por lo tanto, c = ± . Ası́, c = ∈ (0, 1) 2 1+c π π k) I) 1. f (x) = ln(x) satisface las dos condiciones de la hipótesis del teorema del valor intermedio sobre el intevalo cerrado [1, e] II) Existe c ∈ (1, e) tal que f (e) − f (1) = f 0 (c)(e − 1); Esto es 1 − 0 = 1 (e − 1). Por lo tanto, c = e − 1 ∈ (1, e) e l) I) 1. f (x) = x(ln(x))2 es continua sobre el intervalo cerrado [ 1e , e] 2. f 0 (x) = (ln(x))2 + 2 ln(x) entonces f es derivable en cada punto del intervalo abierto ( 1e , e) II) Existe c ∈ ( 1e , e) tal que f (e) − f 1e = f 0 (c)(e − 1e ); Esto es e − 1 e = ((ln c)2 + 2 ln c)(e − 1e ). √ √ 2. Entonces (ln(c))2 + 2 ln(c) − 1 = 0. Ası́ c = e−1+ 2 , o, c = e−1− √ √ 1 Facilmente se ve que c = e−1− 2 ∈ / ( e , e), Pero que c = e−1+ 2 ∈ 1 ( e , e) m) I) 1. ( x2 , si x ≤ 1, f (x) = 2 x + 8, si 1 < x No es continua en x = 1, ya que el lı́m f (x)no existe. x→1 En efecto lı́m f (x) = lı́m x2 = 1, y, lı́m f (x) = lı́m (x2 + 8) = 9. x→1− x→1− x→1+ x→1+ Entonces f no es continua sobre el intervalo cerrado [0, 2]. 2. f 0 (x) = 2x, si x 6= 1. Pero f no es derivable en x = 1 ya que f no es continua en x = 1 y ası́, f tampoco es derivable en cada punto del intervalo abierto (0, 2). Ası́, las dos condiciones de la hipótesis del teorema del valor intermedio no son satisfechas por la función f sobre el intervalo cerrado [0, 2] 222 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I n) I) 1. Vemos que: ( x2 , f (x) = 2 ln(x) + 1, si x ≤ 1, si 1 < x Es continua sobre el intervalo cerrado [0, e] f (x) = x2 Es continua sobre el intervalo semiabierto [0, 1). f (x) = 2 ln(x) + 1 es continua sobre el intervalo semiabierto (1, e]. Además, f es continua en x = 1, ya que: i) f está definida en x = 1, pues f (1) = 12 = 1. ii) lı́m f (x) = lı́m x2 = 1, Como x→1− x→1− y, lı́m f (x) = lı́m (2 ln(x) + 1) = 1 entonces lı́m f (x) = 1. x→1+ x→1 x→1+ iii) lı́m f (x) = f (1) x→1 2. Veamos que f es derivable en cada punto del intervalo abierto (0, e) ( 2x, si x < 1, 0 f (x) = 2 si 1 < x x, f (1 + h) − f (1) existe ya que: h→0 h Además f 0 (1) = lı́m f−0 (1) = lı́m h→0− f+0 (1) = lı́m h→0+ f (1 + h) − f (1) (1 + h)2 − 1 = lı́m =2 h h h→0− f (1 + h) − f (1) (2 ln(1 + h) + 1) − 1 = lı́m = + h h h→0 223 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I lı́m h→0+ 2 ln(1 + h) = 2 lı́m ln[(1 + h)1/h ] = 2 h h→0+ Ası́, ( 2x, si x ≤ 1, f 0 (x) = 2 si 1 < x x, Por lo tanto, f es derivable en cada punto del intervalo abierto (0, e) II) Existe c ∈ (0, e) tal que f (e) − f (0) = f 0 (c)(e − 0); Esto es (3 − 0) = f 0 (c)e. ñ) 3 3 3 Por lo tanto, f 0 (c) = si c ≤ 1 entonces 2c = . por lo tanto c = e e 2e 2 3 2e si 1 < c entonces = , por lo tanto c = c e 3 3 2e además c = ∈ (0, 1] ⊂ (0, e] y, c = ∈ (1, e) ⊂ (0, e) 2e 3 I) 1. ( x2 , si x ≤ 1, f (x) = 5 ln(x) + 1, si 1 < x Es continua sobre el intervalo cerrado [0, e]. 2. 2x, si x < 1, f 0 (x) = 5 , si 1 < x x Pero f no es derivable en x = 1, ya que f−0 (1) = 2, y, f+0 (1) = 1 11. Para x > 0, f (t) = tet − et + 1 satisface los dos condiciones de la hipótesis del teorema del valor intermedio sobre el intervalo cerrado [0, x]. Por lo tanto, existe c ∈ (0, x) tal que f (x) − f (0) = f 0 (c)(x − 0); esto es (xex − ex + 1) − 0 = cxc (x − 0). Ası́, xex − ex + 1 = cxec > 0 porlo tanto, xex > ex − 1. Po consiguiente xex ≥ ex − 1 si x ≥ 0 para x < o se obtiene un argumento parecido 224 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 8.3 Taller C. 3. 3 , f 0 (x) = 15x2 (x − 2)(x + 2), i) f (x) = 3x5 − 20x√ √ f 00 (x) = 60x(x − 2)(x + 2) a) Dom (f ) = R b) Punto crı́ticos de f : c = −2, c = 0 y c = 2 c) f es continua en c = −2, f 0 (x) > 0 si x < −2, y, f 0 (x) < 0 si −2 < x < 0, Entonces f tiene un máximo relativo en c = −2. f no tiene ni máximo relativo ni mı́nimo relativo en c = 0. f es continua en c = 2, f 0 (x) < 0 si 0 < x < 2, y, f 0 (x) > 0 si x > 2. Entonces f tiene un mı́nimo relativo en c = 2 d) f 00 (−2) = −240 < 0 entonces f tiene un máximo relativo en c = −2. f 00 (0) = 0 (el criterio no decide), f 00 (2) = 240 > 0 entonces f tiene un mı́nimo relativo en c = 2 ii) f (x) = 6x2 − x3 , f 0 (x) = 3x(4 − x), f 00 (x) = 6(2 − x) a) Dom (f ) = R b) Punto crı́ticos de f : c = 0 y c = 4 c) Como f es continua en c = 0, f 0 (x) < 0 si x < 0, y, f 0 (x) > 0 si 0 < x < 4, entonces f tiene un mı́nimo relativo en c = 0. Como f es continua en c = 4, f 0 (x) > 0 si 0 < x < 4, y, f 0 (x) < 0 si x > 4 entonces tiene un máximo relativo en c = 4 d) f 00 (0) = 12 > 0 entonces f tiene un mı́nimo relativo en c = 0. f 00 (4) = −12 entonces f tiene un máximo relativo en c = 4 √ x 36 − x2 0 18 − x2 , iii) f (x) = , f (x) = √ 2 2 √ √ 36 − x x(x − 3 6)(x + 3 6) f 00 (x) = (36 − x)3/2 a) Dom (f ) = [−6, 6] √ √ b) Punto crı́ticos de f : c = −3 2 y c = 3 2 √ √ 0 (x) < 0 si −6 < x < −3 2, y, c) Como f es continua en c = −3 2, f √ √ f 0 (x) > 0 √ si −3 2 < x < 3 2, entonces f tiene un mı́nimo relativo en c = −3 2. √ √ √ f es√continua en c = 3 2, f 0 (x) > 0 si −3 2 < x < 3 2, y, f 0 (x) √ <0 si 3 2 < x < 6 entonces f tiene un máximo relativo en c = 3 2 √ d) f 00 (−3 √ 2) = 2 >√0 entonces f tiene un mı́nimo relativo en 00 c = −3 √ 2, f (3 2) = −2 entonces f tiene un máximo relativo en c=3 2 225 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I x3 0 , f (x) = x(2 − x), f 00 (x) = 2(1 − x) 3 a) Dom (f ) = R b) Punto crı́ticos de f : c = 0 y c = 2 c) f es continua en c = 0, f 0 (x) < 0 si x < 0, y, f 0 (x) > 0 si 0 < x < 2, entonces f tiene un mı́nimo relativo en c = 0. iv) f (x) = x2 − f es continua en c = 2, f 0 (x) > 0 si 0 < x < 2, y, f 0 (x) < 0 si 2 < x entonces f tiene ni máximo relativo en c = 2 d) Como f 00 (0) = 2 > 0 entonces f tiene un mı́nimo relativo en c = 0. Comof 00 (2) = −2 < 0 entonces f tiene un máximo relativo en c = 2 x2 x(x − 2) 00 2 v) f (x) = , f 0 (x) = , f (x) = 2 x−1 (x − 1) (x − 1)3 a) Dom (f ) = R − {1} b) Punto crı́ticos de f : c = 0 y c = 2 c) Como f es continua en c = 0, f 0 (x) > 0 si x < 0, y, f 0 (x) < 0 si 0 < x < 1, entonces f tiene un máximo relativo en c = 0. Como f es continua en c = 2, f 0 (x) < 0 si 1 < x < 2, y, f 0 (x) > 0 si 2 < x entonces tiene un mı́nimo relativo en c = 2 d) f 00 (0) = −2 < 0, f 00 (2) = 2 > 0 √ x x−1 1 vi) f (x) = x2 − 2x + 4 + , f 0 (x) = √ + , 2 2 x − 2x + 4 2 3 f 00 (x) = 3 (x2 − 2x + 4) 2 a) Dom (f ) = R b) Punto crı́ticos de f : c = 0 c) Como f es continua en c = 0, f 0 (x) < 0 si x < 0, y, f 0 (x) > 0 si x > 0, entonces f tiene un mı́nimo relativo en c = 0 d) f 00 (0) = 83 > 0 vii) f (x) = 12x − x3 , f 0 (x) = 3(2 − x)(2 + x), f 00 (x) = −6x a) Dom (f ) = R b) Punto crı́ticos de f : c = −2 y c = 2 c) f tiene un mı́nimo relativo en c = −2, f tiene un valor máximo relativo en c = 2 226 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I d) f 00 (−2) = 12 > 0, f 00 (2) = −12 < 0 x4 − x3 , f 0 (x) = x2 (x − 3), f 00 (x) = 3x(x − 2) 4 a) Dom f = R b) Punto crı́ticos de f : c = 0 y c = 3 c) f no tiene ni máximo relativo ni mı́nimo relativo en el punto crı́tico c = 0. f tiene un valor mı́nimo a relativo en c = 3 d) Como f 00 (0) = 0 el criterio no decide. Como f 00 (3) = 9 > 0 entonces, por criterio de la segunda derivada, f tiene un valor mı́nimo relativo en el punto c = 3 4 x−1 4 x+2 4/3 1/3 0 00 ix) f (x) = x − 4x , f (x) = , f (x) = 2 5 3 9 x3 x3 a) Dom f = R b) Punto crı́ticos de f : c = 0 y c = 1 c) Como f no tiene ni máximo relativo ni mı́nimo relativo en el punto crı́tico c = 0. viii) f (x) = f tiene un valor mı́nimo relativo en c = 1 ya que f es continua en c = 1 y f 0 (x) < 0, si 0 < x < 1 y f 0 (x) > 0, si x > 1 d) f 00 (1) = 34 > 0 √ √ x − 2)(x + 2 1 x 0 2 x) f (x) = + , f (x) = , f 00 (x) = 3 2 x 2 2x x a) Dom f = R − {0} √ √ b) puntos crı́ticos de f : c = − 2 y c = 2 c) Utilizando el criterio de la primera derivada se ve que f tiene un valor √ máximo relativo en c = − 2 y f tiene un valor mı́nimo relativo en √ c= 2 √ √ √ √ d) f 00 (− 2) = − 22 < 0, f 00 ( 2) = 22 > 0 xi) f (x) = x3 − 3x2 + 4, f 0 (x) = 3x(x − 2), f 00 (x) = 6(x − 1) a) Dom f = R b) Punto crı́ticos de f : c = 0 y c = 2 c) f tiene un valor máximo relativo en c = 0, y f tiene un valor mı́nimo relativo en c = 2 d) f 00 (0) = −6, f 00 (2) = 6 227 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3 (x − 1)(x + 1)(x2 + 1) xii) f (x) = x3 + , f 0 (x) = , x2 x4 x +1 f 00 (x) = 6 x3 a) Dom f = R − {0} b) Los puntos crı́ticos de f son: c = −1 y c = 1 c) f tiene un valor máximo relativo en c = −1, y, f tiene un valor mı́nimo relativo en c = 1 d) f 00 (−1) = −12, f 00 (1) = 12 2(x − 2)(x2 + 2x + 4) 16 0 , f (x) = , x √ x2 √ √ 2(x + 2 3 2)(x2 − 2 3 2 x + 4( 3 2)2 ) f 00 (x) = x3 a) Dom f = R − {0} b) puntos crı́ticos de f : c = 2 c) Como f es continua en c = 2, f 0 (x) < 0, si 0 < x < 2, y, f 0 (x) > 0, si x > 2 entonces por el criterio de la primera derivada f tiene un valor mı́nimo relativo en el punto crt́ico c = 2. d) f 00 (2) = 6 √ √ √ 3x( 6 − x)( 6 + x) 2 0 √ xiv) f (x) = x 9 − x2 , f (x) = , 2 9 − x√ √ 6(x2 − 43 (9 + 33))(x2 − 34 (9 − 33)) 00 f (x) = (9 − x2 )3/2 a) Dom f = [−3, 3] √ √ b) puntos crı́ticos de f : c = − 6, c = 0 y c = 6 √ c) f tiene valores máximos relativos en c = ± 6, y, f tiene un valor mı́nimo relativo c = 0. √ √ , f 00 (0) = 6 d) f 00 (± 6) = −36 3 xiii) f (x) = x2 + x 1 − sen(x), f 0 (x) = − cos(x), f 00 (x) = sen(x) 2 2 a) Dom (f ) = R b) Puntos crı́ticos de f : c = (6n + 1) π3 , y, c = (6n − 1) π3 , donde n = 0, ±1, ±2, ... c) f tiene valores mı́nimos relativos en c = (6n + 1) π3 xv) f (x) = f tiene valores máximos relativos c = (6n − 1) π3 . 228 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I d) f 00 ((6n + 1) π3 ) = xvi) f (x) = xex/2 , f 0 (x) = √ 3 2 > 0, f 00 ((6n − 1) π3 ) = − √ 3 2 <0 (x + 2) x/2 00 (x + 4) x/2 e , f (x) = e 2 4 a) Dom (f ) = R b) c = −2 es el unico punto crı́tico f c) Como f es continua en c = −2, f 0 (x) < 0, si x < −2, y, f 0 (x) > 0, si x > −2 entonces el criterio de la primera derivada garantiza que f tiene un valor mı́nimo relativo en c = −2. 1 d) f 00 (−2) = 2e >0 1 − ln(x) 00 −3 + 2 ln(x) ln(x) 0 , f (x) = , f (x) = 2 x x x3 Dom (f ) = (0, +∞) puntos crı́ticos de f : c = e Como f es continua en c = e, f 0 (x) > 0, si 0 < x < e, y, f 0 (x) < 0, si x > e entonces f tiene un valor máximo relativo en el punto crt́ico c = e. Como f 00 (e) = − e13 < 0, El criterio de la segunda derivada garantiza que f tiene en el punto crı́tico c = e un valor máximo relativo xvii) f (x) = a) b) c) d) xviii) f (x) = x(ln(x))2 , f 0 (x) = (ln(x))(ln(x) + 2), 2(ln(x) + 1) f 00 (x) = x a) Dom (f ) = (0, +∞) b) puntos crı́ticos de f : c = e12 , c = 1 c) Como f es continua en c = e12 , f 0 (x) > 0, si 0 < x < e12 , y, f 0 (x) < 0, si e12 < x < 1 entonces f tiene un valor máximo relativo en c = e12 . 1 Como f es continua en c = 1, f 0 (x) < 0 si 2 < x < 1, y, f 0 (x) > 0 e si x > 1 entonces f tiene un valor mı́nimo relativo en c = 1 d) f 00 ( e12 ) = −2e2 < 0, f 00 (1) = 2 > 0 xix) f (x) = x1/3 (6 − x)2/3 , f 0 (x) = 2−x , − x)1/3 x2/3 (6 −8 x5/3 (6 − x)4/3 a) Dom (f ) = R b) puntos crı́ticos de f : c = 0, c = 2, c = 6 f 00 (x) = 229 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I c) Como f es continua en c = 0, f 0 (x) > 0, si x < 0, y, f 0 (x) < 0, si 0 < x < 2 entonces f no tiene ni valor máximo ni valor mı́nimo relativo c = 0. Como f es continua en c = 2, f 0 (x) > 0, si 0 < x < 2, y, f 0 (x) < 0, si 2 < x < 6 entonces f tiene un valor máximo relativo c = 2. Como f es continua en c = 6, f 0 (x) < 0, si 2 < x < 6, y, f 0 (x) > 0, si x > 6 entonces f tiene un valor mı́nimo relativo c = 6. d) El criterio de la segunda derivada no se puede utilizar para los puntos c = 0, y, c = 6, ya que f 00 (0) no existe y f 00 (6) no existe. Para el punto crı́tico c = 2 si se puede aplicar el criterio de la segunda −1 derivada ya que f 00 (2) = √ 232 1 + 2 ln(x) 0 1 − 2 ln(x) xx) f (x) = , f (x) = , x x2 4(ln(x) − 1) f 00 (x) = x3 a) Dom f = (0, +∞) b) puntos crı́ticos de f : c = e1/2 c) Como f es continua en c = e1/2 , f 0 (x) > 0, si 0 < x < e1/2 , y, f 0 (x) < 0, si x > e1/2 entonces f tiene un valor máximo relativo en 1 c = e2 . −2 d) f 00 (e1/2 ) = 3/2 < 0 e √ 1 xxi) f (x) = x − 2x − 1, f 0 (x) = 1 − √ , 2x − 1 1 f 00 (x) = (2x − 1)3/2 a) b) c) d) Dom f = [ 21 , +∞) puntos crı́ticos de f : c = 1 f tiene un valor mı́nimo relativo en c = 1. f 00 (1) = 1 > 0 x3 + 250 0 2(x − 5)(x2 + 5x + 25) , f (x) = , x x√2 √ √ 3 3 3 2 2 2(x + 5 2)(x − 5 2x + (5 2) ) f 00 (x) = x3 xxii) f (x) = 230 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) b) c) d) Dom f = R − {0} puntos crı́ticos de f : c = 5 f tiene un valor mı́nimo relativo en el punto crı́tico c = 5. f 00 (5) = 6 > 0 2x(x2 − 6x + 12) x3 2x2 (x − 3) 00 , f (x) = , f 0 (x) = x−2 (x − 2)2 (x − 2)3 Dom (f ) = R − {2} puntos crı́ticos de f : c = 0, c = 3 f no tiene ni valor máximo relativo ni valor mı́nimo relativo en el punto crı’tico c = 0. f tiene un valor mı́nimo relativo en el punto crı́tico c = 3 f 00 (3) = 18 > 0 xxiii) f (x) = a) b) c) d) 4x2 + 39x + 81 0 (2x − 9)(2x + 9) , f (x) = , x x2 162 f 00 (x) = 3 x a) Dom (f ) = R − {0} b) puntos crı́ticos de f : c = 92 , c = − 92 c) f tiene un valor máximo relativo en el c = − 92 , y, f tiene un valor mı́nimo relativo en c = 92 16 00 9 d) Como f 00 (− 29 ) = − 16 9 < 0, f ( 2 ) = 9 > 0 xxiv) f (x) = xxv) ( −x2 + 2x + 3, si x < 1, f (x) = −x2 + 2x + 2, si 1 ≤ x f 0 (x) = 2(1 − x) si x 6= 1, f 00 (x) = −2 si x 6= 1 a) Dom (f ) = R b) puntos crı́ticos de f : c = 1, ya que f−0 (1) = f (1 + h) − f (1) f (1 + h) − f (1) lı́m = −∞, f=0 (1) = lı́m =0 h h h→0− h→0+ c) A pesar que f 0 (x) > 0, si x < 1, y, f 0 (x) < 0, si 1 < x, en este ejercicio no se pueda aplicar el criterio de la primera derivada para determinar si f tiene o no un valor máximo relativo en el c = 1, ya que f no es continua en c = 1 (trazar la gráfica de f ). d) El criterio de la segunda derivada no se puede utilizar para este punto crı́tico c = 1, ya que f 00 (1) no existe. 231 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xxvi) 2 x + 2x + 2, si x ≤ 0, f (x) = log2 x, si 0 < x ≤ 2, cos(πx), si 2 < x ≤ 4 Como f no es continua en c = 0 entonces f no es derivable en c = 0. f−0 (2) = lı́m h→0− (log2 (2 + h)) − log2 (2) 1 = h 2 ln(2) , (cos[π(2 + h)] − log2 (2) =0 h f+0 (2) = lı́m h→0+ 2x + 2, si x < 0, 1 0 , si 0 < x < 2, f (x) = x ln(2) −π sen(πx), si 2 < x < 4 2, −1 , f 00 (x) = 2 x ln(2) 2 −π cos(πx), si x < 0, si 0 < x < 2, si 2 < x < 4 a) Dom (f ) = (−∞, 4] b) puntos crı́ticos de f : c = −1, c = 0, c = 2, c = 3 c) f tiene un valor mı́nimo relativo en c = −1. No se puede aplicar el criterio de la primera derivada en el punto crı́tico c = 0. Como f es continua c = 2, f 0 (x) > 0, si 0 < x < 2, y, f 0 (x) < 0, si 2 < x < 3 entonces, por el crı́terio de la primera derivada, f tiene un valor máximo relativo en c = 2. f tiene un valor mı́nimo relativo en c = 3. d) El criterio de la segunda derivada se puede aplicar únicamente a los puntos crı́ticos c = −1, y, c = 3. En estos puntos crı́ticos f 00 (−1) = 2, f 00 (3) = π 2 232 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xxvii) x 2 , f (x) = cos(πx), ln(2x − 4), x 2 ln(2), 0 f (x) = −π sen(πx), 1 x−2 , x 2 2 (ln(2)) , f 00 (x) = −π 2 cos(πx), −1 , (x−2)2 si x ≤ 0, si 0 < x < 25 , si 52 < x si x < 0, si 0 < x < 25 , si 52 < x si x < 0, si 0 < x < 52 , si 52 < x a) Dom (f ) = R b) puntos crı́ticos de f : c = 0, c = 1, c = 2, c = 52 c) f tiene un valores máximos relativos en c = o y en c = 2. f tiene un valores mı́nimos relativos en c = 1 y en c = 52 . d) f 00 (1) = π 2 , f 00 (2) = −π 2 5. 233 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 10. Los ejercicios de este numeral no contienen todo lo que el ejercicio pide que se haga. Solamente se da alguna información, pero el lector debe hacer el ejercicio completo. i. f (x) = 6x2 − x3 Dom(f ) = R f 0 (x) = 3x(4 − x) f 00 (x) = 6(2 − x) 234 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I ii. f (x) = x3 − 3x2 + 4 Dom(f ) = R f 0 (x) = 3x(x − 2) f 00 (x) = 6(x − 1) iii. f (x) = x3 + 3x−1 Dom f = R − {0} (x − 1)(x + 1)(x2 + 1) f 0 (x) = x2 4 + 1) 6(x f 00 (x) = x3 235 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I x2 + 3 x−1 Dom (f ) = R − {1} (x − 3)(x + 1) f 0 (x) = (x − 1)2 8 f 00 (x) = (x − 1)3 Ası́ntotas oblicuas La recta y = mx + b es ası́ntota oblicua derecha a la grafica de f sı́: f (x) m = lı́m , y, b = lı́m (f (x) − mx) x→+∞ x x→+∞ La recta y = mx + b es ası́ntota izquierda a la grafica de f sı́: m = f (x) lı́m , y b = lı́m (f (x) − mx) x→−∞ x x→−∞ iv. f (x) = 236 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I v. f (x) = x3 − 3x2 + 5 Dom (f ) = R f 0 (x) = 3x(x − 2) f 00 (x) = 6(x − 1) x4 − x3 4 Dom (f ) = R vi. f (x) = 237 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I f 0 (x) = x2 (x − 3) f 00 (x) = 3x(x − 2) vii. f (x) = x1/3 (x − 4) Dom (f ) = R 4(x − 1) f 0 (x) = 2 3x 3 4(x + 2) f 00 (x) = 5 9x 3 √ Puntos crı́ticos de f :c = 0, c = 1 Puntos de inflexión:(−2, 6 3 2) y (0, 0) 238 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I √ viii. f (x) = 3 6x2 − x3 Dom (f ) = R 4−x f 0 (x) = 1/3 x (6 − x)2/3 −8 f 00 (x) = 4/3 Puntos crı́ticos de f : c = 0, c = 4, c = 6 x (6 − x)5/3 ix. f (x) = 3x5 − 20x3 239 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Dom (f ) = R f 0 (x) = 15x2 (x −√ 2)(x + 2)√ f 00 (x) = 60x(x − 2)(x + 2) x. f (x) = x + 2 sen(x), Dom f = R, f 0 (x) = 1 + 2 cos(x), f 00 (x) = −2 sen(x), Los puntos crı́ticos de f : π 4π π c = 2π 3 + 2nπ = (6n + 2) 3 , c = 3 + 2nπ = (6n + 4) 3 donde n es cualquier número entero. f 0 (x) < 0 sobre los intervalos abiertos ((6n + 2) π3 , (6n + 4) π3 ) n = 0, ±1, ±2, ... f 0 (x) > 0 sobre los intervalos abiertos ((6n − 2) π3 , (6n + 2) π3 ) n = 0, ±1, ±2, ... f 00 (x) < 0 sobre los intervalos abiertos ((2nπ, (2nπ + 1)π) n = 0, ±1, ±2, ... f 00 (x) > 0 sobre los intervalos abiertos ((2n + 1)π, (2n + 2)π) n = 0, ±1, ±2, ... con con con con Puntos de inflexión (nπ, nπ), ... √ con n = 0, ±1, ±2, 2π Como f 00 ( 2π + 2nπ) = − 3 < 0 entonces f ( + 2nπ) = 3 √ 3 π (6n + 2) 3 + 3 son valores maxı́mos relativos √ √ π Como f 00 ( 4π 3 > 0, entonces f ( 4π 3 + 2nπ) = 3 + 2nπ) ≤ (6n + 4) 3 − 3 son valores mı́nimos relativos. 240 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 2 xi. f (x) = e−x Dom (f ) = R x2 f 0 (x) = (−2x)e√ √ 2 f 00 (x) = 2e−x ( 2x − 1)( 2x + 1) xii. f (x) = ln(x2 − x − 2) Dom (f ) = (−∞, −1) ∪ (2, +∞) 2x − 1 f 0 (x) = (x − 2)(x + 1) −(2x2 − 2x + 5 f 00 (x) = ) (x − 2)2 (x + 1)2 f no tiene puntos crı́ticos 241 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I ln(x) x Dom (f ) = (0, ∞) 1 − ln(x) f 0 (x) = x2 2 ln(x) −3 f 00 (x) = 3 x xiii. f (x) = 242 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xiv. f (x) = e−x Dom (f ) = R f 0 (x) = −e−x f 00 (x) = e−x xv. f (x) = x2 ex Dom (f ) = R 243 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I f 0 (x) = xex (x + 2) f 00 (x) = (x2 + 4x + 2)ex xvi. f (x) = x3 − 3x + 4 Dom (f ) = R f 0 (x) = 3(x − 1)(x + 1) f 00 (x) = 6x 244 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xvii. f (x) = 5x2/3 − 5x5/3 = x2/3 (5 − x) Dom (f ) = R (2 − x) f 0 (x) = 53 (x1/3 −10 1 + x 00 f (x) = 9 x4/3 Puntos crı́ticos de f : c = 0, c = 2 Puntos de inflexión (−1, f (−1)) = (−1, 6) lı́m x2/3 (5 − x) = −∞ x→+∞ lı́m x2/3 (5 − x) = +∞ x→−∞ ln(x) x2 Dom (f ) = (0, +∞) 1 − 2 ln(x) f 0 (x) = x3 −5 + 6 ln(x) f 00 (x) = x4 Puntos crı́ticos de f : c = e1/2 xviii. f (x) = 245 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 246 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xix) Dom(f ) = R; f 0 (x) = ex/2 2+x 4+x 00 x/2 ; f (x) = e 2 4 √ √ 2)(x + 2) 00 2 xx) Dom(f ) = R − {0}; = ; f (x) = 3 . 2 2x x √ √ Los puntos crı́ticos de f son: c = − 2, c = 2. √ √ f es creciente√en los intervalos (−∞, − 2] y [ 2, +∞); f es decreciente en los √ intervalos [− 2, 0) y (0, 2]. √ f tiene un √ valor máximo relativo en c = − 2; f tiene un valor mı́nimo relativo en c = 2. f 0 (x) (x − La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo (−∞, 0), y es cóncava hacia arriba en el intervalo (0, +∞). 1 La recta vertical es ası́ntota vertical a la gráfica de f, y la recta y = x es 2 ası́ntota oblicua izquierda y derecha. 247 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xxi) Dom(f ) = R; f 0 (x) = 1 − 2 sen(x); f 00 (x) = −2 cos(x); Los puntos crı́ticos de f son: c = π6 + 2nπ = (12n + 1) π6 , π c = 5π 6 + 2nπ = (12n + 5) 6 donde n es cualquier número entero. √ Como f 00 ( π6 + 2nπ) = − 3 < 0 entonces f ( π6 + 2nπ) = valores máximos relativos. π 6 + 2nπ + √ 3 son √ √ π 3 > 0 entonces f ( 5π Como f 00 ( 5π 6 + 2nπ) = 6 + 2nπ) = 5 6 + 2nπ − 3 son valores mı́nimos relativos. π π f es creciente sobrelos intervalos (12n − 7) , (12n + 1) 6 , y f es decreciente 6 sobre los intevalos (12n + 1) π6 , (12n + 5) π6 con n entero. 248 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xxii) Dom(f ) = (0, +∞); f 0 (x) = (ln x)(ln x + 2); f 00 (x) = 1 crı́ticos de f son: c = 2 , c = 1. e 249 2(ln x + 1) . Los puntos x Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xxiii) Dom(f ) = R − {1}; f 0 (x) = 1 −2x ; f 00 (x) = ; 1 + x2 (1 + x2 )2 f no tiene puntos crı́ticos. Puntos de inflexión de la gráfica de f: (0, π4 ). 250 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xxiv) Dom(f ) = R − {0}; f 0 (x) = − 1 1/x 00 (2x + 1)e1/x e ; f (x) = . x2 x4 f es discontinua en x=0. f no tiene puntos crı́ticos. f es decreciente en los intervalos (−∞, 0) y (0, +∞). Punto de infexión (−1/2, e−2 ). La gráfica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo (−1/2, 0), y es cóncava hacia abajo en los intervalos (−∞, −1/2) y (0, +∞). lı́m e1/x = +∞, x→0+ lı́m e1/x = 0 x→0− lı́m e1/x = 1 x→−∞ lı́m e1/x = 1 x→+∞ Ası́ntota vertical: la recta vertical x=0. Ası́ntota horizontal derecha: la recta horizontal y=1. Ası́ntota horizontal izquierda: la recta horizontal y=1. 251 y Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 3(2x + 1) xxv) Dom(f ) = R; f 0 (x) = 2 ; (x√ + 1)3/2 √ −3 − 41 −3 + 41 x− −12 x − 8 8 00 f (x) = . 5/2 2 (x + 1) 252 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xxvi) Dom(f ) = R; f 0 (x) = 1 − x 00 x−2 ; f (x) = . x e ex 253 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xxvii) Dom(f ) = R; f 0 (x) = 2(x − 1)e(x 2 f 00 (x) = 2(2x2 − 4x + 3)ex −2x . 2 −2x) ; xxviii) Dom(f ) = R − {3, 4}; f es continua en R − {3, 4} f 00 (x) = 8(x − 3)3 . Puntos crı́ticos de f: c=1 y c=5. f es creciente en los intervalos (−∞, 1] y [5, +∞). 254 f 0 (x) = (x − 1)(x − 5) ; (x − 3)2 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I f es decreciente en los intervalos [1, 3), (3, 4) y (4, 5]. f tiene un valor máximo relativo en c=1. f tiene un valor mı́nimo relativo en c=5. La gráfica de f es cóncava hacia arrriba en los intervalos (3,4) y (4, +∞) y es cóncava hacia abajo en el intervalo (−∞, 3). Ası́ntota vertical: x = 3. Ası́ntota oblicua: y = x + 2. −1 1−x xxix) Dom(f ) = [0, 2]; f 0 (x) = p ; f 00 (x) = 3/2 x (2 − x)3/2 x(2 − x) 255 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xxx) Dom(f ) = R − {0}; f 0 (x) = −1 2x ; f 00 (x) = . x2 + 1 (1 + x2 )2 f no tiene puntos crı́ticos. 1 lı́m arctan = 0, x→−∞ x 1 π lı́m arctan = x 2 x→0+ lı́m arctan x→0− 1 lı́m arctan =0 x→+∞ x 256 1 π =− , x 2 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xxxi) Dom(f ) = (−2, +∞) − {1}; f 0 (x) −3(x2 + 2x + 3) (x + 2)2 (x − 1)2 257 = 3(x + 1) ; f 00 (x) (x + 2)(x − 1) = Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 2−x −8 ; f 00 (x) = 5/3 1/3 − x) x (6 − x)4/3 Los puntos crı́ticos de f son: c=0, c=2 y c=6. xxxii) Dom(f ) = R; f 0 (x) = x2/3 (6 2 cos(x) − 1 ; (2 − cos(x))2 (−2 sen(x))(1 + cos(x)) f 00 (x) = . (2 − cos(x))3 xxxiii) Dom(f ) = [−π, 3π]; f 0 (x) = Los puntos crı́ticos de f sobre el intervalo [−π, 3π] son: c = − π3 , c = π3 , c = y c = 7π 3 . 258 5π 3 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 8.5 Taller E. Funciones Hiperbólicas y sus inversas 3. f (x) = tanh(x) = ex − e−x ex + e−x Dom(f ) = R, f 0 (x) = sec h2 (x) > 0 para todo x real, f no tiene puntos crı́ticos, f ” = −2 sec h2 (x) tanh2 (x), f ”(x) > 0 sobre el intervalo abierto (−∞, 0) y f ”(x) < 0 sobre el intervalo abierto (0, +∞), el punto (0, 0) es un punto de inflexión de la gráfica de f . e2x − 1 ex − e−x = lı́m = −1 x→−∞ e2x + 1 x→−∞ ex + e−x lı́m tanh(x) = lı́m x→−∞ ex − e−x 1 − e−2x = lı́m =1 x→+∞ ex + e−x x→+∞ 1 + e−2x lı́m tanh(x) = lı́m x→+∞ 2 , Domf = R, + e−x f 0 (x) = − sec h(x) tanh (x), f 0 (x) > 0 sobre el intrvalo abierto (−∞, 0), y f 0 (x) < 0 sobre el intervalo abierto (0, +∞), f tiene un valor máximo relativo en el punto crı́tico c= 0 1 2 f ”(x) = 2(sec h(x)) − sec h (x) , f ”(x) = 0 √ 2 √ 00 cuando c = ln( 2 − 1) y c = ln( √ 2 + 1),f (x)√> 0 sobre cada uno y (ln( 2 + 1), ∞), f ”(x) < de los intervalos abiertos (−∞, ln( √ 2 − 1)) √ 0 sobre el intervalo abierto (ln( 2 − 1), ln( 2 + 1)), lı́m sec h(x) = 0, 4. b) f (x) = sec h(x) = ex x→−∞ lı́m sec h(x) = 0 x→+∞ 259 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 5. √ √ cosh ( x) e2 x + 1 √ i) Dx [senh( x)] = = √ √x 2 x 4 xe √ ii) Dx [cosh(3x − 2)] = 3 senh(3x − 2) = 3[e6x − e4 ] 2e3x+2 1 iii) Dx [ln(tanh(x))] = = 2 csc h(2x) senh(x) cosh(x) 1 1 2 1 iv) Dx coth = 2 csc h x x x 1 − x2 1 senh(ln(x)) = x cosh2 (x)(ln(x)) (1 + x2 )2 1 1 1 1 vi) Dx csc h = 2 csc h coth x x x x v) Dx [sec h(ln(x))] = − vii) Dx [senh2 x] = 2 senh(x) cosh(x) = senh(2x) 1 viii) Dx ln(tanh(x)) = csc h(2x) 2 1 1 2 1 2 ix) Dx x tanh = 2x tanh − sec h x x x senh(ln(x)) 1 =1− 2 x) Dx [cosh(ln(x))] = x x xi) Dx [coth3 (4x)] = −12 coth2 (4x) cosh2 (4x) xii) Dx [ln(senh(3x))] = 3 coth(3x) −1 xiii) Dx [ln(coth(x))] = = −2 csc h(2x) senh(x) cosh(x) p √ 3 tanh2 ( (x)) sec h2 ( x) 3√ √ xiv) Dx [tanh x] = 2 x xv) Dx [senh(x2 )] = 2x cosh(x2 ) xvi) Dx [cosh(x3 )] = 3x2 senh(x3 ) 260 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I xvii) Dx [coth(ln(x))] = − csc h2 (ln(x)) 4x =− 2 x (x − 1)2 xviii) Dx [ex cosh(x)] = ex [senh(x) + cosh(x)] = e2x xix) Dx [e3x senh(x)] = e3x [3 sen h(x) + cos h(x)] = e3x [ex + 2 senh(x)] √ √ sec h2 ( x) √ xx) Dx [tanh( x)] = 2 x xxi) Dx [tanh(sen x)] = (cos(x)) sec h2 (sen (x)) xxii) Dx [cosh2 (3x − 1)] = 6 cosh(3x − 1) senh(3x − 1) = 3 senh(6x − 2) xxiii) Dx [senh(cos x)] = (− sen(x)) cosh(cos(x)) senh[ln(x)] cosh(ln(x)) − 2 senh(ln(x)) 3 − x2 xxiv) Dx = = x2 x3 2x4 7. i) f (x) = senh(ln x) = x2 − 1 , 2x Dom(f ) = (0, +∞), cosh(ln x) x2 + 1 f 0 (x) = = > 0 para todo x ∈ (0, +∞). x 2x2 senh(ln x) − cosh(ln x) 1 f ”(x) = = − 3 < 0 para todo x2 x x ∈ (0, +∞) ii) f (x) = ex sen h(x) = e2x − 1 2 Dom (f ) = R. f 0 (x) = ex [senh(x) + cosh(x)] = e2x . f 00 (x) = 2ex [senh(x) + cosh(x)] = 2e2x . 261 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I lı́m f (x) = x→−∞ −1 2 iii) f (x) = cosh(ln x) = x2 + 1 x 1 = + 2x 2 2x Dom(f ) = (0, +∞). senh(ln x) (x − 1)(x + 1) 1 1 f 0 (x) = = = − 2. 2 x 2x 2 2x e− ln x 1 cosh(ln x) − senh(ln x) = = 3 f ”(x) = 2 2 x x x iv) f (x) = tanh(ln(x2 − 2x − 3)) Dom(f ) = (−∞, −1) ∪ (3, +∞). 2(x − 1) sec h2 (ln(x2 − 2x − 3)) f 0 (x) = (x − 3)(x + 1) [2 sec h2 (ln(x2 − 2x − 3))][(x − 1)2 (−1 − 4 tanh(ln(x2 − 2x − 3))) − 4] f ”(x) = (x2 − 2x − 3)2 262 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 9. Aplicaciones de la derivada 9.1 Taller A. Razones de cambio relacionadas 2. a) r = h/2. b) v = 4. πh3 . 12 pies/min. = 4, dh dt = 2 π 40 h(h + 3). 3 40 b) A = (2h + 3). 3 a) v = c) 6. c) Cuando h dh 27 = dt 440 dA 18 ii) Cuando h = 4, = pies2 /min. dt 11 i) Cuando h = 4, h + 80 . 4 2 1 h + 240h + 19200 b) v = πh . 3 16 a) x = 9.2 Taller B. Optimización 1. a) A = 40x − x2 . Los valores admisibles de x para este problema son 0 < x < 40. b) Para x = 10, y = 30. Para x = 30, y = 10. 263 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I c) 10 ≤ x ≤ 30. d ) 5 < x ≤ 8 o 32 ≤ x < 35. e) x = y = 20. 6. √ a) A = (x + 2) 4 − x2 . √ b) A = h[ 4 − h2 + 2]. c) A = 4 sen θ + 2 sen(2θ). d ) La capacidad de acarreo máxima se obtiene cuando θ = π/3. 9. c) P = 2R(2 sen α + sen(2α)), con 0 < α < π/2. d) h = 2R sen2 α. e) 4R2 (sen3 α)(cos α). f) Triángulo equilátero. 11. g) Triángulo equilátero. √ a) x − 3 x. √ 3 x(4 − x) . b) A = 4 c) x = 1 12. a) P = 2(r + 100/r). b) r = 10, θ = 2. 13. √ a) A = 2x(12 − x2 ), 0 < x < 2 3 . b) Base=4, Altura=8. 14. 15. 16. 17. a) A = 6x(4 − x). b) Base=h=Altura. √ x 64 − x2 b) Base=x=Altura. a) A = . 2 √ ( 3 − 6)x2 a) A = 2x + , con 0 < x < 4/3. 4 √ √ 6−2 3 √ de altura. b) 4(6 − 3) de ancho, 6− 3 4x2 + 39x + 81 b) Base = 15/2 pulg, Altura = 38/5 a) A = . x pulg. 18. 264 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I r x3 b) x = 15. , con 10 < x ≤ 20. x − 10 √ (27 − x) x2 − 64 a) y = , con 8 < x < 27. x √ b) 5 5 pies. a) l = 19. 21. 22. a) v = 4x(12 − x)(8 − x), 0 < x < 8. √ a) h = 2 16 − r2 , con 0 < r < 4. √ b) A = 4πr 16 − r2 . b) A = 384 − 4x2 . √ c) A = 2πr2 16 − r2 . √ √ 4 2 d ) r = √ , h = 8/ 3. 3 a) h = 12 − 2r, con 0 < r < 6. b) v = 2πr(6 − r). c) r = 4, h = 4. 24. 16r2 a) h = 2 . r − 64 r4 16π b) v = . 3 r2 − 64 √ c) r = 8 2, h = 32. 25. a) h = 23. 26. 27. 28. 2(27 − r3 ) . 3r2 4πa 27 + 2r3 b) i) Costo = 3 r ii) La altura del cilindro es el doble del radio. 2π 3 (r + 250), con r > 0. r 2 a) v = πr2 (6 − r), con 0 < r < 6. 3 π b) v = h(12 − h)2 , con 0 < h < 12 a) b) 2 12. c) r = 4, h = 4. i) A = xe−x . √ √ √ ii) 1/ 2 unidades de largo por 1/ e unidades de alto y A = 1/ 2e 29. 265 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I a) l = 20π − 10θ. 10π − 5θ b) r = . π c) A = 10πr. d ) A = 50(2π − θ). π √ e) v = r2 100 − r2 . 3 266 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I Índice Presentación 1 1. Preliminares 1.1. El sistema de los números reales . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Propiedades de los números reales . . . . . . . . 1.1.2 Propiedades de la igualdad . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Productos en los que interviene el cero . . . . . . 1.1.4 Propiedad de los números negativos . . . . . . . 1.1.5 Notación para los números recı́procos . . . . . . 1.1.6 Sustración y división . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Propiedades de los cocientes . . . . . . . . . . . . 1.2 El orden y la recta numérica . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 La notación de intervalos . . . . . . . . . . . . . 1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algunas propiedades del valor absoluto . . . . . . 1.4 Exponentes y leyes de exponentes enteros . . . . . . . . 1.5 Exponentes racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Reglas de los radicales . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Simplificación de radicales . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Número imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Operaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . 1.6 Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Expresiones algebraicas - Polinomios . . . . . . . 1.6.2 Componentes de un polinomio . . . . . . . . . . 1.6.3 Clasificación de los polinomios . . . . . . . . . . 1.6.4 Grado de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5 Términos Semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.6 Operaciones entre polinomios . . . . . . . . . . . 1.6.7 Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.8 Algunos casos de factorización . . . . . . . . . . 1.6.9 Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.10 Factorización utilizando los productos notables 1.6.11 Expresiones algebraicas - Expresiones racionales 1.6.12 Simplificación de expresiones racionales . . . . . 1.7 Ecuaciones e inecuaciones en una variable . . . . . . . . 1.7.1 Solución a problemas . . . . . . . . . . . . . . . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 3 4 4 4 4 4 7 9 11 12 14 17 18 18 19 20 23 23 24 24 24 25 25 27 27 28 28 29 30 34 35 Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 1.7.2 Inecuaciones lineales . . . . . . . . . . . 1.8 Ecuaciones de segundo grado con una incognita 1.9 Secciones cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . 1.9.2 Coordenadas del punto medio . . . . . . 1.9.3 Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.4 Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . 1.9.5 La parábola . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.6. La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.7 La hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 38 40 40 40 41 44 45 48 49 2. Coordenas y gráficas 2.1 Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 3. Funciones 3.1 Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Taller B. Funciones exponenciales y logarı́tmicas . . . . . . . . . . . . 55 55 72 4. Funciones como modelos matemáticos 4.1. Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 77 5. Trigonometrı́a 89 5.1. Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2 Taller B. Funciones Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . 96 5.3 Taller C. La ley de senos y la ley de cosenos . . . . . . . . . . . . . . . 105 6. Limite de funciones 112 6.1. Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7. Continuidad de funciones 123 7.1. Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8. Derivadas 8.1. Taller A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Taller B. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Intermedio 8.3 Taller C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Taller D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Taller E. Funciones Hiperbólicas y sus funciones inversas . . 9. Aplicaciones de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 131 146 148 155 156 163 II Departamento de Matemáticas - UTP - Talleres de Matemáticas I 9.1 Taller A. Razones de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.2 Taller B. Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Respuestas 185 III