Gravitación universal 2 - Universidad de Antioquia

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Gravitación universal 2
Los planetas del sistema solar.
Contenidos del módulo
10.1 Compatibilidad de la ley de gravitación universal con las leyes de Kepler
10.2 Las mareas
10.3 La precesión de los equinoccios
10.4 Descubrimiento de nuevos planetas por perturbaciones
10.5 Cálculo de las masas de los astros
Objetivos del módulo
1. Verificar la validez de la ley de gravitación universal a partir de su compatibilidad
con otras leyes previamente establecidas.
2. Discutir las aplicaciones de la ley de gravitación universal en la astrofísica.
3. Determinar los alcances y las limitaciones de la ley de gravitación universal.
Preguntas básicas
1. Si la primera ley de Kepler está contenida en la ley de gravitación de Newton por
el hecho de que las elipses planetarias son figuras cónicas, ¿bajo qué condiciones se pueden realizar trayectorias correspondientes a las demás figuras?
2. Al observar las manchas solares, Galileo descubrió que el Sol rota sobre su eje.
¿Qué pasará con la frecuencia de rotación del Sol el día en que su atmósfera se
dilate hasta que su radio se extienda hasta la órbita de la Tierra?
3. ¿De qué orden de magnitud sería el error que se cometería al utilizar la tercera ley
de Kepler para calcular el radio de la órbita de un planeta como Júpiter, cuya masa
corresponde a la milésima parte de la masa del Sol?
4. Explique por qué se produce una marea alta en el lugar opuesto de la Tierra a aquel
que está más cerca de la Luna.
5. Calcule el valor de la masa del Sol a partir de los valores de la órbita de la Tierra y
tenga en cuenta que la constante de Cavendish tiene un valor de 6.67 x 1011 Nm2/kg2.
Introducción
Después de haber establecido la compatibilidad y la coherencia entre las leyes de la
mecánica de Newton y los descubrimientos y estudios previos de Galileo discutiremos a continuación el mismo tema respecto a la obra de Kepler y las consecuencias
y las proyecciones de la teoría newtoniana de la gravitación.
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Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
10.1 Compatibilidad de la ley de gravitación
universal con las leyes de Kepler
El Sol, con sus planetas y algunos
asteroides.
Una medida de la validez de la ley de gravitación universal es su compatibilidad con
las leyes de Kepler, puesto que éstas habían demostrado su eficacia, hasta donde se
podía comprobar mediante la observación astronómica en la época de Newton.
Como en el caso de los descubrimientos de Galileo para la caída libre, el movimiento
pendular y el movimiento de los proyectiles, las leyes de Kepler se pueden obtener
a partir de la ley de gravitación universal como casos particulares y aproximaciones.
Sabemos que las órbitas elípticas de los planetas son una de las cuatro posibles
trayectorias que puede tener un cuerpo que se mueve bajo la influencia de una
fuerza central inversamente proporcional al radio al cuadrado, tal como la fuerza de
gravitación. Este hecho establece la compatibilidad de la ley de gravitación de
Newton con la primera ley de Kepler.
Podemos decir que uno de los mayores aportes de Newton a la física fue el establecimiento de las leyes a partir de las cuales se pueden plantear ecuaciones de movimiento, de tal forma que si se conoce la forma de la fuerza y se determinan las
condiciones iniciales del sistema, tales como su posición y velocidad, es posible
encontrar una solución matemática de las ecuaciones que se conoce como trayectoria y que, en general, corresponde a la posición del sistema dada en función del
tiempo (figura 10.1). Una lección muy valiosa que se puede extraer en el caso de la
gravitación universal es que en la solución de las ecuaciones de movimiento de un
cuerpo la variable desconocida puede ser la fuerza, pero si se conoce empíricamente
la trayectoria, como en el caso de los planetas, es posible determinar la forma matemática de la fuerza.
La segunda ley de Kepler establece que el radio vector del Sol a un planeta barre
áreas iguales en tiempos iguales. Para la teoría newtoniana de la gravitación esta ley
no es más que la consecuencia de un principio de conservación de tipo más general,
la conservación de la cantidad de movimiento rotacional para un sistema aislado, o
conservación del momento angular.
El momento angular de una partícula es una función vectorial que se define a partir
de la posición y la cantidad de movimiento de la partícula como:
L=rxp
(10.1)
La magnitud del momento angular está dada por la expresión:
L
mvr sen T
(10.2)
donde T es el ángulo entre los vectores momentum p y posición r.
La conservación del momento angular se puede apreciar en el aumento de la velocidad de una piedra que gira atada a una cuerda que se va enrollando sobre un poste,
o en el aumento de la velocidad de rotación de un acróbata que recoge su cuerpo
sobre sí mismo en el momento de hacer un salto mortal.
Consideremos un sistema aislado formado por el Sol y la Tierra. Sabemos que la
Tierra describe una trayectoria elíptica con el Sol situado en uno de los focos (figura
10.2).
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Módulo 10: Gravitación universal 2
y
l=rxp
p
L
r
x
v
m
z
p = mv
L
plano ( v, r )
Figura 10.1. Trayectoria curvilínea, con posición, masa y velocidad de un cuerpo, para definir L
Tierra
R
Sol
Figura 10.2. Órbita elíptica con afelio y perihelio y todos los parámetros indicados
En el perihelio, que es el punto más cercano al Sol,
L p = m r p vp
(10.3)
En el afelio, que es el punto más alejado del Sol,
L a = m ra v a
(10.4)
De acuerdo con la ley de conservación del momento angular Lp = La, de modo que:
r p vp = r a v a
(10.5)
De acuerdo con la segunda ley de Kepler, el radio del Sol a la Tierra barre áreas
iguales en tiempos iguales (figura 10.3).
Escuche Planetario ,
un programa
de la serie radial
Historias de la
Ciencia.
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
3
t = t4 - t3
2
A2
A1
1
4
t = t2 - t1
A1 = A2
Figura 10.3. Áreas equitemporales sobre trayectoria elíptica
Si consideramos un intervalo de tiempo 't lo suficientemente corto, el área que
barre el radio del Sol al planeta cerca del perihelio será:
Ap
rp v p 't 2
(10.6)
De manera similar, el área que barre en el mismo intervalo de tiempo 't el radio del
Sol al planeta cerca del afelio será:
Aa
ra va 't 2
(10.7)
De acuerdo con la segunda ley de Kepler, las áreas Ap y Aa son iguales, de donde
resulta que:
r p vp = r a va
(10.8)
Vemos que (10.5) y (10.8) son equivalentes, lo que nos da un indicio de la compatibilidad de la segunda ley de Kepler con las leyes de Newton.
Cuando se resuelve analíticamente la ecuación de movimiento de un cuerpo de
masa m que describe una trayectoria elíptica de semieje mayor a, bajo la acción de
la fuerza gravitatoria de un cuerpo de masa m´, se obtiene una expresión para el
periodo orbital T de la forma:
T2
2S a 3 G ( m mc)
(10.9)
donde G es la constante de gravitación universal. A partir de la ecuación anterior se
puede obtener la tercera ley de Kepler, T2 = kr3, siempre y cuando la órbita se pueda
considerar aproximadamente circular y la masa del planeta sea despreciable en
comparación con la masa del Sol, tal como sucede en la mayoría de los casos en
nuestro sistema solar. Con esto hemos completado la comprobación de que las
leyes de Kepler no sólo son compatibles con las leyes de Newton, sino que resultan
como aproximaciones y casos particulares de aquéllas.
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Módulo 10: Gravitación universal 2
10.2 Las mareas
Desde tiempo atrás se había sospechado la influencia de la Luna en la generación de
las mareas, pero fue sólo hasta que Newton propuso su ley de gravitación que se
pudo determinar el papel que desempeñaban la Luna y el Sol. La elevación y disminución periódica del nivel del mar conocida como marea es un fenómeno muy complejo que depende de factores como la forma y profundidad del lecho marino y la
rotación de la Tierra, pero que está determinada primordialmente por la mayor atracción gravitatoria que ejerce la Luna sobre las masas de agua oceánica que están más
cerca de ella y por la menor atracción que ejerce sobre las masas que están más
alejadas, en el lado opuesto de la Tierra (figura 10.4). Debido a que la Luna tarda
aproximadamente 24 horas y 50 minutos para dar una vuelta completa a la Tierra, las
altas y bajas mareas lunares se alternan cada 12 horas y 25 minutos. En menor grado
que la Luna, la atracción gravitatoria del Sol también participa en el fenómeno,
resultando más notable cuando se da la alineación de los dos astros y se generan
mareas de máxima altura. Las mareas solares se alternan cada 12 horas.
Luna
Mareas
Tierra
Figura 10.4. Mareas lunares
10.3 La precesión de los equinoccios
La precesión de los equinoccios es el nombre que recibe el movimiento de bamboleo que experimenta la Tierra y por el cual su eje de rotación describe un cono con
un periodo de unos 26.000 años. El fenómeno fue descubierto en el siglo II a.C. por
el astrónomo Hiparco en Alejandría, quien observó que la posición del Sol respecto
al zodiaco el día del equinoccio cambiaba paulatinamente y, en consecuencia, también lo hacía el polo celeste. Este fenómeno es debido al hecho de que la Tierra no
es esférica sino achatada en sus polos por efecto de la rotación y que su eje de
rotación está inclinado respecto al plano de su órbita. Si consideramos de manera
independiente la atracción que las fuerzas que el Sol ejerce sobre el hemisferio norte
y sobre el hemisferio sur se puede apreciar que son ligeramente diferentes, debido
a que, por la inclinación del eje terrestre, siempre hay uno de ellos más cercano al
Sol, excepto en dos puntos de la órbita. El efecto neto de este par de fuerzas que
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
tienden a enderezar el eje de rotación terrestre es el movimiento de bamboleo o de
precesión que descubrió Hiparco. Este efecto es análogo al bamboleo que experimenta un trompo que no rota verticalmente (figura 10.5).
Perihelio
Planeta
Sol
Figura 10.5. Precesión del perihelio de una órbita elíptica
10.4 Descubrimiento de nuevos planetas por
perturbaciones
Posiblemente una de las verificaciones más espectaculares de la ley de gravitación
universal y de las leyes de Newton del movimiento de los cuerpos, por el profundo
efecto que causó en la opinión pública de su tiempo, fue el descubrimiento de
nuevos planetas a partir del estudio de las perturbaciones de las órbitas de otros
planetas conocidos. En 1781 el astrónomo inglés William Herschel descubrió mediante la observación telescópica un nuevo planeta más allá de la órbita de Saturno,
al que se le dio el nombre de Urano. Posteriormente, y de manera independiente, el
francés Urbain Le Verrier y el inglés John Couch Adams llegaron a la conclusión de
que más allá de la órbita de Urano debía haber un planeta hasta entonces inobservado
responsable de las perturbaciones del primero. El francés tuvo la buena fortuna de
que un astrónomo alemán llamado Johann Gottfried Galle apuntó su telescopio en
el día, la hora y el lugar que había predicho Le Verrier y allí encontró al nuevo
planeta que se llamó Neptuno. Menos afortunado fue el astrónomo inglés, pues el
observatorio de Greenwich no acogió oportunamente su solicitud y el francés fue
quien se llevó la gloria del descubrimiento.
Las órbitas planetarias no son trayectorias perfectamente elípticas, como podría
indicar a primera vista la solución de la ecuación de movimiento cuando se tiene en
cuenta únicamente la fuerza del Sol. Debido a que las masas de los demás planetas
son muy pequeñas comparadas con la del Sol, su efecto sobre el movimiento del
planeta también es de menor magnitud, pero aun así es observable y se manifiesta
como perturbaciones secundarias de la órbita planetaria. Newton llegó a pensar
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Módulo 10: Gravitación universal 2
que debido a las perturbaciones planetarias el sistema Solar podría llegar al colapso
de no mediar periódicamente la intervención divina; sin embargo, Pierre Simon
Laplace demostró que el sistema era estable y no precisaba de ninguna acción
externa para mantenerse. Un efecto adicional de las perturbaciones planetarias es la
precesión del perihelio de las órbitas planetarias que determina que dichas órbitas
no sean cerradas sino que su punto de mínima distancia respecto al Sol tenga un
movimiento de precesión con un periodo bien definido.
El descubrimiento de Neptuno animó a los astrónomos a persistir en la búsqueda de
nuevos planetas a partir del estudio de los planetas conocidos y fue de esta manera
como se inició la búsqueda de un nuevo planeta que, supuestamente, sería responsable de las perturbaciones de las órbitas de Urano y de Saturno, y así, en marzo de
1930, el astrónomo norteamericano Clyde Tombaugh descubrió a Plutón, mientras
realizaba observaciones del sistema solar como parte de un proyecto auspiciado
por Percival Lowell, propietario y director del observatorio Flagstaff en Arizona.
Actualmente se sabe que la pequeña masa de Plutón no puede ser responsable de
las perturbaciones de las órbitas de los planetas mencionados y que, más bien, su
descubrimiento fue el resultado de la minuciosa observación del sistema solar que
se hizo en la época.
También como parte de esta estrategia de exploración espacial guiada por las perturbaciones planetarias se realizaron ingentes esfuerzos por descubrir un planeta
muy cercano al Sol que sería responsable de la anomalía en la precesión del perihelio
de la órbita de Mercurio. Por ser el planeta más cercano al Sol y tener el periodo más
corto y una órbita de apreciable excentricidad, las observaciones del planeta Mercurio permitieron establecer una discrepancia de 42 segundos de arco por siglo
entre el valor estimado y el valor observado de la posición del perihelio del planeta
y una de las hipótesis que se plantearon para explicar la diferencia fue la existencia
de un nuevo planeta que –de manera muy prematura– fue bautizado con el nombre
de Vulcano, el dios de los infiernos en la mitología romana; pero el planeta nunca
fue observado, y la anomalía en la órbita de Mercurio permaneció como un misterio
hasta que Einstein propuso su teoría relativista de la gravitación en 1915.
10.5 Cálculo de las masas de los astros
A partir de la ley de gravitación universal es posible calcular la masa de cualquier
cuerpo celeste si se determinan los parámetros de la órbita de sus satélites, tal como
sucede con el Sol y los planetas, y en el caso ya discutido de las perturbaciones
planetarias. De acuerdo con la ley de gravitación la aceleración que experimenta un
cuerpo de masa m debida a la fuerza que ejerce otro cuerpo de masa m´ a una
distancia r, es independiente de la masa m y está dada por la expresión:
a
Gmc r 2
(10.10)
Si m´ es la masa desconocida, su valor se puede determinar a partir del valor de las
otras variables, distancia y aceleración, que pueden ser medidas. La constante de
gravitación universal fue determinada mediante una serie de delicados experimentos y precisas mediciones entre 1797 y 1798 por el físico inglés Henry Cavendish,
quien utilizó para este propósito una balanza de torsión.
Si la aceleración con la que un cuerpo cae sobre la superficie de la Tierra es de 9.8 m/s2,
y el radio de la Tierra ha sido determinado mediante mediciones geográficas en un valor
de 6.366 kilómetros, se puede estimar la masa de la Tierra como 5.98 x 1024 kilogramos.
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
De manera similar, la masa del Sol se puede calcular a partir del valor de la aceleración centrípeta de la Tierra y de su radio y periodo orbitales. La masa de una galaxia
se puede estimar a partir del movimiento de otras galaxias satélites o de la rotación
de sus brazos o de sus estrellas más externas.
La fuerza de gravitación constituye el principal elemento para la elaboración de
modelos explicativos de la conformación de las estrellas, las galaxias y los planetas,
y del origen y evolución del universo.
La confianza en la validez de la ley de gravitación universal se refleja en la postulación
de la existencia de una misteriosa forma de materia que correspondería al 70% de
toda la masa del universo, pero que no se puede observar directamente sino por sus
efectos gravitacionales, razón por la cual ha recibido el nombre de materia oscura.
No obstante sus abrumadores éxitos desde el punto de vista físico y matemático,
Newton nunca dio una respuesta a la pregunta original sobre qué es la fuerza de
gravedad, pues a pesar de que la buscó insistentemente nunca obtuvo un resultado satisfactorio, de modo que, fiel al principio metodológico de sólo hablar de
aquello que pudiera ser claramente demostrado, optó por “no hacer hipótesis”. Es
importante resaltar el hecho de que a partir de Galileo y Newton la búsqueda del
conocimiento se orienta más hacia la descripción de cómo ocurren los fenómenos,
que al establecimiento de las causas que supuestamente los producen.
Resumen
Las leyes de Newton del movimiento de los cuerpos y la ley de gravitación universal
no sólo son perfectamente compatibles con los descubrimientos hechos previamente por Galileo y Kepler, sino que tienen mayor alcance y precisión que sus
antecedentes. La ley de gravitación universal alcanza su máximo grado de
confiabilidad y precisión al permitir descubrir planetas que nunca antes habían sido
observados, pero deja situaciones sin resolver como la anomalía del periodo de
precesión del perihelio de Mercurio.
Bibliografía
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a la física. Madrid: McGraw-Hill.
Sepúlveda A. 2003. Los conceptos de la física. Evolución histórica. Medellín:
Editorial Universidad de Antioquia.