PAUTA PRUEBA Nº 3 CБLCULO 1 V F V F

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA
DEPTO. DE AGROINDUSTRIAS
Juan Carlos Sandoval Avendaño
PAUTA PRUEBA Nº 3 CÁLCULO 1
INGENIERÍA CIVIL AGRÍCOLA - INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL
NOMBRE :___________________________________________ PTOS. :________
TIEMPO MÁXIMO : 2 HORAS 30 MINUTOS
FECHA : Mi 23/11/05
(1) Responda Verdadero (V) o Falso (F), justificando TODAS sus respuestas.
+Ñ __V__ La función 0 Ð<Ñ œ %1 <#  # es creciente en el intervalo Ð!ß %Ñ.
Justificación:
0 w Ð<Ñ œ )1 < œ ! Ê < œ !
<!

./-</-Þ
w
0 Ð<Ñ œ )1 <
<œ!
!
<!

-</-3/8>/
De la tablaß observamos que efectivamente la función es creciente en el intervalo
Ð!ß %Ñ; en realidadß es creciente para todos los reales positivos y en particular en el
intervalo mencionado.ú
,Ñ __F__ La función 0 ÐBÑ œ B$  $B posee máximo relativo en B œ "Þ
Justificación:
0 w ÐBÑ œ $B#  $ œ ! Ê B# œ " Ê B œ „ "
w
#
0 ÐBÑ œ $B  $
B "

-</-3/8>/
Bœ "
!
7+B379
"B"

./-</-3/8>/
Bœ"
!
B"

-</-3/8>/
738379
De la tabla se ve que B œ " es un punto de mínimo relativo y no máximo relativo
como se plantea.ú
-Ñ __V__ lim È
>Ä0
>
Justificación:
3> #>
lim È
>Ä0
>
3> #>
œ!
!
œ ! Pw L lim
>Ä0
Ð3> #> Ñw
3> 68Ð$Ñ #> 68Ð#Ñ
œ
lim
œ
" "Î#
>Ä0
ÐÈ > Ñ w
# >
lim # È> Ð3> 68Ð$Ñ  #> 68Ð#ÑÑ œ #È! Ð3! 68Ð$Ñ  #! 68Ð#Ñ œ !ú
>Ä0
.Ñ __F__ 0 ÐBÑ œ $B$  #B#  " no posee puntos de inflexión.
1
Justificación:
0 ÐBÑ œ $B$  #B#  " Ê 0 w ÐBÑ œ *B#  %B Ê 0 w w ÐBÑ œ ")B  % œ ! Ê
%
B œ ")
Ê B œ #* ¸ !Þ##
0 w w ÐBÑ œ ")B  %
B  #*

-98-Þ 2+-3+ +,+49
B œ #*
!
B  #*

-98-Þ 2+-3+ +<<3,+
:?8>9 ./ 380 6/B398
Observando la tabla notamos que B œ #* es punto de inflexión, luego la afirmación es
falsa.ú
/Ñ __F__ Si la diferencia entre dos números es "!ß entonces para que el producto sea
máximo los números deben tener signos distintos.
Justificación:
Sean B y C los números buscadosß y sea T el producto. Luego
B  C œ "!
Ð"Ñ
T œ BC
Ð#Ñ
Despejando C de Ð"Ñ À
C œ B  "!
Ð$Ñ
Reemplazando en Ð#Ñ À
T œ B ÐB  "!Ñ Ê T ÐBÑ œ B#  "!B Ê T w ÐBÑ œ #B  "! œ ! Ê B œ &
Veamos si este punto es de máximo o de mínimo.
T w w ÐBÑ œ Ð#B  "!Ñw œ #  !
Luegoß B œ & es un punto de mínimo y observamos que no existe punto de
maximización.ú
0 Ñ__F__ Con una malla de &! 7Þ se construye un corral rectangular aprovechando
una pared. El área encerrada es máxima si el largo es igual al ancho.
Justificación:
2
Sean E el ancho del cerco y P el largo. Luego
#E  P œ &!
Ð"Ñ
Sea V el área encerrada. Tenemos entonces que
V œE †P
Ð#Ñ
De Ð"Ñ despejamos P À
P œ &!  #E
Reemplazando la expresión anterior en Ð#Ñ À
V œ E † P œ E Ð&!  #EÑ œ &! E  # E#
V w ÐEÑ œ &!  %E œ ! Ê E œ &!
% Ê E œ "#Þ&
P œ &!  #E œ &!  # Ð"#Þ&Ñ œ &!  #& œ #& Ê P œ #&
Ahora, V w w ÐBÑ œ Ð&!  %EÑw œ  %  !ß es decirß el punto obtenido es de máximo,
pero el largo P œ #& es distinto del ancho E œ "#Þ&ú
(24 puntos).
(2) Con una plancha de "%% -7Þ por "#" -7Þ se construirá una caja. ¿Cómo deben ser
los cortes para que el volumen de la caja sea máximo?. Calcule el volumen máximo.
(16 puntos).
Solución:
Consideremos el corte de longitud Bß entonces si Z es el volumen de la caja À
Z œ Ð"%%  #BÑÐ"#"  #BÑB Ê Z ÐBÑ œ Ð"(%#%  #))B  #%#B  %B# ÑB Ê
Z ÐBÑ œ "(%#%B  &$!B#  %B$
Luego
Z w ÐBÑ œ ! Ê "(%#%  "!'!B  "#B# œ ! Ê B œ
ÊBœ
Bœ
"!'! „ È""#$'!!)$'$&#
#%
"!'! „ &$&Þ*&
#%
ÊBœ
"!'! „ ÈÐ"!'!Ñ# %Ð"#ÑÐ"(%#%Ñ
#%
"!'! „ È#)(#%)
#%
B " œ "!'! #%&$&Þ*& ¸ ''Þ%*)
Ê
B # œ "!'! #%&$&Þ*& ¸ #"Þ)$&
3
Ê
Veamos ahora si los puntos obtenidos son de máximo o de mínimo.
Z w w ÐBÑ œ Ð"(%#%  "!'!B  "#B# Ñw œ  "!'!  #%B
Evaluemos la segunda derivada en cada punto crítico À
Z w w ÐB" Ñ œ  "!'!  #%Ð''Þ%*)Ñ œ &$&Þ*&#  ! Ê B" es punto de mínimo
Z w w ÐB# Ñ œ  "!'!  #%Ð#"Þ)$&Ñ œ  &$&Þ*&#  ! Ê B# es punto de máximo
El corte debe ser de longitud B# œ #"Þ)$& -7Þ ß y el volumen máximo es
Z Ð#"Þ)$&Ñ œ "(%#%Ð#"Þ)$&Ñ  &$!Ð#"Þ)$&Ñ#  %Ð#"Þ)$&Ñ$ œ
$)!%&$Þ!%  #&#')'Þ'#*$  %"'%!Þ)%*%$ œ "'*%!(Þ#'!" -7$ ú
(3) Obtenga intersecciones con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y
decrecimiento, puntos extremos, puntos de inflexión, intervalos de concavidad y la
#
"
gráfica de 0 ÐBÑ œ &B
$B"
(20 puntos).
Solución:
3Ñ Intersecciones con los ejes À
#
"
"
#
#
Eje \ À C œ ! Ê C œ 0 ÐBÑ œ &B
$B" œ ! Ê &B  " œ ! Ê B œ & Ê
B œ „ È" ¸ „ !Þ%%(
&
&Ð!Ñ# "
"
Eje ] À B œ ! Ê C œ $Ð!Ñ" Ê C œ " Ê C œ  "
33Ñ Asíntotas À
Verticales
Un aspirante a asíntota vertical es B œ  "$ Ðes el punto de indeterminaciónÑÞ
Verifiquemos si es asíntota o no.
lim
BÄ "$

&B# "
$B"
œ _
Luego, B œ  "$ es una asíntota vertical.
4
Oblicuas
7œ
0 ÐBÑ
lim
BÄ_ B
œ lim
&B# "
$B"
B
BÄ_
Ð&B# "Ñw
"!B
lim
#
w œ lim 'B" œ
BÄ_ Ð$B BÑ
BÄ_
¾
#
#
&B "
&B "
œ lim BÐ$B"Ñ
œ lim $B
# B œ
BÄ_
BÄ_
_
_
Ð"!BÑw
&
lim Ð'B"Ñw œ lim "!
œ "!
' œ $
BÄ_
BÄ_ '
7 œ &$ ¸ "Þ'(
"
, œ lim Ð0 ÐBÑ  7BÑ œ lim Ð &B
 $& BÑ œ lim Š
BÄ_
BÄ_ $B"
BÄ_
#
lim Š $B"$ ‹ œ
BÄ_
" & B
¾
_
_
_
_
Ð" &$ BÑw
w
BÄ_ Ð$B"Ñ
lim
 &$
BÄ_ $
œ lim
&B# "&B#  &$ B
‹
$B"
œ
œ  *&
, œ  &* ¸  !Þ&'
La asíntota oblicua tiene ecuación À C œ &$ B  &* Þ
333Ñ Intervalos de crecimiento y decrecimiento À
#
Ð&B# "Ñw Ð$B"ÑÐ&B# "ÑÐ$B"Ñw
"
w
0 ÐBÑ œ &B
Ê
$B" Ê 0 ÐBÑ œ
Ð$B"Ñ#
0 w ÐBÑ œ
"!BÐ$B"Ñ$Ð&B# "Ñ
Ð$B"Ñ#
#
#
$
Ê 0 w ÐBÑ œ $!B "!B"&B
Ê
#
Ð$B"Ñ
#
"!B$
0 w ÐBÑ œ "&BÐ$B"Ñ
#
Asíß se tiene que
#
"! „ È"!!%Ð"&ÑÐ$Ñ
"!B$
0 w ÐBÑ œ ! Ê "&BÐ$B"Ñ
œ ! Ê "&B#  "!B  $ œ ! Ê B œ
#
$!
ÊBœ
"! „ È"!!")!
$!
−‚
Lo anterior indica que la expresión "&B#  "!B  $ es siempre positiva o siempre
negativa. Para saberlo, probemos con B œ ! À "&Ð!Ñ#  "!Ð!Ñ  $ œ $  !Þ Por lo
tanto, la expresión siempre es positiva. Lo anterior muestra que no existen puntos
críticosß excepto el punto de indeterminación.
$B  " œ ! Ê B œ  "$ ¸  !Þ$$
5
#
"!B$
0 w ÐBÑ œ "&BÐ$B"Ñ
#
B   "$

B œ  "$
38./>Þ
-</-3/8>/
B   "$

-</-3/8>/
La función es creciente en toda la recta real.
3@Ñ Puntos extremos À
De la tabla observamos que no existen puntos extremos.
@Ñ Puntos de inflexión À
Calculemos la segunda derivada de la función dada.
0 w ÐBÑ œ
"&B# "!B$
Ð$B"Ñ#
Ê 0 w w ÐBÑ œ
Ð"&B# "!B$Ñw Ð$B"Ñ# Ð"&B# "!B$Ñ’Ð$B"Ñ# “
Ð$B"Ñ%
0 ÐBÑ œ
Ð$!B"!ÑÐ$B"Ñ# Ð"&B# "!B$Ñ’#Ð$B"ÑÐ$Ñ“
0 w w ÐBÑ œ
Ð$B"Ñ’ Ð$!B"!ÑÐ$B"Ñ' Ð"&B# "!B$Ñ“
0 w w ÐBÑ œ
’ *!B# '!B"!*!B# '!B")“
ww
Ð$B"Ñ%
Ð$B"Ñ%
Ð$B"Ñ$
w
Ê
Ê
Ê
)
Ê 0 w w ÐBÑ œ Ð$B"Ñ
$
)
Por lo tanto, 0 w w ÐBÑ œ ! Ê Ð$B"Ñ
$ œ !
Lo que no se puede darß pues  ) Á !Þ Luegoß el único punto crítico es el punto que
indetermina la segunda derivadaß es decirß B œ  "$ ¸  !Þ$$
)
Ð$B"Ñ$
B   "$

B œ  "$
38./>/<738+.9
B   "$

-98-+@+ 2+-3+ +<<3,+
:?8>9 ./ 380 6/B398
-98-+@+ 2+-3+ +,+49
El punto de inflexión es B œ  "$ Þ
@3Ñ Intervalos de concavidad À
De la tabla anterior notamos que
6
Cóncava hacia arriba À Ð  _ ß  "$ Ñ
Cóncava hacia abajo À Ð  "$ ß _ Ñ
@33Ñ Gráfica À
ú
7