Teorema de Mordell-Weil - Universidad Autónoma de Madrid

Universidad Autónoma de Madrid
Trabajo de Fin de Máster
Teorema de Mordell-Weil
Autor:
Ana Zumalacárregui Pérez
Tutor:
Dr. Adolfo Quirós Gracián
Septiembre 2010
hola
Índice general
1. Introducción
1
2. Variedades proyectivas. Curvas planas.
2.1. Variedades Afines . . . . . . . . . . . . .
2.2. Variedades Proyectivas. . . . . . . . . .
2.3. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Teorema de Riemann-Roch . . . . . . .
3. Curvas Elı́pticas
3.1. Ley de grupo . . . . . . . . . . . . .
3.2. Subgrupo de Torsión . . . . . . . . .
3.3. Valores absolutos y reducción de una
3.4. Emparejamiento de Weil . . . . . . .
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curva elı́ptica.
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4. Versión débil del teorema
41
4.1. El emparejamiento de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2. Demostración del Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5. Descenso, Alturas y el Teorema de Mordell-Weil
5.1. Teorema del Descenso . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Alturas en el espacio proyectivo . . . . . . . . . . .
5.3. Alturas en curvas elı́pticas . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Puntos de torsión racionales . . . . . . . . . . . . .
5.5. Rango de E(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6. Cómo calcular el grupo de Mordell-Weil
73
6.1. Calcular E(K)/mE(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2. 2-Descenso Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3. Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7. Variedades Abelianas
7.1. Variedades Abelianas . . . . . . . . . . . . .
7.2. Homomorfismos entre variedades abelianas .
7.3. Variedades Jacobianas . . . . . . . . . . . .
7.4. Resultados en variedades abelianas . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
ii
7.4.1. Torsión en variedades abelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2. Teorema de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3. Conjetura de Mordell y Teorema de Faltings . . . . . . . . . . . . .
Bibliografı́a
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Capı́tulo 1
Introducción
El estudio de las ecuaciones Diofánticas, soluciones enteras o racionales a ecuaciones
polinómicas, se remonta a la antigua Grecia. Fue en el siglo III cuando Diofanto de Alejandrı́a se interesó por conocer las soluciones a las ecuaciones algebraicas. Su trabajo estaba
tan alejado de las corrientes matemáticas de su época, que algunos de sus planteamientos
y gran parte de la notación algebraica que desarrolló no tuvieron mucha influencia entre
los matemáticos hasta más de mil años después, cuando su trabajo fue retomado por los
franceses Viète y Fermat. A diferencia de sus contemporáneos, que derivaron las ecuaciones
de las cónicas a partir de condiciones geométricas, el propio Diofanto estudió las ecuaciones
algebraicas fuera de todo contexto geométrico, pero sin ignorar las implicaciones geométricas de sus hallazgos.
Se podrı́a decir que el trabajo de este matemático ha tenido una profunda influencia en los
matemáticos de los últimos tiempos, especialmente una vez que estuvieron preparados para
unir álgebra y geometrı́a. El término Geometrı́a Diofántica tiene un origen más reciente y
se refiere al estudio de las soluciones a ecuaciones Diofánticas a través de la combinación
de técnicas de la teorı́a algebraica de números y la geometrı́a algebraica.
Por un lado, el problema de encontrar soluciones enteras (o racionales) a ecuaciones
polinómicas hace aparecer de manera natural la teorı́a algebraica de números, que describe los cuerpos y anillos en los que viven esas soluciones. Por el otro, se tiene que los
mismos sistemas de ecuaciones en polinomios describen variedades algebraicas y es muy
natural estudiar su estructura geométrica para poder atacar el problema. Ası́ es como nace
la interacción entre estas dos áreas y estos dos puntos de vista o maneras de entender la
geometrı́a Diofántica.
El caso más sencillo que nos podemos encotrar en esta dirección es el estudio de las soluciones de una ecuación lineal,
ax + by = c a, b, c ∈ Z,
con a o b no nulos. En este caso sabemos que siempre existen soluciones racionales. Si
aumentamos en uno el grado del polinomio, obtendremos ecuaciones cuadráticas como
ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 a, b, c, d, e, f ∈ Z,
1
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
con a o b no nulos. Éste tipo de ecuación es bien conocida, y describe las secciones cónicas.
Tras un cambio de variable con coeficientes racionales, podemos transformar este tipo de
ecuación en una de las tres siguientes:
ax2 + by 2 = c Elipse,
ax2 − by 2 = c Hipérbola,
ax + by 2 = 0 Parábola.
Para este tipo de ecuaciones tenemos el Teorema de Hasse-Minkowski que establece:
Una ecuación cuadrática,
ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0
a, b, c, d, e, f ∈ Z,
con a o b distintos de 0, tiene soluciones racionales si y sólo si tiene soluciones en R y en
Qp , el cuerpo de los números p-ádicos, para todo p primo.
El resultado dice que la ecuación tendrá soluciones en Q sı́ y sólo si existen soluciones en
cada una de sus compleciones. Es por esto que a este teorema se le conoce como principio Local-Global. El lema de Hensel nos dice que encontrar soluciones en Qp se reduce
básicamente a trabajar en Z/pZ, donde tenemos herramientas poderosas como la ley de
reciprocidad cuadrática.
Hasta ahora no hemos empleado argumentos geométricos. Sin embargo, ya Diofanto habı́a
observado que si somos capaces de encontrar un punto racional en cualquiera de estas
curvas, entonces podemos construir todos los puntos racionales que queramos. Basta con
trazar una recta que pase por dicho punto y que tenga pendiente racional. El punto de
corte de dicha recta con la curva siempre será racional.
Esta observación permite parametrizar los puntos racionales de una cónica a partir de la
pendiente. Con este método, por ejemplo, se puede probar de manera sencilla que las ternas
pitagóricas, soluciones enteras de la ecuación
x2 + y 2 = z 2 ,
son infinitas y darlas de forma explı́cita.
Diofanto aplicó este mismo ‘método de secantes’ a ecuaciones cúbicas y obtuvo sus resultados más espectaculares. Descubrió que, aunque su método no producı́a una parametrización
de las soluciones racionales, permitı́a construir una solución racional a partir de dos soluciones dadas. Siglos después se descubrió que variando ligeramente el método de Diofanto
se podı́an ‘sumar’ soluciones (puntos) y tener ası́ una estructura de grupo en la ecuación
(o mejor dicho en la curva). La gran diferencia entre el enfoque de Diofanto y el enfoque
actual es que él tan solo mostró interes en los algorı́tmos algebraicos, más que en las estructuras. Le interesaban fórmulas y procedimientos para resolver las ecuaciones, no tanto
las estructuras abstractas para describir el conjunto de soluciones. No obstante, no hay
duda de que se merece haber puesto nombre a las matemáticas que aquı́ vamos a discutir.
Podrı́amos decir que a estas alturas se comprende bastante bien la aritmética en el primer
tipo de curvas que hemos descrito, las de grados uno y dos. Ésto se debe principalmente
3
a que tanto las ecuaciones lineales como las cuadráticas producen curvas de género 0, y
geométricamente pueden compararse a una recta, que es un objeto mucho más simple que
los que vamos a estudiar.
Si aumentamos la complejidad en un nivel, nos encontraremos con las curvas de género
1, las llamadas curvas elı́pticas, que son el objeto principal de este trabajo. Estas curvas
vienen dadas por ecuaciones cúbicas en dos variables, y a diferencia de las anteriores, su
estudio ha dado lugar al desarrollo de una mezcla muy rica de geometrı́a algebraica y teorı́a
de números.
Los más prominentes matemáticos de nuestro tiempo han contribuido al desarrollo de la
teorı́a. Y podrı́amos decir que el conocimiento que se tiene de la teorı́a para curvas elı́pticas
sobre cuerpos finitos y cuerpos locales es más o menos satisfactoria. Sin embargo, resulta
que el principio Local-Global de Hasse para curvas de este tipo es falso. Este hecho, junto
con otros muchos, hace realmente interesante el estudio de los puntos racionales de este
tipo de curvas. Éste será el objetivo principal de este trabajo: tratar de comprender completamente la estructura de los puntos de una curva elı́ptica sobre un cuerpo global, y ser
capaces de encontrarlos.
Para ello, podrı́amos decir que la primera mitad del trabajo consiste en probar el Teorema
de Mordell-Weil, que establece que todos los puntos racionales de una curva elı́ptica pueden
generarse a partir de un número finito de ellos. Es decir, que todas las soluciones racionales
de una de aquellas ecuaciones cúbicas que estudiaba Diofanto pueden construirse a partir
de un número finito de ellas, empleando una variación de su método de la secante.
La segunda parte del trabajo, sin embargo, se centra en justificar que todo el trabajo previo
tuvo sentido. Con esto quiero decir que, tras haber probado que el grupo está finitamente
generado, es natural preguntarse si es posible encontrar los generadores de manera efectiva.
La respuesta es que sı́, pero no siempre o no todos ellos.
Tras esta introducción los dos siguientes capı́tulos resumen la teorı́a y notación necesaria
para poder enunciar y probar los teoremas de los capı́tulos 4 y 5. En el capı́tulo 2 se dan las
definiciones y resultados básicos de geometrı́a algebraica que serán necesarios para poder
definir rigurosamente lo que es una curva elı́ptica. El capı́tulo 3 se centra en los aspectos
aritméticos de las curvas elı́pticas. Dado que la teorı́a en esta dirección es muy amplia,
nos hemos visto obligados a restringirnos a aquellos resultados que se iban a necesitar más
adelante. Dejamos de lado la teorı́a de curvas elı́pticas con multiplicación compleja o curvas
sobre cuerpos finitos, entre otras muchas cosas.
El capı́tulo 4 se centra en probar la versión débil del Teorema de Mordell-Weil, que asegura
que el grupo de generadores de los puntos racionales es finito si lo consideramos bajo una
relación de equivalencia lineal. Este resultado no sólo será una herramienta fundamental
para probar el teorema en su versión fuerte, sino que además nos ayudará a entender también las dificultades para calcular de manera efectiva los generadores del grupo.
En el capı́tulo 5 se hace una exposición de la teorı́a general de las funciones de altura, para
4
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
centrarnos después en las alturas sobre las curvas elı́pticas. Éstas, junto con el Teorema del
Descenso y el Teorema débil de Mordell-Weil, son la herramienta básica e indispensable
para poder probar el teorema que da nombre a este trabajo.
Tras todo el trabajo realizado en los primeros 5 capı́tulos, el sexto trata de mostrar cómo
podemos sacar ventaja del teorema. Y cómo emplear toda la teorı́a a nuestro alcance para
poder calcular los puntos racionales con los que generar todos los demás. Para ello, en
primer lugar se justifican teóricamente los pasos a dar, para después comprobar con un
ejemplo sencillo que todo funciona, y mostrar también en qué puntos podemos encontrarnos
con dificultades (que en ocasiones son insalvables). Estas dificultades, que hacen que los
puntos racionales de una curva elı́ptica sean tan interesantes, se derivan principalmente del
hecho de que el principio de Hasse-Minkowski es falso para este tipo de curvas.
En el capı́tulo final se incluye una breve introducción a las variedades abelianas, que son
la generalización natural de las curvas elı́pticas. Dicha teorı́a nació en el intento de Weil de
extender el teorema de Mordell a cuerpos mayores que Q. Por ello mismo, he creido importante no sólo hablar aquı́ del teorema de Weil, que generaliza el teorema de Mordell(-Weil)
a variedades abelianas, sino también citar algunos otros ejemplos en los que el estudio
de variedades abelianas ha llevado a probar resultados tan maravillosos como el Teorema
de Faltings, que establece que toda curva con género mayor que uno tiene a lo sumo un
número finito de puntos racionales.
A lo largo de todo el trabajo he querido no sólo justificar los resultados teóricos incluyendo
todas las demostraciones, salvo un número finito de ellas, sino que además he procurado
encontrar ejemplos que pudieran hacer más comprensible la teorı́a, ası́ como justificar la
existencia de la misma.
Por último, quisiera comentar brevemente la importancia que tienen las curvas elı́pticas
hoy en dı́a, y por qué tiene sentido estudiarlas más allá de por su asombrosa belleza. A
mı́ al menos no dejan de sorprenderme, aunque por suerte o por desgracia yo aún soy
altamente impresionable.
En primer lugar, y tal vez en la posición más evidente, destacarı́a las utilidades prácticas
derivadas de los sistemas criptográficos que se han desarrollado en los últimos años, basados
en la criptografı́a de clave pública de Diffie-Hellman, y que tienen como ventaja principal la
dificultad de resolución del logaritmo discreto en el grupo de puntos de una curva elı́ptica,
en este caso definida sobre un cuerpo finito, frente a la sencillez de los algoritmos de suma
en el grupo.
Objetos que se describen en este trabajo con fines púramente teóricos, como el emparejamiento de Weil por ejemplo, constituyen herramientas esenciales para entender las formas
de ataque a estos criptosistemas y poder ası́ hacerlos más seguros.
Inesperadamente, he tenido la ocasión de descubrir mientras estudiaba para este trabajo
que la ley de grupo en una curva elı́ptica resulta ser la solución de muchas ecuaciones diferenciales que aparecen en aplicaciones en ingenierı́a, incluyendo electroestática, mecánica
5
de fluidos o fı́sica clásica. El ejemplo más sencillo de esta afirmación deriva del estudio
de un simple péndulo, y ésta es la motivación natural para el nacimiento de las integrales
elı́pticas. Para más información consultar [13]
En último lugar, he de hablar sin duda de las matemáticas que pusieron en oı́dos de
muchos por primera vez las curvas elı́pticas: el Último Teorema de Fermat. La historia
de este estudio comenzó con Diofanto, y precisamente fue leyendo una traducción al latı́n
del Arithmetica de Diofanto, cuando Pierre de Fermat enunció el ‘Teorema’ que a tantos
matemáticos ha tenido atareados en los últimos años:
Cuando n > 2 no existen soluciones racionales positivas a la ecuación,
xn + y n = z n .
Más de 300 años ha llevado probar este teorema, y muchas y muy importantes matemáticas
se han desarrollado en el intento. Fue en 1994 cuando el inglés A. Wiles terminó con la
demostración. Wiles atacó el enigma de Fermat resolviendo un problema totalmente diferente, relacionado precisamente con las curvas elı́pticas, que entonces ya era conocido como
la Conjetura de Taniyama-Shimura. Fue G. Frey quien unos años antes probó cómo conectar esta conjetura con el Último Teorema de Fermat.
6
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Capı́tulo 2
Variedades proyectivas. Curvas
planas.
A lo largo de todo este capı́tulo K denotará un cuerpo perfecto, y K su clausura algebraica.
Por tanto la extensión K/K será de Galois y los elementos de K los fijados por el grupo
de K-automorfismos Gal(K/K).
Como en general nuestro objetivo es hacer aritmética, nos interesa trabajar con extensiones
algebraicas sobre Q, Fp , que simplifica la exposición notablemente, aunque gran parte de
la teorı́a expuesta puede extenderse a cuerpos más generales.
2.1.
Variedades Afines
Definición. El espacio afı́n de dimensión n, definido sobre K, se define como el conjunto
de n-úplas,
An = {(x1 , ..., xn ) : xi ∈ K, i = 1, ..., n}.
Y, de manera similar, los puntos K-racionales de An son
An (K) = {(x1 , ..., xn ) : xi ∈ K, i = 1, ..., n},
los puntos con coordenadas en K.
Nótese que el grupo de Galois Gal(K/K) actúa sobre An : dado σ ∈ G(K/K) y P ∈ An (K),
P σ = (x1 , ..., xn )σ = (xσ1 , ..., xσn ).
De modo que An (K) puede caracterizarse como,
An (K) = {P ∈ An : P σ = P para todo σ ∈ G(K/K)}.
Definición. Un conjunto algebraico afı́n, es un subconjunto V ⊂ An de puntos que
satisfacen una serie de ecuaciones, o equivalentemente son ceros una serie de polinomios
en K[x1 , ..., xn ],
V (I) = {P ∈ An : f (P ) = 0 para todo f ∈ I}.
Sea V un conjunto algebraico, su ideal se define como
I(V ) = {f ∈ K[x1 , ..., xn ] : f (P ) = 0 para todo P ∈ V }.
7
8
CAPÍTULO 2. VARIEDADES PROYECTIVAS. CURVAS PLANAS.
Nótese que gracias al Teorema de la base de Hilbert, sabemos que el anillo K[x1 , ..., xn ] es
Noetheriano, y por tanto todo ideal es finitamente generado, de modo que
V (I) = V (f1 , ..., fm ) = V (f1 ) ∩ V (f2 ) ∩ · · · ∩ V (fm ).
Definición. Un conjunto algebraico V ⊂ An es una variedad afı́n cuando el ideal de V ,
I(V ), es un ideal primo en K[x1 , ..., xn ]. Una variedad afı́n V , está definida sobre un cuerpo
K siempre que su ideal pueda generarse por polinomios con coeficientes en K.
En todo momento, hemos de tener en cuenta de que el concepto de variedad no deja de ser
también geométrico. Y la condición de primalidad sobre el ideal I(V ) se traduce en que la
variedad posee una única componente irreducible. Veamos sin embargo qué significa esta
condición algebraicamente.
Teorema 2.1 (Nullstellenssatz). Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado. Si
I / K[x1 , ..., xn ] es un ideal, entonces
√
I(V (I)) = I
√
donde I = {x ∈ K : xd ∈ I para algún d ∈ N}, denota el radical de I en K.
El teorema anterior, nos asegura que si V es una variedad algebraica, entonces
I(V (I)) = I.
2.2.
Variedades Proyectivas.
Definición. El espacio proyectivo n-dimensional, definido sobre K, se denota por Pn o
Pn (K), y consiste en todas las (n + 1)-tuplas
(x0 , ..., xn ) ∈ An+1 ,
distintas de (0, ..., 0), bajo la relación de equivalencia
(x0 , ..., xn ) ∼ (λx0 , ..., λxn ),
∗
donde λ ∈ K . A la clase de equivalencia,
∗
{(λx0 , ..., λxn ) : λ ∈ K } ∈ An+1 \{0}/∼
la denotaremos por [x0 , ..., xn ], y las xi son las coordenadas homogéneas del correspondiente
punto en Pn . El conjunto de puntos K-racionales de Pn , denotado por Pn (K), consiste en
todos los puntos P = [x0 , ..., xn ] ∈ Pn , cuya clase tiene un representante con coordenadas
homogéneas en K.
Nótese que, al igual que en el caso afı́n, el grupo de Galois actúa sobre Pn , actuando sobre
sus coordenadas homogéneas,
P σ = [x0 , ..., xn ]σ = [xσ0 , ..., xσn ]
para σ ∈ Gal(K/K). Y la acción está bien definida, pues respeta la relación de equivalencia,
[λx0 , ..., λxn ]σ = [λσ xσ0 , ..., λσ xσn ] = [xσ0 , ..., xσn ] = [x0 , ..., xn ]σ .
2.2. VARIEDADES PROYECTIVAS.
9
Definición. Un polinomio f ∈ K[x0 , ..., xn ] es homogéneo de grado d, si
f (λx0 , ..., λxn ) = λd f (x0 , ..., xn )
para todo λ ∈ K. Y un ideal I / K[x0 , ..., xn ] se dice homogéneo, si está generado por
polinomios homogéneos.
Para f un polinomio homogéneo dado tiene sentido preguntarse cuándo f (P ) = 0 si P ∈
Pn . Por ser f homogéneo esta condición es independiente de la elección de coordenadas
homogéneas.
Definición. Un conjunto algebraico proyectivo V (I) es el conjunto de puntos que se anulan
en un ideal homogéneo I,
V (I) = {P ∈ Pn : f (P ) = 0 para todo f ∈ I}.
Además, dado V un conjunto algebraico proyectivo, el ideal (homogéneo) I(V ) está
generado por el conjunto,
{f ∈ K[x0 , ..., xn ] | f homogéneo , f (P ) = 0 para todo P ∈ V } ⊂ K[x0 , ..., xn ].
Un conjunto algebraico V está definido sobre K si su ideal homogéneo puede generarse por
polinomios definidos en K[x0 , ..., xn ]. Los puntos K-racionales de la variedad
V (K) ⊂ Pn (K) coinciden precisamente con
V (K) = V ∩ Pn (K).
Al igual que en el caso afı́n, V (K) puede también verse como el subconjunto de V que
queda fijado por Gal(K/K),
V (K) = {P ∈ V : P σ = P para todo σ ∈ Gal(K/K)}.
Una de las inclusiones es trivial, pues P σ = P para todo P ∈ P(K). Pero para demostrar
la inclusión contraria se necesita emplear el Teorema 90 de Hilbert y algunas nociones de
cohomlogı́a de Galois.
Definición. Un conjunto algebraico proyectivo, V ⊂ Pn , es una variedad preyectiva si su
ideal I(V ) es primo en K[x0 , ..., xn ].
Resulta natural entender el espacio afı́n como subconjunto del espacio proyectivo, pues
fijada una coordenada 0 ≤ i ≤ n, podemos definir la inclusión,
φi :
An
−→
Pn
(y1 , ..., yn ) 7−→ [y1 , ..., yi−1 , 1, yi , ..., yn ]
Sea Hi = {[x0 , ..., xi−1 , 0, xi+1 , ..., xn ] ∈ Pn }, el hiperplano dado por xi = 0, y Ui su
complementario,
Ui = {[x0 , ..., xn ] ∈ Pn : xi 6= 0} = Pn \Hi
existe una biyección natural,
φ−1
i :
Ui
−→
An
[x0 , ..., xn ] 7−→ (x0 /xi , ..., xi−1 /xi , xi+1 /xi , ..., xn /xi )
10
CAPÍTULO 2. VARIEDADES PROYECTIVAS. CURVAS PLANAS.
De modo que podemos entender Anxi =1 ∼
= Ui ⊂ Pn , via la aplicación φi , para un i fijo.
Fijada i, al hiperplano Hi , lo denotaremos como hiperplano del infinito H∞ .
Dada una variedad proyectiva V ⊂ Pn tenemos que V ∩ Anxi =1 , que no es otra cosa que
φ−1
i (Ui ∩ V ), es una variedad afı́n con ideal
I(V ∩ Anxi =1 ) = {f (x0 , ..., xi−1 , 1, xi+1 , ..., xn ) : f ∈ I(V )}
Los conjuntos U0 , ..., Un cubren todo el espacio proyectivo Pn , de modo que cualquier
variedad proyectiva puede recubrirse totalmente por variedades afines. Para una coordenada i fija, siempre podemos entender una variedad proyectiva V como la unión de su parte
afı́n y sus puntos del infinito,
V ∩ Anxi =1
2.3.
y
V ∩ H∞ .
Curvas
Definición. Sea V /K una variedad afı́n definida sobre K, definimos el anillo de funciones
regulares, o anillo de coordenadas afines como
K[V ] =
K[x1 , ..., xn ]
.
I(V )
Como I(V ) es primo, entonces K[V ] será un dominio.
Diremos que el cuerpo de fracciones de K[V ] es el cuerpo el cuerpo de funciones racionales
de la variedad V , que denotaremos por K(V ).
De manera análoga se define el anillo de coordenadas proyectivas de V
K[V ] =
K[x0 , ..., xn ]
,
I(V )
que en este caso no son funciones en V , ya que ni siquiera un polinomio homogéneo define
una función proyectiva.
El cuerpo de funciones racionales de una variedad proyectiva V se define como
f
K(V ) =
: f, g son homogéneos del mismo grado en K[x0 , ..., xn ] y g ∈
/ I(V ) /∼ ,
g
donde
f
f0
∼ 0
g
g
⇐⇒ f g 0 − f 0 g ∈ I(V ).
Definición. La dimensión de una variedad afı́n es el grado de trascendencia de la extensión
de cuerpos K(V )/K.
Definición. Sea V ⊂ Pn una variedad proyectiva definida sobre K, y sea 0 ≤ i ≤ n tal
que V ∩ Anxi =1 6= ∅, entonces la dimensión de V es la dimensión de V ∩ Anxi =1 . Una curva
no es otra cosa que una variedad de dimensión 1.
2.3. CURVAS
11
Nótese que la dimensión de una variedad proyectiva no depende en ningún caso del abierto
afı́n que hemos escogido.
Ejemplo 2.1. Sea V ⊂ P2 la variedad proyectiva formada por los puntos que satisfacen la
ecuación,
y 2 z = x3 + Axz 2 + Bz 3 .
Si escogemos el abierto afı́n dado por z = 1, tenemos
V ∩ A{z=1} = {(x, y) : y 2 = x3 + Ax + B}
Donde K(V ) = K(x, y) para x, y funciones que satisfacen la relación y =
√
x3 + Ax + B.
De modo que podemos construir la torre de cuerpos,
K(V )
algebraica
K(x)
transcendente
K
con grado de trascendencia igual a 1, pues el elemento
K(x). Ası́ que V es una curva
dimK (V ) = 1.
√
x3 + Ax + B es algebraico sobre
En general, se tiene que si f ∈ K[x1 , ..., xn ] es primo y homogéneo, la variedad
V (f ) = {P ∈ Pn : f (P ) = 0}
es una hipersuperficie de dimensión n − 1, y su ideal I(V ) = (f ) es principal.
Como caso particular, se tiene que una hipersuperficie en el plano proyectivo es una curva.
Por tanto cualquier variedad plana definida por una ecuación es una curva y, equivalentemente, si tenemos un polinomio homogéneo y primo
f (x, y, z) = 0,
éste nos define una curva proyectiva plana.
Definición. Una variedad proyectiva V ⊂ Pn es lisa en un punto P si la dimensión del
espacio tangente a la variedad en P coincide con la dimensión de V .
Existe una condición algebraica más sencilla para definir la lisitud sobre un punto, en
términos de las ecuaciones que definen una curva proyectiva, cuando ésta es una curva
plana.
12
CAPÍTULO 2. VARIEDADES PROYECTIVAS. CURVAS PLANAS.
Definición. Dada una curva plana
C : f (x, y, z) = 0,
un punto P ∈ C es singular si y sólo si
∇f (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0)
f (x0 , y0 , z0 ) = 0
Diremos que una curva es lisa o nosingular si no tiene puntos singulares.
Para el caso que nos interesa, las curvas elı́pticas, ésta condición es suficiente, pues como
ya veremos en el capı́tulo siguiente toda curva elı́ptica es isomorfa a una curva plana.
2.4.
Divisores
Definición. El grupo de divisores de una curva C, denotado por Div(C), es el grupo
abeliano libre generado por los puntos de la curva. De modo que un divisor D ∈ Div(C)
es una suma formal
X
D=
np (P ),
P ∈C
donde np ∈ Z, y nP = 0 para todos los P ∈ C salvo un número finito de ellos. El grado de
un divisor D se define como
X
deg(D) =
np .
P ∈C
Los divisores de grado cero forman un subgrupo de Div(C), que denotaremos como
Div 0 (C) = {D ∈ Div(C) : deg(D) = 0}.
La suma de dos divisores se define de manera natural como
X
D + D0 =
[np + n0P ](P )
P ∈C
y el grupo Gal(K/K) actúa sobre Div(C) del siguiente modo
Dσ =
X
nP (P σ ),
P ∈C
para todo σ ∈ Gal(K/K).
Definición. Diremos que D está definido sobre K si Dσ = D para todo σ ∈ Gal(K/K).
Nótese que si D = n1 (P1 ) + · · · + nk (Pk ) está definido sobre K, no necesariamente se
tiene que P1 , ..., Pk ∈ C(K). Basta que el grupo de Galois permute los puntos P1 , ..., Pk de
manera adecuada.
2.4. DIVISORES
13
Supongamos ahora que la curva C es lisa, entonces para una función f ∈ K(C)∗ podemos
asociar a f el divisor
X
div(f ) =
ordP (f ) (P ).
P ∈C
Ésta definición tiene sentido pues f sólo tiene un número finito de polos y ceros, de modo
que ordP (f ) = 0 para todo P ∈ C salvo un número finito. Además resulta claro que
div(f σ ) = (div(f ))σ
para todo elemento σ ∈ Gal(K/K). Si ordP (f ) = 1 dado f ∈ K(C)∗ , entonces diremos
que f es un parámetro en P .
Definición. Diremos que un divisor D ∈ Div(C) es principal si es de la forma D = div(f )
para alguna función f ∈ K(C)∗ . Dos divisores D y D0 se dicen linealmente equivalentes,
D ≡ D0 ,
si D − D0 es principal.
Definición. El grupo de clases de divisores, o grupo de Picard, denotado por P ic(C) es el
cociente del grupo de divisores dado por
P ic(C) = Div(C)/P rin(C),
∗
donde P rin(C) = {div(f ) : f ∈ K (C)} denota el subgrupo de divisores principales de C.
Analogamente podemos definir P ic0 (C) como
P ic0 (C) = Div 0 (C)/P rin(C),
ya que Div 0 (C) es un subgrupo de Div(C).
Como ordP es una valoración discreta, la aplicación
div : K(C)∗ −→ Div(C)
f
7−→ div(f )
es un homomorfismo de grupos abelianos.
Proposición 2.2. Sea C una curva suave, y f ∈ K(C)∗ . Entonces,
(a) div(f ) = 0 si y sólo si f ∈ K ∗ ,
(b) deg(div(f )) = 0.
Definición. Dadas dos curvas proyectivas planas C, C 0 , definidas por dos polinomios
f, g ∈ K[x0 , ..., xn ], de grados d y e respectivamente, y sea
S = C ∩ C 0 = {P ∈ Pn (K) : f (P ) = g(P ) = 0},
definimos la multiplicidad de intersección de C y C 0 en P como
K(x1 , ..., xn )
0
(C, C )P = dimK
(f ∗ , g ∗ )
14
CAPÍTULO 2. VARIEDADES PROYECTIVAS. CURVAS PLANAS.
donde f ∗ , g ∗ son los polinomios deshomogeneizados,
i.e.
V (f ∗ ) = C ∩ Anxi =1
y
V (g ∗ ) = C 0 ∩ Anvi =1
para algún 0 ≤ i ≤ n.
Definiremos el divisor de intersección como
X
C · C0 =
(C, C 0 )P (P ).
P ∈S
Teorema 2.3 (Bézout). Sean C y C 0 dos curvas proyectivas planas definidas sobre un
cuerpo K, sin componentes comunes (es decir, definidas por polinomios irreducibles distintos). Entonces el número total de puntos de intersección de C y C 0 en P2 (K), contados
con multiplicidades, es igual al producto de los grados de C y C 0 .
El teorema anterior establece que si
D = C · C0 =
X
(C, C 0 )P (P )
P ∈C∩C 0
es el divisor de intersección de C = V (f ) y C 0 = V (g), entonces
X
deg(D) =
(C, C 0 )P = deg(f )deg(g).
P ∈C∩C 0
Ejemplo 2.2. Sea K un cuerpo con caracterı́stica char(K) 6= 2. Sean e1 , e2 , e3 ∈ K
distintos. Entonces la curva definida por
C : y 2 = (x − e1 )(x − e2 )(x − e3 ),
es lisa, y posee un único punto en el infinito P∞ = [0, 1, 0]. Para i = 1, 2, 3, tenemos que
Pi = (ei , 0) ∈ C. Calculemos div(x − ei ), para i = 1, 2, 3 y también div(y).
En primer lugar, tenemos que la función homogénea en P2 de x − ei es (x − zei )/z. Para
todo P = [a, b, 1] ∈ C distinto de P1 , P2 y P3 se tiene que
(x − zei )
=0
ordP
z
ya que la función no tiene ni polos ni ceros en P . Para P1 tenemos que y es un parámetro,
pues tiene un cero de primer orden en el punto. Además como y 2 = (x−e1 )(x−e2 )(x−e3 ),
entonces
y2
(x − e1 ) =
.
(x − e2 )(x − e3 )
Dado que (x − e2 ), (x − e3 ) 6= 0 en P1 , entonces
(x − ze1 )
ordP1
= ordP1 (x − e1 ) = ordP1 (y 2 ) = 2ordP1 (y) = 2.
z
Del mismo modo se tiene que ordP2 (x − e2 ) = ordP3 (x − e3 ) = 2.
2.5. DIFERENCIALES
15
Veamos ahora el orden en el punto del infinito, P∞ = [0, 1, 0]. Tal y como ya hemos visto
en la Proposición 2.2, el grado de un divisor principal siempre es cero. De modo que, dado
que ordP (x − ei ) = 0 para todo P 6= Pi , P∞ , entonces tenemos que
(x − zei )
= 2(Pi ) + nP∞ (P∞ ) =⇒ nP∞ = −2.
div
z
Veamos a continuación qué sucede con el divisor de la función y/z ∈ K(C). Se tiene que
si P = [a, b, 1] 6= P1 , P2 , P3 , entonces
y ordP
= 0,
z
ya que la función y/z sólo tiene ceros en P1 , P2 , P3 , pues
C ∩ {y = 0} = {[x, 0, z] : (x − e1 z)(x − e2 z)(x − e3 z)/z 3 = 0} = {P1 , P2 , P3 }
y C tiene un único polo en P∞ . Además el Teorema de Bezout nos asegura que el orden
de intersección en los puntos Pi ha de ser uno, y por tanto la función y/z ∈ K(C) será un
parámetro en P1 , P2 , P3 . De modo que,
y = (P1 ) + (P2 ) + (P3 ) + nP∞ (P∞ )
con
3 + nP∞ = 0.
div
z
De donde ordP∞ (y/z) = −3.
Entonces,
div
2.5.
x − zei
z
= 2(Pi ) − 2(P∞ )
div
y z
= P1 + P2 + P3 − 3P∞ .
Diferenciales
Definición. Sea C una curva. El espacio de formas diferenciales sobre C, denotado por
ΩC , es el K-espacio vectorial generado por los sı́mbolos de la forma dx con x ∈ K(C)∗ ,
sujetos a las relaciones habituales:
(i) d(x + y) = dx + dy
(ii) d(xy) = xdy + ydx
(iii) da = 0
para todo x, y ∈ K(C).
para todo x, y ∈ K(C).
para todo a ∈ K.
Proposición 2.4. Sea C una curva, y P ∈ C. Si t ∈ K(C)∗ es un parámetro en P
entonces:
(a) Para cada ω ∈ ΩC existe una única función g ∈ K(C), que depende de ω y t tal que
ω = gdt.
Denotaremos a la función g como ω/dt.
(b) Sea f ∈ K(C), siguiendo con la notación anterior, diremos que g = df /dt si df = gdt.
Si f es regular en P , entonces la función df /dt ∈ K(C) también es regular en P .
16
CAPÍTULO 2. VARIEDADES PROYECTIVAS. CURVAS PLANAS.
(c) Sea ω ∈ ΩC , con ω 6= 0. La cantidad
ordP (ω/dt)
es independiente de la elección de parámetro t. Llamaremos a esta cantidad orden de
ω en P , y lo denotaremos por ordP (ω).
(d) Sea ω ∈ ΩC con ω 6= 0. Entonces ordP (ω) = 0 para todo P ∈ C salvo un número finito
de ellos.
Definición. Para ω ∈ ΩC , el divisor asociado a ω se define como
X
div(ω) =
ordP (ω)(P ).
P ∈C
Diremos que ω es holomorfo si ordP (ω) ≥ 0 para todo P ∈ C, y que no se anula si
ordP (ω) ≤ 0 para todo P ∈ C.
Nótese que si ω1 , ω2 ∈ ΩC son dos diferenciales no nulos, entonces la Proposición 2.4(a)
implica que existe f ∈ K(C)∗ tal que ω1 = f ω2 . Y por tanto,
div(ω1 ) = div(f ) + div(ω2 ).
Los apartados (c) y (d) de la misma proposición aseguran que efectivamente
div(ω) ∈ Div(C).
Definición. Un divisor canónico es aquel que tiene un representante de la forma div(ω),
para ω ∈ ΩC , dentro del grupo de Picard. Es decir,
D ∈ Div(C)
es un divisor canónico si y sólo si existe ω ∈ ΩC tal que D − div(ω) es principal. De hecho,
de la Proposición 2.4 se sigue que todos los divisores canónicos son equivalentes.
Ejemplo 2.3. Sea C la curva
C : y 2 = (x − e1 )(x − e2 )(x − e3 ),
con e1 , e2 , e3 ∈ K. Vamos a calcular div(dx). Si P = [a, b, 1] 6= P1 = [ei , 0, 1], entonces
(x − a) es un parámetro en P , y como dx = d(x − a), entonces
ordP (dx) = ordP (d(x − a)) = 0.
Para Pi = [e1 , 0, 1] ∈ C tenemos que y es un parámetro uniformizante en Pi . Como
y 2 = f (x) = (x − e1 )(x − e2 )(x − e3 ),
entonces
2ydy = f 0 (x)dx =⇒ dx =
2y
dy.
f 0 (x)
2.6. TEOREMA DE RIEMANN-ROCH
17
Como Pi es un punto liso de C, entonces se tiene que f 0 (ei ) 6= 0, y por tanto ordPi (dx) = 1.
Veamos ahora qué sucede en P∞ = [0, 1, 0]. Tenemos que
z
x
/y d (x /y ) −x /y d (z /y )
x/y
dx = d
=
.
=d
z
z/y
(z /y )2
Un parámetro uniformizante en P∞ es t = x/y, y vimos en el Ejemplo 2.2 que
z
= t3 f
y
con f ∈ K(C)
y
f (P∞ ) 6= 0.
Por lo tanto,
d
x
z
=
t3 (−2f − tf 0 )dt
= t−3 gdt,
t6 f 2
donde g ∈ K(C) no tiene ceros en P∞ . De donde,
ordP∞ (dx) = −3.
Ası́, tenemos que
div(dx) = (P1 ) + (P2 ) + (P3 ) − 3(P∞ )
Por tanto
div(dx/y) = div(dx) − div(y) = 0,
y dx/y ∈ ΩC es holomorfa y no se anula en C.
2.6.
Teorema de Riemann-Roch
Sobre el grupo de divisores de una curva Div(C) vamos a definir una relación de orden
parcial, a partir de las multiplicidades de los mismos.
Definición. Dados D, D0 ∈ Div(C), diremos que
X
X
D=
nP (P ) ≥ D0 =
n0P (P )
P ∈C
P ∈C
si y sólo si nP ≥ n0P para todo P ∈ C. Diremos que D es positivo cuando D ≥ 0.
Resulta claro que no todos los divisores de una misma curva serán comparables. Pero las
desigualdades de divisores resultan útiles para describir los polos y ceros de las funciones.
Ejemplo 2.4. Continuando con el ejemplo anterior, C una curva
C : y 2 = (x − e1 )(x − e2 )(x − e3 )
definida sobre K. Supongamos que para f ∈ K(C) se cumple
P1 + P2 − 3P∞ ≤ div(f ) ≤ P1 + P2 + P3 − 2P∞ .
La primera desigualdad nos dice que la función f tiene dos ceros de orden uno en P1 y P2 ,
y un único polo de orden a lo sumo 3 en P∞ . De modo que div(f ) debe ser P1 + P2 − 2P∞
18
CAPÍTULO 2. VARIEDADES PROYECTIVAS. CURVAS PLANAS.
o bien P1 + P2 + Q − 3P∞ para algún Q ∈ C, pues por la Proposición 2.2(b) sabemos que
deg(div(f )) = 0.
La segunda desigualdad establece que div(f ) ha de coincidir con P1 + P2 + P3 − 3P∞ o bien
con el divisor Pi + Pj − 2P∞ para i 6= j, ya que no puede tener ceros fuera de {P1 , P2 , P3 }
y tiene un polo en P∞ de orden al menos 2.
De modo que las únicas opciones para div(f ) son:
(i) div(f ) = P1 + P2 + P3 − 3P∞
(ii) o bien div(f ) = P1 + P2 − 2P∞ .
Para el caso (i), recordemos que según lo visto en el Ejemplo 2.2 div(y/z) = P1 + P2 +
P3 − 3P∞ , y por la Proposición 2.2(a) sabemos que,
div(f ) − div(y/z) = 0
⇐⇒
f = λ(y/z)
∗
para λ ∈ K .
Para el caso (ii) veamos que no existe ninguna función racional en esta curva con el divisor
correspondiente.
En primer lugar, como el divisor 2P∞ tiene grado 2 > 2g − 2 = 1, el Teorema de RiemannRoch, (ver más adelante), establece que el espacio L(2P∞ ) tiene dimensión `(2P∞ ) = 2,
por tanto ha de existir una base de generadores K-linealmente indepencientes del tipo {1, g}
para alguna función racional g de K(C).
Por otro lado, sabemos que la función g = (x − zei )/z tiene divisor 2Pi − 2P∞ , y por tanto
g ∈ L(2P∞ ). De modo que buscamos una función en L(2P∞ ) con divisor P1 + P2 − 2P∞ ,
que ha de ser de la forma:
az + bx
para a, b ∈ K.
bz
Pero dado que ésta es una función lineal con un único polo de orden 3 en P∞ , la recta
az + bx tendrı́a que pasar por P1 , P2 , P∞ , lo cual es una contradicción pues la única recta
que pasa por P1 y P2 pasa también por P3 .
Podemos entonces concluir que la condición,
P1 + P2 − 3P∞ ≤ div(f ) ≤ P1 + P2 + P3 − 2P∞ ,
se cumple para una única función racional, salvo multiplicación por constantes, y ésta es
f = λ(y/z).
Definición. Sea D ∈ Div(C). Asociamos a D el conjunto de funciones
L(D) = {f ∈ K(C)∗ : D + div(f ) ≥ 0} ∪ {0}.
Ejemplo 2.5. Si continuamos con el ejemplo anterior, entonces para P ∈ C denotaremos
por P al divisor D = 1 · (P ) y por −P al divisor D0 = (−1) · (P ). Se tiene ası́ que
L(P ) = {f ∈ K(C)∗ : div(f ) + P ≥ 0}
= {f ∈ K(C)∗ : ordP (f ) + 1 ≥ 0 y ordQ (f ) ≥ 0 para todo Q ∈ C, Q 6= P }
= {f ∈ K(C)∗ : f tiene como mucho un único polo en P }.
2.6. TEOREMA DE RIEMANN-ROCH
19
Del mismo modo,
L(−P ) = {f ∈ K(C)∗ : div(f ) − P ≥ 0}
= {f ∈ K(C)∗ : ordP (f ) ≥ 1 y ordQ (f ) ≥ 0 para todo Q ∈ C, Q 6= P }
= {f ∈ K(C)∗ : f tiene un cero en P y no tiene polos en C}.
Pero como el grado de un divisor principal es siempre cero, entonces f ha de ser constante
con un cero en P ,
L(−P ) = {0}.
Del mismo modo
L(0) = {f ∈ K(C)∗ : div(f ) ≥ 0} = {K},
ya que toda función sin polos, ha de ser constante. Pues el número de polos y ceros ha de
compensarse.
Proposición 2.5 (Propiedades de L(D)). Sea D ∈ Div(C), para una curva C definida
sobre K.
(i) L(D) es un K-espacio vectorial (de dimensión finita).
(ii) Si D ≤ D0 entonces L(D) ⊂ L(D0 ).
(iii) Si D ≡ D0 , entonces
L(D) ∼
= L(D0 ),
son isomorfos como K-espacios vectoriales.
Demostración.
(i) Sea λ ∈ K, f ∈ L(D):
a) 0 ∈ L(D) por definición.
∗
b) Si λ ∈ K , entonces div(λf ) = div(f ) =⇒ λf ∈ L(D).
c) Si f, g ∈ L(D), para todo P ∈ C ordP f, ordP g ≥ −ordP (D) = nP . Por tanto
ordP (f + g) ≥ mı́n(ordP f, ordP g) ≥ −D
y por tanto f + g ∈ L(D).
(ii) Si f ∈ L(D), div(f ) + D0 ≥ div(f ) + D ≥ 0 y entonces f ∈ L(D0 ).
(iii) Como D ≡ D0 entonces existe h ∈ K(C)∗ tal que D = D0 + div(h), de modo que si
f ∈ L(D0 ), entonces
div(f ) + D0 = div(f ) + div(h) + D = div(f h) + D ≥ 0,
De modo que f h ∈ L(D). Basta definir el isomorfismo,
L(D0 ) ←→ L(D)
f
7−→
fh
g/h
←−
g
20
CAPÍTULO 2. VARIEDADES PROYECTIVAS. CURVAS PLANAS.
que claramente es compatible con la suma y con el producto por escalares, ya que
h 6= 0.
Definición. Denotaremos por
`(D) = dimK L(D)
a su dimensión.
Teorema 2.6 (Riemann-Roch). Sea C una curva lisa, y KC un divisor canónico en C.
Existe un entero g ≥ 0, que sólo depende de la curva, llamado género de C tal que para
cada divisor D ∈ Div(C),
`(D) − `(KC − D) = degD − g + 1.
Corolario 2.7 (Consecuencias).
(i) Si D = 0, entonces el teorema establece que
`(KC ) = g.
(ii) Si D = KC , entonces
degKC = 2g − 2.
(iii) Si degD > 2g − 2, entonces:
deg(K − D) < 0 =⇒ `(K − D) = 0 =⇒ l(D) = deg(D) − g + 1.
Ejemplo 2.6. Tal y como ya vimos en el ejemplo 2.3. El divisor de dx/y era un divisor
canónico en la curva
C : y 2 = (x − e1 )(x − e2 )(x − e3 ).
Por el corolario anterior sabemos que
0 = div(dx/y) = 2g − 2
de donde se tiene que g = 1, la curva C tiene género 1.
Proposición 2.8. Sea C/K una curva lisa y D ∈ DivK (K). Entonces existe una base de
L(D) formada por funciones en K(C).
Demostración. Como D está definido sobre K, entonce
f σ ∈ L(Dσ ) = L(D) para todo f ∈ L(D) y σ ∈ Gal(K/K).
De modo que Gal(K/K) actúa sobre L(D). Si denotamos por,
L(D)K = {f ∈ L(D) : f σ = f para todo σ ∈ Gal(K/K)}
entonces,
L(D) ∼
= K ⊗K L(D)K
el K−espacio vectorial L(D) tiene una base de vectores Gal(K/K)-invariantes, ver [3]. Y
por tanto, dicha base pertenece al espacio de funciones racionales sobre K, K(C).
2.6. TEOREMA DE RIEMANN-ROCH
21
Proposición 2.9. Sea C ⊂ P2 una curva plana no singular de grado d, definida sobre un
cuerpo K,
C = V (f ) donde deg(f ) = d.
Entonces su género es:
g(C) =
(d − 1)(d − 2)
.
2
Demostración. Consideremos z = 0 la recta en el infinito, D := z · C el divisor de intersección y los espacios L(mD). Dado m ∈ N, definiremos como Vm al K-espacio vectorial
de los polinomios homogéneos de grado m en K[x, y, z].
En primer lugar veamos que podemos definir una aplicación
ψ:
Vm
−→ L(mD)
g(x, y, z) 7−→ g(x,y,z)
zm
ya que g/z m ∈ K̄(C) está bien definida como aplicación racional, pues tanto g como z m
son polinomios homogéneos de grado m. Además nótese que g/z m ∈ L(mD), o equivalentemente
g + m(D) ≥ 0,
zm
pues
g = (g) − (z m ) = (g · f ) − m(z · f )
zm
pero por definición, (z · f ) = (C · {z = 0}) = D y por tanto
g + mD = (g · f ) − mD + mD = (g · f ) ≥ 0
zm
y entonces,
g
∈ L(mD)
zm
para todo g ∈ Vm .
A continuación veremos que existe una sucesión exacta
φ
ψ
0 −→ Vm−d −→ Vm −→ L(mD) −→ 0
h
7−→ hf
g 7−→ g/z m
Esto equivale a pedir,
1. Que la aplicación φ sea inyectiva:
En primer lugar la aplicación está bien definida, pues como deg(h) = m − d, entonces
deg(hf ) = deg(h) + deg(f ) = m y es homogéneo por ser producto de dos polinomios
homogéneos. Además,
φ(h1 ) = φ(h2 ) ⇐⇒ h1 f = h2 f
la aplicación φ es inyectiva.
⇐⇒ (h1 − h2 )F = 0 ⇐⇒ h1 = h2
22
CAPÍTULO 2. VARIEDADES PROYECTIVAS. CURVAS PLANAS.
2. Que,
φ(Vm−d ) = Ker(ψ).
Se sigue de las definiciones que g ∈ Ker(φ) sı́ y sólo si g/z m ≡ 0 (mód f ), de modo
que
g ∈ Ker(ψ) ⇐⇒ g/z m = f h
para algún h ∈ K(C)∗ homogéneo de grado −d.
De modo que g = f hz m = φ(hz m ) ∈ φ(Vm−d ).
3. Que la aplicación ψ sea sobreyectiva:
Veamos que para todo t ∈ L(mD) existe un g ∈ Vm tal que,
t=
g
∈ L(mD).
zm
Sabemos que si t = rs , se cumple para s, r
div(t) = (r · f ) − (s · f ) ≥ −mD = (z m · f ),
(r · f ) + (z m · f ) ≥ (s · f ).
Entonces,
(rz m · f ) ≥ (s · f )
Por tanto existen a, b ∈ K̄[x, y, z] tales que,
rz m = a · f + b · s
Que bajo el cociente en K̄(C) equivale a decir que,
f=
r
b
= m = ψ(b)
s
z
y por tanto ψ es sobreyectiva.
Combinando las tres afirmaciones se tiene que la sucesión construida es exacta. Y comparando las dimensiones de la suceción se tiene que
l(mD) = dimL(mD)
= dimVm − dimVm−d .
Donde
dimK Vm
m+2
(m + 2)(m + 1)
=
=
,
2
2
pues existen exactamente m+2
monomios xi y j z k , de grado i + j + k = m, en K[x, y, z],
2
y todos ellos son K-linealmente independientes. De modo que,
l(mD) =
=
(m + 2)(m + 1) (m − d + 2)(m − d + 1)
−
2
2
2
2md + 3d − d
2
2.6. TEOREMA DE RIEMANN-ROCH
Para todo m el teorema de Bézout asegura que,
deg(mD) = m · deg(D) = m · d · 1
Y por tanto, para m suficientemente grande, tendremos
deg(mD) = m · d > 2g − 2
pues g es finito.
Del Teorema de Riemann-Roch se deduce que
g = deg(mD) + 1 − l(mD)
2md + 3d − d2
= md + 1 −
2
(d − 2)(d − 1)
d2 − 3d − 2
=
.
=
2
2
23
24
CAPÍTULO 2. VARIEDADES PROYECTIVAS. CURVAS PLANAS.
Capı́tulo 3
Curvas Elı́pticas
El objeto principal de nuestro estudio serán las curvas elı́pticas. Y trataremos de entender
su geometrı́a. Para ello consideraremos los puntos con coordenadas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K, y más adelante nos centraremos en la aritmética con los puntos
K-racionales de la curva, donde K será llegado el momento un cuerpo de números.
Definición (1). Una curva elı́ptica es un par (E, O), donde E es una curva lisa de género
uno y O ∈ E es un punto. La curva E está definida sobre un cuerpo K, denotaremos por
E/K, si E está definida como variedad sobre K y O ∈ E(K).
Definición (2). Una curva elı́ptica, es una curva plana y lisa, definida por una ecuación
de Weierstrass
C : y 2 z + a1 xyz + a3 yz 2 = x3 + a2 x2 z + a4 xz 2 + a6 z 3 .
En general para simplificar, nos limitaremos a escribir la ecuación afı́n de la curva en el
abierto A2z=1 ,
C : y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 ,
con un único punto en el infinito, z = 0, O = [0, 1, 0]. Como siempre, si a1 , .., a6 ∈ K
diremos que E/K, E está definida sobre K
Veamos a continuación que ambas definiciones son equivalentes.
(1) =⇒ (2) Vamos a ver que dada E, puedo encontrar una curva plana C isomorfa a ella,
del tipo descrito anteriormente.
Para ello utilizaremos el teorema de Riemann-Roch. Consideremos:
K = L(0) ⊂ L(O) ⊂ L(2O) ⊂ · · · ⊂ L(nO),
donde `(0) = 1.
Como g = 1, y si deg(D) ≥ 2g − 2 entonces el teorema asegura que `(D) = deg(D). Se
tiene que para n ≥ 0:
dim(L(nO)) = `(nO) = n
Por la prpoposición 2.6 podemos elegir funciones de K(E) que formen una base de L(nO)
para todo n.
25
26
CAPÍTULO 3. CURVAS ELÍPTICAS
Si x, y ∈ K(E) son funciones con un polo doble y triple en O, respectivamente.
Considero las bases:
L(0)
∩
L(O)
∩
L(2O)
∩
L(3O)
∩
L(4O)
∩
L(5O)
∩
L(6O)
= <1>
= <1>
= < 1, x >
con ordP (x) = −2, x ∈
/ L(O)
= < 1, x, y >
con ordP (y) = −3, y ∈
/ L(2O)
= < 1, x, x2 , y >
con ordP (x2 ) = −4, x2 ∈
/ L(3O)
= < 1, x, x2 , xy, y >
con ordP (xy) = −5, xy ∈
/ L(4O)
= < 1, x, x2 , x3 , xy, y, y 2 >
con ordP (y 2 ) = ordP (x3 ) = −6
Entonces, dado que `(6O) = 6 el conjunto {1, x, x2 , x3 , xy, y, y 2 } de generadores ha de
satisfacer una relación lineal, digamos
A1 + A2 x + A3 y + Ay x2 + A5 xy + A6 x3 + A7 y 2 = 0,
y sin pérdida de generalidad podemos asumir que Ai ∈ K. Con A5 A7 6= 0, ya que si no todos
los términos tendrı́an un polo de distinto orden y la relación serı́a trivial, A1 = · · · = A7 = 0,
ya que {1, x, x2 , xy, y} son linealmente independientes por construcción.
Realizando un sencillo cambio de variable,
x −
7 → −A6 A7 x
y −
7 → A6 A27 y
y tras dividir por A36 A47 obtenemos la siguiente ecuación de Weierstrass
y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 con a1 , ..., a6 ∈ K,
donde las funciones construidas x, y se conocen como coordenadas de Weierstrass.
Esto nos define la aplicación,
φ = [x, y, 1] : E −→
P2
P 7−→ [x(P ), y(P ), 1]
cuya imagen cae en la curva C descrita por la ecuación de Weierstrass anterior. Además,
por ser φ una aplicación racional y E una curvas lisa, automáticamente φ es un morfismo.
Se tiene que
φ(O) = [x(O), y(O), 1] = [x(O)/y(O), 1, 1, y(O)] = [0, 1, 0]
y como y ∈ K(E), entonces hay un número infinito de puntos P ∈ E(K) con ordP (y) = 0,
de hecho sólo puede haber un número finito de puntos en los que el orden no sea cero. Para
cualquiera de estos puntos se tiene que
φ(P ) = [x(P ), y(P ), 1] = [x(P )/y(P ), 1, 1/y(P )] 6= [0, 1, 0] = φ(O)
27
de modo que claramente la función φ es no constante. Y por ser φ : E −→ C un morfismo
no constante entre curvas, entonces ha de ser sobreyectiva.
El siguiente paso es probar que el morfismo φ es de grado 1, o equivalentemente, probar
que K(E) = K(x, y). En primer lugar, dado que la función x tiene un polo de orden dos
sobre O y ningún otro polo, entonces la aplicación
φ1 = [x, 1] : E −→ P1
tiene grado 2, ya que φ−1
1 ([1, 0]) = {O}. De manera equivalente, se tiene que la aplicación
φ2 = [y, 1] : E −→ P1
tiene grado 3.
A continuación consideremos la torre de cuerpos,
K(E)
66
66
66
66
[K(E):K(x)]=2 66[K(E):K(y)]=3
K(x,
y)
6
H
H
v
vv
HH 666
H
v
HH 66
vvv
HH 6
vv
K(x)
K(y)
como [K(E) : K(x, y)] ha de dividir a 2 y a 3, se tiene que [K(E) : K(x, y)] = 1.
Por último, hemos de demostrar que C es efectivamente lisa. Supongamos que C fuese
singular, y por tanto birracionalmente equivalente a P1 , entonces habrı́a de existir una
aplicación racional
ψ : C −→ P1
de grado uno. Pero
ψ ◦ φ : E −→ P1
serı́a una aplicación de grado uno entre E y P1 , dos curvas lisas, y por tanto un isomorfismo.
Sin embargo esto es claramente una contradicción, pues dos curvas de géneros distintos no
pueden ser isomorfas (recordemos que el género de E es uno por definición y que el género
de P1 es cero).
De donde se sigue que la aplicación φ : E −→ C es un isomorfismo de curvas.
(2) =⇒ (1) Dado que el grado de una curva de Weierstrass es 3, y ésta es lisa, entonces
sabemos por la Proposición 2.9 que el género de la curva es
g(C) =
(d − 1)(d − 2)
= 1.
2
Basta entonces comprobar que C tiene al menos un punto K-racional, O, para ello veamos
que si z = 0,
C ∩ H∞ = [0, 1, 0] ∈ C(K).
28
CAPÍTULO 3. CURVAS ELÍPTICAS
A partir de ahora consideraremos siempre una curva elı́ptica E/K, dada por una ecuación
de Weierstrass,
E : y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6
ai ∈ K,
y con punto base O = [0, 1, 0].
Si char(K) 6= 2, completando cuadrados podemos reducir la ecuación a una de la forma
E : y 2 = 4x3 + b2 x2 + b4 x + b6 ,
donde
b2 = a21 + 4a4 ,
b6 = a23 + 4a6 .
b4 = 2a4 + a1 a3 ,
Y si además char(K) 6= 3, entonces completando cubos obtenemos con un cambio sencillo
de variable
E : y 2 = x3 − 27c4 x − 54c6 ,
con
c4 = b22 − 24b4 ,
c6 = −b32 + 36b2 b4 − 216b6 .
Definición. Si una curva elı́ptica se presenta con una ecuación de Weierstrass,
E : y 2 = x3 + Ax + B
entonces se dice que está en forma de Weierstrass reducida.
Para una curva elı́ptica de ecuación reducida,
E : y 2 = x3 + Ax + B
tenemos que,

 a1 = a2 = a3 = 0
a4 = A

a6 = B
y

 b2 = 4A
b4 = 2A

b6 = 4B
Definición. Dada E/K una curva elı́ptica en forma de Weierstrass
E : y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6
ai ∈ K,
definiremos la cantidad ∆, determinante de la curva, como
∆ = −b22 b8 − 8b4 − 27b26 + 9b2 b4 b6 ,
donde b8 = a1 a6 + 4a2 a6 − a1 a3 a4 + a2 a23 − a4 .
Si la curva se presenta en una forma de Weierstrass reducida,
E : y 2 = x3 + Ax + B
entonces ∆ = −16(4A3 + 27B 2 ), con b8 = −A2 .
Una curva general de Weierstrass como las anteriores es lisa si y sólo si ∆ 6= 0 en K.
3.1. LEY DE GRUPO
3.1.
29
Ley de grupo
Sea E una curva elı́ptca dada por una ecuación de Weierstrass. Entonces,
E = {[x, y, 1] : x, y satisfacen la ecuación de Weierstrass} ∪ {O = [0, 1, 0]} ⊂ P2 .
Sea L una lı́nea proyectiva. Dado que la ecuación de E es de grado 3, el teorema de Bezout
nos asegura que L interseca a E en exactamente 3 puntos, con multiplicidades, digamos
P, Q, R. Es claro que estos tres puntos no son necesariamente distintos, (véase el caso en
que L es tangente a E). Podemos ası́ definir una ley de grupo ⊕ sobre E.
Ley de Grupo para una curva elı́ptica:
Sean P, Q ∈ E y L la lı́nea que pasa por P y Q, (si P = Q entonces L es tangente a E en
el punto), sea R el tercer punto de intersección de L con E. Y llamemos L0 a la lı́nea que
pasa por R y O, entonces el tercer punto de intersección de L0 y E es denotado por P ⊕ Q.
A continuación, demostraremos que efectivamente la ley de grupo descrita anteriormente
dota al conjunto de los puntos de E de una estructura de grupo.
Proposición 3.1. Sea E una curva elı́ptica. Entonces la ley de grupo satisface,
(a) Si una lı́nea L interseca a E en los puntos P, Q, R, (no necesariamente distintos),
entonces
(P ⊕ Q) ⊕ R = O.
(b) Elemento neutro: P ⊕ O = P para todo P ∈ E.
(c) Conmutatividad: P ⊕ Q = Q ⊕ P para todo P, Q ∈ E.
(d) Elemento inverso: Dado P ∈ E, entonces existe un punto P ∈ E tal que
P ⊕ (P ) = O.
(e) Asociatividad: Dados P, Q, R ∈ E, entonces
P ⊕ (Q ⊕ R) = (P ⊕ Q) ⊕ R.
30
CAPÍTULO 3. CURVAS ELÍPTICAS
En otras palabras, (E, ⊕) es un grupo abeliano con elemento neutro O, donde ⊕ denota
la ley de grupo.
(f ) Si además E está definida sobre un cuerpo K, entonces
E(K) = {(x, y) : y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 } ∪ {O}
es un subgrupo de (E, ⊕).
Demostración.
(a) El resultado se sigue de la definición de la ley de grupo, pues al sumar P ⊕ Q se obtiene
el punto R0 , que es el tercer punto de intersección de la recta que pasa por R y O. De
modo que R ⊕ R0 = O.
(b) Veamos que efectivamente el elemento O, que define la ley de grupo, es neutro para la
operación. Si tomamos la lı́nea que une O con un punto cualquiera P , ésta cortará por
definición en un punto P 0 . Y el punto P ⊕ O es el tercer punto de intersección de la
curva con la recta que pasa por P 0 y O, que no es otro sino P .
(c) La conmutatividad se sigue directamente de la construcción de la ley, puesto que ésta
es puramente geométrica, (basta darse cuenta de que la recta que pasa por P y Q
coincide con la que pasa por Q y P ).
(d) Defino el inverso (opuesto) como el punto P de intersección de la curva con la recta
que pasa por O y P . Ahora, sabemos por el apartado (a) que,
P ⊕ (P ) ⊕ O = O,
y por el apartado (b),
P ⊕ (P ) ⊕ O = P ⊕ (P ) = O.
Nótese además, que con esta nueva notación el punto R0 de (a) coincide con R, y el
punto P 0 de (b) es P . Además, la definición tiene sentido también para O, ya que
O = O, la recta tangente a O corta tres veces (o con multiplicidad tres) al punto.
(e) Para demostrar la asociatividad, vamos a definir una aplicación
κ E −→ P ic0 (E) = Div 0 (E)/ ∼
P 7−→ (P ) − (O)
3.1. LEY DE GRUPO
31
que de hecho podemos restringir a los puntos K-racionales,
0
E(K) −→ DivK
(E)
P
P
donde D ∈ DivK (E) si y sólo si Dσ =
nP (P σ ) = nP (P ) = D para todo
σ ∈ Gal(K/K).
Demostraremos que κ es una biyección:
(I) Es inyectiva: Si κ(P ) = κ(Q), entonces (P ) − O ∼ (Q) − O de modo que existe
una función f ∈ K(E) tal que
div(f ) = P − Q =⇒ f ∈ L(Q) = K.
Como f no puede tener ceros en P, Q, entonces P = Q.
(II) Es sobreyectiva: Fijado D ∈ Div 0 (E) hemos de ver que existe un punto P ∈ E
tal que P − O ∼ D. Como deg(D + O) = 1 > 2g − 1 = 0, el espacio L(D + O)
tiene dimensión `(D + O) = deg(D + O) = 1. Entonces si f ∈ L(D + O), f ∈
/ K,
tenemos que
div(f ) + D + O = P
y por tanto D ∼ (P ) − (O).
Dado que el grupo de Picard tiene una estructura natural de grupo,
X
D + D0 =
(nP + n0P )(P ),
P ∈E
se tiene que la curva hereda esta estructura de grupo, mediante κ. Donde
κ(O) = 0.
Pero hemos de ver que la estructura de grupo que define κ coincide con la de E, es
decir
(P − O) + (Q − O) = (P ⊕ Q − O) en P ic0 (E).
Sea ` la recta que pasa por P y Q,
(` · E) = P + Q + R
su divisor de intersección. Y L0 la recta que pasa por R y O,
(`0 · E) = R + O + (P ⊕ Q).
De modo que podemos definir los divisores de las funciones racionales
0
`
`
div
= P + Q + R − 3O,
div
= (P ⊕ Q) + R − 2O,
z
z
y por tanto
`
div 0 = P + Q + R − 3O − ((P ⊕ Q) + R − 2O) = P + Q − (P ⊕ Q) − O
`
32
CAPÍTULO 3. CURVAS ELÍPTICAS
de modo, dado que `/`0 ∈ K(E) se sigue que
P − O + Q ∼ P ⊕ Q =⇒ (P − O) − (Q − O) ∼ (P ⊕ Q) − O.
Ambas operaciones son compatibles, y la biyección es de hecho un isomorfismo de
grupos. La asociatividad en (E, ⊕) se sigue de la del grupo de Picard.
(f) Si P, Q ∈ E(K) entonces la ecuación de la recta que los une tendrá coeficientes en
K, entonces las coordenadas del tercer punto de intersección vienen dadas por una
combinación racional de coordenadas y coeficientes de la lı́nea y de E, de modo que
estará en E(K). Si no resulta claro, basta consultar las fórmulas explı́citas de la ley de
grupo dadas a continuación.
Una vez definida la ley de grupo, no resulta muy complicado derivar fórmulas explı́citas
para la misma. De este modo, si E/K es una curva elı́ptica con ecuación de Weierstrass
general
E : y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 ,
o bien en forma reducida
E : y 2 = x3 + Ax + B.
Para P1 = (x1 , y1 ) y P2 = (x2 , y2 ) puntos generales de la curva definiremos las cantidades
λ y ν:
(i) λ =
(ii) λ =
y2 − y1
y1 x2 − y2 x1
, ν=
si x1 6= x2 ,
x2 − x1
x2 − x1
3x21 + 2a2 x1 + a4 − a1 y1
−x31 + a4 x1 + 2a6 − a3 y1
, ν=
si x1 = x2 ,
2y1 + a1 x1 + a3
2y1 + a1 x1 + a3
para la ecuación general. Y
e = y2 − y1 , νe = y1 x2 − y2 x1 si x1 6= x2 ,
(i) λ
x2 − x1
x2 − x1
2
3
e = 3x1 + A , νe = −x1 + Ax1 + 2B si x1 = x2 ,
(ii) λ
2y1
2y1
en la ecuación reducida.
e + νe), es la lı́nea que pasa por P1 , P2 o bien la
Entonces y = λx + ν, (o en su caso y = λx
lı́nea tangente a E en P1 = P2 . Y el punto P3 = P1 ⊕ P2 tiene coordenadas,
e2 − (x1 + x2 ),
x3 = λ2 + a1 λ − a2 − (x1 + x2 ) = λ
e 3 − νe.
y3 = −(λ + a1 )x3 − ν − a3 = −λx
El algoritmo explı́cito viene dado por:
(a) Fórmula para el inverso:
−P = (x, −y − a1 x − a3 )
−P = (x, −y)
para la fórmula general, y
en la forma reducida.
3.2. SUBGRUPO DE TORSIÓN
33
(b) Fórmula de duplicación: [2]P
x([2]P ) =
x4 − b4 x2 − 2b6 x − b8
,
4x3 + b2 x2 + 2b4 x + b6
x([2]P ) =
para la fórmula general, y
x4 − 2Ax2 − 8Bx + A2
4(x3 + Ax + B)
para la forma reducida.
(c) Fórmula de la suma: P1 ⊕ P2 cuando P1 6= ±P2
y2 − y1 2
y2 − y1
x(P1 ⊕ P2 ) =
− a2 − (x1 + x2 ),
+ a1
x2 − x1
x2 − x1
en el caso general, y
x(P1 ⊕ P2 ) =
3.2.
y2 − y1
x2 − x1
2
− (x1 + x2 ),
en la ecuación reducida.
Subgrupo de Torsión
Tal y como ya hemos visto en la primera sección del capı́tulo, los puntos de la curva E/K
forman un grupo abeliano con respecto de la operación ⊕. Y por tanto resulta natural
tratar de entender su estructura como Z-módulo.
Definición. Sea E una curva elı́ptica, y m ∈ Z un entero mayor que uno. Definiremos la
m-torsión de E como
E[m] = {P ∈ E : [m]P = O}.
De manera análoga se definira la m-torsión racional como
E[m](K) = {P ∈ E(K) : [m]P = O} ⊂ E(K).
Definición. El subgrupo de torsión de E, denotado por Etors , es el conjunto de puntos de
orden finito
∞
[
Etors =
E[m].
m=1
Si E/K, entonces Etors (K) denota el conjunto de puntos de orden finito de E(K).
Podemos definir para cada m ≥ 1 entero, un homomorfismo de grupos
[m] : E −→
E
P 7−→ [m]P
que además es un morfismo. A este tipo de aplicaciones, que respetan tanto la estructura
de grupo de (E, ⊕) como la estructura de variedad proyectiva de la curva, se las conoce
como isogenias. En este caso tenemos que el conjunto de puntos de m-torsión, coincide
exactamente con el núcleo de esta isogenia
ker([m]) = E[m].
Además, aunque no incluiré la demostración, se tiene que deg([m]) = m2 . A partir de esta
afirmación es sencillo deducir la estructura de la m-torsión.
34
CAPÍTULO 3. CURVAS ELÍPTICAS
Proposición 3.2. Sea E/K una curva elı́ptica, y m ≥ 1 un entero. Entonces:
(a) Si m 6= 0 in K, es decir char(K) = 0 o 0 < p = char(K) 6 | m, entonces
E[m] ∼
= Z/mZ × Z/mZ.
(b) Si char(K) = p y m = pe , entonces una de las siguientes afirmaciones es cierta para
E:
(i) E[pe ] = {O}
para todo e = 1, 2, 3...
e
e
∼
(ii) E[p ] = Z/p Z para todo e = 1, 2, 3...
Demostración. (a) Por ser [m] un morfismo separable, se sigue que
deg[m] = |ker[m]| = |E[m]| = m2 .
Como además para todo d|m se tiene que E[d] ⊂ E[m] por definición, la afirmación anterior
nos dice que el grupo E[m] tiene un subgrupo de d2 elementos. Y escribiendo E[m] como
producto de grupos cı́clicos, es sencillo darse cuenta de que el único grupo abeliano de m2
elementos con esta propiedad es
Z/mZ × Z/mZ.
(b) Este apartado se sigue de las propiedades del morfismo de Frobenius. Ver III.6.4. de [10] .
Tal y como ya hemos dicho anteriormente, en este trabajo estamos interesados principalmente en el estudio de curvas elı́pticas definidas sobre cuerpos de números, de modo que
de ahora en adelante nos centraremos únicamente en cuerpos de caracterı́stica cero.
A partir de la ecuación de Weierstrass de una curva elı́ptica, a base de realizar iteraciones
sobre la fórmula de duplicación dada en la sección 3.1, se pueden obtener fórmulas explı́citas
para las coordenadas de los puntos de m torsión. De modo que es relativamente sencillo
caracterizar dichos puntos.
Ejemplo 3.1. Sea E : y 2 = (x−e1 )(x−e2 )(x−e3 ) la curva elı́ptica que venimos manejando
en nuestros ejemplos. Entonces los puntos de [2]−torsión son aquellos para los que
P ⊕ P = O,
o equivalentemente P = −P . De la fórmula del inverso, tenemos que si P = (x0 , y0 )
entonces −P = (x0 , y0 − a1 x0 − a3 ), pero en este caso tenemos que a1 = a3 = 0, de modo
que cualquier punto de [2]-torsión ha de cumplir la condición
P = (x0 , y0 ) = (x0 , −y0 ) = −P
=⇒
y0 = 0 =⇒ x0 = ei
y por tanto tenemos los puntos de [2]-torsión
E[2] = {P1 = (e1 , 0), P2 = (e2 , 0), P3 = (e3 , 0), O}
que son precisamente los puntos con tangente vertical.
3.3. VALORES ABSOLUTOS Y REDUCCIÓN DE UNA CURVA ELÍPTICA.
35
Dado que el grupo de torsión de una curva elı́ptica es infinito, pues hay m2 puntos de m
torsión para toda m ≥ 1, tal y como ya hemos visto, y dado que la proposición anterior
nos proporciona todas las nociones necesarias para entender su estructura, resulta natural
preguntarse por cómo serán los puntos de torsión K-racional.
Como veremos más adelante, el Teorema de Mordell-Weil nos garantiza que el número
de puntos de torsión K-racional es finito. Tal y como veremos en la sección 5.4 existen
teoremas de estructura suficientemente fuertes, e incluso técnicas efectivas para poder
calcular E(K)tors .
3.3.
Valores absolutos y reducción de una curva elı́ptica.
Recordemos que el conjunto de valores absolutos estándar sobre Q, que denotamos por
MQ , contiene:
(i) Un valor absoluto arquimediano,
|x|∞ = máx{x, −x}
que no es más que el valor absoluto usual. La compleción de Q con respecto a | · |∞
coincide con R.
(ii) Para cada primo p ∈ Z, un valor absoluto (p-ádico) no arquimediano, cuya norma
viene dada por,
|x|p = p−vp (x)
donde vp denota la valoración p-ádica de x, que puede definirse como el máximo
exponente de p que divide a x,
i.e. vp (x) = n ⇐⇒ x = pn
a
con p 6 |ab.
b
La compleción de los racionales con respecto de esta norma coincide con el cuerpo
de los números p-ádicos Qp .
La compleción del cuerpo K con respecto de una valoración v se denotará por Kv . Su anillo
de enteros
Rv = {x ∈ Kv : |x|v ≥ 0},
tiene ideal maximal
Mv = {x ∈ Kv : |x| > 0} = πv Rv ,
donde πv es un uniformizante en v. Denotaremos por k = Rv /Mv al cuerpo residual de Rv .
El conjunto de valores absolutos estándar de un cuerpo de números K, denotado por MK ,
es el conjunto de valores absolutos cuya restricción a Q es uno de los valores absolutos
anteriores. Es decir,
w ∈ MK ⇐⇒ ∃ v ∈ MQ tal que |x|w = |x|v
para todo x ∈ Q.
36
CAPÍTULO 3. CURVAS ELÍPTICAS
∞ son los valores absolutos arquimedianos, mientras que M 0 denota el conjunto de
Y MK
K
los valores absolutos no arquimedianos (finitos) en MK .
Dada E/K una curva elı́ptica, y
E : y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6
su ecuación de Weierstrass. Entonces la sustitución (x, y) 7→ (u−2 x, u−3 y) da lugar a una
nueva ecuación en la que los ai son reemplazados por ui ai .
Definición. Sea E/K una curva elı́ptica. Una ecuación de Weierstrass para E se dice
minimal en v si el valor v(∆) es mı́nimo, bajo la condición de que v(ai ) ≥ 0.
Nótese que la condición de que v(ai ) ≥ 0 equivale a pedir que a1 , ..., a6 ∈ Rv . Y ésto
necesariamente implica que ∆ ∈ Rv , por ser éste un anillo. Además, si la ecuación no es
minimal, entonces existe un cambio de coordenadas que da lugar a un nuevo discriminante
∆0 = u12 ∆ ∈ R. De modo que v(∆) sólo puede cambiar por múltiplos de 12, de modo que
si
a1 , ..., a6 ∈ Rv y v(∆) < 12 =⇒ la ecuación es minimal.
Si char(K) 6= 2, 3 entonces el recı́proco también es cierto y tenemos una caracterización
de ecuaciones minimales.
A continuación, vamos a centrarnos en la operación de reducción módulo πv , que denotaree Para ello, definiremos en primer lugar la aplicación de reducción natural, con
mos por E.
0,
respecto de una valoración v ∈ MK
Rv −→ kv = Rv /Mv
e
t 7−→
t
Habiendo escogido una ecuación minimal para E/Kv , podemos reducir sus coeficientes
módulo πv para obtener una curva (tal vez singular) definida sobre kv , denotada por
ev : y 2 + e
E
a1 xy + e
a3 y = x3 + e
a2 x2 + e
a4 x + e
a6 .
ev /kv es la reducción de E módulo πv . Fijado un punto P ∈ E(Kv ), con
La curva E
coordenadas homogéneas P = [x0 , y0 , z0 ] tales que x0 , y0 , z0 ∈ Rv , el punto reducido
e v ). Esta relación define la aplicación de reducción,
Pe = [e
x0 , ye0 , ze0 ] pertenece a E(k
ev (kv )
E(Kv ) −→ E
P
7−→
Pe
ev /kv , puede ser singular. Pero en cualquier caso el conjunto de puntos
La curva reducida E
ens (kv ) forma un grupo. Podemos entonces definir dos conjuntos
no singulares de la curva E
de E(Kv )
ens (kv )},
E0 (Kv ) = {P ∈ E(Kv ) : Pe ∈ E
e
E1 (Kv ) = {P ∈ E(Kv ) : Pe = O}.
Diremos que E0 (Kv ) es el conjunto de puntos de reducción nosingular y E1 (Kv ) el núcleo
de reducción.
3.3. VALORES ABSOLUTOS Y REDUCCIÓN DE UNA CURVA ELÍPTICA.
37
0 una valoración discreta. Diremos que E/K tiene buena reDefinición. Sea v ∈ MK
v
ducción en v, si Ev /kv es nosingular. En cualquier otro caso diremos que E tiene mala
0
reducción en v. En general diremos que E/K tiene buena (resp. mala) redución en v ∈ MK
si E tiene buena (resp. mala) reducción cuando se considera sobre la compleción Kv .
A continuación enunciaremos las condiciones que ha de cumplir una curva para tener una
buena reducción en v.
Proposición 3.3. Sea E/K una curva elı́ptica dada por ecuación minimal de Weierstrass
E : y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 .
0
Sea ∆ el discriminante de esta ecuación. Entonces E tiene una buena reducción en v ∈ MK
ev /kv
si y sólo si v(∆) = 0, i.e. si ∆ ∈ Rv∗ es una unidad. En este caso la curva reducida E
es una curva elı́ptica.
Ejemplo 3.2. Sea E : y 2 = x3 + Ax + B una curva elı́ptica definida sobre Q con A, B ∈ Z.
Entonces, si
vp (∆) = vp (−16(4A3 − 27B 2 )) = 0,
e p es una curva elı́ptica, con ecuación de
la ecuación es minimal y la curva reducida E/F
Weierstrass
ep : y 2 = x3 + Ap x + Bp
E
con
A ≡ Ap
(mód p) B ≡ Bp
(mód p).
Nótese que no siempre será posible escoger una única ecuación de Weierstrass de E sobre K
0 . Obsérvese que si tomamos cualquier
que sea simultáneamente minimal para todo v ∈ MK
ecuación de Weierstrass para E/K,
E : y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 ,
0 , salvo un número finito, se tiene
con discriminante ∆. Entonces para todos los v ∈ MK
v(ai ) ≥ 0 para i = 1, ..., 6 y v(∆) = 0.
Para todo v cumpliendo estas condiciones, la ecuación dada es minimal y la curva reducida
0,
Ev /kv nosingular. De modo que E tiene una buena reducción en v para todos los v ∈ MK
salvo una cantidad finita de ellos.
0 una valoración discreta tal que v(m) = 0 y E tiene una
Proposición 3.4. Sea v ∈ MK
buena reducción en v. Entonces la aplicación de reducción,
ev (kv )
E(K)[m]
−→
E
P = [x0 , y0 , z0 ] 7−→ Pe = [e
x0 , ye0 , ze0 ]
es inyectiva.
38
CAPÍTULO 3. CURVAS ELÍPTICAS
Demostración. Sean,
ens (k)} y E1 (K) = {P ∈ E(K) : Pe = O},
e
E0 (K) = {P ∈ E(K) : Pe ∈ E
los puntos con reducción no singular y el núcleo de reducción respectivamente. Entonces
se tiene que existe una sucesión exacta de grupos abelianos dada por,
0 −→ E1 (K) −→ E0 (K) −→ Ens (k) −→ 0
Donde E1 (K) no contiene puntos de orden m no triviales. Ver VII 3.1 de [10].
e es no singular, entonces se tiene que E0 (K) = E(K), y que E
ens (k) = E(k).
e
Dado que E
De modo que si dos puntos de m-torsión, digamos P1 , P2 ∈ E(K)[m], tienen la misma reducción en v, Pe, entonces P1 − P2 ∈ E1 (K), que no posee puntos no triviales de m-torsión.
e
De donde se sigue que la m-torsión de E(K) se inyecta en E(k).
3.4.
Emparejamiento de Weil
Sea E/K una curva elı́ptica definida sobre un cuerpo K. Para esta sección fijaremos m ≥ 2,
un entero primo con p = char(K), si el cuerpo es de caracterı́stica positiva. Como grupo
abstracto, el grupo de los puntos de m-torsión de E es isomorfo a
E[m] ∼
= Z/mZ × Z/mZ.
De modo que es un Z/mZ−módulo libre de rango dos. Dada una base {T1 , T2 } de E[m],
se define el emparejamiento determinante de E[m] como
det :
E[m] × E[m]
−→ Z/mZ
(aT1 + bT2 , cT1 + dT2 ) 7−→ ad − bc
cuyo valor es independiente de la elección de la base. Sin embargo, este emparejamiento
no es invariante por la acción del grupo de Galois, i.e., si P, Q ∈ E[m] y σ ∈ Gal(K/K),
entonces los valores de det(P σ , Qσ ) y de det(P, Q)σ no tienen por qué coincidir. Para conseguir invarianza en Gal(K/K) podemos emplear el emparejamiento modificado dado por
ζ det(P,Q) , donde ζ es una raı́z primitiva m-ésima de la unidad.
Para definir este emparejamiento intrı́nsecamente,
P hemos de emplear un resultado sobre
curvas elı́pticas que nos asegura que un divisor
ni (Pi ) ∈ Div(E) es principal si y sólo si
X
ni = 0 y ⊕ [ni ]Pi = O.
Sea T ∈ E[m]. Entonces existe una función f ∈ K(E) que satisface div(f ) = m(T )−m(O).
Si además T 0 ∈ E cumple [m]T 0 = T , entonces existe una función similar g ∈ K(E) tal
que div(g) = [m]∗ (T ) − [m]∗ (O). Donde [m]∗ es la aplicación inducida por la isogenia [m]
entre los grupos de divisores, dada por
X
[m]∗ (Q) =
e[m] (P ) · (P )
P ∈[m]−1 (Q)
3.4. EMPAREJAMIENTO DE WEIL
39
y e[m] (P ) es el ı́ndice de ramificación de [m] en P , que en este caso es 1 porque (m, p) = 1.
De modo que,
X
div(g) =
(T 0 + R) − (R), con [m]T 0 = T.
R∈E[m]
Nótese que div(g m ) = div(f ◦ [m]). Pues, en primer lugar tenemos que
X
m(T 0 + R) − m(R).
div(g m ) = m · div(g) =
R∈E[m]
Por otro lado, f ◦ [m](P ) = f ([m]P ) donde div(f ) = m(T ) − m(O), de modo que
X
X
div(f ◦ [m]) =
m(T 0 + R) −
m(R).
R∈E[m]
R∈E[m]
∗
De modo que, multiplicando f por una constante apropiada en K , podemos asumir que
f ◦ [m] = g m .
Consideremos ahora S ∈ E[m] otro punto de m-torsión, donde se permite S = T . Entonces
para cada X ∈ E tenemos que
g(X + S)m = f ([m]X + [m]S) = f ([m]X) = g(X)m .
De modo que la función,
X 7−→ g(X + S)/g(X)
toma un número finito de valores, ya que cada X es llevado a una raı́z m-ésima de la
unidad, g(X + S)/g(X) ∈ µm . En particular, la aplicación
E −→ P1
S 7−→ [g(X + S)/g(X), 1] = [g(X + S), g(X)]
es un morfismo por ser una aplicación racional entre curvas lisas. Como no es sobreyectivo
ha de se constante. Éste hecho nos permite definir el emparejamiento,
em : E[m] × E[m] −→
µm
,
(S, T )
7−→ g(X + S)/g(X)
tal que X ∈ E sea cualquier punto tal que g(X + S) y g(X) estén definidos y no sean
cero. Recordemos que T aparece impı́citamente en la costrucción, en el divisor principal
de g, de modo que efectivamente em depende de sus dos entradas. Aunque g está definida
∗
salvo multiplicación por escalares K , em (S, T ) no depende de dicha elección, ası́ como no
depende de la elección de X, tal y como ya hemos visto.
Definición. La aplicación que acabamos de definir,
em : E[m] × E[m] −→ µm
se conoce como el (m−)emparejamiento de Weil.
A continuación se enumeran algunas de sus propiedades básicas del emparejamiento.
40
CAPÍTULO 3. CURVAS ELÍPTICAS
Proposición 3.5. El emparejamiento de Weil tiene las siguientes propiedades:
(a) Es bilineal,
em (S1 + S2 , T ) = em (S1 , T )em (S2 , T, )
em (S, T1 + T2 ) = em (S, T1 )em (S, T2 ).
(b) Es alternante,
em (T, T ) = 1,
y en consecuencia, junto con el apartado (a), se tiene que
em (S, T ) = em (T, S)−1
.
(c) Es no degenerado,
Si em (S, T ) = 1 para todo S ∈ E[m] =⇒ T = O.
(d) Es invariante por la acción del grupo de Galois,
em (S, T )σ = em (S σ , T σ ) para todo σ ∈ Gal(K/K).
(e) Es compatible,
emm0 (S, T ) = em ([m0 ]S, T ) para todo S ∈ E[m0 m] y T ∈ E[m].
Corolario 3.6. Existen puntos T, S ∈ E[m] tales que em (S, T ) es una raı́z primitiva mésima de la unidad. En particular, si E[m] ⊂ E(K), entonces µm ⊂ K ∗ , donde µm denota
el grupo (multiplicativo) formado por las raı́ces m-ésimas de la unidad.
Capı́tulo 4
Versión débil del teorema
El objetivo de este capı́tulo es probar una versión débil del teorema de Mordell-Weil, que
es el primer paso para poder probar el Teorema de Mordell-Weil.
Teorema 4.1 (Teorema débil de Mordell-Weil). Sea K un cuerpo de números, sea E/K
una curva elı́ptica y m ≥ 2 un número entero. Entonces,
E(K)/mE(K)
es un grupo finito.
En primer lugar vamos a probar el siguiente lema de reducción, que nos permitirá asumir
en el futuro que E[m] ⊂ E(K) para probar la finitud de E(K)/mE(K).
Lema 4.2. Sea K un cuerpo de números, L/K una extensión finita de Galois y m ≥ 2
un entero. Si E(L)/mE(L) es finito, entonces también lo es E(K)/mE(K) para cualquier
curva elı́ptica E definida sobre K.
Demostración. La inclusión natural E(K) ,→ E(L), induce una aplicación
E(K)/mE(K) −→ E(L)/mE(L),
con núcleo natural,
Φ = {P + mE(K) : P ∈ E(K) ∩ mE(L)} =
E(K) ∩ mE(L)
.
mE(K)
Es decir, que para cada P + mE(K) ∈ Φ, existe un punto QP ∈ mE(L) tal que QP = P ,
(el punto QP no tiene por qué ser único).
Podemos entonces construir una aplicación de conjuntos, que no será en general un homomorfismo de grupos, de la siguiente manera:
λP : Gal(L/K) −→
E[m].
σ
σ
7−→ QP − QP
Nótese que efectivamente QσP − QP ∈ E[m], pues
[m](QσP − QP ) = ([m]QP )σ − [m]QP = P − P = O,
41
42
CAPÍTULO 4. VERSIÓN DÉBIL DEL TEOREMA
ya que todo σ ∈ Gal(L/K) fija P ∈ E(K).
Veamos ahora que existe una correspondencia entre aplicaciones de Gal(L/K) en E[m] y
puntos de Φ. Sean P, P 0 ∈ E(K) ∩ mE(L) dos puntos que dan lugar a la misma aplicación
λP = λP 0 , entonces se tiene que
QσP − QP = QσP 0 − QP 0
⇒
(QP − QP 0 )σ = QP − QP 0
para todo σ ∈ Gal(L/K). De modo que QP − QP 0 ∈ E(K), y por tanto:
P − P 0 = [m]QP − [m]QP 0 ∈ mE(K)
⇒
P ≡ P0
(mód mE(K))
De modo que,
Φ −→ M ap(Gal(L/K), E[m])
P 7−→
λP
es inyectivo, y por tanto Φ ha de ser finito, ya que tanto Gal(L/K) como
E[m] ∼
= Z/mZ × Z/mZ son grupos finitos, por lo cual existe un número finito de posibles
aplicaciones entre ellos. Finalmente,podemos construir una sucesión exacta
0 → Φ → E(K)/mE(K) → E(L)/mE(L),
donde tanto Φ como E(L)/mE(L) son finitos, de modo que
E(K)/mE(K)
ha de ser finito,ya que
(E(K)/mE(K))/Φ ⊂ E(L)/mE(L).
Gracias a este lema estamos en condiciones asumir que E[m] ⊂ E(K), pues de no ser ası́,
siempre podemos construir una extensión finita de Galois L/K, que contenga a todas las
coordenadas de los puntos de m-torsión, que ya sabemos que son finitos.
Si logramos ver que el teorema es cierto para L, entonces el lema nos asegura que ha de
cumplirse para el cuerpo original K. De modo que, sin pérdida de generalidad, asumiremos
de ahora en adelante que
E[m] ⊂ E(K).
El siguiente paso en la prueba del teorema, es trasladar la condición de finitud de
E(K)/mE(K) a una cierta condición sobre una extensión finita de K.
4.1.
El emparejamiento de Kummer
Definición. El Emparejamiento de Kummer,
κ : E(K) × Gal(K/K) −→ E[m]
se define de la siguiente manera. Sea P ∈ E(K) un punto, escogemos cualquier punto
Q ∈ E(K) tal que [m]Q = P . Entonces,
κ(P, σ) = Qσ − Q.
4.1. EL EMPAREJAMIENTO DE KUMMER
43
El siguiente resultado describe las propiedades básicas de este emparejamiento:
Proposición 4.3. (a) El emparejamiento de Kummer está bien definido.
(b) Es bilineal.
(c) El núcleo izquierdo del emparejamiento es mE(K).
(d) El núcleo derecho del emparejamiento es Gal(K/L). Donde
L = K([m]−1 E(K)),
es la menor extensión de cuerpos L/K que contiene las coordenadas de todos los puntos
Q ∈ E(K) tales que [m]Q ∈ E(K).
Demostración. (a) Hemos de probar que, efectivamente, κ(P, σ) ∈ E[m], y que su valor no
depende de la elección de Q. En primer lugar, dado que el grupo de Galois actúa sobre los
puntos de la curva elı́ptica, con P σ = (x, y)σ = (xσ , y σ ), fijando los puntos K−racionales
de la misma, entonces se tiene que
[m]κ(P, σ) = [m]Qσ − [m]Q = P σ − P = O.
En segundo lugar, se tiene que si Q, Q0 ∈ E(K) son puntos distintos con [m]Q = [m]Q0 = P ,
entonces Q0 = Q + T donde T ∈ E[m], ya que [m]Q0 − [m]Q = O. Y ası́,
(Q + T )σ − (Q + T ) = Qσ − Q + T σ − T = Qσ − Q,
ya que hemos supuesto que E[m] ⊂ E(K), y todo σ ∈ Gal(K/K) fija K.
(b) La linealidad en P se sigue de la acción del grupo de Galois sobre los puntos de la
curva. Para la linealidad en Gal(K/K), veamos que dados σ, τ ∈ Gal(K/K),
κ(P, στ ) = Qστ − Q = (Qσ − Q)τ + (Qτ − Q) = κ(P, σ)τ + κ(P, τ ).
Pero como κ(P, σ) ∈ E[m] ⊂ E(K), entonces κ(P, σ)τ = κ(P, σ). Ası́,
κ(P, στ ) = κ(P, σ) + κ(P, τ ).
(c) En primer lugar supongamos que P ∈ mE(K), es decir existe Q ∈ E(K) tal que
[m]Q = P , entonces
κ(P, σ) = Qσ − Q = O para todo σ ∈ Gal(K/K),
ya que Q queda fijado por Gal(K/K). Por otro lado, si κ(P, σ) = O para todo
σ ∈ Gal(K/K), entonces
Qσ = Q para todo σ ∈ Gal(K/K)
de donde se sigue que Q ∈ E(K).
(d) Si σ ∈ Gal(K/L), entonces
κ(P, σ) = Qσ − Q = O para todo P ∈ E(K)
44
CAPÍTULO 4. VERSIÓN DÉBIL DEL TEOREMA
dado que por definición Q ∈ L.
Recı́procamente, supongamos que σ ∈ Gal(K/K) satisface κ(P, σ) = O para todo
P ∈ E(K), entonces, para todo punto Q ∈ E(K) tal que [m]Q ∈ E(K) se tiene,
O = κ([m]Q, σ) = Qσ − Q.
De modo que σ fija Q, y por tanto fija el cuerpo de definición de Q, digamos K(x(Q), y(Q)).
Basta entonces darse cuenta de que L es, por construcción, la unión de todos estos cuerpos
de definición ,de modo que σ fija L. Se sigue que σ ∈ Gal(K/L).
Corolario 4.4. El emparejamiento de Kummer induce una forma bilineal perfecta:
E(K)/mE(K) × Gal(L/K) −→ E[m]
Demostración. Se sigue de la proposición anterior que mE(k) y Gal(K/L) son los respectivos núcleos de emparejamiento de Kummer. Basta recalcar que efectivamente la extensión L/K es de Galois, pues los elementos de Gal(K/K) llevan [m]−1 E(K) en sı́ mismo.
Además, se sigue del apartado (d), que Gal(K/L) es el núcleo de,
Gal(K/K) −→ Hom(E(K), E[m])
σ
7−→
κ(·, σ)
y por tanto es un subgrupo normal de Gal(K/K), donde
Gal(K/L) ∼
= Gal(K/K)/Gal(K/L).
La bilinealidad se conserva al hacer el paso al cociente de manera natural.
Lo más interesante de éste resultado es que establece una equivalencia entre la finitud de
E(K)/mE(K) y la finitud de Gal(L/K). Pues si E(K)/mE(K) es finito, entonces tenemos
que cada σ ∈ Gal(L/K) induce un homomorfismo,
κ(·, σ) : E(K)/mE(K) −→ E[m].
Pero como E[m] y E(K)/mE(K) son finitos, también ha de serlo el grupo de homomorfismos
Hom(E(K)/mE(K) , E[m]).
Y como κ induce una forma bilinear perfecta, los homomorfismos dados por κ(·, σ), κ(·, τ )
coinciden sı́ y sólo si σ = τ . De donde se deduce la finitud de Gal(L/K). Con un argumento
análogo a éste se deduce la equivalencia entre la finitud de Gal(L/K) y la de E(K)/mE(K).
De modo que de ahora en adelante trataremos de probar que la extensión de cuerpos
L = K([m]−1 E(K)) es de ı́ndice finito sobre K.
4.2.
Demostración del Teorema
Ahora estamos en posición de analizar la extensión de cuerpos L/K. Pero antes de comenzar
interpretaremos la inyectividad de la torsión,
e 0 0 ),
E(K 0 )[m] ,→ E(k
v
4.2. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA
45
en términos de la acción del grupo de Galois.
Las extensiones no ramificadas de K corresponden con extensiones del cuerpo residual k,
de modo que el grupo absoluto de Galois de K se descompone como
1 −→ Gal(K/K ur ) −→ Gal(K/K) −→ Gal(K ur /K) −→ 1
||
||
Iv
Gal(k/k)
donde K ur a la máxima extensión no ramificada de K, e Iv es el subgrupo de inercia de
Gal(K/K). En otras palabras Iv es el conjunto de elementos de Gal(K/K) que actúa
trivialmente sobre k.
Definición. Sea Σ un conjunto en el cual Gal(K/K) actúa. Diremos que Σ es no ramificado en v si la acción de Iv es trivial sobre Σ.
Proposición 4.5. Sea L = K([m]−1 E(K)), el cuerpo definido anteriormente. Entonces
se cumple,
(a) La extensión L/K es abeliana y tiene exponente m, i.e., el grupo de Galois Gal(L/K)
es abeliano, y todo elemento en Gal(L/K) tiene orden que divide a m.
0
e v ) singular } ∪ {v ∈ M 0 : v(m) 6= 0} ∪ M ∞ . La extensión
(b) Sea S = {v ∈ MK
: E(k
K
K
L/K es no ramificada fuera de S, i.e., si v ∈ MK y v ∈
/ S, entonces L/K es no
ramificada en v.
Demostración. (a) Tal y como vimos en la Proposición 4.3 , el emparejamiento de Kummer
induce un homomorfismo de grupos inyectivo,
φκ : Gal(L/K) ,→ Hom(E(K), E[m])
σ
7→
κ(·, σ)
De donde se sigue que L/K es abeliana, pues el grupo de homomorfismos (isogenias) lo es.
Además, dado σ ∈ Gal(L/K), se tiene que
φκ (σ m ) = κ( · , σ m ) = [m]κ( · , σ) = O,
de modo que σ m pertenece al núcleo derecho de la forma bilineal perfecta inducida por κ,
y por tanto
σ m = id ∈ Gal(L/K) =⇒ ord(σ)|m.
(b) Sea v ∈ MK , con v ∈
/ S. Para Q ∈ E(K) con [m]Q ∈ E(K), basta probar que
K 0 = K(Q)/K es no ramificada en v, ya que L no es más que la composición de todos los
K(Q), y la composición de extensiones no ramificadas es no ramificada.
Sea v 0 ∈ MK 0 , un lugar de K 0 sobre v, i.e. el valor absoluto que define v 0 restringido a K
coincide con v. Y sea kv0 0 /kv la correspondiente extensión de cuerpos residuales, recordemos
que kv = Rv /Mv , donde
Rv = {x ∈ K : |x|v ≤ 1}
y
Mv = {x ∈ K : |x|v < 1}.
46
CAPÍTULO 4. VERSIÓN DÉBIL DEL TEOREMA
Si v ∈
/ S, E tiene una buena reducción en v, y por tanto también tiene una buena reducción
en v 0 ya que podemos tomar la misma ecuación de Weierstrass, y |∆|v = |∆|v0 = 0 por
hipótesis, pues v 0 está sobre v.
De modo que tenemos la aplicación de reducción habitual,
e 0 0 ),
E(K 0 ) −→ E(k
v
que denotaremos como hasta ahora con una tilde.
Sea Iv0 /v = {σ ∈ Gal(K/K) : |xσ − x|v < 1 para todo x ∈ Rv } ⊂ Gal(K/K), el Grupo
de Inercia de v 0 /v, que por definición actúa trivialmente sobre el cuerpo residual kv0 0 , y por
e v0 ). Dado σ ∈ Iv0 /v ,
tanto también sobre E(k
σ −Q=Q
eσ − Q
e = O.
e
Q^
Por otra parte, como [m]Q ∈ E(K), entonces
[m](Qσ − Q) = ([m]Q)σ − [m]Q = O.
De modo que Qσ − Q es un punto de m-torsión en el núcleo de la aplicación de reducción.
Se sigue de la Proposición 3.4 que,
e 0 0 ),
E(K 0 )[m] ,→ E(k
v
y por tanto Qσ − Q = O. De modo que todo elemento del grupo de inercia Iv0 /v fija Q,
y por tanto se tiene que K 0 = K(Q) no ramifica sobre K en v 0 . Dado que ésto se cumple
para todo v 0 situado sobre v, y para todo v ∈
/ S, esto completa la prueba de que K 0 /K es
no ramificado fuera de S.
Lo único que falta para completar la prueba del Teorema de Mordell-Weil, es demostrar
que de las propiedades anteriores se puede deducir la finitud de L/K. La prueba de este
hecho reside en el Teorema de Hermite, corolario del Teorema de Minkowsky, que establece
la finitud del grupo de clases.
Teorema 4.6 (Hermite). Sea S un conjunto finito de lugares en K. Entonces existe un
número finito de extensiones K 0 /K no ramificadas fuera de S con grado acotado,
|K 0 : K| < N para algún N.
Demostración. [Teorema débil de Mordell-Weil] Sea L = K([m]−1 E(K)), y
0
e v ) singular } ∪ {v ∈ M 0 : v(m) 6= 0} ∪ M ∞ ,
S = {v ∈ MK
: E(k
K
K
el conjunto de lugares definido en la Proposición 4.5. De ésta proposición se sigue que para
todo Q ∈ E(K) con [m]Q ∈ E(K), la extensión K 0 = K(Q) es finita y no ramificada fuera
del conjunto S. Además, dado que los conjugados de Galois de Q han de ser de la forma
Q + T para algún T ∈ E[m] ⊂ E(K), se tiene que
|K(Q) : K| ≤ m2 .
4.2. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA
47
De modo que el Teorema de Hermite nos dice que cuando Q recorre [m]−1 E(K), sólo
aparece un número finito de extensiones K 0 = K(Q)/K, todas de ı́ndice finito. Y dado que
L es la composición de las K 0 , se tiene que L/K es finita. Por otro lado, tal y como ya
hemos visto el emparejamiento de Kummer induce una forma bilineal perfecta,
E(K)/mE(K) × Gal(L/K) −→ E[m],
y por tanto la finitud de L/K equivale a la finitud de E(K)/mE(K).
A pesar de que desde el comienzo del capı́tulo hemos asumido que K era un cuerpo de
números, el Teorema 4.1 también es cierto para curvas definidas sobre ciertos cuerpos
globales, como por ejemplo los p-ádicos. Ası́ se tiene que,
E(Qp )/mE(Qp )
es finito para toda curva E/Qp .
Se tiene de hecho, que el teorema que acabamos de probar también es cierto para cualquier
cuerpo de funciones K = k(C), siendo C una curva proyectiva lisa y k un cuerpo algebraicamente cerrado. Sin embargo, la demostración para este caso ha de lidiar con el hecho
de que para este tipo de cuerpos
(I) El grupo de clases de ideales de K = k(C) es exactamente P ic(C), que no tiene por
qué ser finito.
(II) El grupo de unidades K ∗ , que coincide con k ∗ , no está finitamente generado.
Sin embargo ambas dificultades pueden salvarse debido a que tan sólo se necesita finitud
de orden m. Para más detalles consultar III.2 [11].
48
CAPÍTULO 4. VERSIÓN DÉBIL DEL TEOREMA
Capı́tulo 5
Descenso, Alturas y el Teorema de
Mordell-Weil
El objetivo de este capı́tulo es probar que los puntos K-racionales de una curva elı́ptica E,
definida sobre un cuerpo de números K, es un grupo finitamente generado. Hasta ahora
hemos probado la versión débil del teorema, que establece que para todo entero m ≥ 2 el
grupo cociente E(K)/mE(K) es finito. Pero sin embargo esto no implica necesariamente
el teorema. Si consideramos por ejemplo una curva elı́ptica E/Qp , sobre un cuerpo local,
entonces E(Qp ) posee un subgrupo isomorfo a Zp . De modo que, aunque E(Qp )/mE(Qp )
sea finito, el grupo E(Qp ) no está finitamente generado.
Para ello emplearemos el método del descenso. El método del descenso infinito fue introducido por Pierre de Fermat en el siglo XVII. El método se basa a su vez en el axioma
de que el conjunto de los números naturales es un conjunto bien ordenado. En este caso
el orden vendrá impuesto por los valores reales de las llamadas funciones de altura, que
cumpliendo una serie de propiedades nos garantizarán que el grupo de generadores ha de
ser finito.
En la primera parte del capı́tulo se enunciará y probará el Teorema del Descenso para
funciones de altura y grupos abelianos lo más generales posibles, para más adelante estudiar
la teorı́a general de las alturas en el espacio proyectivo, y ası́ poder definir después las
alturas sobre las curvas elı́pticas. Se probará el Teorema principal para una curva elı́ptica
general E/K, empleando por una parte la finitud de E(K)/2E(K) y por otra parte las
propiedades de las funciones de altura construidas a lo largo del capı́tulo. Además, tal y
como veremos en el capı́tulo siguiente, la demostración del Teorema del Descenso nos da una
pista de cómo encontrar generadores de E(K) a partir de los generadores de E(K)/2E(K).
5.1.
Teorema del Descenso
Teorema 5.1 (Teorema del Descenso). Sea A un grupo abeliano. Supongamos que existe
una función de altura,
h : A −→ R
49
50
CAPÍTULO 5. DESCENSO, ALTURAS Y EL TEOREMA DE MORDELL-WEIL
con las siguientes propiedades:
(i) Dado Q ∈ A. Existe una constante C1 = C1 (Q), dependiendo de A y Q, tal que
h(P + Q) ≤ 2h(P ) + C1
para todo P ∈ A
(ii) Existe un entero m ≥ 2 y una constante C2 , que depende de A, tal que
h(mP ) ≥ m2 h(P ) − C2
para todo P ∈ A
(iii) Para cada constante C3 , el conjunto
{P ∈ A : h(P ) ≤ C3 }
es finito.
Si además se tiene que para el entero m de (ii) el grupo A/mA es finito, entonces A es
finitamente generado.
Demostración. Sea {Q1 , ..., Qn } un conjunto representantes de todas las coclases de A/mA,
y P un elemento cualquiera de A. Entonces,
P = mP1 + Qi1
con 1 ≤ i1 ≤ n,
de modo que P ≡ Qi1 (mód ()m). Podemos entonces construir una sucesión {Pj }, con
Pj = mPj+1 + Qij+1 .
La condición (ii) en Pj equivale a,
h(Pj ) ≤
1
(h(mPj ) + C2 )
m2
y por construcción
=
1
(h(Pj−1 − Qij ) + C2 )
m2
con la condición (i),
1
(2h(Pj−1 ) + C1 (−Qij ) + C2 )
m2
Tomando C10 = máx{C1 (−Qs ) : s = 1, ..., n},
≤
≤
1
(2h(Pj−1 ) + C10 + C2 )
m2
Empleando esta desigualdad repetidamente,
tiene
1
2 k
h(P ) +
+
h(Pn ) ≤
2
m
m2
0
k
C +C
≤ m22 h(P ) + m12 −22
≤ 21k h(P ) + 12 (C10 + C2 )
comenzando en Pk y volviendo hasta P , se
2
4
2k−1
+
+
·
·
·
+
m2 m2
m2
pues m ≥ 2.
De modo que para k suficientemente grande,
1
h(P ) ≤ 1 + (C10 + C2 ).
2
(C10 + C2 )
5.2. ALTURAS EN EL ESPACIO PROYECTIVO
51
Como P es una combinación lineal de Pk y Q1 , ..., Qn
k
P = m Pk +
k
X
mj−1 Qij .
j=1
A partir de la condición (iii), se establece que el conjunto
1
{P ∈ A : h(P ) ≤ 1 + (C1 + C2 )}
2
es finito, digamos {Qn+1 , ..., Qr }.
Entonces se tiene que A está generado por Q1 , ..., Qr .
En primer lugar habremos de definir las funciones de altura para los puntos racionales de
una curva elı́pticay ası́ poder utilizar el resultado anterior. Sin embargo lo realmente difı́cil
es encontrar los generadores de E(K)/mE(K), y de hecho no existen algoritmos generales
para atacar este problema.
5.2.
Alturas en el espacio proyectivo
Si queremos usar el Teorema del descenso para probar el Teorema de Mordell-Weil en el
caso general, hemos de definir una función de altura sobre E(K). Para ello, intentaremos en
primer lugar definir funciones de altura sobre el espacio proyectivo Pn (K), y luego tratar de
entender cómo se comportan éstas al restringirlas a subconjuntos del espacio, en concreto
a los puntos de una curva elı́ptica.
Ejemplo 5.1. Sea P ∈ Pn (Q), un punto con coordenadas racionales. Dado que Z es un
dominio de ideales principales, podemos encontrar coordenadas homogéneas P = [x0 , ..., xn ]
que satisfagan x0 , ..., xn ∈ Z con (x0 , ...xn ) = 1, i.e. sin divisores comunes. En este caso,
la altura natural de P es
H(P ) = máx{|x0 |, ..., |xn |}
Con esta definición, es claro que para cada constante C, el conjunto
{P ∈ Pn (Q) : H(P ) ≤ C} es finito. Y tiene, de hecho, como mucho (2C + 1)n elementos.
Ésta es la clase de condición de finitud que nos interesa para definir una altura.
Si tratamos de generalizar este concepto de altura para cuerpos de números arbitrarios,
nos encontraremos con que en muchos casos el anillo de enteros del cuerpo, OK , no es un
dominio de ideales principales sino tan sólo un dominio de Dedekind. Por tanto hemos de
tomar una dirección diferente, y normalizar los valores absolutos tal y cómo hicimos al
comienzo de la sección 3.3.
Definición. El conjunto de valores absolutos estándar en un cuerpo de números K, denotado por Mk , es el conjunto de todos los valores absolutos en K cuya restricción a Q
coincide con uno de los valores absolutos en Q, p-ádicos o real.
52
CAPÍTULO 5. DESCENSO, ALTURAS Y EL TEOREMA DE MORDELL-WEIL
Definición. Dado v ∈ MK . El grado local en v es
nv = |Kv : Qv |.
Donde Kv y Qv son las respectivas compleciones de K y Q con respecto al valor absoluto
v.
Recordemos a continuación dos resultados básicos de la teorı́a algebraica de números:
Teorema 5.2 (Fórmula de extensión). Sea L/K/Q una torre de cuerpos de números, y
sea v ∈ MK . Entonces,
X
nw = [L : K]nv
w∈ML ,w|v
(donde w|v significa que la restricción de w a K coincide con v).
Teorema 5.3 (Fórmula del producto). Sea x ∈ K ∗ . Entonces
Y
|x|nv v = 1.
v∈Mk
Definición. Dado P ∈ Pn (K), la altura de P (en el cuerpo K) viene dada por,
Y
HK (P ) =
máx{|x0 |v , ..., |xn |v }nv .
v∈MK
Proposición 5.4. Sea P ∈ Pn (K), siendo K un cuerpo de números arbitrario.
(a) La altura HK (P ) no depende de las coordenadas homogéneas escogidas para P .
(b) La altura satisface HK (P ) ≥ 1, para todo punto P ∈ Pn (K).
(c) Sea L/K una extensión finita. Entonces
HL (P ) = HK (P )1/[K:Q] .
Demostración.
(a) Cualquier otra elección de coordenadas serı́a de la forma,
[λx0 , ..., λxn ]
para algún
λ ∈ K ∗.
De modo que, por la fórmula del producto,
Q
Q
máx{|λx0 |, ..., |λxn |}nv =
|λ|nv máx{|x0 |, ..., |xn |}nv
v∈Mk
v∈M
Q k nv Q
=
|λ|
máx{|x0 |, ..., |xn |}nv
v∈M
v∈Mk
Qk
=
máx{|x0 |, ..., |xn |}nv .
v∈Mk
(b) En cualquier punto P en el espacio proyectivo podemos siempre encontrar coordenadas
homogéneas en las que una de las coordenadas xi = 1, y por tanto |xi |v = 1 para todo
valor absoluto normalizado v ∈ Mk . De modo que todos los factores del producto que
define HK (P ) son al menos 1.
5.2. ALTURAS EN EL ESPACIO PROYECTIVO
(c) De la fórmula de extensión se sigue,
Q
HL (P ) =
máx{|xi |w }nw
w∈M
QL
Q
=
máx{|xi |v }nw
v∈MK w∈ML , w|v
Q
=
máx{|xi |v }[L:K]nv
53
pues xi ∈ K,
por 5.4,
v∈MK
= HK (P )[L:K]
Si estamos en el caso K = Q, entonces HQ coincide con la altura que definimos en el
Ejemplo 5.1. Basta tomar coordenadas homogéneas para P ∈ Pn (Q) con x0 , ..., xn ∈ Z
y mcd(x0 , ..., xn ) = 1. Entonces se tiene que para todo valor absoluto no arquimediano,
para las normas p-ádicas v ∈ MQ0 , |xi |v ≤ 1 para todo i y al menos una coordenada tiene
valor absoluto unitario. De modo que el producto que define HQ (P ) sólo depende del valor
absoluto arquimediano, i.e.
HQ (P ) = máx{|x0 |∞ , ..., |xn |∞ }.
En particular, el conjunto
{P ∈ Pn (Q) : HQ (P ) ≤ C}
es finito para toda constante C. Uno de nuestros objetivos es extender esta propiedad a
HK para un cuerpo de números arbitrario.
En ocasiones resulta más ventajoso trabajar con una función de altura que no dependa del
cuerpo de definición.
Definición. Para P ∈ Pn (Q), definiremos la altura (absoluta) de P , digamos H(P ), como
sigue: sea K un cuerpo de números tal que P ∈ Pn (K). Entonces,
H(P ) = HK (P )1/[K:Q]
donde hemos de tomar la raı́z real positiva.
De 5.4(c) se sigue que H(P ) está bien definida, y es independiente de la elección de K, y
5.4(b) implica que H(P ) ≥ 1 para todo P ∈ Pn (Q).
A continuación, estudiaremos cómo varı́a la altura bajo aplicaciones racionales entre espacios proyectivos. Los resultados en esta dirección serán esenciales para poder probar las
propiedades sobre altura que necesitamos para demostrar el Teorema.
Definición. Un morfismo de grado d entre espacios proyectivos es una aplicación
F : Pn −→
Pm
P 7−→ [f0 (P ), ..., fn (P )]
donde f0 , ..., fn ∈ Q[x0 , ..., xn ] son polinomios homogéneos de grado d, sin ningún cero en
común en Q salvo x0 = · · · = xn = 0. Si F puede expresarse mediante polinomios fi con
coeficientes en K/Q, entonces F está definido sobre K.
54
CAPÍTULO 5. DESCENSO, ALTURAS Y EL TEOREMA DE MORDELL-WEIL
Teorema 5.5. Sea F : Pn −→ Pm un morfismo de grado d. Entonces existen constantes
positivas C1 y C2 , que dependen de F , tales que
C1 H(P )d ≤ H(F (P )) ≤ C2 H(P )d
para todo P ∈ Pn (Q).
Antes de comenzar con la demostración, introduciremos algo de notación para hacer más
sencilla la prueba.
Digamos que F = [f0 , ..., fm ], donde los fi son polinomios homogéneos sin ceros comunes,
y sea P = [x0 , ..., xn ] ∈ Pn (Q) un punto con corrdenadas algebraicas. Sea K un cuerpo de
números que contenga x0 , ..., xn y a todos los coeficientes anj de los fj . Para cada valor
absoluto v ∈ MK , definimos
|P |v = máx |xi |v
0≤i≤n
|F (P )|v = máx |fj (P )|v ,
1≤j≤m
y además diremos que
|F |v = máx{|a|v : a es un coeficiente de algún fj }.
Entonces, de la definición de altura se tiene
Y
Y
HK (F (P )) =
HK (P ) =
|P |nv v
|F (P )|nv v ,
v∈MK
v∈MK
y tiene sentido definir
HK (F ) =
Y
|F |nv v .
v∈MK
En otras palabras, HK (F ) = H([a0 , ..., ai ]) donde a0 , .a1 , ... son los coeficientes de las
funciones fj . Definiremos la función
∞
1 si v ∈ MK
(v) =
0
0 si v ∈ MK
De modo que de la desigualdad triangular para el valor absoluto | · |v se deduce
|t1 + t2 + · · · + tn |v ≤ n(v) máx{|t1 |v , ..., |tn |v },
para todo v ∈ MK , arquimediano o no arquimediano. Nótese que esta desigualdad coincide
con la desigualdad triangular cuando v es no arquimediano, pero sin embargo para valores
absolutos arquimedianos ésta es una desigualdad más débil
|t1 + t2 + · · · + tn |v ≤ |t1 |v + · · · + |tn |v ≤ n(v) máx{|t1 |v , ..., |tn |v },
de modo que la llamaremos desigualdad triangular débil. Habiendo introducido la notación,
podemos regresar a la prueba del Teorema 5.5
Demostración. La cota superior es relativamente sencilla de probar. Sea v ∈ MK , la
desigualdad triangular débil establece
(v)
|fi (P )|v ≤ C1
|F |v |P |dv ,
5.2. ALTURAS EN EL ESPACIO PROYECTIVO
55
pues fi es homogénea de grado d. La constante C1 puede coincidir con el número de
términos de fi , digamos
fi (P ) = a1
n
Y
d
xj j1
+ · · · + aC1
j=0
n
Y
d
xj jC−1 .
j=0
n+d
Nótese que el número de términos es a lo sumo n , pues éste es el número de posibles
monomios de grado d con n + 1 variables. Dado que esta estimación se cumple para cada
i, entonces
(v)
|F (P )|v = máx |fi (P )|v ≤ C1 |F |v |P |dv .
1≤i≤m
Elevando a la potencia nv y tomando el producto en Mk se tiene
Y (v)n Y
Y
Y
v
C1 v
|F |nv v
|P |dn
|F (P )|nv v ≤
v .
v∈MK
v∈MK
v∈MK
v∈MK
Como (v) = 0 para todo valor absoluto finito, se tiene que
Y (v)n
Y
[K:Q]
C1 v =
Cinv = C1
,
∞
v∈MK
v∈MK
de modo que tomando la raı́z [K : Q]-ésima se tiene
H(F (P )) ≤ C1 H(F )H(P )d .
Vale la pena mencionar que en la prueba de la cota superior no hemos empleado la condición sobre la no existencia de ceros comunes de las funciones fi . Sin embargo, tendremos
sin duda que emplear esta condición para probar la cota inferior, dado que sin ella existen
contraejemplos.
Asumiremos entonces que el conjunto
{Q ∈ An+1 (Q) : f0 (Q) = · · · = fm (Q) = 0} = {(0, ..., 0)},
cuenta con un único punto. Entonces el Teorema 2.1 (Nullstellenstatz), establece que el
ideal
I = (f0 , ..., fm ) ∈ Q[x0 , ..., xn ]
contiene a alguna potencia xdi i para i = 0, ..., n, ya que
xi ∈ rad(I) = I(V (f0 , ..., fn ))
pues xi se anula en V (f0 , ..., fn ) = {(0, ..., 0)}. De modo que existen polinomios
gij ∈ Q[x0 , ..., xn ] y un entero e ≥ 1 tales que
xei
=
n
X
gij fj
para cada 0 ≤ i ≤ n.
j=0
Podemos asumir que gij ∈ K[x0 , ..., xn ] son todos de grado e − d, ya que xei es homogéneo
de grado e y todos los fj son homogéneos de grado d.
56
CAPÍTULO 5. DESCENSO, ALTURAS Y EL TEOREMA DE MORDELL-WEIL
Adoptaremos la siguiente notación,
|G|v = máx{|b|v : b es un coeficiente de algún gij },
Y
HK (G) =
|G|nv v .
v∈MK
Nótese que tanto HK (G) como e pueden acotarse en términos de n, m, d y de HK (F ), ya
que los coeficientes de los gij están claramente determinados por los de los fj . A su vez e
puede acotarse con argumentoscombinatorios barajando las combinaciones
posibles monomios de cada fj . Encontrar una buena cota
Q[x0 , ..., xn ]-lineales de los n+d
n
en general no es una tarea fácil, pero para nosotros es suficiente saber que tanto e como
HK (G) no dependen del punto P .
Recordemos que P = [x0 , ..., xn ]. De la fórmula para xei se sigue
P
m
(v)
|xi |ev = gij (P )fj (P ) ≤ C2
máx |gij (P )fj (P )|v
j=0
0≤j≤m
v
(v)
≤ C2
máx |gij (P )|v |F (P )|v ,
0≤j≤m
donde C2 no depende de P , sino del número de monomios en gij fj .
Tomando el máximo sobre los i, obtenemos
(v)
|P |ev ≤ C2
máx |gij (P )|v |F (P )|v .
i,j
Cada gij es homogéneo de grado e − d, de modo que la desigualdad triangular débil implica
que
(v)
|gij (P )|v ≤ C3 |G|v |P |e−d
v .
Donde C3 puede depender de e, que como ya vimos antes puede acotarse en términos de
m, n y d. Sustituyendo esta estimación en la fórmula anterior, y multiplicando por |P |d−e
v
se tiene
|P |dv ≤ (C2 C3 )(v) |G|v |F (P )|v .
Tomando de nuevo el producto sobre las valoraciones y la raı́z [K : Q]-ésima, se tiene
H(P ) ≤ CH(F (P ))
que es el resultado deseado, ya que C = C2 C3 H(G) que no dependen más que de n, m, d
y H(F ), pero no del punto P .
Corolario 5.6. Sea A = (αij ) ∈ GLn+1 (Q), entonces la multiplicación por la matriz A
induce un automorfismo A : Pn −→ Pn . Existen constantes C1 y C2 , que dependen de las
entradas A, tales que
C1 H(P ) ≤ H(F (P )) ≤ C2 H(P )
para todo P ∈ Pn (Q).
5.2. ALTURAS EN EL ESPACIO PROYECTIVO
57
Demostración. Éste es 5.5 para morfismos de grado 1.
Trataremos de analizar a continuación la relación que existe entre los coeficientes de un
polinomio y la altura de sus raı́ces.
Teorema 5.7. Sea f (t) = a0 td + a1 td−1 + · · · + ad = a0 (t − α1 ) · · · (t − αd ) ∈ Q[t] un
polinomio de grado d. Entonces,
H([a0 , ..., ad ]) ≤ 2d−1
d
Y
H(αj )
j=1
Demostración. Nótese en primer lugar que la desigualdad no se ve alterada si multiplicamos
a f por una constante no nula. De modo que sin pérdida de generalidad podremos asumir
que a0 = 1, es decir, que f es un polinomio mónico.
Sea K = Q(α0 , ..., αd ), y para v ∈ MK , definimos
η(v) =
2
1
∞
si v ∈ MK
0
si v ∈ MK .
Con esta nueva notación, podemos definir la siguiente desigualdad
|x + y|v ≤ η(v) máx{|x|v , |y|v } para v ∈ Mk
y
x, y ∈ K,
0
que coincide con la desigualdad triangular débil para dos sumandos. Nótese que sii v ∈ MK
y |x|v 6= |y|v , entonces la desigualdad se convierte en una identidad.
Vamos a probar que,
máx {|aj |v } ≤ η(v)d−1
1≤j≤d
d
Y
máx{|αj |v , 1}
j=1
Lo probaremos por inducción sobre d, el grado del polinomio mónico f . Para d = 1, tenemos
que f (t) = t − α1 , y la desigualdad es directa
máx{|α1 |v , 1} = 20 máx{|α1 |v , 1}.
Supongamos ahora que el resultado es cierto para polinomios de grado d − 1, con raı́ces en
K. Escojamos un ı́ndice k tal que
|αk |v ≥ |αj |v
para 1 ≤ j ≤ d,
y definamos el polinomio
g(t) = (t − α1 ) · · · (t − αk−1 )(t − αk+1 ) · · · (t − αd )
= b0 td−1 + b1 td−1 + · · · + bd−1
58
CAPÍTULO 5. DESCENSO, ALTURAS Y EL TEOREMA DE MORDELL-WEIL
De modo que f (t) = g(t)(t − αk ), y comparando los coeficientes tenemos que
ai = bi − αk bi−1 . Tenemos entonces que,
máx {|ai |v } =
0≤i≤d
máx {|bi − αk bi−1 |v }
0≤i≤d
≤ η(v) máx {|bi |v , |αk bi−1 |v }
0≤i≤d
≤ η(v) máx {|bi |v } máx{|αk |v , 1}
≤
0≤i≤d
d
Q
η(v)d−1
máx{|αj |v , 1}
hipótesis sobre g
j=1
Elevando cada término a la correspondiente potencia nv , y multiplicando a lo largo de MK ,

nv
d
Y
Y
Y
η(v)d−1
HK ([a0 , ..., ad ]) =
máx {|aj |v }nv ≤
máx{|αj |v , 1}
v∈Mk
1≤j≤d
j=1
v∈Mk
Con η(v) ≤ 2 y la fórmula de extensión,
(d−1)[K:Q]
HK ([a0 , ..., ad ]) ≤ 2
d
Y
HK (αj )
j=1
de donde
H([a0 , ..., ad ]) ≤ 2
d−1
d
Y
H(αj ).
j=1
Ahora que conocemos ciertas propiedades aritméticas de la función de altura, resulta interesante tratar de entender cómo actúa el grupo de Galois sobre ésta función que hemos
definido. Cabrı́a esperar que todos los conjugados de un punto compartiesen altura, pero
esto no es en ningún caso un resultado evidente.
Teorema 5.8. Sea P ∈ Pn (Q) y σ ∈ Gal(Q/Q). Entonces
H(P σ ) = H(P ).
Demostración. Sea K/Q un cuerpo tal que P ∈ Pn (K). El cuerpo K no tiene porqué ser
de Galois sobre Q, pero σ define en cualquier caso un isomorfismo entre
σ : K −→ K σ = {ασ : α ∈ K},
y del mismo modo innduce un isomorfismo entre valores absolutos de K y de K σ ,
σ : MK
v
−→ MK σ
.
7−→ v σ
Ası́, si x ∈ K y v ∈ MK , entonces el valor absoluto asociado v σ queda totalmente determinado por la relación |xσ |vσ = |x|v . Y σ también induce un isomorfismo entre Kv y Kvσσ ,
de modo que los grados locales satisfacen nv = nvσ . Ahora calculamos,
Q
HK σ (P σ ) =
máx{|xσi |w }nw
σ
w∈M
QK
=
máx{|xi |v }nvσ
v∈M
K
Q
=
máx{|xi |v }nv
= HK (P )
v∈MK
5.2. ALTURAS EN EL ESPACIO PROYECTIVO
59
Dado que [K : Q] = [K σ : Q], empleando la definición de altura absoluta se tiene,
H(P σ ) = H(P ).
A continuación vamos a demostrar la propiedad principal de ésta función de altura que
acabamos de definir, y para cuya demostración nos hemos estado preparando.
Teorema 5.9. Sean C y d constantes positivas. Entonces el conjunto,
{P ∈ Pn (Q) : HK (P ) ≤ C
y [Q(P ) : Q] ≤ d}
es finito. Donde Q(P ) es el mı́nimo cuerpo de definición de P , la mı́nima extensión de Q
que contiene las coordenadas homogéneas normalizadas de P . En particular, para todo K
cuerpo de números,
{P ∈ Pn (K) : HK (P ) ≤ C}
es un conjunto finito.
Demostración. Sea P ∈ Pn (Q). Escogemos coordenadas homogéneas para P , digamos
P = [x0 , ..., xn ], con algún xj = 1. Entonces Q(P ) = Q(x0 , ..., xn ), y tenemos una estimación sencilla de la altura
Q
máx {|xi |v }nv
HQ(P ) (P ) =
v∈MQ(P ) 0≤i≤n
!
Q
n
v
máx{|xi |v , 1}
≥ máx
0≤i≤n
=
v∈MQ(P )
máx HQ(P ) (xi )
0≤i≤n
De modo que si H(P ) ≤ C y [Q(P ) : Q] ≤ d, entonces máx H(xi ) ≤ C y
máx[Q(xi ) : Q] ≤ d.
Basta probar que el conjunto,
{x ∈ Q : H(x) ≤ C y [Q(x) : Q] ≤ d}
es finito. En otras palabras, hemos reducido el problema al caso de dimensión n = 1,
digamos en P1 .
Supongamos que x pertenece al conjunto, y por tanto si e = [Q(x) : Q] entonces e ≤ d.
Sean {x = x1 , ..., xe } los conjugados de x. El polinomio mı́nimo de x sobre Q es,
fx (t) = (t − x1 )(t − x2 ) · · · (t − xe ) = te + a1 te−1 + · · · + ae−1 t + ae ∈ Q[t].
Esamos ahora en posición de estimar,
H([1, a1 , ..., ae ]) ≤ 2e−1
e
Q
H(xj )
(Teorema 5.7),
j=1
= 2e−1 H(x)e
(Teorema 5.9),
≤ (2C)d
pues H(x) ≤ C y e ≤ d.
60
CAPÍTULO 5. DESCENSO, ALTURAS Y EL TEOREMA DE MORDELL-WEIL
Dado que a1 , ..., ae ∈ Q, entonces tal y como vimos en el ejemplo 5.1, existe un número
finito de puntos P ∈ Pe (Q) con altura acotada (por (2C)d ), y por tanto un número finito
de posibles polinomios fx (t). Como cada polinomio fx (t) tiene a lo sumo d raı́ces en K,
entonces añade como mucho d elementos al conjunto. De ahı́ se sigue que el conjunto
{P ∈ Pn (Q) : H(P ) ≤ C y [Q(P ) : Q] ≤ d}
es finito para todo C y d constantes, de modo que si K es una extensión de cuerpos de Q,
de ı́ndice finito e, se tiene que HK (P ) = H(P )e por definición, y por tanto el conjunto
{P ∈ Pn (K) : HK (P ) ≤ C} ⊂ {P ∈ Pn (Q) : H(P ) ≤ C 1/e y [Q(P ) : Q] ≤ e}
es finito, por ser subconjunto de un conjunto finito.
5.3.
Alturas en curvas elı́pticas
En esta sección utilizaremos toda la teorı́a de alturas desarrollada anteriormente para
definir funciones de altura sobre curvas elı́pticas. Trataremos de entender cómo se combinan las funciones de altura con la ley de grupo de las curvas, y como corolario directo
de los resultados en esta dirección obtendremos las propiedades necearias para cumplir las
hipótesis del teorema del descenso, y ası́ poder probar el teorema de Mordell-Weil en el
caso general.
Sea E/K una curva elı́ptica. Recordemos que toda función f ∈ K(E) no constante, define
un morfismo f : E → P1 , con
[1, 0]
si P es un polo de f,
f (P ) =
[f (P ), 1] en otro caso
Parece razonable usar f para definir una función de altura sobre E(K) como
Hf (P ) = H(f (P )). De todos modos, tal y como pudimos ver en el teorema 5.6, la función
de altura H actúa multiplicativamente. Y dado que nos interesará en general entender sus
propiedades aditivas, vamos a definir a partir de H una nueva función de altura.
Definición. La altura (logarı́tmica absoluta) en el espacio proyectivo es la función
h : Pn (Q) −→
R
P
7−→ log H(P )
Nótese que la proposición 5.4(b) nos garantiza que h(P ) ≥ 0 para todo P .
Definición. Sea E/K una curva elı́ptica, y f ∈ K(E) una función racional. La altura
sobre E (relativa a f ) es la función
hf : E(K) −→
R
P
7−→ h(f (P ))
En primer lugar, pondremos en términos de las nuevas funciones de altura la propiedad de
finitud demostrada en la sección anterior.
5.3. ALTURAS EN CURVAS ELÍPTICAS
61
Proposición 5.10. Sea E/K una curva elı́ptica, y sea f ∈ K(E) una función no constante. Entonces para toda constrante C, el conjunto
{P ∈ E(K) : hf (P ) ≤ C}
es finito.
Demostración. La función f ∈ K(E) está definida sobre K, y por tanto lleva puntos
P ∈ E(K) a puntos f (P ) ∈ P1 (K). Por tanto f define una correspondencia entre los
conjuntos:
f
{P ∈ E(K) : hf (P ) ≤ C} ←→ {Q ∈ P1 (K) : H(Q) ≤ eC }
P
←→
f (P ) = Q
Y aunque la relación del cardinal entre los conjuntos dependerá del grado de f , la correspondencia nos dá la equivalencia entre la finitud de los conjuntos y sabemos por 5.9 que
uno de ellos es finito.
El siguiente teorema nos da la relación esencial entre la ley de grupo en curvas elı́pticas
y la altura de sus puntos. Lo cual nos servirá para probar que la función hf cumple las
condiciones necesarias para poder probar el teorema de Mordell-Weil.
Teorema 5.11. Sea E/K una curva elı́ptica, y f ∈ K(E) una función par. Entonces para
todo P, Q ∈ E(K), se tiene
hf (P + Q) + hf (P − Q) = 2hf (P ) + 2hf (Q) + O(1)
Las constantes que aparecen en el término O(1) dependen de la curva E y de f , pero no
de los puntos P, Q.
Demostración. Tomando una ecuación de Weiestrass para E/K,
E : y 2 = x3 + Ax + B.
Comenzaremos probando el teorema para la función particular f = x. El caso general se
sigue como un corolario sencillo de éste.
Como hx (O) = 0 y hx (P ) = hx (−P ), el resultado es directo cuando P = O ó Q = O, pues
de hecho se tiene
hx (P + Q) + hx (P − Q) = 2hx (P ) + 2hx (Q).
Ası́ que asumiremos que P, Q 6= O. Definimos la aplicación racional,
x:
E
−→
P1
[x0 , y0 , 1] 7−→ [x0 , 1]
O
7−→ [1, 0]
y denotaremos por,
x(P ) = [x1 , 1],
x(Q) = [x2 , 1],
x(P + Q) = [x3 , 1], x(P − Q) = [x4 , 1].
62
CAPÍTULO 5. DESCENSO, ALTURAS Y EL TEOREMA DE MORDELL-WEIL
Donde x3 , x4 pueden valer ∞ si P = ±Q, ya que
P = −Q =⇒ P + Q = O =⇒ [x3 , 1] = [1, 0],
P =Q
=⇒ P − Q = O =⇒ [x4 , 1] = [1, 0].
Si nos encontramos en el caso P 6= ±Q, las fórmulas descritas en 3.1 establecen que si
P = [x1 , y1 , 1] y Q = [x2 , y2 , 1], entonces
y2 − y1 2
x3 = x(P + Q) =
− (x1 + x2 )
x2 − x1
y22 − 2Y1 y2 + y12 − x32 + x2 x1 (x1 + x2 )
=
como E : y 2 = x3 + Ax + B
(x2 − x1 )2
x32 + Ax2 + B − 2y1 y2 + x31 + Ax1 + B − x32 + x2 x1 (x1 + x2 )
=
(x2 − x1 )2
(A + x1 x2 )(x1 + x2 ) + 2B − 2y1 y2
=
.
(x2 + x1 )2 − 4x1 x2
Del mismo modo, dado que −Q = [x2 , −y2 , 1], se tiene que
−y2 − y1 2
− (x1 + x2 )
x4 = x(P − Q) =
x2 − x1
y22 + 2y1 y2 + y12 − x32 + x2 x1 (x1 + x2 )
=
(x2 − x1 )2
(A + x1 x2 )(x1 + x2 ) + 2B + 2y1 y2
=
.
(x2 + x1 )2 − 4x1 x2
Ası́ que se tienen las siguientes relaciones
x3 + x4 =
2(x1 + x2 )(A + x1 x2 ) + 4B
(x1 + x2 )2 − 4x1 x2
, x 3 x4 =
(x1 x2 − A)2 − 4B(x1 + x2 )
.
(x1 + x2 )2 − 4x1 x2
Definimos la aplicación g : P2 −→ P2 como
g([t, u, v]) = [u2 − 4tv, 2u(At + v) + 4Bt2 , (v − At)2 − 4Btu].
Podemos construir el siguiente diagrama,
E×E
σ
/E×E
P1 × P1
ww
ww
w
ww
w
{w
P2
G
P1 × PG1
g
σ
GG
GG
GG
GG #
/ P2
donde G(P, Q) = (P + Q, P − Q), y la aplicación σ es composición de dos aplicaciones
E × E −→
(P, Q) 7−→
P1 × P1
−→
P2
(x(P ), x(Q))
([α1 , β1 ], [α2 , β2 ]) 7−→ [β1 β2 , α1 β2 + α2 β1 , α1 α2 ].
5.3. ALTURAS EN CURVAS ELÍPTICAS
63
De modo que σ(P, Q) = [1, x1 + x2 , x1 x2 ].
Las fórmulas para x3 y x4 , muestran que el diagrama
(P, Q) G
/ (P + Q, P − Q)
_
([x1 , 1], [x2 , 1])
([x3 , 1], [x4 , 1])
g
/ [1, x3 + x4 , x3 x4 ]
_
_
[1, x1 + x2 , x1 x2 ] _
es conmutativo, ya que
g([1, x1 + x2 , x1 x2 ]) = [(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 , 2(x1 + x2 )(A + x1 x2 ) + 4B, (x1 x2 − A)2 − 4B(x1 + x2 )]
= [1, x3 + x4 , x3 x4 ] ∈ P2 .
El siguiente paso es demostrar que g es un morfismo. Para ello hemos de demostrar que
los tres polinomios homogéneos que definen a g,

 f1 ([t, u, v]) = u2 − 4tv
f2 ([t, u, v]) = 2u(At − v) + 4Bt2

f3 ([t, u, v]) = (v − At)2 − 4Btu
no tienen ceros comunes, salvo t = u = v = 0.
Si t = 0, entonces
u2 − 4tv = 0
(v − A)2 − 4Btu = 0
=⇒ u = v = 0.
De modo que hemos de asumir que t 6= 0. Ası́ podemos definir una nueva cantidad x = u/2t.
Nótese que si identificamos
t = 1, u = x1 + x2 , v = x1 x2 ,
entonces la ecuación u2 − 4tv = 0 se convierte en (x1 − x2 )2 = 0, y x1 = x2 = u/2t, y
estamos ocupándonos del caso P = ±Q.
Con esta nueva cantidad x que hemos definido, la ecuación u2 − 4tv = 0 puede escribirse
como x2 = v/t. Ası́, dividiendo por t2 las identidades f2 ([t, u, v]) = 0 y f3 ([t, u, v]) = 0 se
tiene, en términos de x, el siguiente sistema
2u(At + v) + 4Bt2 = 0
ψ(x) = 4x(A + x2 ) + 4B = 4(x3 + Ax + B) = 0
=⇒
(v − At)2 − 4Btu = 0
φ(x) = (x2 − A)2 − 8Bx = x4 − 2Ax2 − 2Bx + A2 = 0
Nótese que,
x([2]P ) =
x4 − 2Ax2 − 8Bx + A2
φ(x(P ))
=
4(x3 + Ax + B)
ψ(x(P ))
64
CAPÍTULO 5. DESCENSO, ALTURAS Y EL TEOREMA DE MORDELL-WEIL
no es más que la fórmula de la duplicación. Para probar que φ y ψ no tienen ninguna raı́z
en común, basta con verificar la siguiente identidad formal
(12x2 + 16A)φ(x) − (3x3 − 5Ax − 27B)ψ(x) = 4(4A3 + 27B 2 ) = 4∆ 6= 0.
Es aquı́ donde la no singularidad de la ecuación de Weierstrass cumple un papel crucial,
ya que ésto termina la demostración de que g es un morfismo.
Y de nuevo en nuestro diagrama conmutativo podemos calcular,
h(σ(P + Q, P − Q)) = h(σ ◦ G(P, Q))
= h(g ◦ σ(P, Q))
= 2h(σ(P, Q)) + O(1)
Conmutatividad del diagrama
Teorema 5.5
pues g es un morfismo de grado 2, por estar definido por polinomios homogéneos de grado
dos. Para completar la prueba para f = x basta demostrar que
h(σ(R1 , R2 )) = hx (R1 ) + hx (R2 ) + O(1)
para todo R1 , R2 ∈ E(Q),
ya que si empleamos la relación anterior tendremos
h(σ(P +Q, P −Q)) = hx (P +Q)+hx (P −Q)+O(1) = 2hx (P )+2hx (Q)+O(1) = 2h(σ(P, Q))+O(1)
que es el resultado que buscamos.
En primer lugar, nótese que si R1 = O o R2 = O, entonces el resultado es trivial ya que
h(σ(R1 , R2 )) = hx (R1 ) + hx (R2 ). De modo que,
x(R1 ) = [α1 , 1]
x(R2 ) = [α2 , 1],
y por tanto
h(σ(R1 , R2 )) = h([1, α1 + α2 , α1 α2 ])
y hx (R1 ) + hx (R2 ) = h(α1 ) + h(α2 ).
Aplicando el resultado 5.7 al polinomio f (t) = (t − α1 )(t − α2 ) se obtiene
2−2 H(α1 )H(α2 ) ≤ H([1, α1 + α2 , α1 α2 ]) ≤ 2H(α1 )H(α2 ),
y se sigue de las definiciones que,
h(α1 ) + h(α2 ) − log 4 ≤ h([1, α1 + α2 , α1 α2 ]) ≤ h(α1 ) + h(α2 ) + log 2
que es la estimación que buscábamos.
Corolario 5.12. Sea E/K una curva elı́ptica, y f ∈ K(E) una función par.
(a) Dado Q ∈ E(K). Entonces
hf (P + Q) ≤ 2hf (P ) + O(1)
para todo P ∈ E(K)
5.3. ALTURAS EN CURVAS ELÍPTICAS
65
(b) Dado m ∈ Z, se cumple
hf ([m]P ) = m2 hf (P ) + O(1)
para todo P ∈ E(K)
donde las constantes en O(1) dependen de E, f y de m.
Demostración.
(a) Dado que hf (P − Q) ≥ 0, el teorema 5.11 nos garantiza la desigualdad,
hf (P + Q) ≤ hf (P + Q) + hf (P − Q) = 2hf (P ) + 2hf (Q) + O(1)
(b) Como f es par, podemos asumir, sin pérdida de generalidad, que m ≥ 0. Para m = 0
y m = 1 el resultado resulta trivial. Supongamos que el resultado es cierto para m − 1
y m, con m > 1, y veamos que entonces también es cierto para m + 1. En el teorema
5.14, consideramos la identidad con [m]P y P respectivamente. De modo que
hf ([m + 1]P ) = −hf ([m − 1]P ) + 2hf ([m]P ) + 2hf (P ) + O(1)
= (−(m − 1)2 + 2m2 + 2)hf (P ) + O(1) (por hipótesis)
= (m + 1)2 hf (P ) + O(1)
Nótese que si f es impar, entonces f 2 es una función par. Y recordemos que por definición,
Q
H(f 2 (P )) =
máx{|f 2 (P )|v , 1}nv
Qv∈MQ(P )
nv
2
=
v∈MQ(P ) máx{|f (P )|v , 1}
Q
2
nv
=
= H(f (P ))2
v∈MQ(P ) máx{|f (P )|v , 1}
Y por construcción de hf , se tiene
hf 2 (P ) = h(f 2 (P )) = log H(f 2 (P )) = log H 2 (f (P )) = 2 log H(f (P )) = 2hf (P ).
Con esta idea como base se puede ’casi’ extender el resultado anterior a toda clase de
funciones, ver VIII.6.5 [10]. Ahora nos encontramos en condiciones de probar el resultado
principal del trabajo.
Teorema 5.13 (Mordell-Weil). Sea K un cuerpo de números, y E/K una curva elı́ptica.
Entonces el grupo E(K) está finitamente generado.
Demostración. Escojamos cualquier función par f ∈ K(E), por ejemplo f puede ser la
coordenada x en la ecuación de Weierstrass reducida que define la curva E. El teorema de
Mordell-Weil se sigue directamente de la versión débil del mismo con m = 2 junto con el
teorema del descenso.
Basta probar que la función de altura,
hf : E(K) −→ R
tiene las siguientes propiedades que garantizan que estamos bajo las hipótesis para emplear
el Teorema 5.1.
66
CAPÍTULO 5. DESCENSO, ALTURAS Y EL TEOREMA DE MORDELL-WEIL
Hipótesis para el descenso:
(i) Dado Q ∈ E(K). Existe una constante C1 , que depende de E, f y de Q, tal que
hf (P + Q) ≤ 2hf (P ) + C1
para todo P ∈ E(K).
(ii) Existe una constante C2 , dependiendo de E y f , tal que
hf ([2]P ) ≥ 4hf (P ) − C2
para todo P ∈ E(K).
(iii) Para cada constante C3 , el conjunto
{P ∈ E(K) : hf (P ) ≤ C3 }
es finito.
La propiedad (i) no es sino 5.12(a), mientras que (ii) es el caso m = 2 en 5.12(b) y el
apartado (iii) es el teorema 5.10. Esto completa la prueba del teorema de Mordell-Weil.
A continuación, vamos a ilustrar con un ejemplo cómo emplear el método del descenso
empleando las alturas definidas.
Ejemplo 5.2. Sea E/Q la curva elı́ptica dada por la ecuación de Weierstrass,
E : y 2 = x3 + 9.
Tal y cómo hemos visto, si P = (α/β, y) ∈ E(Q), con α, β ∈ Z coprimos, entonces
definimos la altura sobre E como
hx (P ) = máx{|α|, |β|}
donde | · | denota el valor absoluto usual (asociado al único lugar infinito en Q).
Supongamos que hemos demostrado que E(Q)/2E(Q) está generado por el punto
P = (6, 15). Entonces, se tiene que si un punto R ∈
/ 2E(Q), entonces
R + P, R − P ∈ 2E(Q), ya que
R∈
/ E(Q) =⇒ R ≡ P
(mód 2E(Q)) ≡ −P
(mód 2E(Q)).
De la fórmula de la duplicación para E tenemos que un punto Q = (u, v) ∈ 2E(Q) si y
sólo si
x4 − 4x3 u − 72x − 36u = 0
tiene soluciones racionales. Pues recordemos que,
2 2
3x
9x4
Q = [2]R = (u, v) con u =
− 2x =
− 2x.
2y
4(x3 + 9)
Partiendo de un punto
181479482 18128073165931
R= −
,
∈ E(Q)
333756361 6097394959109
5.4. PUNTOS DE TORSIÓN RACIONALES
67
trataremos de descomponerlo en términos de P y de puntos de 2E(Q) de altura 1. En
primer lugar, nótese que los únicos puntos de altura 1 son
O, Q = (0, 3), −Q = (0, −3)
pues hx (R) = 1 equivale a pedir que x = 0.
Comenzamos con el punto R, que tiene alura hx (R) = 333756361. Se tiene que R ∈
/ 2E(Q),
aunque no lo justificaré de momento, esto implica que R + P, R − P ∈ 2E(Q). De modo
que tenemos,
10406815022520
1711276861163052201
= [2]S1 ,
R+P = −
,−
5007404224729
11205183603973252067
497145 494391309
R−P =
= [2]R1 ,
,
238144 116214272
2142 181437
15 183
con S1 =
,−
y R1 = − , −
1369
50653
16
64
donde hx (R1 ) = 16 < hx (S1 ) = 2142.
Tenemos entonces que R = [2]R1 + P , con hx (R1 ) = 16 << hx (R). En esta ocasión se
tiene que R1 ∈ 2E(Q), pues
x4 +
15 3
135
x − 72x +
=0
4
4
tiene soluciones racionales, x = 3, y se tiene que R1 = [2]R2 , donde R2 = (3, −6) ∈
/ 2E(Q).
Nuevamente se tiene que R2 ± P ∈ 2E(Q), con
R2 + P = (40, −253) = [2]S3
R2 − P = (0, −3) = [2]R3
donde
con
S3 = (−2, 1),
R3 = Q = (0, 3).
De modo que hemos conseguido lo que querı́amos, ya que hx (Q) = 1. Ası́ se tiene que,
R = [2]R1 + P = [2]([2]R2 ) + P = [2]([4]R3 + [2]P ) = [5]P + [8]Q.
Nótese que Q + Q = −Q, de modo que [3]Q = O, y entonces
R = [5]P + [2]Q,
donde Q ∈ E(Q)tors tiene orden 3.
5.4.
Puntos de torsión racionales
El Teorema de Mordell-Weil implica que el grupo de torsión racional de una curva elı́ptica, Etors (K), es finito. De modo que lo natural en este punto es preguntarse cómo es la
estructura de Etors (K), o si es posible caracterizar los puntos de torsión. En realidad, en
esta dirección se tienen resultados muy claros que nos hablan de la estructura de la torsión
racional.
En primer lugar caracterizaremos los puntos de m-torsión racionales.
68
CAPÍTULO 5. DESCENSO, ALTURAS Y EL TEOREMA DE MORDELL-WEIL
Teorema 5.14. Sea E/K una curva elı́ptica con ecuación de Weierstrass
y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6
con a1 , ..., a6 ∈ OK ,
siendo OK el anillo de enteros de K. Sea P ∈ E(K) un punto de torsión de orden exacto
m ≥ 2.
(a) Si m no es una potencia de primo, entonces
x(P ), y(P ) ∈ OK .
0 , si denotamos por
(b) Si m = pn para p primo, para cada v ∈ MK
ordv (p)
,
rv = n
p − pn−1
donde [·] denota la parte entera, entonces se tiene que
ordv (x(P )) ≥ −2rv
y
ordv (y(P )) ≥ −3rv .
En particular, si ordv (p) = 0, entonces x(P ), y(P ) son v-enteros (pertenecen a OKv ).
El siguiente corolario fué probado independientemente por Nagell y Lutz, quienes descubrieron condiciones de divisibilidad en cierto modo más débiles que las que se dan en el
teorema anterior, pero que caracterizan completamente los puntos de torsión racional para
curvas definidas sobre Q.
Corolario 5.15. Sea E/Q una curva elı́ptica con ecuación de Weierstrass
y 2 = x3 + Ax + B A, B ∈ Z.
Supongamos que P ∈ E(Q) es un punto no trivial de torsión.
(a) x(P ), y(P ) ∈ Z.
(b) O bien [2]P = O o bien y(P )2 divide a 4A3 + 27B 2 .
Ejemplo 5.3. Sea E la curva del Ejemplo 5.2,
E : y 2 = x3 + 9 = (x − ξ1 )(x − ξ2 )(x − ξ3 ),
donde ξ1 , ξ2 y ξ3 son las tres raı́ces cúbicas de 9. Como vimos en el Ejemplo 3.1, los tres
puntos de torsión no triviales de E son de la forma Pi = (ξi , 0), y ninguno de ellos es
racional pues ξi ∈
/ Q. De modo que el corolario anterior establece que todo P 0 ∈ E(Q)tors
ha de cumplir la condición y(P 0 ) | 32 , y por tanto las opciones son y(P 0 ) ∈ {±1, ±3, ±9}.
Tras unos cálculos sencillos se obtienen los puntos ±Q de [3]-torsión. Se puede concluir
entonces que,
Etors (Q) = {O, Q, −Q} ∼
= Z/3Z.
Como ya vimos, el punto P = (6, 15) generaba el grupo E(Q)/2E(Q) ∼
= Z/2Z. Dado que
P 6= ±Q, entonces tiene que ser un punto de orden infinito.
5.4. PUNTOS DE TORSIÓN RACIONALES
69
Veamos que todo punto en E(Q) ha de ser una combinación lineal de Q y P . Supongamos
que existe un punto P 0 ∈ E(Q), linealmente independiente con P, Q. Entonces E(Q) tendrı́a
un subgrupo isomorfo a
Z/3Z ⊕ Z ⊕ Z,
generado por P, Q y P 0 . Sin embargo, sabemos que al tomar el cociente con 2E(Q), tendrı́amos un subgrupo del subgrupo débil de Mordell-Weil isomorfo a Z/2Z⊕Z/2Z, generado
por las coclases de P y P 0 , lo cual es una contradicción, pues E(Q)/2E(Q) sólo tenı́a un
generador.
De modo que podemos concluir que,
E(Q) ∼
= Z/3Z ⊕ Z
está generado por P y Q.
Uno de los métodos más rapidos en la práctica para acortar el grupo de torsión de E(K)
0 , para los que E tenga una buena reducción, y
es escoger varios lugares finitos v ∈ MK
utilizar la aplicación de reducción,
e v ),
E(Kv )[m] ,→ E(k
que es inyectivo para m primo con char(kv ).
Ejemplo 5.4. La ecuación de Weierstrass,
E : y 2 = x3 − 43x + 166
tiene 4A3 + 27B 2 = 215 · 13. Y por tanto cualquier punto de torsión en E(Q) tiene su
segunda coordenada
y ∈ {0, ±1, ±2, , ±4, , ±8, , ±16, ±32, ±64, ±128}
70
CAPÍTULO 5. DESCENSO, ALTURAS Y EL TEOREMA DE MORDELL-WEIL
(puesto que y 2 divide a 4A3 + 27B 2 , o bien [2]P = O con y = 0). Tras unos pequeños
cálculos se obtienen los puntos,
{(3 ± 8), (−5, ±16), (11, ±32)} ⊂ Etors (Q).
Por otra parte, dado que E tiene una buena reducción módulo 3, sabemos que Etors(Q) se
e 3 ), y es sencillo comprobar que E(F
e 3 ) = 7. Este hecho, sin embargo, no
inyecta en E(F
prueba nada, ya que la condición de divisibilidad tan sólo es necesaria, y no suficiente,
pero empleando la fórmula de la duplicación para P = (3, 8) tenemos que
x(P ) = 3,
x([2]P ) = −5,
x([4]P ) = 11,
y
x([8]P ) = 3.
Por tanto [8]P = ±P , de modo que P ha de ser un punto de orden 7 o 9, (y P no es un
punto de orden 3 pues [2]P 6= ±P ). De las condiciones anteriores se sigue que la única
posibilidad es que el orden de P sea 7, y por tanto podemos concluir que Etors (Q) es un
grupo cı́clico de orden 7,
Etors (Q) =
O, P = (3, 8), [2]P = (−5, 16), [3]P = (11, −32),
[4] P = (11, 32), [5]P = (−5, −16), [6]P = (3, −8)
∼
= Z/7Z.
Este ejemplo ilustra una manera sencilla de encontrar candidatos a ser puntos enteros de
torsión. Dado que sólo hay un número finito de posibilidades, se consigue una cota para
|Etors (Q)|.
Pero para cada candidato hay que comprobar que efectivamente es un punto de torsión y
para ello hay que ver que el orden de sea finito.
Hasta ahora nos hemos preocupado en caracterizar el subgrupo de torsión de una curva
elı́ptica dada, pero otro tipo de pregunta que resulta interesante serı́a: dado un primo p,
existe una curva elı́ptica E definida sobre Q tal que E(Q) contenga algún punto de orden p?
La respuesta para la mayorı́a de primos es no. La caracterización completa de los subgrupos
de torsión sobre Q viene dada por el siguiente teorema de Mazur.
Teorema 5.16 (Mazur). Sea E/Q una curva elı́ptica. Entonces el subgrupo de torsión
Etors (Q) de E(Q) es isomorfo a unos de los siguientes quince grupos:
Z/N Z
Z/2Z ⊕ Z/2N Z
con 1 ≤ N ≤ 10 o bien N = 12
con 1 ≤ N ≤ 4.
Además, para cada uno de esos grupos existe al menos una curva E/Q, cuyo grupo de
torsión racional es isomorfo a él. A continuación se incluye una tabla con ejemplos de cada
uno de los posibles grupos de torsión caracterizados en el teorema.
5.5. RANGO DE E(K)
71
Curva
= x3 − 2
y 2 = x3 + 8
y 2 = x3 + 4
y 2 = x3 + 4x
2
y − y = x3 − x2
y 2 = x3 + 1
2
y = x3 − 43x + 166
y 2 + 7xy = x3 + 16x
2
y + xy + y = x3 − x2 − 14x + 29
y 2 + xy = x3 − 45x + 81
2
y + 43xy − 210y = x3 − 210x2
y 2 = x3 − 4x
2
y = x3 + 2x2 − 3x
y 2 + 5xy − 6y = x3 − 3x2
2
y + 17xy − 120y = x3 − 60x2
y2
Torsión
trivial
Z/2Z
Z/3Z
Z/4Z
Z/5Z
Z/6Z
Z/7Z
Z/8Z
Z/9Z
Z/10Z
Z/12Z
Z/2Z ⊕ Z/2Z
Z/2Z ⊕ Z/4Z
Z/2Z ⊕ Z/6Z
Z/2Z ⊕ Z/8Z
Generadores
O
[−2, 0, 1]
[0, 2, 1]
[2, 4, 1]
[0, 1, 1]
[2, 3, 1]
[3, 8, 1]
[−2, 10, 1]
[3, 1, 1]
[0, 9, 1]
[0, 210, 1]
[0, 0, 1], [2, 0, 1]
[0, 0, 1], [3, 6, 1]
[2, −2, 1], [−3, 18, 1]
[30, −90, 1], [−40, 400, 1]
Kamikenny demostró la finitud del número de los posibles grupos de torsión de las curvas
elı́pticas definidas sobre cuerpos de números arbitrarios de grado hasta 14, y el caso general
fué establecido por Merel en 1996.
Teorema 5.17 (Merel). Para todo entero d ≥ 1, existe una constante N (d) tal que para
todo cuerpo de números K/Q de grado como mucho d, y toda curva elı́ptica E/K, se tiene
|Etors (K)| ≤ N (d).
Es claro que el teorema de Mazur nos dice que N (0) = 16, pero sin embargo, el teorema
establece que no puede haber puntos de orden 11 o 13 en E(Q) para ninguna curva elı́ptica,
lo cual no es ni mucho menos directo. De modo que el Teorema de Mazur es algo más que
un corolario del de Merel.
5.5.
Rango de E(K)
El Teorema de Mordell-Weil establece que el rango de E(K) es finito para cualquier curva
elı́ptica E definida sobre un cuerpo de números K. Resulta natural entonces preguntarse
cómo puede llegar a ser el rango. Sin ambargo, a pesar de haber visto que el subgrupo de
torsión es relativamente sencillo de calcular, hasta ahora no se conocen algoritmos efectivos para calcular el rango de una curva elı́ptica en general. Existen muy pocos resultados
generales concernientes al rango de las curvas elı́pticas.
El rango de una curva elı́ptica sobre Q elegida al azar tiende a ser pequeño en general, y
no es sencillo crear curvas E/Q de rango moderadamente alto. Sin embargo, se conjetura
que existen curvas elı́pticas E/Q de rango arbitrariamente alto.
En 1967 Safarevich y Tate demostraron que el resultado análogo es cierto para cuerpos de
funciones Fp (t). De modo que es razonable pensar que la conjetura puede ser cierta.
72
CAPÍTULO 5. DESCENSO, ALTURAS Y EL TEOREMA DE MORDELL-WEIL
En esta dirección, se han realizado construcciones de curvas con rango alto, familias con
rango hasta 19, o bien curvas individuales de rangos más altos.
Ejemplo 5.5. La curva
E : y 2 + xy + y = x3 − x2 + αx + β,
donde
α = −20067762415575526585033208209338542750930230312178956502
β = 3448161179503055646703298569039072037485594435931918036126
6008296291939448732243429
tiene rango como mı́nimo 28.
Este ejemplo se le debe a Elkies, que encontró en 2006 los siguientes puntos independientes
de orden infinito en E:
P1 = [−2124150091254381073292137463, 259854492051899599030515511070780628911531, 1],
P2 = [2334509866034701756884754537, 18872004195494469180868316552803627931531, 1],
P3 = [−1671736054062369063879038663, 251709377261144287808506947241319126049131, 1],
P4 = [2139130260139156666492982137, 36639509171439729202421459692941297527531, 1],
P5 = [1534706764467120723885477337, 85429585346017694289021032862781072799531, 1],
P6 = [−2731079487875677033341575063, 262521815484332191641284072623902143387531, 1],
P7 = [2775726266844571649705458537, 12845755474014060248869487699082640369931, 1],
P8 = [1494385729327188957541833817, 88486605527733405986116494514049233411451, 1],
P9 = [1868438228620887358509065257, 59237403214437708712725140393059358589131, 1],
P10 = [2008945108825743774866542537, 47690677880125552882151750781541424711531, 1],
P11 = [2348360540918025169651632937, 17492930006200557857340332476448804363531, 1],
P12 = [−1472084007090481174470008663, 246643450653503714199947441549759798469131, 1],
P13 = [2924128607708061213363288937, 28350264431488878501488356474767375899531, 1],
P14 = [5374993891066061893293934537, 286188908427263386451175031916479893731531, 1],
P15 = [1709690768233354523334008557, 71898834974686089466159700529215980921631, 1],
P16 = [2450954011353593144072595187, 4445228173532634357049262550610714736531, 1],
P17 = [2969254709273559167464674937, 32766893075366270801333682543160469687531, 1],
P18 = [2711914934941692601332882937, 2068436612778381698650413981506590613531, 1],
P19 = [20078586077996854528778328937, 2779608541137806604656051725624624030091531, 1],
P20 = [2158082450240734774317810697, 34994373401964026809969662241800901254731, 1],
P21 = [2004645458247059022403224937, 48049329780704645522439866999888475467531, 1],
P22 = [2975749450947996264947091337, 33398989826075322320208934410104857869131, 1],
P23 = [−2102490467686285150147347863, 259576391459875789571677393171687203227531, 1],
P24 = [311583179915063034902194537, 168104385229980603540109472915660153473931, 1],
P25 = [2773931008341865231443771817, 12632162834649921002414116273769275813451, 1],
P26 = [2156581188143768409363461387, 35125092964022908897004150516375178087331, 1],
P27 = [3866330499872412508815659137, 121197755655944226293036926715025847322531, 1],
P28 = [2230868289773576023778678737, 28558760030597485663387020600768640028531, 1].
Consultar http : //web.math.hr/ duje/tors/rk28.html para más ejemplos.
Capı́tulo 6
Cómo calcular el grupo de
Mordell-Weil
Tal y como ya vimos en el capı́tulo anterior, para poder calcular los generadores del grupo
de Mordell-Weil E(K) basta con conocer los generadores de E(K)/mE(K) para algún
m ≥ 2. Desafortunadamente, no existe hoy en dı́a ningún algoritmo conocido que garantice el cálculo de los generadores de E(K)/mE(K) en un tiempo finito.
De ahora en adelante, siguiendo con la notación de capı́tulos anteriores, K será siempre
un cuerpo de números y MK un conjunto completo de valores absolutos no equivalentes
en K.
6.1.
Calcular E(K)/mE(K)
En esta sección E/K será una curva elı́ptica definida sobre K, y m ≥ 2 un entero. Asumiremos que E[m] ⊂ E(K). Y bajo estas hipótesis, tal y como vimos en la sección 4.1, existe
un emparejamiento
κ : E(K) × Gal(K/K) −→ E[m]
(P, σ)
7−→ Qσ − Q
donde Q ∈ E(K) satisface [m]Q = P . Además el resultado 4.3(c) dice que el núcleo por la
izquierda es mE(K), de modo que podemos ver κ como un homomorfismo
δE : E(K)/mE(K) −→ Hom(Gal(K/K), E[m]),
donde δE (P ) es el homomorfismo,
δE (P ) : Gal(K/K) −→ E[m]
σ
7−→ κ(P, σ)
Recordemos que si E[m] ⊂ E(K), entonces µm ⊂ K ∗ . Se sigue de las propiedades básicas
del emparejamiento de Weil, Corolario 3.6,
em : E[m] × E[m] −→ µm ⊂ K ∗ .
73
74
CAPÍTULO 6. CÓMO CALCULAR EL GRUPO DE MORDELL-WEIL
Por otra parte µm ⊂ K ∗ , el Teorema 90 de Hilbert dice que todo homomorfismo de
Gal(K/K) a µm , es de la forma
ψβ : Gal(K/K) −→ µm
σ
σ
7−→ ββ
∗
para algún β ∈ K con β m ∈ K ∗ .
En el lenguaje de la cohomologı́a de grupos, se reduce a
H 1 (Gal(K/K), µm ) =
Z 1 (Gal(K/K), µm ) ∼ ∗
= K /(K ∗ )m ,
1
Bcont (Gal(K/K), µm )
donde H 1 (Gal(K/K), µm ) es el primer grupo de cohomologı́a de µm como
Gal(K/K)-módulo.
En otras palabras, existe un isomorfismo
δK : K ∗ /(K ∗ )m −→ Hom(Gal(K/K), µm )
b
7−→
[σ 7→ β σ /β]
∗
donde β ∈ K se escoge de modo que β m = b.
Empleando las aplicaciones δE y δK , podemos probar el Teorema de Mordell-Weil en su
versión débil de una manera explı́cita, y derivar ası́ fórmular que nos permitiran calcular
el grupo de Mordell-Weil en ciertos casos.
Teorema 6.1. (a) Con la notación anterior, existe un emparejamiento bilineal
b : E(K)/mE(K) × E[m] −→ K ∗ /(K ∗ )m
tal que em (δE (P ), T ) = δK (b(P, T )).
(b) El emparejamiento en (a) es no degenerado por la izquierda.
∞ , el conjunto de
(c) Sea S ⊂ MK la unión de el conjunto de los lugares infinitos, MK
primos finitos en los que E tiene una reducción mala, y el conjunto de primos finitos
que dividen a m. Entonces la imagen del emparejamiento en (a) pertenece a al siguiente
subgrupo de K ∗ /(K ∗ )m :
K(S, m) = {b ∈ K ∗ /(K ∗ )m : ordv (b) ≡ 0
(mód m) para todo v ∈
/ S}
(d) El emparejamiento en (a) puede calcularse como sigue. Para cada T ∈ E[m], escogemos
funciones fT , gT ∈ K(E) que satisfagan las siguientes condiciones:
(1) div(fT ) = m(T ) − m(O)
(2) fT ◦ [m] = gTm
Entonces para todo punto P 6= T , b(P, T ) ≡ fT (P ) (mód (K ∗ )m ). Si P = T , podemos
calcular b(T, T ) empleando la linealidad del emparejamiento. Por ejemplo, si [2]T 6= O,
entonces b(T, T ) = fT (−T )−1 .
Sea Q ∈ E(K) cualquier punto con Q 6= T , entonces
b(T, T ) = fT (T + Q)fT (Q)−1 .
6.1. CALCULAR E(K)/M E(K)
75
Demostración. (a) En primer lugar, recordando la notación que hemos empleado, veamos
que
δK (b(P, T )) = em (δE (P ), T ) ∈ Hom(Gal(K/K), µm ),
determina totalmente el emparejamiento b.
Por un lado,
em (δE (P ), T ) : Gal(K/K) −→ µm
σ
7−→ gT (X + δE (P )(σ))/gT (X)
= gT (X + κ(P, σ))/gT (X)
= gT (X + (Qσ − Q))/gT (X)
y además,
δK (b(P, T )) : Gal(K/K) −→ µm
σ
7−→ β(P, T )σ /β(P, T )
donde b(P, T ) = β(P, T )m .
Por el teorema de Hilbert sabemos que todo homomorfismo entre Gal(K/K) y µm , cuando
∗
µm ∈ K , es de la forma
σ 7−→ β σ /β
de modo que em (δE (P )(·), T ) determina de manera única β(P, T ), y por tanto b(P, T ).
La bilinealidad de b se sigue de la bilinealidad de los emparejamientos de Weil, em , y de
Kummer, κ:
em (δE (P + P 0 ), T ) = em (κ(P + P 0 , ·), T ) = em (κ(P, ·) + κ(P 0 , ·), T ) = em (κ(P, ·), T )em (κ(P 0 , ·), T )
em (δE (P ), T + T 0 ) = em (κ(P, ·), T + T 0 ) = em (κ(P, ·), T + T 0 ) = em (κ(P, ·), T )em (κ(P, ·), T 0 )
(b) Para probar que el emparejamiento es no degenerado por la izquierda, supondremos
que b(P, T ) = 1 para todo T ∈ E[m]. Esto equivale a decir que para todo T ∈ E[m] y
σ ∈ Gal(K/K),
em (κ(P σ), T ) = 1.
La condición de no degeneración del emparejamiento de Weil implica que κ(P, σ) = 0 para
todo σ ∈ Gal(K/K), de modo que P ∈ mE(K).
(c) Sea β(P, T ) = b(P, T )1/m , obtenido a partir del emparejamiento definido en (a). Entonces fijado (P, T ) ∈ E(k)/mE(K) × E[m], se tiene
em (Qσ − Q, T ) = β(P, T )σ /β(P, T ) ∈ µm
para todo σ ∈ Gal(K/K), donde [m]Q = P .
Se sigue de las definiciones que K(β(P, T )) es un subcuerpo de L = K([m]−1 E(K)), el
cuerpo descrito en 4.3.(d). Sabemos por el Teorema 4.5(b) que la extensión de cuerpos
L/K es no ramificada fuera de S. Veamos ahora que si v ∈ MK es un lugar finito con
v(m) = 0, entonces la extensión K(β(P, T ))/K no ramifica en v si y sólo si
ordv (β(P, T )) ≡ 0 (mód m).
Donde ordv : K ∗ −→ Z es la valoración normalizada asociada a v.
Ésto dice precisamente que b(P, T ) ∈ K(S, m).
76
CAPÍTULO 6. CÓMO CALCULAR EL GRUPO DE MORDELL-WEIL
∗
(d) Escojamos Q ∈ E(K) y β ∈ K , tales que P = [m]Q y b(P, T ) = β m . Entonces por
definición se tiene que para todo σ ∈ Gal(K/K)
em (δE (P )(σ), T ) = em (κ(P, σ), T ) = em (Qσ − Q, T ) = gT (X + (Qσ − Q))/gT (X),
donde X ∈ E(K) es cualquier punto tal que gT (X + (Qσ − Q))gT (X) 6= 0. Por otro lado,
en (a) hemos visto que
em (δE (P )(σ), T ) = δK (b(P, T ))(σ) = β σ /β.
De modo que si tomamos X = Q ∈ E(K), se tiene que gT (Qσ )/gT (Q) = β σ /β.
Dado que δK define un isomorfismo, entonces gTm (Q) ≡ β m (mód (K ∗ )m ). Utilizando la
definición de fT y gT vemos que gTm (Q) = fT ◦ [m](Q) = fT ([m]Q) = fT (P ) ∈ K ∗ , y por
tanto
fT (P ) ≡ b(T, P ) (mód (K ∗ )m ).
Veremos a continuación cómo el teorema 6.1 nos permitirá calcular el grupo E(K)/mE(K),
que como ya hemos visto nos permitirá encontrar los generadores del grupo de MordellWeil.
En primer lugar, sabemos que el conjunto K(S, m) definido en 6.1(c) es finito, y podemos
calcularlo de manera sencilla. Por otro lado, la función fT , que deriva de la construcción
del emparejamiento de Weil, también resulta sencilla de calcular a partir de la ecuación de
la curva E. De hecho, la condición
div(fT ) = m(T ) − m(O)
determina la función salvo multiplicación por escalares, pero la condición
fT ◦ [m] = gTm
con gT ∈ K(E)
determina completamente la función.
Para calcular el grupo E(K)/mE(K) tan sólo hemos de:
1. Fijar generadores T1 , T2 de E[m] ∼
= Z/mZ × Z/mZ. Entonces todo T ∈ E[m] es de
la forma,
T = [m1 ]T1 + [m2 ]T2
0 ≤ m1 , m1 < m.
2. Para todo (b1 , b2 ) ∈ K(S, m)×K(S, m), tenemos que comprobar si existe una solución
(P, z1 , z2 ) ∈ E(K) × K ∗ × K ∗ del sistema:
b1 z1m = fT1 (P )
b2 z2m = fT2 (P )
Pues recordemos que el apartado (d) del teorema anterior asegura que si P 6= T ,
entonces
b(P, T ) ≡ fT (mód (K ∗ )m ),
de modo que si bi zim = fTi (P ) para algún zi ∈ (K ∗ )m , entonces bi = b(P, Ti ) es
preimagen del par (P, Ti ) ∈ E(K) × E[m].
Además dado que T1 , T2 generan E[m], se tiene por bilinealidad de b que
b(P, [m1 ]T1 + [m2 ]T2 ) = b(P, T1 )m1 b(P, T2 )m2 = b([m1 ]P, T1 )b([m2 ]P, T2 ).
6.2. 2-DESCENSO COMPLETO
77
3. Por último, que b(P, T ) sea no degenerada por la izquierda implica que si
b(P, T1 ) = b(P 0 , T1 )
b(P, T2 ) = b(P 0 , T2 )
=⇒ b(P, T ) = b(P 0 , T )
para todo T ∈ E[m]
y por tanto P − P 0 ∈ mE(K), de modo que
P = P 0 ∈ E(K)/mE(K)
representan la misma coclase.
De modo que resulta equivalente encontrar las parejas (b1 , b2 ) ∈ K(S, m) × K(S, m) para
las que el sistema tiene solución (P, z1 , z2 ) ∈ E(K) × K ∗ × K ∗ , que encontrar los representantes P ∈ E(K) de las coclases de E(K)/mE(K). Pues de cada pareja se puede recuperar
el punto P , tal y cómo se detalla a continuación. Además dado que hay un número finito
de pares (b1 , b2 ), sólo hay un número finito de sistemas.
En términos de x, y, en las ecuaciones de Weierstrass de la curva, estamos buscando elementos
(x, y, z1 , z2 ) ∈ K × K × K × K ∗ × K ∗ tales que,
 2
 y + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6
b1 z1m = fT1 (x, y)

b2 z2m = fT2 (x, y)
Las ecuaciones anteriores definen un espacio homogéneo HE (b1 , b2 ) para E/K, que a lo
sumo cuenta con un punto K-racional.
De modo que calcular E(K)/mE(K) depende de que seamos o no capaces de calcular la
existencia (o no existencia) de puntos K-racionales en un conjunto finito de espacios homogéneos HE (b1 , b2 ). Veremos más adelante, que ésta no es una tarea sencilla en general,
y que en muchos casos no será posible justificar dicha existencia (o no existencia), debido
básicamente a que en este tipo de variedades algebraicas no se cumple el principio de Hasse
(local-global). En ocasiones será casi directo descartar uno de estos espacios homogéneos,
por ejemplo si no tiene puntos en Kv para algún v ∈ MK entonces tampoco tendrá puntos
racionales. Sin embargo podemos encontrarnos con espacios homogéneos que tienen soluciones en todas las compleciones Kv , v ∈ Mk , y sin embargo no tienen puntos K-racionales.
6.2.
2-Descenso Completo
Consideraremos el caso especial en el que m = 2, que es sin duda el más sencillo para
trabajar.
Bajo la suposición de que E[m] ⊂ E(K), podemos considerar una ecuación de Weierstrass
de la forma
E : y 2 = (x − e1 )(x − e2 )(x − e3 )
con e1 , e2 , e3 ∈ K.
78
CAPÍTULO 6. CÓMO CALCULAR EL GRUPO DE MORDELL-WEIL
Entonces los 3 puntos notriviales de 2-Torsión son
T1 = (e1 , 0), T2 = (e2 , 0), T3 = (e3 , 0).
Dado que la recta x − ei = 0 es tangente a la curva E en el punto Ti , entonces tal y como
vimos en la sección 2.4
div(x − ei ) = 2(Ti ) − 2(O) i = 1, 2, 3.
De modo que en este caso tenemos que div(fT ) = div(x − e) cuando T = (e, 0) es uno de
los puntos anteriores. Empleando la fórmula de la duplicación, para la curva
E : y 2 = (x − e1 )(x − e2 )(x − e3 ) = x3 − x2 (e1 + e2 + e3 ) + x(e1 e2 + e1 e3 + e2 e3 ) − (e1 e2 e3 ),
se tiene que,
(x − e) ◦ [2] =
(x2 − 2ex − 2e2 + 2(e1 + e2 + e3 )e − (e1 e2 + e1 e3 + e2 e3 )
2y
2
,
de modo que efectivamente fT (x, y) = x − e.
Supongamos ahora que (b1 , b2 ) ∈ K(S, 2) × K(S, 2) y queremos dererminar cuándo existe
algún punto P ∈ E(K)/2E(K) que cumpla
b(P, T1 ) = b1
y
b(P, T2 ) = b2 ,
donde recordemos que T1 , T2 son generadores de E[2] = {O, T1 , T2 , T1 +T2 } ∼
= Z/2Z×Z/2Z.
Tal punto existirá si y sólo si existe una solución (x, y, z1 , z2 ) ∈ K × K × K ∗ × K ∗ del
sistema de ecuaciones,
 2
 y = (x − e1 )(x − e2 )(x − e3 ),
b1 z12 = x − e1 ,

b2 z22 = x − e2 ,
que sustiyendo las dos últimas ecuaciones en la primera, y definiendo una nueva variable
z3 con y = b1 b2 z1 z2 z3 , se tiene el siguiente sistema de ecuaciones
b1 b2 z32 = x − e3 , b1 z12 = x − e1 , b2 z22 = x − e2 .
Finalmente, se obtienen el siguiente par de ecuaciones tras despejar la variable x:
b1 z12 − b2 z22 = e2 − e1 ,
b1 z12 − b1 b2 z32 = e3 − e2 .
Esto nos da una colección finita de ecuaciones, una para cada par (b1 , b2 ), y emplearemos
todas la técnicas a nuestra disposición para determinar cuando éstas tienen solución. Nótese
que cuando encontramos una solución (z1 , z2 , z3 ) entonces recuperamos inmediatamente el
correspondiente punto P = (x, y) ∈ E(K)/2E(K) con las fórmulas,
x = b1 z12 + e1
y = b1 b2 z1 z2 z3 .
Por último, hemos de lidiar con el hecho de que la definición que establecimos en 6.1(d)
de b(P, T ) = fT (P ) no puede emplearse cuando P = T . Es decir, hay dos parejas (b1 , b2 )
6.2. 2-DESCENSO COMPLETO
79
que no se pueden obtener con el procedimiento anterior, digamos (b(T1 , T1 ), b(T1 , T2 )) y
(b(T2 , T1 ), b(T2 , T2 )). Estos valores se pueden sin embargo calcular aprovechando la
bilinealidad de b,
b(T1 , T2 ) = b(T1 , T1 + T2 )b(T1 , T2 )−1
= b(T1 , T3 )b(T1 , T2 )−1
e1 − e3
=
,
e1 − e2
y de manera análoga,
b(T2 , T2 ) =
e2 − e3
.
e2 − e1
Vamos a recoger el procedimiento completo en la siguiente proposición.
Proposición 6.2 (2-Descenso Completo). Sea E/K una curva elı́ptica dada por una
ecuación de Weierstrass,
y 2 = (x − e1 )(x − e2 )(x − e3 )
con e1 , e2 , e3 ∈ K.
Sea S ⊂ MK un conjunto finito de lugares de K que incluya todos los lugares arquimedianos, todos los lugares que dividan a 2, y todos aquellos lugares en los que la curva E
tenga una mala reducción. Además, sea
K(S, 2) = {b ∈ K ∗ /(K ∗ )2 : ordv ≡ 0
(mód 2) para todo v ∈
/ S}.
Entonces existe un homomorfismo inyectivo
E(K)/2E(K) −→ K(S, 2) × K(S, 2)
definido por

(x


− e1 , x − e2 )


 e1 −e3 , e1 − e2
e1 −e2
P = (x, y) −
7 →
3

e2 − e1 , ee22 −e

−e

1


(1, 1)
si x 6= e1 , e2
si x = e1
si x = e2
si P = O
Sea (b1 , b2 ) ∈ K(S, 2) × K(S, 2), una pareja que no es imagen de uno de los tres puntos
O, (e1 , 0), (e2 , 0). Entonces (b1 , b2 ) es la imagen de un punto
P = (x, y) ∈ E(K)/2E(K)
si y sólo si las ecuaciones
b1 z12 − b2 z2 = e2 − e1 ,
b1 z12 − b1 b2 z32 = e3 − e1 ,
tiene una solución (z1 , z2 , z3 ) ∈ K ∗ × K ∗ × K. Si tal solución existe, entonces podemos
tomar
P = (x, y) = (b1 z12 + e1 , b1 b2 z1 z2 z3 ).
Demostración. Tal y como explicamos anteriormente, éste no es sino el caso m = 2 del
teorema 6.1.
80
6.3.
CAPÍTULO 6. CÓMO CALCULAR EL GRUPO DE MORDELL-WEIL
Un ejemplo
A continuación ilustraremos cómo calcular E(K)/2E(K), y obtendremos los generadores
del grupo de Mordell-Weil, en un caso concreto.
Ejemplo 6.1. Tomemos E/Q la curva elı́ptica dada por,
E : y 2 = x3 − 12x2 + 20x = x(x − 2)(x − 10),
y con discriminante ∆ = 490600 = 214 52 . Tal y como ya hemos visto E tiene una buena
reducción módulo cualquier primo salvo 2 y 5. Reduciendo la ecuación módulo 3, se tiene
e : y 2 = x(x − 1)(x + 1)
E
es sencillo comprobar que
e 3 ) = {P1 = (0, 0), P2 = (−1, 0), P3 = (1, 0), O},
E(F
tiene cuatro puntos F3 -racionales. Dado que E[2] ∼
= Z/2Z × Z/2Z ⊂ Etors , que a su vez se
e 3 ), tal y como vimos en el capı́tulo 3, se tiene que E[2] = Etors .
inyecta en E(F
Sea S = {2, 5, ∞} ⊂ MQ . Entonces un conjunto de representantes completo para
Q(S, 2) = {b ∈ Q∗ /(Q∗ )2 : ordv (b) ≡ 0
(mód 2) para todo v ∈
/ S}
viene dado por {±1, ±2, ±5, ±10} en Q∗ /(Q∗ )2 , ya que, salvo por cuadrados, los elementos
de Q(S, 2) no pueden ser divisibles por ningún primo distinto de 2, 5.
Consideremos a continuación la aplicación definida en 6.2, con e1 = 0, e2 = 2, e3 = 10:
E(Q)/2E(Q) −→ Q(S, 2) × Q(S, 2)
(x, y)
7−→
(x, x − 2)
si x 6= 0, 2
Hay 82 pares (b1 , b2 ) ∈ Q(S, 2) × Q(S, 2), y para cada par debemos comprobar cuando
proviene de un elemento de E(Q)/2E(Q). Por ejemplo, usando el resultado 6.2, podemos
calcular la imagen de E[2] en Q(S, 2) × Q(S, 2):
O 7→ (1, 1), (0, 0) 7→ (5, −2), (2, 0) 7→ (2, −1), (10, 0) 7→ (10, 8) ≡ (10, 2)
(mód (Q∗ )2 ).
Aun falta determinar, para cada par (b1 , b2 ), cuando las ecuaciones
b1 z12 − b2 z22 = 2,
b1 z12 − b1 b2 z32 = 10,
tienen una solución z1 , z2 , z3 ∈ Q. Por ejemplo, si b1 < 0 y b2 > 0, entonces el sistema no
podrá tener soluciones racionales, pues ni siquiera tiene solucion en R.
Empleando esta misma estrategia, vamos a encontrar cuáles de los 64 pares (b1 , b2 ) son
preimagen de un punto P . Es decir, cúando el sistema tiene solucion.
6.3. UN EJEMPLO
81
1. Si b1 < 0 y b2 > 0, entonces
b1 z1 − b2 z2 = 2
no tiene soluciones en R, y por tanto tampoco en Q. Con ésta condición descartamos
las16 parejas:
{(−1, 1), (−2, 1), (−5, 1), (−10, 1), (−1, 2), (−2, 2), (−5, 2), (−10, 2), (−1, 5),
(−2, 5), (−5, 5), (−10, 5), (−1, 10), (−2, 10), (−5, 10), (−10, 10)}.
2. Si b1 < 0 y b2 < 0, entonces
b1 z1 − b1 b2 z32 = 10
no tiene soluciones en R. Con esta condición descartamos las 16 parejas:
{(−1, −1), (−2, −1), (−5, −1), (−10, −1), (−1, −2), (−2, −2), (−5, −2), (−10, −2),
(−1, −5), (−2, −5), (−5, −5), (−10, −5), (−1, −10), (−2, −10), (−5, −10), (−10, −10)}.
3. Los cuatro puntos de torsión O, T1 = (0, 0), T2 = (0, 2), T3 = T1 + T2 = (0, 10), van a
parar respectivamente a las cuatro parejas:
{(1, 1), (5, −2), (2, −1), (10, 2)}.
4. La pareja (b1 , b2 ) = (1, −1), corresponde con el sistema
2
z1 + z22 = 2
z12 + z32 = 10
que tiene como solución (z1 , z2 , z3 ) = (1, 1, 3) que da lugar al punto P0 = (1, −3) ∈
E(Q).
5. Si sumamos el punto P0 = (1, −3) a los cuatro puntos de 2-torsión no triviales,
corresponde con multiplicar sus correspondientes (b1 , b2 ), ya que para T fijo b(·, T ) es
un homomorfismo. Este procedimiento nos da los tres pares:
{(5, 2), (2, 1), (10, −2))} ⊂ Q(S, 2) × Q(S, 2).
Que corresponden con los puntos,
P1 = (20, 60), P2 = (18, −48), P3 = (10/9, −80/27) ∈ E(Q).
6. Si b1 6≡ 0 (mód 5), y b2 ≡ 0 (mód 5). Se tiene que ord5 (b1 z12 ) = 2ord5 (z1 ) tiene que
ser par, y ord5 (b2 z22 ) = 2ord5 (z2 )+1 es impar. De modo que la ecuación b1 z12 −b2 z22 =
2 implica que z1 , z2 ∈ Z5 . De la segunda ecuación se tiene que
z1 ≡ 0
(mód 5),
y junto con la primera ecuación tenemos que 0 ≡ 2 (mód 5) lo cual es una contradicción. Por tanto, el sistema no puede tener soluciones en Q5 , y tampoco en Q, para
los 8 nuevos pares:
{(1, ±5), (2, ±5)(1, ±10)(2, ±10)}.
82
CAPÍTULO 6. CÓMO CALCULAR EL GRUPO DE MORDELL-WEIL
7. Los 8 pares en el apartado anterior son Q5 -no triviales, i.e. el sistema no tiene
soluciones en Q5 . De modo que si multiplicamos esos pares por el par Q-trivial (5, 2),
obtendremos 8 nuevas parejas Q5 -no triviales:
{(5, ±10), (10, ±10), (5, ±20) ≡ (5, ±5)
(mód (Q∗ )2 ), (10, ±20) ≡ (10, ±5)
(mód (Q∗ )2 )}.
8. La pareja (b1 , b2 ) = (1, 2), corresponde con el sistema
2
z1 − 2z22 = 2
z12 − 2z32 = 10
Como 2 no es residuo cuadrático módulo 5, la segunda ecuación implica que
z1 ≡ z3 ≡ 0 (mód 5). Se tiene entonces que en la tercera ecuación,
0 ≡ 10
(mód 2)5,
lo cual es una contradicción. Por tanto el sistema no tiene soluciones en Q5 .
9. Tomando este último par Q5 -no trivial del apartado anterior, y multiplicándolo por
los 7 pares que ya tenemos en la tabla (correspondientes a los 7 puntos que ya hemos
calculado), obtenemos 7 nuevas parejas Q5 -no triviales que completan la tabla.
{(2, ±2), (5, ±1), (10, ±1), (1, −2)}.
b2 \b1
1
2
5
10
-1
-2
-5
-10
1
O
Q5
Q5
Q5
P0
Q5
Q5
Q5
2
P2
Q5
Q5
Q5
T2
Q5
Q5
Q5
5
Q5
P1
Q5
Q5
Q5
T1
Q5
Q5
10
Q5
T3
Q5
Q5
Q5
P3
Q5
Q5
-1
R
R
R
R
R
R
R
R
-2
R
R
R
R
R
R
R
R
-5
R
R
R
R
R
R
R
R
-10
R
R
R
R
R
R
R
R
Cálculo de E(Q)/2E(Q) para E : y 2 = x(x − 2)(x − 10).
Ası́ hemos comprobado una a una las condiciones de compatibilidad de cada una de las 64
parejas (b1 , b2 ) ∈ Q(S, 2) × Q(S, 2). Y hemos obtenido los puntos,
{O, T1 , T2 , T3 , P0 , P1 = P0 + T1 , P2 = P0 + T2 , P3 = P0 + T3 } = E(Q)/2E(Q).
Para calcular los generadores de la parte libre de E(Q), basta darse cuenta de que podemos
inyectar el cociente E(Q)/2E(Q) de manera natural en el grupo
E(Q)/2E(Q) ,→ E(Q) ∼
= Etors × Zr .
Y dado que Etors = E[2] = {O, T1 , T2 , T3 }, entonces los generadores de Zr han de ser
imagen de alguno de los puntos
{P0 , P1 , P2 , P3 } ⊂ E(Q)/2E(Q).
6.3. UN EJEMPLO
83
Y por construcción sabemos que estos cuatro puntos son linealmente dependientes, de modo
que la parte libre del grupo tiene un sólo generador, digamos P . Podemos entonces concluir
que,
E(Q) ∼
= Z/2Z ⊕ Z/2Z ⊕ Z =< T1 , T2 , P > .
Como ya hemos dicho anteriormente, resulta relativamente sencillo encontrar los
generadores de E(Q) a partir de los de E(Q)/2E(Q), pero en general no será tan sencillo
como en el ejemplo anterior. Pues tenemos un número finito de sistemas de ecuaciones que
definen un número finito de espacios homogéneos,
HE (b1 , b2 ) = {(z1 , z2 , z3 ) : b1 z12 − b2 z22 = e2 − e1 , b1 z12 − b1 b2 z32 = e3 − e1 } ⊂ A3 (K),
donde E : y 2 = (x − e1 )(x − e2 )(x − e3 ) es nuestra curva. Y para cada uno de ellos hemos
de comprobar si tiene o no algún punto K-racional (que dará lugar a un punto
P ∈ E(K)/2E(K)). La dificultad de este proceso radica en que no siempre podremos
encontrar una solución racional, ni probar que no existen soluciones en alguna compleción
Kv de K. Puede suceder incluso, que existiendo Kv -racionales para toda valoración
v ∈ MK , puedan no existir puntos K-racionales, i.e. el principio Local-Global de Hasse no
se puede aplicar a este tipo de variedades.
84
CAPÍTULO 6. CÓMO CALCULAR EL GRUPO DE MORDELL-WEIL
Capı́tulo 7
Variedades Abelianas
En su tesis doctoral, escrita entre 1927 y 1928, André Weil demostró que los puntos
racionales de la variedad Jacobiana de cuelquier curva, definida sobre un cuerpo de números,
era finitamente generada. Este resultado es conocido como el Teorema de Weil, y supone
la generalización del teorema que habı́a probado Mordell años antes, que se ocupaba exclusivamente de las curvas elı́pticas definidas sobre Q. Como corolario directo del Teorema
de Weil se obtiene la finitud de los generadores de cualquier curva elı́ptica definida sobre
un cuerpo de números arbitrario K, es por eso que el resultado principal del trabajo se
conoce como Teorema de Mordell-Weil.
A partir de esta tesis, Weil comenzó a investigar las variedades abelianas. La mejor manera de comprender las variedades abelianas es como análogos de las curvas elı́pticas en
dimensiones mayores. Una variedad abeliana es básicamente una variedad proyectiva A,
con estructura de grupo abeliano en la que las operaciones suma e inverso son morfismos.
En este caso, la Jacobiana de una variedad serı́a el análogo al grupo (E, ⊕) en una curva
elı́ptica, aunque éste es un caso especial, ya que para las curvas elı́pticas la variedad y su
jacobiana coinciden.
Tal y como ya hemos visto, si E es una curva elı́ptica sobre un cuerpo algebraicamente
cerrado K, entonces existe un isomorfismo canónico
E(K) −→ P ic0 (E)
P
7−→ (P ) − (O)
que define una estructura de grupo en E a partir de la estructura natural en P ic0 (E).
A través de esta construcción podemos encontrar dos generalizaciones distintas:
(I) Sea C una curva, y Q ∈ C(K) un punto. Entonces existe una variedad abeliana J,
llamada la variedad Jacobiana de la curva C, y una aplicación regular ϕ : C −→ J,
tal que ϕ(Q) = 0 y
0
Div
P (C) −→ J
P
i ni Pi 7−→
i ni ϕ(Pi )
induce un isomorfismo entre P ic0 (C) y J(K). La dimensión de J coincidirá con el
género de C.
85
86
CAPÍTULO 7. VARIEDADES ABELIANAS
(II) Sea A una variedad abeliana. Entonces existe una variedad abeliana dual A∨ tal que
P ic0 (A) ∼
= A∨ (K)
y
P ic0 (A∨ ) ∼
= A(K),
En el caso particular de una curva elı́ptica se tiene que su dual es ella misma, E = E ∨ .
En general se tiene que A y A∨ son isogenas, pero no iguales (ni siquiera isomorfas).
Nosotros sólo discutiremos la primera, y en esta ocasión no definiremos la variedad dual,
para el lector interesado consultar [7]. La mayorı́a de los teoremas y resultados que se
han descrito en este trabajo para curvas elı́pticas, pueden generalizarse a resultados sobre
variedades abelianas.
7.1.
Variedades Abelianas
En primer lugar definiremos un grupo algebraico, que es un objeto que combina los conceptos de grupo y variedad, haciendo que ambas estructuras sean compatibles.
Definición. Una grupo algebraico es una variedad algebraica G/K, (proyectiva o afı́n),
junto con un punto OG ∈ G(K), y dos morfismos
m : G × G −→ G, i : G −→ G .
Que dota al conjunto de los puntos de G de una estructura de grupo. En otras palabras:
(i) m(P, OG ) = m(OG , P ) = P para todo P ∈ G,
(ii) m(P, i(P )) = OG para todo P ∈ G,
(iii) m(P, m(Q, R)) = m(m(P, Q), R) para todo P, Q, R ∈ G.
Si G, m e i están definidos sobre un cuerpo K, y OG ∈ G(K), entonces decimos que el
grupo algebraico G está definido sobre K.
En el caso particular de las curvas elı́pticas,
m : E × E −→
E
(P, Q) 7−→ P ⊕ Q
i : E −→ E
P 7−→ P
la multiplicación coincide con la ley de grupo, y el elemento neutro coincide con O. Tal y
como ya vimos, (E, ⊕, O) es un grupo.
Sorprendentemente se tiene que un grupo algebraico es automáticamente no singular, y
además si G es una variedad proyectiva, entonces la ley de grupo, definida por el morfismo
m, es conmutativa en G,
i.e.
m(P, Q) = m(Q, P )
para todo P, Q ∈ G.
Definición. Una variedad abeliana A es un grupo algebraico proyectivo.
Dado que estamos trabajando con un grupo abeliano, de ahora en adelante emplearemos
indistintamente la notación P ⊕A Q para denotar m(P, Q), y −P para i(P ).
7.2. HOMOMORFISMOS ENTRE VARIEDADES ABELIANAS
7.2.
87
Homomorfismos entre variedades abelianas
Dado que hemos construido un objeto que tiene estructura de grupo y variedad, tiene sentido preguntarse qué clase de aplicaciones podemos definir entre estos objetos. De manera
natural, nos interesará estudiar aquellos morfismos, (que respetan la estructura de
variedad), que a su vez son compatibles con la ley de grupo que define m. Éstas aplicaciones
serán los homomorfismos entre variedades abelianas.
Definición. Sea A una variedad abeliana sobre K. Para un punto P ∈ A(K), definimos
tP , la translación por P , como la composición
m
tP : A −→ A × A −→ A
Q 7−→ (Q, P ) 7−→ m(P, Q) = Q ⊕A P
Nótese que debido a que m es un morfismo, entonces también tP ∈ M or(A, A) para todo
P ∈ A. De hecho, se trata de un isomorfismo, cuyo inverso es t−P .
Además, si (A, m ∼ ⊕A , i) y (B, m0 ∼ ⊕B , i0 ) son variedades abelianas, y existe un morfismo
ϕ : A −→ B,
entonces se tiene que
ϕ(m(P, Q)) = ϕ(P ⊕A Q) = ϕ(P ) ⊕B ϕ(Q) = m0 (ϕ(P ), ϕ(Q))
sı́ y sólo si
ϕ(OA ) = OB .
Este resultado se obtiene como corolario del teorema de Rigidez. Antes de enunciar este
resultado recordemos unas definiciones.
Definición. Una variedad algebraica V se dice completa, si para toda variedad algebraica
W , la proyección:
π : W × V −→ W
es cerrada.Es decir, la imagen por π de cualquier subvariedad cerrada en W × V es cerrada
en W .
Teorema 7.1 (Rigidez). Sea ϕ una aplicación regular,
ϕ : V × W −→ U
entre variedades proyectivas, siendo V completa y V × W irreducible. Si existen puntos
u0 ∈ U , v0 ∈ V y w0 ∈ W tales que
ϕ(V × {w0 }) = {u0 } = ϕ({v0 } × W )
entonces ϕ(V × W ) = {u0 }.
88
CAPÍTULO 7. VARIEDADES ABELIANAS
En otras palabras, si dos ’ejes de coordenadas’ colapsan en un punto, entonces todo el
espacio colapsa en ese mismo punto.
De este resultado, que no probaremos aquı́ (ver [6] para más detalles), se obtiene el siguiente
corolario.
Corolario 7.2. Dadas A, B variedades abelianas, y
ϕ : A −→ B
un morfismo entre ellas, entonces se tiene que la composición de ϕ con la traslación por
−ϕ(OA ) es un morfismo y además es homomorfismo de grupos, de modo que
ϕ ◦ t−ϕ(OA ) ∈ Hom(A, B).
Recı́procamente, cualquier morfismo entre variedades abelianas,
ϕ : A −→ B
es composición de un homomorfismo y una traslación.
Demostración. La aplicación regular ϕ manda el punto K-racional OA , a un punto
K-racional Q en B. Tras componer con una traslación por −Q, podemos asumir que
ϕ(OA ) = OB .
Consideremos la aplicación,
φ : A × A −→ B
definida por φ(P, P 0 ) = ϕ(P ⊕A P 0 ) − (ϕ(P ) ⊕B ϕ(P 0 )). Con esto queremos decir que φ es
la diferencia de dos aplicaciones regulares,
A×A
ϕ×ϕ
m
/A
m0
ϕ
B×B
/B
que es una aplicación regular.
Entonces,
φ(A × {OA }) = OB = φ({OA } × A) =⇒ φ = OB ,
esto quiere decir que ϕ es un homomorfismo.
A partir de este corolario se deduce que si tenemos una variedad abeliana (A, m, OA ),
siempre podemos definir la ley de grupo con respecto a un nuevo punto base P ∈ A como,
m0 = ti(P ) ◦ m
y (A, m0 , P ) será una variedad abeliana.
Corolario 7.3. La ley de grupo en una variedad abeliana es conmutativa.
7.3. VARIEDADES JACOBIANAS
89
Demostración. Los grupos conmutativos se caracterizan por el hecho de que la aplicación
que lleva a un elemento a su inverso es un homomorfismo. Dado que la aplicación inverso,
i : A −→ A
P 7−→ −P
es un morfismo por definición, y además i(OA ) = OA , entonces i es un homomorfismo y
por tanto A un grupo abeliano.
Ejemplo 7.1. Sea A una variedad abeliana de dimensión d definida sobre C. Entonces se
puede demostrar que existe un retı́culo Λ ⊂ Cd , y un isomorfismo analı́tico complejo,
A(C) ∼
= Cd /Λ.
El isomorfismo respeta tanto la extructura de variedad compleja como la de grupo abeliano.
Para curvas elı́pticas, este resultado se ve reflejado en el Teorema de uniformización, que
establece que toda curva elı́ptica definida sobre C es isomorfa a un toro complejo,
EΛ (C) ∼
= C/Λ ←→ Λ retı́tculo en C.
Y en dimensión 1 se tiene que todo retı́culo complejo define una curva elı́ptica, aunque para
generalizar este resultado a variedades abelianas el retı́culo Λ ha de cumplir las condiciones
de Riemann para que Cd /Λ sea una variedad abeliana.
7.3.
Variedades Jacobianas
La siguiente proposición, nos asegura que el grupo de Picard de una curva es esencialmente
una variedad abeliana, a la que llamaremos variedad Jacobiana de la curva. Su dimensión
coincidirá con el género de la curva en cuestión.
Proposición 7.4. Sea C una curva proyectiva lisa de género g, definida sobre un cuerpo
algebraicamente cerrado K.
(a) La aplicación de grado deg : Div(C) −→ Z induce una sucesión exacta
deg
0 −→ P ic0 (C) −→ P ic(C) −→ Z −→ 0,
donde P ic0 (C) es el grupo de clases de divisores de grado cero en C.
(b) Existe una variedad abeliana Jac(C), de dimensión g, y un isomorfismo natural de
grupos
∼
P ic0 (C) −→ Jac(C).
Definición. La variedad Jac(C) descrita en la proposición anterior para una curva
proyectiva lisa C, es la variedad Jacobiana de C.
90
CAPÍTULO 7. VARIEDADES ABELIANAS
Tal y como ya vimos, en el caso de las curvas elı́pticas, el grupo de Picard es isomorfo a la
propia curva, de modo que se sigue que Jac(E) ∼
= E, para el caso de género 1.
Para curvas de género mayor, describiremos la construcción algebraica de la variedad Jacobiana brevemente.
Fijado un punto P0 ∈ C, una curva de género g > 1, consideraremos la aplicación
φg : C g −→ P ic0 (C)
(P1 , ..., Pg ) 7−→ (P1 ) + · · · (Pg ) − g(P0 )
El grupo simétrico Sg actúa sobre C g permutando las coordenadas, y la aplicación φg queda
invariante bajo esta acción. Por tanto φg induce una aplicación sobre C (g) := C g /Sg . Se
puede comprobar que C (g) es una variedad lisa , y que además
φg : C (g) −→ P ic0 (C)
es sobreyectiva, e inyectiva fuera de en un cerrado en la topologı́a de Zariski de C (g) .
Además, la ley de grupo en P ic0 (C) induce una aplicación racional
C (g) × C (g) −→ C (g) ,
que por desgracia no está definida en todas partes. De modo que la estrategia a seguir
será tomar ciertos ’fragmentos’ del grupo y ’pegarlos’ para formar una variedad de grupo.
La idea de ’pegar’ estos fragmentos se le debe a André Weil, y funciona en todas las
caracterı́sticas. Sin embargo la construcción de la Jacobiana de una curva analı́tica, definida
sobre C, es mucho más antigua, y emplea el Teorema de Riemann-Roch, ası́ como resultados de cohomologı́a, junto a algo de integrales elı́pticas.
En lı́neas generales, la estrategia en este caso consiste en definir una aplicación
Cg
φ : C −→
Z
P
P
7−→
Z
P
ω1 , ...,
P0
ωg
P0
donde ω1 , ..., ωg es una base del espacio de formas diferenciales holomorfas ΩC . Y justificar
que esta aplicación induce otra,
φ : C −→ Cg /Λ,
donde Λ viene dado como imagen de
H1 (C, Z) −→ Z
Cg Z
Γ 7−→
ω1 , ..., ωg
Γ
Γ
El retı́culo Λsatisface las condiciones de Riemann, y por tanto Cg /Λ será isomorfa (analı́ticamente) a una variedad abeliana. Denotando dicha variedad por Jac(C), uno puede verificar
que φ puede extenderse de manera lineal a
φ :P
Div 0 (C) −→ Jac(C)
P
ni (Pi ) 7−→
[ni ]φ(Pi )
7.4. RESULTADOS EN VARIEDADES ABELIANAS
91
que es una aplicación sobreyectiva cuyo núcleo es precisamente el conjunto de divisores
principales. De modo que se tiene el isomorfismo deseado,
∼
P ic0 (C) −→ Jac(C).
Si una curva C está definida sobre un cuerpo K, entonces su variedad Jacobiana también
lo está. Y además, el isomorfismo definido entre P ic0 (C) y la Jacobiana, conmuta con la
acción del grupo de Galois Gal(K/K).
7.4.
Resultados en variedades abelianas
Tal y como establecimos al comienzo del capı́tulo, muchos de los resultados que hemos
enunciado y demostrado para curvas elı́pticas se pueden obtener como casos particulares
de resultados más amplios sobre variedades abelianas. A continuación enunciaremos algunos de ellos.
7.4.1.
Torsión en variedades abelianas
Sea A una variedad abeliana de dimensión g, definida sobre un cuerpo K. Para n > 0
entero, definimos el morfismo
nA : A −→
A
P 7−→ P ⊕A · · · ⊕A P
multiplicación por n en A. Denotaremos por A[n] al núcleo de la aplicación nA .
Teorema 7.5. Sea A una variedad abeliana de dimensión g, definida sobre un cuerpo K.
Entonces,
2g
∼
A[n]
si char(K) 6 | n,
= (Z/nZ)
i
A[pm ] ∼
si p = char(K), m > 0
= (Z/pm Z)
donde i depende de A pero no de m, y puede tomar cualquier valor entre 0 y g. El entero
i se conoce como p-rango de A.
Este resultado es la generalización de la Proposición 3.2. Para curvas elı́pticas definidas
sobre cuerpos de caracterı́stica positiva, se tiene que el p-rango es 1 si la curva es ordinaria,
y 0 si es supersingular. Además, existe un emparejamiento canónico y no degenerado,
A[n] × A∨ [n] −→ µn ,
que coincide en género 1 con el emparejamiento de Weil descrito en la sección 3.4.
7.4.2.
Teorema de Weil
Teorema 7.6 (Weil). Sea K un cuerpo de números, y A una variedad abeliana definida
sobre K. Entonces A(K) está finitamente generada como grupo.
Sin duda alguna, dado que una curva elı́ptica es una variedad abeliana de dimensión uno,
este resultado es la generalización natural del Teorema de Mordell-Weil. En 1952 A. Nerón
extendió el Teorema de Weil a variedades abelianas definidas sobre cuerpos finitamente
generados sobre un cuerpo primo.
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7.4.3.
CAPÍTULO 7. VARIEDADES ABELIANAS
Conjetura de Mordell y Teorema de Faltings
En el año 1922, tras haber probado que todos los puntos racionales de una curva elı́ptica podı́an obtenerse a partir de un número finito de ellos, L.J. Mordell se dió cuenta de
que para una serie de curvas de género mayor que uno, el número de puntos racionales
tenı́a que ser finito. De modo que pensó que era razonable establecer la siguiente conjetura.
Conjetura de Mordell: Si C es una curva proyectiva lisa de género g ≥ 2, definida
sobre un cuerpo de números K, entonces el conjunto de puntos racionales C(K) es finito.
Tal y como hemos podido ver en los ejemplos desarrollados en los capı́tulos 5 y 6, la conjetura no es cierta en el caso g = 1, ya que para curvas elı́pticas, hemos visto que es posible
encontrar puntos racionales de orden infinito, lo cual implica directamente que E(K) no
puede ser finito. Sin embargo la conjetura fué probada por G. Faltings en 1983, y puede
extenderse a curvas no proyectivas y singulares, pues ésto sólo hace variar C(K) en un
número finito de puntos.
Ası́, el Teorema de Faltings establece que las ecuaciones de Fermat,
xn + y n = z n , n ≥ 4,
tienen sólo un número finito de soluciones (x, y, z) en cualquier cuerpo de números (salvo
multiplicación por constantes).
La demostración del Teorema de Faltinngs hace uso esencial de las variedades abelianas,
pues se deduce de un importante resultado conocido como la Conjetura de Safarevich
que establece la finitud de las clases de isomorfı́a de variedades abelianas bajo ciertas
condiciones, ver II [3].
Bibliografı́a
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London Mathemacial Society Student Texts 24 (1991).
[2] H. Cohen y G. Frey, Handbook of elliptic and hyperelliptic curve cryptography.
Discrete Mathematics and its Applications (2006).
[3] G. Cornell y J.H. Silverman (ed.) , Arithmetic Geometry
Springer-Verlag (1986).
[4] S. Lang, Fundamentals on Diophantine Geometry
Springer-Verlag (1983).
[5] S. Lang, Introduction to Algebraic Geometry.
Tracts in Mathematics 5, Interscience Publishers (1964).
[6] J.S. Milne, Algebraic Number Theory
http : //www.jmilne.org/math/CourseN otes/AN T.pdf
[7] J.S. Milne,Abelian Varieties
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[8] D. Mumford, Abelian Varieties.
Oxford University Press (1985).
[9] J. Neukirch, Algebraic Number Theory.
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322, Springer Verlag (1999).
[10] J.H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, 2nd ed..
Graduate Texts in Mathematics 106, Springer Verlag (2009).
[11] J.H. Silverman, Advaned Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves.
Graduate Texts in Mathematics 151, Springer-Verlag (1994).
[12] A brief history of elliptic curves.
http : //livetoad.org/Courses/Documents/132d/N otes/history of elliptic curves.pdf .
Las ilustraciones de las páginas 27 y 28 pertenecen al depósito multimedia de Wikimedia Commons, y pueden encontrarse en:
http : //commons.wikimedia.org/wiki/Category : Elliptic curves
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