Análisis de circuitos monofásicos en corriente alterna

Análisis de circuitos monofásicos en corriente alterna
Objetivo
Aplicar los teoremas y métodos generales de análisis de circuitos eléctricos, los conceptos y
fórmulas de los distintos tipos de potencia, en la solución de circuitos de corriente alterna
mediante la metodología dada en clase y en el texto.
Sumario
- Métodos generales y teoremas en corriente alterna
- Potencia en corriente alterna
- Mejoramiento del factor de potencia
Bibliografía básica:
Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición. Capítulo 11.
Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón
Fandiño y digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes.
Introducción
Se quiere construir el diagrama fasorial cualitativo (DF) del circuito mostrado.
¿Qué magnitud sería conveniente poner en la referencia y por qué?
1. Se escoge I1∠ 00, la corriente de la carga 1 como referencia, ya que proporciona el poder
situar la tensión en los dos elementos de esa rama serie. Poner las referencias.
2. LKT: Vab = V = VR + VL1, tensión del paralelo (lectura del voltímetro) ¿?
3. Situar I2 suponiendo que el factor de potencia de la carga 2 es en atraso
4. LKC: I = I1 + I2, es la corriente total que circula por la línea y por el generador
5. LKT: Vdc = VS = Vda + Vab + Vbc = (VRL+ VL )+ V + 0 se llega a la tensión del generador.
1 Ejemplo
Del circuito mostrado anteriormente, se sabe que la frecuencia f = 60Hz y la lectura del
voltímetro 200 V.
De la carga 2 (lineal y pasiva) se conoce: P2 = 2,0 kW y fp2 = 0,4 en atraso.
Calcule:
a) Las lecturas de los tres amperímetros.
b) La tensión instantánea del generador vs(t) conectado entre los terminales d y c.
c) La potencia aparente compleja (binómica y polar), el triángulo de potencia y el factor de
potencia que ve el generador desde los terminales d y c.
d) La potencia reactiva del capacitor a conectar en paralelo entre los terminales a y b para
mejorar el factor de potencia a 0,90 (atraso).
e) Las lecturas de todos los instrumentos una vez mejorado el factor de potencia.
Solución:
a) Poner el circuito en el dominio de la frecuencia. Observe que se habla de la impedancia de
la línea que, aunque en la realidad es distribuida, se pone concentrada en una impedancia. Ya
se mencionaron los elementos concentrados con anterioridad pero, si tiene dudas, consulte el
texto.
¿Fórmulas a utilizar?
¿Qué magnitud se escoge como referencia? V = 200∠ 00 V (seleccionada por comodidad)
¿La lectura del voltímetro, es valor máximo o eficaz? Poner las referencias de las tensiones.
En la carga 1:
¿Cómo se calcula la corriente I1? Aplicando ley de Ohm en la carga 1
I1 = 200∠ 00 /(4+j5, 655)= 28,87∠ -54,730 A
En la carga 2:
¿Cómo se calcula la corriente I2?
A partir del dato de la potencia y del factor de potencia I2 = 25A, modularmente
¿Cómo se calcula el ángulo de la corriente?
ϕ2 = cos-1 (0,4)= 66,420 ángulo de impedancia de la carga 2 (predominante inductiva)
Φ2 = θ- ϕ2 = 00 - 66,420 = - 66,420 , y por tanto I2 = 25∠ -66,420 A
¿Cómo se calcula la corriente I?
Aplicando LKC en el nodo a: I = I1 + I2 = 53,59∠ -60,15 0 A
Lecturas de los amperímetros: A = 53,59, A1 = 28,87A, A2 = 25A
2 Sería un grave error suponer que la lectura del amperímetro A es la suma de las lecturas de
los amperímetros, pues estaría sumando módulos desconociendo los defasajes relativos entre
los fasores. INVALIDANTE SUMAR MÓDULOS DE NÚMEROS COMPLEJOS. Los
instrumentos miden el módulo de valores eficaces, aunque puede encontrar algunos que
midan valores máximos.
Si Ud. se auxilia del plano complejo situando los fasores I1 e I2, podrá comprobar que esa es la
posición de la corriente total I, pues el ángulo está entre -54,730 y -66,420. Es importante ir
analizando los resultados pues puede cometer algún error en los cálculos numéricos.
b) ¿Cómo se calcula la corriente VS?
Aplicando LKT en el lazo de entrada (coloque las referencias de tensión en la impedancia de
línea): Vdc = VS = Vda + Vab = VLínea + V = (VRL + VL) + V
- VS + 53,59∠ -60,15 0 (2+j 3,77) + 200∠ 00 = 0 y VS = 428,7∠ 1,013 0 V
¿Qué relación existe entre el valor máximo y el eficaz?
La tensión instantánea del generador es: vs(t) = 428,7 √ 2 cos(377t + 1,0130 ) V
¿Es el circuito predominantemente inductivo o capacitivo? ¿Qué ángulo de defasaje existe
entre la corriente total I y la tensión total VS? ¿Cuál fasor adelanta al otro?
c) ¿Cómo se calcula la potencia aparente compleja?
S = VS I* = (VS ∠ θS) (I ∠ − Ф ) = VS I ∠ θS - Ф = VS I ∠ ϕ = S ∠ ϕ (VA) = 22,98 ∠61,1630 kVA
En forma binómica: S = S∠ ϕ= S (cos ϕ + j sin ϕ) = P + j Q de donde
22,98 ∠61,170 (kVA) = 11,08 + j 20,13 (kVA)
La potencia activa es P = 11083 W = kW
La potencia reactiva es Q = 20 013 var = 20,13kvar
El triángulo de potencia se construye a partir de los valores obtenidos de la potencia aparente
compleja.
El factor de potencia es fp = cos ϕ = cos 61,1630 = 0,48 (atraso)
Puede también calcular las potencias de la siguiente forma:
P = VS I cos ϕ = 428,7 ⋅ 53,59 ⋅ cos (1,0130 - (-60,150 ))
P = 428,7 ⋅ 53,59 ⋅ cos (61,1630) = 11083 W = kW
La potencia reactiva en los terminales del generador:
Q = Vs I cos ϕg = 428,7 ⋅ 53,59 ⋅ sen (61,1630) = 20,13kvar
Otra forma de calcular estas potencias, es aplicando el principio de conservación de las
potencias, calculando las potencias aparentes complejas de cada carga S1, S2 y SL y luego,
sumando pues S = S1 + S2 + SL, realizando la suma de números complejos en forma binómica:
las partes reales, las potencias activas, y las partes imaginarias, las potencias reactivas,
llegándose a la misma conclusión anterior: S = 11,08 + 20,13 (kVA)
También puede construir los triángulos de potencia de las cargas, la línea
triángulo total
P = 53,592 (2) + 28,872 (4) + 2000
Qcarga2 = 2000 tan (66,420) = 4580var
y llegar al
3 Q = 53,592 (3,77) + 28,872 (5,655) + 4580 = 10830 + 4710 + 4580
Es importante saber aplicar el principio de conservación de las potencias, sumar solamente lo
que es posible:
watt + watt y
var + var
La potencia aparente de un sistema no es igual a la suma de las potencias aparentes de las
partes del sistema. por supuesto, la potencia aparente compleja en forma binómica puede
sumarse acorde con la regla de suma de los números complejos.
d) ¿Qué hacer para mejorar el factor de potencia visto desde los terminales de, manteniendo
constante la tensión del generador?
Manteniendo la tensión constante en los terminales ab, y a partir del triángulo de potencia de
la carga compuesta (1+2) conectada en esos terminales, se conecta un capacitor en paralelo
como, de modo que la carga modificada o combinada (carga original + capacitor) mejore el fp
de potencia. Esto significa que en el triángulo de potencia de la carga combinada la potencia
reactiva disminuye.
Siguiendo el algoritmo que se ha dado:
1) El ángulo correspondiente al fp del sistema
mejorado es: ϕ! = cos -1 (0,90) = 25, 840
2) La potencia reactiva Q! de la combinación de
cargas: Q! = (3,33 + 2,0) tan 25,840 = 2,58 kvar
3) Aplicando principio de conservación para la
combinación: Q! = Q + QC y despejando
QC = 2,58 - (4,71+ 4,58) = - 6,71 kvar, la cual es la
potencia reactiva del banco de capacitores a conectar en paralelo a la carga, para mejorar el
factor de potencia de la combinación a 0,9 (atraso).
e) ¿Cambian las lecturas de los amperímetros? ¿De cuáles?
Las lecturas de los amperímetros A1 y A2 permanecen invariables. ¿Por qué?
La lectura del amperímetro A si cambia. La corriente antes de mejorar el factor de potencia en
la impedancia de la carga equivalente (1+2) es: I = 53,59∠ -60,15 0 A pero ahora la carga ha
cambiado (1+2+capacitor) y presenta una impedancia equivalente diferente para igual tensión.
La corriente después de mejorar el fp, se calcula en los terminales de la fuente:
I! = P / V cosϕ!= 2000 /(200⋅ 0.9) = 11,11A
4 Conclusiones
Se ha trabajado un problema de cálculo de las magnitudes que caracterizan la transferencia
de la energía en corriente alterna. La aplicación circuital de los métodos generales y teoremas
en corriente alterna es esencialmente igual que en el caso de las redes resistivas, pero con el
uso de números complejos.
Orientaciones para el trabajo independiente
Estudiar el siguiente problema
En el problema anterior calcule antes de la mejora del factor de potencia, el circuito
equivalente:
a) serie respecto a los terminales dc
b) paralelo respecto a los terminales dc
c) las componentes activa y reactiva de la corriente en los terminales del generador.
Represéntelas en un DF cualitativo
Solución:
Hay varias vías de solución. Una de ellas:
La impedancia de la carga 1: Z1 = 4+ j 5,6552 Ω
Z2 =V/I2= 200 / 25 = 8 Ω módulo de la impedancia de la carga 2
ϕ2 = cos-1 0,4 = + 66,420
Obtenemos: Z2 = 8∠ 66,420 Ω
Zparalelo = Z1 ⋅ Z2 /( Z1 + Z2) = 3,73 ∠60,15 0 Ω = 1,86+ 3,24 Ω
Aplicando reducciones serie y paralelo:
Zdc = Zda + Zab = ZLínea + Zparalelo = 2 +j 3,77 + 1,86+ j 3,24 = 3,86 + j 7,01
Zdc= 3,86 + j 7,01 Ω = 8 ∠ 61,160 Ω Esta es la impedancia que ve el generador.
b) Equivalente serie respecto a los terminales dc
Ls = 7 / 377 = 18,56mH
Rs = 3,86 Ω
Equivalente paralelo respecto a los terminales dc
Y = 1/Z
Y = 1/Z =0,0604 - j 0,1095
Rp= 1/0,0604 = 15,63 Ω
XL = 1/0,1095 = 9,13 Ω L = 9,13 / 377 = 24mH
¿Cómo representar ambos circuitos?
5 c) ¿Significado?
Componente activa de la corriente en un dipolo: en fase con la tensión del dipolo
Componente reactiva de la corriente en un dipolo: en cuadratura con la tensión del dipolo
(Adelantada o atrasada según naturaleza del dipolo)
P = Vs I cos ϕg = Vs Iact
Q = Vs I sin ϕg = Vs Ireat
Iact = I cos ϕ = 53,59 cos 61,1630 = 25,85 A
Ireact = I sin ϕ = 53,59 sin 61,1630 = 46,94 A
Se comenzará el análisis de los circuitos transitorios en corriente alterna.
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
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