Problema 7, sección 5.5, capítulo 5, Volumen II. Calculus, Tom M
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Problema 7, sección 5.5, capítulo 5, Volumen II. Calculus, Tom M. Apostol, segunda edición. R 1 Página 119. (f; g) = 1 f (t) g (t) dt a)T [f (x)] = f ( x) R1 R1 (T (f ) ; g) = 1 T [f (t)] g (t) dt = 1 f ( t) g (t) dt Haciendo el cambio R 1 de variable = t (T (f ) ; g) = f ( )g( )d 1 Cambiando los límites de integración R1 (T (f ) ; g) = 1 f ( ) g ( ) d Pero es claro que g ( ) = T [g ( )] R1 (T (f ) ; g) = 1 f ( ) T [g ( )] d que, por de…nición, es (f; T (g)) ; así que …nalmente (T (f ) ; g) = (f; T (g)) y el operador es simétrico. b) T [f (x)] = f (x) f ( x) R1 R1 (T (f ) ; g) = 1 T [f (t)] g (t) dt = 1 f (t) f ( t) g (t) dt R1 R1 (f; T (g)) = 1 f (t) T [g (t)] dt = 1 f (t) g (t) g ( t) dt que desde luego, solamente en circunstancias muy especiales, pueden ser iguales. Por lo tanto, esta transformación no es ni simétrica, ni antisimétrica. R1 R1 R1 R1 1 c) T [f (x)] = f (x) + f ( x) R1 R1 R1 (T (f ) ; g) = 1 T [f (t)] g (t) dt = 1 [f (t) + f ( t)] g (t) dt = 1 f (t) g (t) dt+ f ( t) g (t) dt = R1 R = 1 f (t) g (t) dt 1 1 f ( )g( )d = f (t) [g (t) + g ( t)] dt = (f; T (g)) 1 La transformación es simétrica 1 R1 1 d) T [f (x)] = f (x) f ( x) R1 R1 (T (f ) ; g) = 1 T [f (t)] g (t) dt = 1 [f (t) f ( t) g (t) dt = R1 R = 1 f (t) g (t) dt+ 1 1 f ( )g( )d = f (t) [g (t) g ( t)] dt = (f; T (g)) 1 La transformación es simétrica 1 R1 R1 f (t) g (t) dt+ 1 f ( ) g ( f ( t)] g (t) dt = 1 f (t) g (t) dt R1 1 R1 1 )d = f (t) g (t) dt f ( )g( )d =
