Dinámica del Cuerpo Rígido.

LABORATORIO DE MECANICA
SEDE VILLA DEL ROSARIO
No
6
DEPARTAMENTO DE
FISICA Y GEOLOGIA
DINAMICA DEL CUERPO RIGIDO
UNIVERSIDAD DE PAMPLONA
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
Objetivos


Investigar la inercia rotacional de algunas distribuciones de masas conocidas.
Determinar el momento de inercia de un disco, una varilla de inercia y un doble disco, utilizando los métodos
experimentales y el método analítico para luego comparar la diferencia entre ellos.
Esquema del Laboratorio y Materiales
Figura 1. Montaje Experimental
Materiales
Placas giratorias con escala angular
Trípode PASS con 3 tornillos de nivelación y
1 tornillo de apriete
Diafragma para placa giratoria
Eje de rotación (varilla del trípode )
Disco de accionamiento de d = 60 y d = 90 mm.
Bulón de eje de 30 mm.
Tornillo de sujeción del bulón
Dispositivo de sujeción con 1 disparador de alam.
Pinza de mesa PASS
Varilla de acero inox de 25 cm
1
Cantidad
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
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DINAMICA DEL CUERPO RIGIDO
Fotocelda
Bananas
Doble nuez + 2 tornillos amarillos
COBRA 3 Basic –unit
Cable USB para Cobra 3
Adaptador para Cobra 3
Cable de alimentación con punta removible
Platillos para pesa con 2 tornillos c/u
Varillas pequeñas
Porta pesa de 1g.
Gancho para pesa de 10 g.
Hilo de seda –carrete, L 200m
Varilla de inercia con 1 diafragma
Rueda incremental
Pesas de 1g.
Pesas de 10g.
Pesas de 50g.
1
3
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
20
10
2
Marco Teórico
La relación entre el momento angular 𝐿⃗ de el cuerpo rigido en un sistema de coordenadas, estacionario con su
origen en el centro de gravedad, y el torque 𝜏 actuando sobre el es (ver figura 2)
𝜏=
𝑑𝐿⃗
𝑑𝑡
(1)
El momento angular se expresa a través de la velocidad
angular
𝜔
⃗
y
del
momento
de
inercia
𝐼 asi
𝐿⃗ = 𝐼𝜔
⃗
En este caso, 𝜔
⃗ tiene la dirección del eje principal
de inercia (el eje z); de manera que 𝐿⃗ tiene solo una
componente:
Figura 2
𝐿𝑧 = 𝐼𝑧 𝜔
Donde 𝐼𝑧 es la componente z principal del momento de inercia del cuerpo. Para este caso, la ecuación (1) se lee
𝜏𝑧 = 𝐼𝑧
𝑑𝜔
𝑑𝑡
En términos de la fuerza 𝐹 , que es la fuerza ejercida por la masa colgante (ver figura 2), el torque será
𝜏 = 𝑟×𝐹
Como para 𝑟 ⊥ 𝐹 , la componente z del torque es:
𝜏𝑧 = 𝑟𝑚𝑔
Por esto, la ecuación de movimiento se lee
𝑟𝑚𝑔 = 𝐼𝑧
De aquí se obtiene
𝐼𝑧 =
𝑑𝜔
= 𝐼𝑧 𝛼
𝑑𝑡
𝑟𝑚𝑔
𝛼
(2)
2
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donde 𝛼 es la aceleración angular del cuerpo rígido.
Si ahora queremos determinar la energía cinética total del cuerpo que gira, esta será igual a la suma de la
energía cinética de todas las partículas que componen el cuerpo, consecuentemente:
1
1
𝐸𝑘 = 𝑚1 𝑟12 𝜔2 + 𝑚2 𝑟22 𝜔2 + ⋯
2
2
Como hemos partido del supuesto de que el cuerpo es rígido, todas las partículas tendrán la misma velocidad
angular, lo que permite la factorización de la ecuación anterior:
𝑁
1
𝐸𝑘 = (∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 ) 𝜔2
2
𝑖=1
Donde N, es el número total de partículas que conforman el cuerpo rígido. La cantidad dentro del paréntesis es la
suma de los productos de las masas de cada partícula por el cuadrado de su distancia la eje de rotación, esta es
el momento de inercia, por lo que la ecuación anterior se puede escribir como:
1
𝐸𝑘 = 𝐼𝜔2
2
(3)
Aclaracion Previa
Para lo siguiente que concierne al procedimiento y evaluación de datos, este fue basado en un solo cuerpo
rígido, un disco o placa giratoria con escala angular, donde este posee un momento de inercia de 126 Kg cm 2 y
un diámetro de 35 cm. El estudiante se basara en este ejemplo para la realización del análisis de datos y la
culminación de la práctica del laboratorio de mecánica – Dinámica del Cuerpo Rígido.
𝒅[cm]
DISCO
35
BARILLA DE INERCIA
𝒂[cm]
𝑴[g]
15
61
𝒅[cm]
DISCO DOBLE
35
3
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Procedimiento
1. Ejecute la conexión eléctrica de la fotocelda a la unidad básica cobra 3 de acuerdo a la figura 3.
Figura 3
2. Asegúrese de que el hilo que conecta al eje de rotación con la polea de la fotocelda este horizontal.
Enrolle el hilo aproximadamente 15 veces alrededor del eje de rotación.
3. Ajuste el trípode de modo que el cuerpo rígido a colocar quede horizontal.
4. Abra el programa “mesaure”, en el icono “gauge/traslation/rotations”, fije los parámetros de medida de
acuerdo con la figura 4. Coloque el hilo de seda a través de la polea de la fotocelda y ajuste el arreglo
experimental de manera tal que la masa se mantenga suspendida libremente. La ranura para el cordón
en la polea debe estar alineada con el hilo de seda.
5. Ponga el cuerpo rígido quieto (para ponerlo a girar) en la posición de inicio. Ingrese el diámetro del eje
del disco giratorio (que para este ejemplo es de 30 mm) alrededor del cual ira enrollado el hilo de seda,
en el icono “Axie diameter” (diámetro del eje) en la ventana de dialogo, de esta manera las velocidades
rotacionales de la fotocelda y del eje del disco giratorio pueden ser sincronizadas.
6. El final del hilo de seda es cargado con una masa (que para este ejemplo es de 10 g). Tan pronto como
el cuerpo rígido empiece a rotar, haga click sobre el icono “start measurement” (iniciar medida), justo
antes de que la masa alcance el piso, haga click sobre el icono “stop measurement” (detener la
medición). Es importante tener en cuenta que la masa colgante no debe oscilar durante la toma de datos,
esto para prevenir el aumento en el error de los cálculos.
4
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Nota: si la base donde esta girando el cuerpo rígido no rota uniformemente, revise si este puede rotar en la
dirección opuesta, mejorando así la situación.
Figura 4
Evaluación de Datos
Después de haber realizado el inciso 6 del procedimiento, usted podrá observar lo siguiente:
1. La figura 5 muestra la curva de velocidad angular (ω) Vs. Tiempo, si el icono de “Regression”
(Regresion)
es cliqueado, una línea de regresión se dibuja a través de los puntos medidos, como
esta es una recta de la forma y= mx + b y teniendo en cuenta la siguiente relación,
𝜔 = 𝛼𝑡
Es fácil identificar que la pendiente de esta, la cual representa la aceleración angular α. En el ejemplo de
la Figura 5, la aceleración angular es,
𝛼 = 0.463 rad/s2
Vale la pena aclarar que en el caso ideal la recta de regresión aplicada a la velocidad angular (ω),
debería resultar una recta de la forma, 𝑦 = 𝑚𝑥 pero el ruido excesivo en el arranque de la medida es
debido a la baja resolución en el rayo del disco que interrumpe la fotocelda a bajas velocidades.
2. La figura 6 muestra el progreso de la aceleración angular en el tiempo, aquí también aplicamos
regresión lineal. Hay que resaltar, que es posible ajustar los datos que se deseen utilizar al
momento de aplicar la regresión lineal, en este caso, se realiza seleccionando dos pequeños
cuadrados que aparecen al momento de aplicar regresión lineal y desplazarlos hacia la derecha
o la izquierda, ubicándolos donde se desee. Como para un movimiento rotatorio con
aceleración uniforme, la aceleración angular como función del tiempo es constante, por lo que
es importante ajustar la línea de regresión, a una línea de pendiente aproximadamente cero,
5
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esto con el fin de cumplirlo anteriormente mencionado (aceleración angular constante o
uniforme), el ejemplo de la figura 6, se identifica que
𝑏 = 0.443 rad/s2
Donde este provee un valor inicial para la aceleración angular. Aproximando en lo posible a una
recta de pendiente nula, que para este ejemplo mostrado en la figura 6, el valor mas bajo
logrado fue de 𝑚 = 0.001, esto para que el movimiento rotatorio sea en lo posible con una
aceleración constante o uniforme.
Figura 5.
Figura 6.
3. La figura 7 muestra la curva del Angulo recorrido como función del tiempo, la cual exhibe un
comportamiento parabólico, en la cual los puntos medidos fueron fuertemente enfatizados.
6
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Figura 7.
4. La energía rotacional figura 8, en este caso el valor teórico del momento de inercia es :
𝐼 = 0.0165 kg/m2
Para realizar la operación indicada, la conversión es echa por: “Analisis/Channel
modification/Operación/f:= 0.5*0.0165*x*x”, (ver ecuación 9) donde, 𝑥 = 𝜔(𝑡) antes de cliquear
“calculate” se recomienda al estudiante realizar lo siguiente:
Esto con el fin de asignarle un nombre al nuevo canal que se genero, para este caso, el titulo será
“Title:Erot”, pero el nombre del canal será “Ero”.
7
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Figura 8.
5. La energía potencial de la figura 9 corresponde a:
𝐸pot = 𝑚𝑔(ℎ − 𝑠(𝑡))
Donde h=0.77 m que es la altura medida desde el nivel del piso a la cual se deja caer la masa colgante y
𝑠(𝑡) = 𝜑(𝑡)𝑟.
Usando la conversión “Analisis/channel modification/operation,f:= 0.051*9.81*(0.77-x*0.015)”, donde
𝑥 = 𝜑(𝑡). Antes de cliquear “calculate” se recomienda al estudiante realizar lo siguiente:
8
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Figura 9.
6. La ley de conservación de la energía establece que la suma de la energía cinética y potencial en un
sistema cerrado debe ser constante, que para el caso de un cuerpo rígido con una masa colgante (ver
ecuación (3)) es:
1
1
𝐸 = (𝑚𝑣 2 ) + (𝐼𝜔2 ) + 𝑚𝑔ℎ (4)
2
2
Ahora para calcular la velocidad de la masa colgante después de haber recorrido una distancia h, hay
que tener en cuenta que la velocidad de partida debe ser nula y que la aselaron que experimenta el
cuerpo colgante puede ser encontrada a partir de la de la aceleración angular, por lo que resulta la
siguiente relación:
𝑣 = √2ℎ𝑟𝛼 (5)
Figura 10.
Para este ejemplo la energía cinética del cuerpo colgante no se tuvo en cuenta, ya que esta energía es
extremadamente pequeña comparada con las otras dos formas de energías presentes y por lo tanto se
ignoraron en estos cálculos. Para el caso que se quiera tener en cuenta la velocidad angular se debe
representar la velocidad en función de la velocidad angular, es decir 𝑣 = 𝜔(𝑡)𝑟, donde 𝑟, es el radio de
giro (ver figura 2).
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Procedimiento
El procedimiento 1, 2 y 3 son estándar para todos los montajes.
PARTE A: Masa colgante fija y Radios de Acción Diferentes
“Para los siguientes ítem se realizaran para los cuerpos: disco, barrilla de inercia y disco doble. Cada uno de
estos cuerpo posee su tabla de datos correspondiente (Tabla 1), por lo que se debe llenar basados en los ítem
que a continuación se explicaran como realizarlo.”
1. Realice el montaje de la figura 1.
2. A partir del procedimiento 4, realice los ajustes para iniciar la toma de datos de acuerdo a la figura 4,
donde estos son basados en los datos predispuestos en la tabla 1. Después de haber realizado lo
anterior se realizan el ítem 5 y 6 del procedimiento.
3. Realice los ítem de la evaluación de datos 1 y 2, calcule el valor de la aceleración angular y completando
así la tabla 1.
4. Después de haber realizado lo anterior, grafique el torque Vs. aceleración angular promedio.
5. Aplicando mínimos cuadrados, encuentre el valor del momento de inercia y complete la tabla 1.
Masa colgante [g]
50
Masa colgante [g]
75
Masa colgante [g]
100
DISCO
Torque
𝜶1
Radio[cm]
30
60
90
BARILLA DE INERCIA
𝜶1
Radio[cm]
Torque
30
60
90
DISCO DOBLE
𝜶1
Radio[cm]
Torque
𝜶2
𝜶promedio
𝑰
𝜶2
𝜶promedio
𝑰
𝜶2
𝜶promedio
𝑰
30
60
90
Tabla 1
𝜶1 =aceleración angular encontrado del ítem 1 de la evaluación de datos.
𝜶2 = aceleración angular encontrado del ítem 2 de la evaluación de datos.
PARTE B: Radios de Acción Fijo y Diferentes Masa Colgantes
“Para los siguientes ítem se realizaran para los cuerpos: disco, barrilla de inercia y disco doble. Cada uno de
estos cuerpos posee su tabla de datos correspondiente (Tabla 2), por lo que se debe llenar basados en los ítem
que a continuación se explicaran como realizarlo.
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1. A partir del procedimiento 4, realice los ajustes para iniciar la toma de datos de acuerdo a la figura 4,
donde estos son basados en los datos predispuestos en la tabla 2. Después de haber realizado lo
anterior se realizan el ítem 5 y 6 del procedimiento.
2. Realice los ítem de la evaluación de datos 1 y 2, calcule el valor de la aceleración angular y completando
así la tabla 2.
3. Después de haber realizado lo anterior, grafique el torque Vs. aceleración angular promedio.
4. Aplicando mínimos cuadrados, encuentre el valor del momento de inercia y complete la tabla 2.
Radio[cm]
60
Radio[cm]
𝜶2
𝜶promedio
𝑰
𝜶2
𝜶promedio
𝑰
𝜶2
𝜶promedio
𝑰
50
75
100
60
Radio[cm]
60
DISCO
𝜶1
Masa colgante [g]
Torque
50
75
100
BARILLA DE INERCIA
𝜶1
Masa colgante [g]
Torque
Masa colgante [g]
50
75
100
DISCO DOBLE
𝜶1
Torque
Tabla 2.
𝜶1 =aceleración angular encontrado del ítem 1 de la evaluación de datos.
𝜶2 = aceleración angular encontrado del ítem 2 de la evaluación de datos.
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