   

MATRICES
Una matriz es un arreglo rectangular de números.
Los números están ordenados en filas y columnas.
Nombramos a las matrices para distinguirlas con una letra del alfabeto en mayúscula. Veamos un ejemplo.
2
A   1
7
4
3
3
9
5
11
5  Esta matriz se identifica A y tiene 16 elementos. Sus elementos están
7  arreglados en 3 filas y 4 columnas.
13
El 9 es un elemento de la fila 3 y la columna 2, decimos entonces que a32 = 9.
La matriz A es de orden 3 x 4.
El orden de una matriz es m x n, para una matriz de m filas y n columnas.
Denotamos a los elementos de la matriz A , de orden m x n, por su localización en la matriz de la
siguiente forma:
a ij
donde
1 < i < m y 1 < j < n , la i se refiere a la fila , la
columna de ese elemento.
1
4

7
Práctica
2
5
8
 6 2 0 
Contesta para la
B   5 3
8 
a. ¿Cuál es el orden de B ?
 1
7  4
b. Indica los elementos
b23 =
3
6
9 
j se refiere a la
matriz B.
b12 =
La diagonal principal de una matriz mxm, es dada por los elementos
b32 =
b22 =
a ij , tal que i=j.
Matriz cuadrada es una matriz de orden n x n, es decir que tiene la misma cantidad de filas que de columnas.
1
4

Matriz identidad , los elementos 7
son 0.
1
I  0
0
0
1
1
2
5
8
3
6
9  de la diagonal principal son 1 y los demás elementos
0
0
0
Preparado por: Prof. Evelyn Dávila
Revisado en ENERO 2009
1
Matriz cero
0
0

0
0
Simplificamos el trabajo para resolver sistemas si utilizamos sólo los coeficientes del sistema.
Con este
propósito podemos representar sistemas de ecuaciones a través de matrices y manipularlas de manera
que resolvamos los sistemas que representan. Representamos un sistema de ecuaciones con una matriz de
coeficientes y un vector con las constantes del sistema.
La matriz de coeficientes se compone de los coeficientes de cada ecuación del sistema.
Cada ecuación compone las filas de la matriz y cada columna representa a una de las variables del sistema.
3x  4y  5

 x - 2y  1 
Ejemplo 
→
Sistema
3 4 
1  2


Matriz de coeficientes
Un vector es una matriz que consta de una sola fila o de una sola columna.
Ejemplos
  2
 1
 
vector columna
orden 2x1
3
4
vector fila orden 1x2
Para el sistema del ejemplo anterior el vector de las constantes es
5 
 1
 
Matriz aumentada es una matriz en la que además de los coeficientes incluimos las constantes como la
última columna de la matriz. Esta matriz se utiliza para resolver sistemas por el método de Gauss Jordan o
Eliminación Gausiana.
La matriz aumentada del ejemplo anterior es:
3 4 5
3x  4y  5

 → 

1  2 1
 x - 2y  1 
Práctica
Representa cada sistema con su respectiva matriz de coeficientes y el vector de constantes.
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Revisado en ENERO 2009
2
Especifica para cada uno el orden de las matrices.
2 x  3 y  4

5 x  4 y  1 
1. 
2 x  4 y  1

2. 
3 y  2

3.
3 x  y  2 z  1 


2 x  3 y  z  4 
 4 x  5 y  z  2 


3x - 2y = 4

 6x + y = 13 
4. 
RESOLVER SISTEMAS M X M UTILIZANDO LA LEY DE CRAMER.
Para esto necesitamos calcular el determinante de una matriz.
Determinantes
Denotamos al determinante de la matriz A de orden n x n,
det A ó | A |
Determinante de una matriz 2 x 2.
Sea
 a 11
a 21
A =
a 12 
a 22 
det A = a11 a22 - a12 a21.
Ejemplo
2 - 1

4 - 3
B= 
det B = (2)(-3) - (-1)(4) = -6 - (-4) = -2
Práctica
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Revisado en ENERO 2009
3
1.
2.
2
3
0 -5
3 12
1
4
3 2
3.
6
1
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 3X3
2
1
1
D  1 2
4
1 2 3
Una forma de hallar este determinante se presenta a continuación:
Procedimiento (forma corta )
1. Añade al final de la matriz dada, las primeras dos columnas de la esa matriz.
2. Halla el producto de las diagonales positivas de la matriz ,es decir ,las que comienzan con la
primera fila y la primera columna hacia la derecha. Una matriz nxn , tiene n diagonales
positivas.
3. Se suma el producto de las diagonales positivas.
4. Se halla el producto de las diagonales negativas de la matriz ,es decir ,las que comienzan
con la primera fila y la última columna hacia la izquierda. Una matriz nxn , tiene n diagonales
negativas.
5. Se suma el producto de las diagonales negativas.
6. El determinante es la diferencia (resta) del la suma del producto de las diagonales positivas y
la suma del producto de las diagonales negativas.
[suma del producto de las diagonales positivas] – [suma del producto de las diagonales negativas]
EJEMPLO
Halla el determinante de la matriz A
Preparado por: Prof. Evelyn Dávila
Revisado en ENERO 2009
4
Paso #1
1 1 2
1
2

A   1 2
4 1 2
 1  2  3 1  2




Paso # 2 y 3
(-12) + (4) + (-2)
1 1 2
1
2
 1 2
4 1 2

 1  2  3 1  2
=
-10




Cómputo
[(2)(2)(-3) + (1)(4)(1) +(-1)(-1)(-2)] = -10
Paso # 4 y 5
1 1 2
1
2
 1 2
4 1 2

 1  2  3 1  2
(-2) + (-16) + (3)




= -15
Cómputo
=- [ (1)(2)(-1)+(-2)(4)(2) + (-3)(-1)(1)] = 15
Paso #6
= -10 - (- 15)
= -10 +15
=5
LEY DE CRAMER
Preparado por: Prof. Evelyn Dávila
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5
Sea D el determinante de la matriz de coeficientes de orden nxn , entonces:
x
Dx
,
D
y
Dx
Dy
D
,
z
Dz
, donde:
D
es el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la columna de x de la matriz de
coeficientes del sistema y sustituyéndola por la columna de las constantes del sistema.
Dy es el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la columna de y
de la matriz de
coeficientes y sustituyéndola por la columna de las constantes del sistema .
Dz
es el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la columna de z de la matriz de
coeficientes y sustituyéndola por la columna de las constantes del sistema.
EJEMPLO Resuelve el siguiente sistema mediante la Regla de Cramer
2x + y - z = 3
-x +2y +4z = -3
x - 2y - 3z = 4
Primero hallamos el determinante de los coeficientes de las variables, que es
2
1 1
D  1 2
4 Observa que este determinante los calculamos en el ejmplo anterior
2 3
1
D = 5
Hallamos el determinante Dx , sustituyendo primero la primera columna por las constantes
del sistema
 1 Dx = [(3)(2)(-3) + (1)(4)(4) + (-1)(-3)(-2)] - [(4)(2)(-1) + (-2)(4)(3) + (-3)(-3)(1)]
Dx   3 2
4
= [-18 +16 -6] - [-8 - 24 + 9]
= -8 - (-23)
4 2 3
3
1
Dx = 15
Hallamos el determinante Dy , sustituyendo la segunda columna por las constantes del
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6
sistema.
 1 Dy = [(2)(-3)(-3) + (3)(4)(1) +(-1)(-1)(4)] - [(1)(-3)(-1)+(4)(4)(2)+(-3)(-1)(3)]
= [18 +12 + 4] - [3 + 32 + 9]
Dy   1  3 4
= 34 - 44
1
4 3
2
3
Dy = -10
Hallamos el determinante Dz , sustituyendo la tercera columna por las constantes del sistema
2
1
3
Dz   1 2  3
1 2 4
Dz = [(2)(2)(4) + (1)(-3)(1) + (3)(-1)(-2)] - [(1)(2)(3) + (-2)(-3)(2) + (4)(-1)(1)]
= [16 -3 +6] - [6 + 12 - 4]
= 19 - 14
Dz = 5
Resumimos: D = 5 , Dx = 15, Dy = -10, Dz = 5.
Para determinar los valores de las variables llevamos a cabo el proceso siguiente:
x
D x 15

 3,
D
5
y
Dy
D

 10
 2, ,
5
z
Dz 5
 1
D
5
La solución de este sistema es (3,-2,1).
Práctica
Resuelve los siguientes sistema con la Ley de Cramer:
- 1x  3y  1

2x  5y  0
1. 
Preparado por: Prof. Evelyn Dávila
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7
2x - 3y = 4

5x + 4y = 1 
2. 
- 3x + y - 2z = - 1


3. 2x - 3y + z = 4 
4x + 5y - z = - 2 


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Revisado en ENERO 2009
8