Una es un arreglo rectangular de números.

Matrices
Una matriz es un arreglo rectangular de números.
Los números están ordenados en filas y columnas.
Nombramos a las matrices para distinguirlas con una letra del alfabeto en mayúscula. Veamos
un ejemplo.
A =
2
4
3
5
1
3
5
7
7
9
11
13
2
4
6
8
Esta matriz se identifica A y tiene 16 elementos.
Sus elemento están arreglados en 4 filas y 4 columnas.
El 9 es un elemento de la fila 3 y la columna 2, decimos entonces que a32 = 9.
La matriz A es de orden 4 x 4.
El orden de una matriz es m x n, para una matriz de m filas y n columnas.
Denotamos a los elementos de la matriz A de orden
m x n de la siguiente forma:
a ij donde
1 < i < m y 1 < j < n , la i se refiere a la fila , la
j se refiere a la columna de
ese elemento.
 6  2 0


Práctica  5 3 8




Contesta para la matriz B.
a. ¿Cuál es el orden de B ?
b. Indica cuál es el elemento:
b23 =
Preparado por:
1
Prof. Evelyn Dávila
b12 =
b32 =
b22 =
Matriz cuadrada es una matriz de orden n x n, es decir que tiene la misma cantidad de filas
que de columnas.
C=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Matriz identidad es aquella cuyos elementos de la diagonal principal son 1 y los demás
elementos son 0.
I=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Matriz cero
0
0
0
0
Simplificamos el trabajo para resolver sistemas si utilizamos sólo los coeficientes del
sistema.
Con este propósito podemos representar sistemas de ecuaciones através de matrices y
manipularlas de manera que resolvamos los sistemas que representan.
Representamos un sistema de ecuaciones con una matriz de coeficientes.
Una matriz de coeficientes se compone de los coeficientes de cada ecuación del sistema.
Cada ecuación compone las filas de la matriz y cada columna representa a una de las
variables del sistema.
3x  4y  5

 x - 2y  1 
Ejemplo 
3 4 
1  2


Matriz aumentada es una matriz en la que además de los coeficientes incluímos las
constantes como la última columna de la matriz.
La matriz aumentada del ejemplo anterior es:
3x + 4y = 5
3
Preparado por:
2
4
5
Prof. Evelyn Dávila
x - 2y = 1
1
-2 1
Aprenderemos a resolver sistemas m x n utilizando la Ley de Cramer.
Para esto necesitamos calcular el determinante de una matriz.
Determinantes
Denotamos al determinante de la matriz A de orden
n x n,
det A ó | A |
Determinante de una matriz 2 x 2.
Sea
 a 11
a 21
A =
a 12 
a 22 
det A = a11 a22 - a12 a21.
Ejemplo
2 - 1

4 - 3
B= 
det B = (2)(-3) - (-1)(4) = -6 - (-4) = -2
Menor de una matriz cuadrada
Sea A = aij una matriz cuadrada de orden n > 1;
el menor M del elemento aij es el determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene al
elimimar la fila i y la columna j.
Ejemplo 1
A=
1
-3
3
4
2
0
-2
-7
5
1. Halla:
a.
M11 =
Preparado por:
3
Prof. Evelyn Dávila
b.
M21 =
c.
M22 =
Matriz de Cofactores
Sea A = aij una matriz cuadrada de orden n > 1; el cofactor Aij
del elemento aij es:
A i j = (-1) i + j M i j
2. Halla para la matriz A :
A11 =
A12 =
A13 =
Determinante de una matriz de orden n
| A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n
( Se puede utilizar la expansión de cofactores para cualquier fila o columna)
3. Halla el determinante de la matriz A.
Práctica
J=
-1
3
1
2
5
0
3
1
-2
det J = ________
Preparado por:
4
Prof. Evelyn Dávila
Ley de Cramer
Sea D la matriz de coeficientes de un sistema y sea D una matriz de orden n x n, entonces:
x = |Dx|
y = |Dy|
|D|
|D|
z = |Dz|
|D|
donde:
Dx se obtiene eliminando la columna de x y sustituyéndola por la columna de las constantes.
Dy se obtiene eliminando la columna de y y sustituyéndola por la columna de las constantes.
Dz se obtiene eliminando la columna de z y sustituyéndola por la columna de las constantes.
Resuelva el siguiente sistema con la Ley de Cramer:
- 1x  3y  1


2x  5y  0
Práctica 1
2x - 3y = 4
5x + 4y = 1
Práctica 2
3x + y -2z = -1
2x - 3y + z = 4
4x + 5y - z = -2
Preparado por:
5
Prof. Evelyn Dávila
Preparado por:
6
Prof. Evelyn Dávila