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Universidad de Puerto Rico.
Recinto Universitario de Mayagüez
Departamento de Ciencias Matemáticas
Primer Examen Departamental Mate 3031
14 de octubre de 2010
Nombre______________________. Número de estudiante____________________
Profesor__________________________
Sección_____________.
(10 puntos) Considere la gráfica de y = f ( x ) ,
I.
Determine cada uno de los siguientes:
f ( −4 )
(a)
(c)
(b)
lim f ( x )
(d)
x →−4+
(e) f (1 )
II.
lim f ( x )
x →−4−
lim f ( x )
x →−4
(f)
lim f ( x )
x →1
−
(g)
lim f ( x )
x →1
(h)
lim
f ( x)
x →1
(i)
f (6 )
(j)
lim
f ( x)
x →6
+



(8 puntos) Sea f ( x ) = 



3− x
2
x
27
x
x ≤1
si 1 < x < 3
si
si
x≥3
Evalue cada límite, si existe.
lim− f ( x ) =
lim+ f ( x )
x→1
lim
f ( x)
x →1
x→3−
x→1
lim f ( x )
lim f ( x )
x→3+
lim
f ( x)
x →3
lim
f ( x)
x →9
lim
f ( x)
x→∞
En cada problema muestre todo el trabajo necesario para llegar a su respuesta.
Soluciones presentadas sin trabajo podrían no recibir crédito. Respuestas numéricas
deben presentarse como expresiones matemáticas exactas, no mediante una
aproximación decimal. Use aproximaciones decimales solo en casos en que las
instrucciones del problema específicamente las requiera.
III.
1. Encuentre los límites siguientes. En los casos que aplique, indique si el límite es
∞ ó -∞. (4 puntos cada uno)
a)
x2 − 9
x→3 x 3 − 27
lim
c)
e)
b) lim
x→0
( )
lim tan −1 e
x→0+
lim
x→5
x −5
x −5
x
d)
2
6 
 −

x
x
(3
+
x
)


3
x→3 x − 6 x + 9
lim
2
2. (5 puntos)¿Cuál debe ser el valor de b de modo que la función
si
x <1
 3x + 2
sea continua en todo su dominio
f ( x) =  2
x
bx
si
x
2
+
+
6
≥
1

3. (3 puntos)a.Construya la gráfica de una función h que satisfaga las condiciones
siguientes:
i) h (1 ) = 2
ii) lim− h ( x ) = −1
x →1
iii) lim+ h ( x ) = 1 .
x →1
b. (2 puntos)¿Existe lim h ( x ) ? Si dice que sí, dé su valor. Si dice que no, explique
x →1
por qué.
c. (2 puntos)¿Esta función es continua o discontinua en x = 1?
2
x
4. (5 puntos) Demuestra que la ecuación x + 2 = 4 tiene por lo menos una
solución real. (Sugerencia: Utilice el teorema del valor intermedio.)
5. (5 puntos) Encuentra lim
x→∞
x + cos x
. (Sugerencia: Use el Teorema del Sándwich.)
2x + 5
6. (6 puntos)Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de
f ( x) =
x+2
. ¿Que sucede con esta función cerca de x = −2 ? Justifique
6 + x − x2
su respuesta mediante el cómputo de los límites que sean necesarios.
7. Sea f ( x ) =
1
.
x
a. (4 puntos) Use la definición de la derivada para mostrar que f '(3) = −
1
9
.
b. (2 puntos) ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica
 1
 3
y = f ( x ) en el punto  3,  ?
Parte a
Parte b
8. La Figura 1 ilustra la gráfica de una función f .
FIGURA 1
a. (2 puntos)¿Acaso f ' ( 0 ) es positivo, negativo o cero?
b. (4 puntos)¿Para qué valores de
x , se cumple que f ' ( x ) = 0 ?
c. (2 puntos)¿En que intervalo(s) f ' ( x ) es negativo?
d. (2 puntos) ¿Cuál es el signo de f ' ( x ) para todos los valores de x en el intervalo
( 7,8) ?
e. (5 puntos) Construye un boceto de la gráfica de f ' sobre el mismo sistema de
coordenadas provisto en la Figura 1.
9. (2 puntos)Construya la gráfica de una función continua en todo su dominio que
no sea diferenciable en x = 2 .
10. (5 puntos)Use la definición ε , δ para demostrar que lim ( 5 x − 10 ) = 5 .
x→3
11. (6 puntos) Encuentra lim
x→∞
(
)
x2 + 8x − x .