Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Ecuaciones diferenciales “elementales”
http://euler.us.es/~renato/
R. Álvarez-Nodarse
Universidad de Sevilla
Aplicaciones EDOs de 1o orden
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
¿Qué es la modelización?
1
v (cm/s)
0.5
0
-0.5
-1
0
π/2
π
3π/2
2π
φ
¿Cómo explicar y predecir
los fenómenos naturales?
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Movimiento de gotas de lı́quido
sobre una placa en movimiento
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Una polémica muy antigua.
VS
Fourier: El estudio profundo de la
naturaleza es el campo más fértil para los descubrimientos matemáticos.
Ese estudio ofrece no sólo la ventaja de un objetivo bien definido, sino
también la de excluir cuestiones vagas y cálculos inútiles. Es un medio
para construir el análisis en sı́ mismo
y para descubrir qué ideas importan
verdaderamente y cuáles debe preservar la ciencia.
Théorie analytique de la chaleur, 1822
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Jacobi: Es cierto que Fourier piensa que el objeto prioritario de la
matemática es la utilidad pública
y la explicación de los fenómenos
naturales; pero un cientı́fico como
él deberı́a saber que el único objeto de la ciencia es rendir honor al
espı́ritu humano y sobre esta base
una cuestión de teorı́a de números
es tan importante como una cuestión acerca del sistema del mundo
Carta a Legendre, 2/7/1830.
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Una polémica muy antigua
VS
Hardy: Nunca he hecho nada
“útil”. Ningún descubrimiento
mı́o ha supuesto [...] la más
mı́nima alteración en el bienestar del mundo.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Lobachevsky: No hay rama de
la Matemática, por abstracta
que sea, que no se aplique algún
dı́a a los fenómenos del mundo
real.
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Una polémica muy antigua
VS
Hardy: Nunca he hecho nada Lobachevsky: No hay rama de
“útil”. Ningún descubrimiento la Matemática, por abstracta
mı́o ha supuesto [...] la más que sea, que no se aplique algún
mı́nima alteración en el bienes- dı́a a los fenómenos del mundo
tar del mundo.
real.
Curiosidad: Resultados de Hardy se usan en criptografı́a y en
genética.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
En gran auge de la las mates: El teorema de Galileo
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
En gran auge de la las mates: El teorema de Galileo
Galileo: La filosofı́a [natural] está escrita en ese
grandioso libro que tenemos abierto ante los
ojos, (quiero decir, el universo), pero no se puede entender si antes no se aprende a entender
la lengua, a conocer los caracteres en los que
está escrito. Está escrito en lengua matemática
y sus caracteres son triángulos, cı́rculos y otras
figuras geométricas, sin las cuales es imposible
entender ni una palabra; sin ellos es como girar
vanamente en un oscuro laberinto. (Il Saggia-
tore, 1623)
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
En gran auge de la las mates: El teorema de Galileo
Galileo: La filosofı́a [natural] está escrita en ese
grandioso libro que tenemos abierto ante los
ojos, (quiero decir, el universo), pero no se puede entender si antes no se aprende a entender
la lengua, a conocer los caracteres en los que
está escrito. Está escrito en lengua matemática
y sus caracteres son triángulos, cı́rculos y otras
figuras geométricas, sin las cuales es imposible
entender ni una palabra; sin ellos es como girar
vanamente en un oscuro laberinto. (Il Saggia-
tore, 1623)
Einstein: El que no posee el don de maravillarse
ni de entusiasmarse más le valdrı́a estar muerto,
porque sus ojos están cerrados.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
En gran auge de la las mates: El teorema de Galileo
Galileo: La filosofı́a [natural] está escrita en ese
grandioso libro que tenemos abierto ante los
ojos, (quiero decir, el universo), pero no se puede entender si antes no se aprende a entender
la lengua, a conocer los caracteres en los que
está escrito. Está escrito en lengua matemática
y sus caracteres son triángulos, cı́rculos y otras
figuras geométricas, sin las cuales es imposible
entender ni una palabra; sin ellos es como girar
vanamente en un oscuro laberinto. (Il Saggia-
tore, 1623)
Einstein: El que no posee el don de maravillarse
ni de entusiasmarse más le valdrı́a estar muerto,
porque sus ojos están cerrados.
Esta curiosidad por entender el mundo y su
lenguaje es lo que hace que muchos de nosotros estudiemos fı́sica y matemáticas.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
El misterio
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
El misterio
Einstein: En Geometrı́a y Experiencia (1921)
Einstein comentó: “Es increible que la matemática, habiendo sido creada por la mente humana, logre describir la naturaleza con
tanta precisión”.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
El misterio
Einstein: En Geometrı́a y Experiencia (1921)
Einstein comentó: “Es increible que la matemática, habiendo sido creada por la mente humana, logre describir la naturaleza con
tanta precisión”.
Wigner: En un artı́culo de 1960 titulado: Unreasonable Effectiveness of Mathematics in
the Natural Sciences, Wigner escribió: “El
milagro de la adecuación del lenguaje de las
matemáticas para la formulación de las leyes
de la fı́sica es un regalo maravilloso que ni
entendemos ni merecemos”.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
No debemos olvidar que ...
Riqueza de la Matemática = Problemas puros
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
S
aplicados
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
No debemos olvidar que ...
Riqueza de la Matemática = Problemas puros
S
aplicados
Hacer/estudiar Matemáticas, tanto útiles (Fourier) como inútiles
(Hardy) sin olvidar nunca el espı́ritu de Lobachevsky y Galileo.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
No debemos olvidar que ...
Riqueza de la Matemática = Problemas puros
S
aplicados
Hacer/estudiar Matemáticas, tanto útiles (Fourier) como inútiles
(Hardy) sin olvidar nunca el espı́ritu de Lobachevsky y Galileo.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
No debemos olvidar que ...
Riqueza de la Matemática = Problemas puros
S
aplicados
Hacer/estudiar Matemáticas, tanto útiles (Fourier) como inútiles
(Hardy) sin olvidar nunca el espı́ritu de Lobachevsky y Galileo.
Las Matemáticas, y en particular el análisis, son el verdadero
lenguaje de la naturaleza
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
EDOs lineales
La ecuación
(1)
d y (x)
+ a(x)y (x) = b(x),
dx
a(x), b(x) ∈ CI .
se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denomina
ecuación homogénea y si b(x) 6= 0, ecuación no homogénea.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
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EDOs lineales
La ecuación
(1)
d y (x)
+ a(x)y (x) = b(x),
dx
a(x), b(x) ∈ CI .
se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denomina
ecuación homogénea y si b(x) 6= 0, ecuación no homogénea.Su
solución general se expresa por
Z R
R
R
− a(x) dx
− a(x) dx
y (x) = Ce
+e
e a(x) dx b(x) dx
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
EDOs lineales
La ecuación
(1)
d y (x)
+ a(x)y (x) = b(x),
dx
a(x), b(x) ∈ CI .
se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denomina
ecuación homogénea y si b(x) 6= 0, ecuación no homogénea.Su
solución general se expresa por
Z R
R
R
− a(x) dx
− a(x) dx
y (x) = Ce
+e
e a(x) dx b(x) dx
Para probarlo basta sustituir la función y (x) anterior en la EDO y
usar el Teorema fundamental del Cálculo.
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
EDOs lineales
La ecuación
(1)
d y (x)
+ a(x)y (x) = b(x),
dx
a(x), b(x) ∈ CI .
se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denomina
ecuación homogénea y si b(x) 6= 0, ecuación no homogénea.Su
solución general se expresa por
Z R
R
R
− a(x) dx
− a(x) dx
y (x) = Ce
+e
e a(x) dx b(x) dx
Para probarlo basta sustituir la función y (x) anterior en la EDO y
usar el Teorema fundamental del Cálculo.
El PVI correspondiente a la ecuación (1) es el problema
d y (x)
+ a(x)y (x) = b(x),
dx
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a(x), b(x) ∈ CI ,
y (x0 ) = y0 .
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EDOs con Maxima
Para resolver EDOS analı́ticamente con Maxima usamos el
comando ode2 cuya sintaxis es
ode2(eqn, variable dependiente, variable independiente)
y que resuelve EDOs de primer y segundo orden.
Por ejemplo, resolvamos la EDO z 0 = −z + x:
ode2(’diff(z,x)=x-z,z,x)$
Para resolver el PVI z 0 = −z + x, y (0) = 1 hay que usar el
comando ic1 cuya sintaxis es
ic1(solución, valor de x, valor de y)
donde solución es la solución general que da el comando ode2 y
el valor de x y el valor de y, son los valores que toma la y
cuando x = x0 , i.e., los valores iniciales. Ası́ tenemos
expand(ic1(%,x=1,z=2));
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EDOs con Maxima
Ejemplo: Encontrar la solución de la EDO lineal
y (x) = Ce
−
R
a(x) dx
+e
−
R
a(x) dx
Z
e
R
dy
+ x y = 2x.
dx
a(x) dx
b(x) dx
Luego
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EDOs con Maxima
Ejemplo: Encontrar la solución de la EDO lineal
y (x) = Ce
−
R
a(x) dx
+e
−
R
a(x) dx
Z
e
R
dy
+ x y = 2x.
dx
a(x) dx
b(x) dx
Luego
x2
x2
y = Ce − 2 + e − 2
Z
x2
x2
x2
e 2 2x dx = Ce − 2 + 2e − 2 e
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x2
2
x2
= Ce − 2 + 2.
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EDOs con Maxima
Ejemplo: Encontrar la solución de la EDO lineal
y (x) = Ce
−
R
a(x) dx
+e
−
R
a(x) dx
Z
e
R
dy
+ x y = 2x.
dx
a(x) dx
b(x) dx
Luego
x2
x2
y = Ce − 2 + e − 2
Z
x2
x2
x2
e 2 2x dx = Ce − 2 + 2e − 2 e
x2
2
x2
= Ce − 2 + 2.
Resolver la EDO anterior con la condición inicial y (0) = 1.
x2
Como la solución general es y (x) = Ce − 2 + 2, tenemos
x2
y (0) = 1 = C + 2, de donde C = −1 y y (x) = 2 − e − 2 .
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EDOs con Maxima
Ejemplo: Encontrar la solución de la EDO lineal
y (x) = Ce
−
R
a(x) dx
+e
−
R
a(x) dx
Z
e
R
dy
+ x y = 2x.
dx
a(x) dx
b(x) dx
Luego
x2
x2
y = Ce − 2 + e − 2
Z
x2
x2
x2
e 2 2x dx = Ce − 2 + 2e − 2 e
x2
2
x2
= Ce − 2 + 2.
Resolver la EDO anterior con la condición inicial y (0) = 1.
x2
Como la solución general es y (x) = Ce − 2 + 2, tenemos
x2
y (0) = 1 = C + 2, de donde C = −1 y y (x) = 2 − e − 2 .
Ejercicio: Resuelve la EDO y 0 = x − y y el PVI cuando y (1) = 2.
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EDOs con Maxima
Supongamos que la función f (x, y ) en la EDO
y 0 = f (x, y )
admite la factorización f (x, y ) = a(x)b(y ). Cuando esto ocurre se
dice que la EDO es separable.
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EDOs con Maxima
Supongamos que la función f (x, y ) en la EDO
y 0 = f (x, y )
admite la factorización f (x, y ) = a(x)b(y ). Cuando esto ocurre se
dice que la EDO es separable.
En general tenemos
dy
dy
= a(x)b(y ) ⇐⇒
= a(x)dx ⇐⇒
dx
b(y )
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Z
dy
dy =
b(y )
Z
a(x)dx.
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EDOs con Maxima
Supongamos que la función f (x, y ) en la EDO
y 0 = f (x, y )
admite la factorización f (x, y ) = a(x)b(y ). Cuando esto ocurre se
dice que la EDO es separable.
En general tenemos
dy
dy
= a(x)b(y ) ⇐⇒
= a(x)dx ⇐⇒
dx
b(y )
Z
dy
dy =
b(y )
Z
a(x)dx.
Luego la solución de la ecuación separable es
G [y (x)] = A(x) + C ,
donde G (y ) es una primitiva de 1/b(y ) y A(x) de a(x).
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EDOs con Maxima
Ejemplo: Resolver la ecuación y 0 = x/y .
Usando lo anterior tenemos
y dy = xdx
⇐⇒
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y2 = x2 + C .
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EDOs con Maxima
Ejemplo: Resolver la ecuación y 0 = x/y .
Usando lo anterior tenemos
y dy = xdx
⇐⇒
y2 = x2 + C .
La expresión anterior define una familia de curvas en R2 que son
solución de la ecuación diferencial propuesta.
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EDOs con Maxima
Ejemplo: Resolver la ecuación y 0 = x/y .
Usando lo anterior tenemos
y dy = xdx
⇐⇒
y2 = x2 + C .
La expresión anterior define una familia de curvas en R2 que son
solución de la ecuación diferencial propuesta.
√
En general la solución es y (x) = ± C + x 2 , donde el signo + o −
dependerá de las condiciones iniciales. Por ejemplo, si nos interesa
el PVI con la√condición y (0) = 3, entonces C = 9 y la solución
será y (x) = 9 + x 2 .
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
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EDOs con Maxima
Ejemplo: Resolver la ecuación y 0 = x/y .
Usando lo anterior tenemos
y dy = xdx
⇐⇒
y2 = x2 + C .
La expresión anterior define una familia de curvas en R2 que son
solución de la ecuación diferencial propuesta.
√
En general la solución es y (x) = ± C + x 2 , donde el signo + o −
dependerá de las condiciones iniciales. Por ejemplo, si nos interesa
el PVI con la√condición y (0) = 3, entonces C = 9 y la solución
será y (x) = 9 + x 2 .
Ejercicio: Resuelve la EDO y 0 = 1 + y 2 y el PVI cuando y (0) = 0.
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EDOs con Maxima
Esta orden ode2 no siempre funciona como es el caso de la EDO
z 0 = x − sen z, en cuyo caso la salida es “false”
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EDOs con Maxima
Esta orden ode2 no siempre funciona como es el caso de la EDO
z 0 = x − sen z, en cuyo caso la salida es “false”
En ese caso hay que usar algún método numérico. Por ejemplo
Maxima tiene dos comandos: el comando runge1 y el rk.
Para usar el primero hay que cargar el paquete numérico diffeq.
La sintaxis de runge1 es la siguiente
runge1(f, x0, x1, h, y0)
donde f es la función f (x, y ) de la ecuación y 0 = f (x, y ), x0 y x1
los valores inicial, x0 , y final, x1 , de la variable independiente,
respectivamente, h es la la longitud (o paso) de los subintervalos e
y0 es el valor inicial y0 que toma y en x0 . El resultado es una lista
que a su vez contiene tres listas: la primera contiene las abscisas x,
la segunda las ordenadas y y tercera las derivadas y 0 .
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EDOs con Maxima
kill(all);
load(diffeq);
A continuación definimos la función f , y el paso h, para, a
continuación, invocar la orden runge1
f(x,y):=1+y; h:1/20;
solnum:runge1(f,0,1,h,1);
wxplot2d([discrete,solnum[1],solnum[2]])$
Como esta ecuación es exactamente resoluble podemos comparar
sus gráficas. Usamos ode2 e ice1 para resolver el PVI:
sol: expand(ode2(’diff(w,x)=1+w,w,x));
expand(ic1(sol,x=0,w=1));
define(solw(x),second(%));
Y ahora dibujamos ambas gráficas
plot2d([[discrete,solnum[1],solnum[2]],solw(x)],[x,0,1])$
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EDOs con Maxima
Para usar el comando rk cargamos el paquete dynamics. Su
sintaxis para el PVI y 0 = f (x, y ), y (x0 ) = y0 es
rk(f,y,y0,[x,x0,x1,h])
donde f es la función f (x, y ), x0 y x1 los valores inicial, x0 , y final,
x1 , de la variable independiente, respectivamente, h es la la
longitud de los subintervalos e y0 es el valor inicial y (x0 ) = y0 .
El resultado es una lista con los pares [x, y ] de las abscisas x y las
ordenadas y .
Ejemplo: Resolver la EDO z 0 = x − sen z (intentar con ode2)
load(dynamics)$
h:1/20;kill(x,y);
numsolrk:rk(x-sin(y),y,1,[x,0,1,h]);
wxplot2d([discrete,numsolrk],[color,blue])$
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones geométricas
Encontrar una familia de curvas y (x) tal que el segmento de la
tangente t a la curva y en un punto cualquiera P(x, y ) dibujado
entre P y el eje 0y quede bisecado por el eje Ox.
y
t
y(x)
P(x,y)
0
(x/2,0)
x
Q
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones geométricas
Encontrar una familia de curvas y (x) tal que el segmento de la
tangente t a la curva y en un punto cualquiera P(x, y ) dibujado
y0 = 2y/x
entre P y el eje 0y quede bisecado por el eje Ox.
y
t
y(x)
P(x,y)
0
(x/2,0)
x
Q
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Aplicaciones geométricas
Ejemplo
Encontrar una familia de curvas y (x) tal que la pendiente de la
tangente t a la curva y en cada punto sea la suma de las
coordenadas del punto. Encuentra además la curva que pasa por el
origen.
y0 = y + x
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones EDOs de 1o orden
Se sabe que la intensidad i de circuito está gobernada por la EDO
di
+ Ri = U,
dt
donde L es la impedancia, R la resistencia y U el voltaje.
Supongamos que el voltaje U es constante y que i(0) = i0 .
Encontrar la dependencia de i respecto al tiempo t.
L
R
U
L
Dibujar si L = 1H (henrio), R = 1Ω (ohmio), V = 3V (voltios).
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Aplicaciones EDOs de 1o orden
Se sabe que la intensidad i de circuito está gobernada por la EDO
di
+ Ri = U,
dt
donde L es la impedancia, R la resistencia y U el voltaje.
Supongamos que el voltaje U es constante y que i(0) = i0 .
Encontrar la dependencia de i respecto al tiempo t.
L
R
U
L
Dibujar si L = 1H (henrio), R = 1Ω (ohmio), V = 3V (voltios).
Realizar el mismo estudio si U = U0 sen(ωt). Dibujar si L = 1H
(henrio), R = 1Ω (ohmio), V = 3V (voltios) y ω = 50Hz (hercios)
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones EDOs de 1o orden
Ejemplo
La ecuación barométrica de Pascal es la EDO
p 0 (h) = −λp(h),
λ > 0,
donde p es la presión en función de la altura h. Si h = 0, la presión
es la presión al nivel del mar (usualmente 1 atm o 760 mm de
mercurio). ¿Cómo varı́a la presión con la altura?
La solución: p(h) = p0 e −h/h0
Usemos el valor de h0 = 8000m.
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones EDOs de 1o orden
Pico San Cristóbal
Grazalema (Cádiz)
1654m, 0.81atm
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Torre Cerredo
Picos de Europa (Cantabria)
2648m, 0.71atm
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones EDOs de 1o orden
Mulhacén
Sierra Nevada (Granada)
3478m, 0.64atm
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Everest
Himalaya (Nepal / China)
8848m, 0.32atm
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones EDOs de 1o orden. EDOs separables.
Ejemplo
Sea una esfera hueca homogénea de radio interior r1 y radio
exterior r2 . Supongamos que la temperatura de la cara interior es
T1 y la exterior es T2 . Encontrar la temperatura en la esfera en
función del radio.
Sea Q es la cantidad de calor que pasa entre la esfera “interior”
(en blanco) y la exterior (sombreada). Asumiendo que Q es
constante tenemos
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T1 1111
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r1
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r2
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00000000
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00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000
11111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000
11111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
Q = −κr 2
−
dT
,
dr
dr
κ
= dT
2
r
Q
κ>0
⇐⇒
1
κ
+ C = T (r ),
r
Q
T2
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones EDOs de 1o orden
−
κ
dr
= dT
2
r
Q
pero T (r1 ) = T1 , luego C =
⇐⇒
κ
Q T1
1
κ
+ C = T (r ),
r
Q
− r1 , de donde deducimos
1
1
κ
− = (T (r ) − T1 ) .
r
r1
Q
Ahora bien, como ha de ser T (r2 ) = T2 , podemos eliminar Q en la
ecuación (el cual en general no es conocido) para obtener
1 )r1 r2
Q = κ(T2r−T
2 −r1
(T2 − T1 )r1 r2
T (r ) = T1 +
r2 − r1
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
1
1
−
r
r1
.
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones EDOs de 1o orden
Ejemplo
Supongamos que tenemos una reacción quı́mica A + B → C
y que en t = 0 la concentración de A es a y la de B es b. Se sabe
que la velocidad la velocidad de formación de C es proporcional a
la concentración de A y B. Lo anterior nos conduce a la EDO
x 0 = κ(a − x)(b − x),
x(0) = 0.
Asumamos que a 6= b. ¿Cómo varı́a x con el tiempo?
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones EDOs de 1o orden
dx
= κdt
(a − x)(b − x)
V
log
a−x
= (a − b)κt + C ,
b−x
como x(0) = 0, C = a/b, luego x(t) = ab
1 − e (a−b)κt
.
b − a e (a−b)κt
Si b > a entonces lı́m x(t) = a y si b < a, lı́m x(t) = b.
t→∞
t→∞
Lo anterior es “evidente” pues la reacción acabará cuando se acabe
uno de los dos reactivos A o B.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
La velocidad de escape vE de la Tierra
Ejemplo
Queremos encontrar vE al espacio exterior de un cuerpo que se encuentre
en la superficie de la Tierra. Usando
la ley de Newton
dv
GMT
gR 2
=− 2 =− 2
dt
r
r
G es la constante universal gravitatoria, MT es la masa de la tierra y g la
aceleración de la gravedad.
Como r varı́a con el tiempo la ecuación anterior es, en general,
complicada de resolver. Usando la regla de la cadena
dv
gR2
dv /dt = (dr /dt)(dv /dr ) = v dv /dr , luego v
=− 2 .
dr
r
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones EDOs de 1o orden
La solución de esta EDO usando el método de separación de
variables es v 2 = 2gR 2 /R + C . Llamando v0 la velocidad inicial del
cuerpo sobre la superficie terrestre obtenemos
v 2 (r ) =
2gR
+ v02 − 2gR.
r
Si queremos enviar una nave y que ésta escape de la gravedad
terrestre necesitamos que ∀r > R, v 2 ≥ 0. De hecho para que
escape definitivamente de la tierra es suficiente que v ≥ 0 cuando
r → ∞, i.e.,
lı́m v (r ) ≥ 0 V v02 − 2gR ≥ 0
r →∞
Sustituyendo los datos R = 6400000 metros y g = 9,8m/s 2
obtenemos v0 = 11200m/s = 11,2Km/s.
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones EDOs de 1o orden
Ejemplo
La velocidad v (t) de caı́da de un
cuerpo en un medio viscoso se puede modelizar mediante la ecuación
v 0 = g − κv r ,
v (0) = v0 ,
donde g y κ son ciertas constantes
(la gravedad y la viscosidad).
Resolvamos la ecuación
dv
= dt
g − κv r
Z
v
V t−t0 =
v0
dv
1
=
r
g − κv
g
Z
v
v0
dv
,
1 − ω2v r
Escojamos r = 2, por ejemplo. Entonces
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
ω2 =
κ
.
g
Aplicaciones EDOs de 1o orden
Z
v
v0
dv
(1 + ωv ) (1 − ωv0 )
1
log
= g (t − t0 ).
=
1 − ω2v r
2ω
(1 − ωv ) (1 + ωv0 )
Despejando v tenemos la solución
1+ωv0
2g ω(t−t0 ) − 1
1 1−ωv0 e
,
v (t) =
ω 1+ωv0 e 2g ω(t−t0 ) + 1
1−ωv0
r
ω=
κ
> 0.
g
Como ω > 0, entonces si t → ∞ el cuerpo sólo podrá alcanzar la
velocidad lı́mite vmax = 1/ω independiente del valor v0 inicial.
Ejercicio
Resolver el caso r = 3.
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones EDOs de 1o orden
La descomposición radioactiva
N(t +h)−N(t) = −λN(t)h
N(t + h) − N(t)
= −λN(t).
h
⇐⇒
N 0 (t) = −λN(t),
N(t0 ) = N0 .
El perı́odo de semi-desintegración: el tiempo necesario para
disminuir en la mitad el número de átomos,
N0
= N0 e −λT ,
2
V
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λ=
log 2
0,693147
=
.
T
T
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones EDOs de 1o orden
Elemento
Radio 226 → Plomo 214
Plomo 214 → Plomo 210
Plomo 210 → Polonio 210
Polonio 210 → Plomo 206
Carbono 14 → Nitrogeno 14
Uranio 238 → Torio 234
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Perı́odo T
1600 años
47 min
22 años
138 dias
5568 años
4,51109 años
λ
0.000433217 1/años
0.0147478 1/min
0.0315067 1/años
.00502281 1/dias
0.000124488 1/años
1,5101210−10 1/años
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones EDOs de 1o orden
En muchos casos un elemento radioactivo puede obtenerse de a
partir de otros en lo que se denomina una cadena radioactiva.
Uranio 238
Torio 234
Uranio 234
Radio 226
Plomo 206
Polonio 210
Plomo 210
Plomo 214
Cadena radioactiva
Si llamamos a esa aportación r (t), entonces la ecuación que
gobierna la desintegración del Plomo 210 es la siguiente
N 0 (t) = −λN(t) + r (t),
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
N(t0 ) = N0 ,
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Las falsificaciones de H.A. Van Meegeren
Hagamos un paréntesis cultural. Falsificaciones de obras de arte.
H.A. Van Meegeren fue un pintor holandés del
siglo XX que se hizo famoso por sus falsificaciones de obras del pintor flamenco del siglo XVII
Jan Vermeer, especialmente por su cuadro “Los
discı́pulos de Emmaus” que vendió por 4 millones de dólares.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Las falsificaciones de H.A. Van Meegeren
Hagamos un paréntesis cultural. Falsificaciones de obras de arte.
H.A. Van Meegeren fue un pintor holandés del
siglo XX que se hizo famoso por sus falsificaciones de obras del pintor flamenco del siglo XVII
Jan Vermeer, especialmente por su cuadro “Los
discı́pulos de Emmaus” que vendió por 4 millones de dólares.
Van Meegeren fué acusado de colaborar con los nazis en la II Guerra Mundial por la venta a Goering, a través
del banquero nazi Miedl, de una obra
de Vermer “Cristo y la adúltera” por
7 millones.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Las falsificaciones de H.A. Van Meegeren
Estando en prisión Van Meegeren declaró que esa obra, “Los discı́pulos de
Emmaus” y otras dos más eran falsificaciones propias. Para probarlo Van
Meegeren comezó a pintar en prisión
otra obra de Vermeer “Jesús entre los
Doctores”.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Las falsificaciones de H.A. Van Meegeren
Estando en prisión Van Meegeren declaró que esa obra, “Los discı́pulos de
Emmaus” y otras dos más eran falsificaciones propias. Para probarlo Van
Meegeren comezó a pintar en prisión
otra obra de Vermeer “Jesús entre los
Doctores”.
Durante el proceso se enteró que habı́an cambiado su pena de
traición por la de falsificación y se negó a terminarla dejando a los
expertos con la duda sobre la falsedad de la famosa pintura.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Las falsificaciones de H.A. Van Meegeren
Estando en prisión Van Meegeren declaró que esa obra, “Los discı́pulos de
Emmaus” y otras dos más eran falsificaciones propias. Para probarlo Van
Meegeren comezó a pintar en prisión
otra obra de Vermeer “Jesús entre los
Doctores”.
Durante el proceso se enteró que habı́an cambiado su pena de
traición por la de falsificación y se negó a terminarla dejando a los
expertos con la duda sobre la falsedad de la famosa pintura.
Finalmente, Van Meegeren fué condenado a un año de prisión por
falisificación el 12 de octubre de 1947 pero no la cumplió pues el
30 de diciembre de 1947 murió de paro cardı́aco.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Las falsificaciones de H.A. Van Meegeren
“Los discı́pulos de Emmaus”: la falsificación perfecta.
El escándalo que provocaron las declaraciones de Van Meegeren
fue mayúsculo por lo que se buscó una comisión de expertos que
dictaminara la falsedad o no de esta obra. Después de muchas
discusiones los expertos en arte decidieron que la obra no era una
falsificación.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
¿Y todo este “rollo” a que viene?
“Los discı́pulos de Emmaus”: la falsificación perfecta.
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
¿Y todo este “rollo” a que viene?
“Los discı́pulos de Emmaus”: la falsificación perfecta.
La solución definitiva a si “Los discı́pulos de Emmaus” era falsa o
no se resolvieron finalmente usando métodos cientı́ficos, y por
supuesto matemáticas.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Falsificación de obras de arte
Imaginemos que queremos saber si un cuadro es del siglo XVIII o
una falsificación del XX. Por sencillez supongamos que r (t) ≈ r0 .
Entonces la solución de la EDO N 0 (t) = −λN(t) + r (t),
N(t0 ) = N0 es
N(t) =
r0
(1 − e −λ(t−t0 ) ) + N0 e −λ(t−t0 ) .
λ
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Falsificación de obras de arte
Imaginemos que queremos saber si un cuadro es del siglo XVIII o
una falsificación del XX. Por sencillez supongamos que r (t) ≈ r0 .
Entonces la solución de la EDO N 0 (t) = −λN(t) + r (t),
N(t0 ) = N0 es
N(t) =
r0
(1 − e −λ(t−t0 ) ) + N0 e −λ(t−t0 ) .
λ
Obviamente hoy dı́a podemos medir fácilmente los valores de r0
(que hemos supuesto no ha cambiado apenas en estos 300 años) y
N(t), no ası́ el valor N0 pues no sabemos la cantidad inicial de
Plomo 210 que habı́a en la muestra de pintura.
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Falsificación de obras de arte
Imaginemos que queremos saber si un cuadro es del siglo XVIII o
una falsificación del XX. Por sencillez supongamos que r (t) ≈ r0 .
Entonces la solución de la EDO N 0 (t) = −λN(t) + r (t),
N(t0 ) = N0 es
N(t) =
r0
(1 − e −λ(t−t0 ) ) + N0 e −λ(t−t0 ) .
λ
Obviamente hoy dı́a podemos medir fácilmente los valores de r0
(que hemos supuesto no ha cambiado apenas en estos 300 años) y
N(t), no ası́ el valor N0 pues no sabemos la cantidad inicial de
Plomo 210 que habı́a en la muestra de pintura.
No obstante nuestra ecuación si nos permite distinguir entre una
obra del siglo XVIII y una falsificación reciente. Asumamos que la
diferencia de antigüedad es de unos 300 años. De la expresión
anterior tenemos
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Falsificación de obras de arte
λN0 = N(t)e λ300 − r0 (e λ300 − 1).
Existe un rango muy alto para la cantidad de Radio 226 en una
muestra de mineral de Plomo en función de las minas que va desde
0.18 desintegraciones por minuto y gramo de mineral hasta 140
desintegraciones por minuto y gramo.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Falsificación de obras de arte
λN0 = N(t)e λ300 − r0 (e λ300 − 1).
Existe un rango muy alto para la cantidad de Radio 226 en una
muestra de mineral de Plomo en función de las minas que va desde
0.18 desintegraciones por minuto y gramo de mineral hasta 140
desintegraciones por minuto y gramo.
Como el Plomo 210 esta en equilibrio con el Radio 226 ello nos
indica que en función de la procedencia del pigmento usado (la
cual ciertamente no la conocemos con exactitud) N0 puede variar
sensiblemente. ¿Cómo proceder?
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Falsificación de obras de arte
λN0 = N(t)e λ300 − r0 (e λ300 − 1).
Existe un rango muy alto para la cantidad de Radio 226 en una
muestra de mineral de Plomo en función de las minas que va desde
0.18 desintegraciones por minuto y gramo de mineral hasta 140
desintegraciones por minuto y gramo.
Como el Plomo 210 esta en equilibrio con el Radio 226 ello nos
indica que en función de la procedencia del pigmento usado (la
cual ciertamente no la conocemos con exactitud) N0 puede variar
sensiblemente. ¿Cómo proceder?
Es fácil entender que si la pintura es realmente antigua, entonces
la cantidad de radioactividad procedente del Plomo 210 y del
Radio 226 será prácticamente la misma, mientras que si es una
falsificación moderna, entonces la aportación del Plomo 210 será
mucho mayor.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Falsificación de obras de arte
Como no podemos deducir el valor inicial N0 intentemos dar una
cota del mismo lo suficientemente alta para estar seguros que
tenemos una falsificación.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Falsificación de obras de arte
Como no podemos deducir el valor inicial N0 intentemos dar una
cota del mismo lo suficientemente alta para estar seguros que
tenemos una falsificación.
Por ejemplo, si se supone que el Plomo 210 tenı́a un ritmo de
decaimiento de 100 desintegraciones por minuto y gramo en la
muestra original entonces en la muestra habı́a una concentración
del 0.014 % de Uranio 238 (de la cual se sigue la del Radio 226) la
cual es extremadamente alta pues la normal es de unos
2,7 × 10−4 %.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
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Falsificación de obras de arte
Como no podemos deducir el valor inicial N0 intentemos dar una
cota del mismo lo suficientemente alta para estar seguros que
tenemos una falsificación.
Por ejemplo, si se supone que el Plomo 210 tenı́a un ritmo de
decaimiento de 100 desintegraciones por minuto y gramo en la
muestra original entonces en la muestra habı́a una concentración
del 0.014 % de Uranio 238 (de la cual se sigue la del Radio 226) la
cual es extremadamente alta pues la normal es de unos
2,7 × 10−4 %.
Ahora bien, como existen algunas minas con una concentración de
un 2 %-3 %, ası́ que para mayor seguridad en vez de 100 pongamos
30000 desintegraciones por minuto y gramo. Esa cota para λN0
será demasiado alta y podremos asegurar la falsedad de la obra.
R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla
Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Falsificación de obras de arte
Unas mediciones cuidadosas de la cantidad de desintegraciones por
minuto y gramo del Radio 226 y del Plomo 210 en una muestra de
“Los discı́pulos” dió que r0 = 0,8 y N(t) = 8,5, luego usando la
fórmula
λN0 = N(t)e λ300 − r0 (e λ300 − 1),
λ=
log 2
,
22
tenemos
λN0 = 8,5e 300/22 log 2 −0,8(e 300/22 log 2 − 1) = 98050,
que superaba con creces la cota (30000) impuesta. O sea, era
realmente ¡FALSA!
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Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Falsificación de obras de arte
λN0 = N(t)e λ300 − r0 (e λ300 − 1),
λ=
log 2
.
22
Como ejercicio decide si las obras
1 “Mujer leyendo música” (r = 0,3, N = 10,3) y
0
2 “Mujer tocando la mandolina” (r = 0,17, N = 8,17)
0
de Van Vermeer son falsificaciones modernas o no.
Mujer leyendo música
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Mujer tocando la mandolina
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