TEMA III: PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA

TEMA III: PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA
1.
Problemas de Sturm - Liouville
Consideremos un problema de contorno, que consiste en:
i) Una ecuaci¶
on diferencial homog¶enea de segundo orden del tipo
d
dy
[p(x) ] + [q(x) + ¸r(x)]y = 0
dx
dx
donde p, q y r son funciones reales tales que p tiene derivada continua, q y r son continuas y p(x) > 0,
r(x) > 0 para todo x del intervalo real a · x · b; ¸ es un par¶
ametro independiente de x e y.
ii) Dos condiciones suplementarias
(
A1 y(a) + A2 y0 (a) = 0
B1 y(b) + B2 y 0 (b) = 0
donde A1 ; A2 ; B1 ; B2 2 R tales que A1 y A2 no son ambos nulos ni B1 y B2 son ambos nulos.
Este tipo de problema de contorno se llama problema de Sturm-Liouville. Dos casos especiales
son aquellos en que las condiciones suplementarias son de la forma
y(a) = 0 ; y(b) = 0
o bien de la forma
y 0 (a) = 0 ; y 0 (b) = 0
Ejemplos:
a)
8
>
>
<
>
>
:
d2 y
dx2
+ ¸y = 0
b)
y(0) = 0; y(¼) = 0
8
d dy
>
>
[x ] + [2x2 + ¸x3 ]y = 0
>
>
< dx dx
>
>
>
>
:
3y(1) + 4y 0 (1) = 0
5y(2) ¡ 3y 0 (2) = 0
Veamos ahora que implica la resoluci¶
on de un problema de Sturm-Liouville. Es evidente que
la soluci¶
on trivial Á(x) = 0 veri¯ca cualquier problema de este tipo, lo cual no nos es u
¶til, por tanto
tratemos de encontrar soluciones no triviales.
1
Tomemos el primero de los ejemplos anteriores
8
>
>
<
>
>
:
d2 y
+ ¸y = 0
dx2
y(0) = 0; y(¼) = 0
y consideremos por separado los casos ¸ = 0, ¸ < 0 y ¸ > 0.
1. ¸ = 0.
d2 y
= 0 ) y = c1 + c2 x
dx2
y(0) = 0 ) c1 = 0
y(¼) = 0 ) c2 ¼ = 0 ) c2 = 0
la u
¶nica soluci¶
on es la trivial.
2. ¸ < 0. y 00 + ¸y = 0
p
p
m2 + ¸ = 0 ) m2 = ¡¸ ) m = § ¡¸. Llamemos ® = ¡¸. La soluci¶
on general de la
ecuaci¶on diferencial viene dada por
y(x) = c1 e®x + c2 e¡®x
y(0) = 0 ) c1 + c2 = 0
y(¼) = 0 ) c1 e®¼ + c2 e¡®¼ = 0
para obtener soluciones distintas de la trivial es necesario que el determinante de la matriz del
sistema sea cero, es decir
e¡®¼ = e®¼ ) ® = 0
pero como ® 6
= 0, no existen soluciones distintas de la trivial.
3. ¸ > 0. y 00 + ¸y = 0
p
p
on general de la ecuaci¶
on
m2 + ¸ = 0 ) m2 = ¡¸ ) m = § ¡¸ = § ¸i. La soluci¶
diferencial viene dada por
p
p
y(x) = c1 sen( ¸x) + c2 cos( ¸x)
y(0) = 0 ) c2 = 0
p
y(¼) = 0 ) c1 sen( ¸¼) = 0
para que exista soluci¶
on distinta de la trivial debemos imponer que c1 6
= 0, por lo que debe
p
ocurrir que ¸¼ = n¼, o lo que es lo mismo, ¸ = n2 (n 2 N).
2
En resumen si ¸ · 0 no existe soluci¶
on distinta de la trivial, y si ¸ > 0 existen soluciones no
triviales para los valores de ¸
1; 4; 9; 16; 25; ::::::::
y las soluciones ser¶
an
(n = 1; 2; 3; ::::)
y(x) = cn sen(nx)
siendo las cn constantes arbitrarias.
Valores caracter¶³sticos y funciones caracter¶³sticas
De¯nici¶
on: Los valores del par¶
ametro ¸ para los que existen soluciones no triviales del problema de
Sturm-Liouville se denominan valores caracter¶³sticos o autovalores. Las correspondientes soluciones
no triviales se llaman funciones caracter¶³sticas o autofunciones.
En el primero de nuestros ejemplos los autovalores son ¸ = n2 (n = 1; 2; 3; ::::) y las autofunciones y(x) = cn sen(nx) (n = 1; 2; 3; ::::).
Ejemplo: para (¸ ¸ 0)
8
>
>
<
>
>
:
d dy
¸
[x ] + y = 0
dx dx
x
y0 (1) = 0; y0 (e2¼ ) = 0
Teorema: Consideremos el problema de Sturm-Liouville que consiste en:
1. La ecuaci¶
on diferencial
d
dy
[p(x) ] + [q(x) + ¸r(x)]y = 0
dx
dx
p, q y r funciones reales tales que p0 (x); q(x); r(x) 2 C([a; b]), p(x) > 0 y r(x) > 0 para todo
x 2 [a; b] y ¸ un par¶
ametro independiente de x e y.
2. Las condiciones
A1 y(a) + A2 y 0 (a) = 0
B1 y(b) + B2 y0 (b) = 0
A1 ; A2 ; B1 ; B2 constantes reales tales que ni A1 y A2 ni B1 y B2 se anulan simult¶
aneamente.
Entonces:
(a) Hay un n¶
umero in¯nito de autovalores ¸n que se pueden ordenar de forma creciente
¸1 < ¸2 < ¸3 < ::::: y tales que lim ¸n = +1
n!+1
3
(b) A cada autovalor le corresponde una familia uniparam¶etrica de autofunciones Án de¯nidas
para a · x · b, siendo las autofunciones, asociadas a un mismo autovalor, m¶
ultiplos
escalares entre si.
(c) Cada funci¶
on caracter¶³stica Án correspondiente al autovalor ¸n
(n = 1; 2; 3; :::::) tiene
exactamente n ¡ 1 ceros en el intervalo abierto (a; b).
Ejemplos:
a)
8
>
>
<
>
>
:
c)
d2 y
+ ¸y = 0
dx2
y(0) = 0;
8
>
>
>
>
<
y 0 (¼)
b)
=0
d2 y
+ ¸y = 0
dx2
d)
>
>
y(0) ¡ y0 (0) = 0
>
>
:
0
y(¼) ¡ y (¼) = 0
2.
8
d
>
>
[
<
dx
8
>
>
<
>
>
:
d2 y
+ ¸y = 0
dx2
y0 (0) = 0; y 0 (L) = 0
1
dy
] + ¸(3x2 + 1)y = 0
+ 1 dx
3x2
>
>
:
y(0) = 0; y(¼) = 0
Ortogonalidad de funciones caracter¶³sticas
De¯nici¶
on: Dos funciones f y g se dicen ortogonales con respecto a la funci¶
on peso r en el intervalo
a · x · b si, y s¶
olo si,
Z
b
f (x):g(x):r(x)dx = 0
a
Ejemplo: f (x) = sen x, g(x) = sen(2x), r(x) ´ 1, [a; b] = [0; ¼]
on in¯nita de funciones de¯nidas en el intervalo a · x · b. La
De¯nici¶
on: Sea fÁn gn2N una colecci¶
colecci¶
on fÁgn2N es ortogonal respecto de la funci¶
on peso r en a · x · b, si
Z
b
a
Án (x)Ám (x)r(x)dx = 0
(m 6
= n)
Ejemplo:fsen(nx)gn=1;2;3;::: , 0 · x · ¼, r(x) ´ 1.
Teorema: Dado el problema de Sturm-Liouville
8
dy
d
>
>
[p(x) ] + [q(x) + ¸r(x)]y = 0
>
>
dx
< dx
>
>
>
>
:
A1 y(a) + A2 y0 (a) = 0
B1 y(b) + B2 y 0 (b) = 0
donde p0 (x); q(x) r(x) 2 C([a; b]) y p(x); r(x) positivas en [a; b].
Las autofunciones asociadas a autovalores diferentes son ortogonales respecto de la funci¶
on peso r(x)
en el intervalo [a; b].
4
Por tanto si f¸n g representa la colecci¶
on in¯nita de autovalores de un problema de
Sturm-Liouville, ordenados formando una sucesi¶
on mon¶otona creciente ¸1 < ¸2 < ¸3 < ::::::. Para
cada n = 1; 2; 3; ::::: sea Án (x) una de las autofunciones correspondientes al autovalor ¸n . Entonces
Á1 ; Á2 ; Á3 ; ::::: constituyen un sistema ortogonal respecto de la funci¶
on peso r(x) en a · x · b.
Ejemplos:
8
>
>
<
a)
3.
>
>
:
d2 y
+ ¸y = 0
dx2
8
>
>
<
b)
>
>
:
y(0) = 0; y(¼) = 0
¸
d dy
[x ] + y = 0
dx dx
x
y0 (1) = 0; y0 (e2¼ ) = 0
El desarrollo de una funci¶
on en serie de funciones ortonormales
De¯nici¶
on: Una funci¶
on f se dice normalizada respecto de la funci¶
on peso r(x) en el intervalo
a · x · b si, y s¶
olo si
Z
b
[f (x)]2 r(x)dx = 1
a
r
2
sen x, r(x) ´ 1, 0 · x · ¼.
¼
De¯nici¶
on: Sea fÁn gn2N un conjunto in¯nito de funciones de¯nidas en el intervalo a · x · b. El
Ejemplo: f (x) =
conjunto fÁn g se llama sistema ortonormal respecto de la funci¶
on peso r(x) en a · x · b, si es un
sistema ortogonal y cada funci¶
on est¶
a normalizada respecto de r(x) en a · x · b, es decir,
Z
b
a
Ám (x)Án (x)r(x)dx =
(
0
1
m6
=n
m=n
r
2
sen(nx)g, (n = 1; 2; 3; ::::), 0 · x · ¼, r(x) ´ 1.
¼
Dado que la colecci¶
on in¯nita fÁn g constituida por las autofunciones, de un problema de
Ejemplo: fÁn (x)g = f
sturm -Liouville, asociadas a los autovalores ¸1 ; :::; ¸n ; ::: respectivamente, forman un sistema ortogonal; y como cn Án es autofunci¶
on del problema siempre que Án lo sea. Nos planteamos la busqueda de
un sistema ortonormal de autofunciones.
Recordemos que la funci¶
on r(x) del problema de Sturm-Liouville es siempre positiva, por lo que
Z
b
Z
b
a
con lo que
a
[Án (x)]2 r(x)dx = kn > 0
(n = 1; 2; 3; :::)
1
[ p Án (x)]2 r(x)dx = 1
kn
(n = 1; 2; 3; ::::)
por lo tanto, el conjunto
1
1
1
p Á1 ; p Á2 ; p Á3 ; ::::::
k1
k2
k3
5
es un sistema ortonormal respecto de r(x) en a · x · b.
1
1
p = qR
b
kn
2
a [Án (x)] r(x)dx
Ejemplo:
8
>
<
>
:
d2 y
dx2
(n = 1; 2; 3; :::::)
+ ¸y = 0
y(0) = 0; y(¼) = 0
El problema del desarrollo
Sea fÁn g un sistema ortonormal respecto a una funci¶
on peso r(x) en un intervalo a · x · b y
sea f (x) una funci¶
on arbitraria. Consideremos el problem de desarrollar f (x) en serie in¯nita de las
funciones ortonormales Á1 ; Á2 ; Á3 ; :::. Supongamos que tal desarrollo existe,
f (x) =
1
X
cn Án (x) (i)
n=1
para cada x del intervalo a · x · b. La cuesti¶
on es c¶
omo determinar los coe¯cientes cn
(n =
1; 2; 3; :::). Procedamos a nivel formal dejando de lado, por el momento, la custi¶
on de la convergencia.
Multipliquemos la igualdad (i) por Ák (x)r(x)
f (x)Ák (x)r(x) =
1
X
cn Án (x)Ák (x)r(x)
n=1
integremos entre a y b
Z
b
a
f (x)Ák (x)r(x)dx =
Z
b
[
a
1
X
cn Án (x)Ák (x)r(x)]dx =
n=1
f (x)Ák (x)r(x)dx =
Án (x)Ák (x)r(x)dx =
se obtiene que
Z
n=1
b
[
a
cn Án (x)Ák (x)r(x)dx]
b
Án (x)Ák (x)r(x)dx
a
(
0
1
n6
=k
n=k
b
a
Luego si
cn
Z
b
a
1
X
1
X
n=1
Z
1 Z
X
n=1
b
a
y como
Z
f (x)Ák (x)r(x)dx = ck
cn Án (x) converge uniformemente a f (x) en a · x · b, podemos garantizar que los
coe¯cientes del desarrollo vienen dados por
cn =
Z
b
a
f (x)Án (x)r(x)dx
6
(n = 1; 2; 3; :::)
En general para que
1
X
cn Án (x) converja uniformemente a f (x) hay que imponer condiciones
n=1
restrictivas sobre f (x) y la familia de funciones fÁn (x)g. Nosotros s¶
olo nos platearemos el enunciar
el siguiente teorema acerca de la convergencia en el caso de que fÁn (x)g sea el sistema ortonormal de
funciones caracter¶³sticas de un problema de Sturm-Liouville.
Teorema: Consideremos el problema de Sturm-Liouville
8
d
dy
>
>
[p(x) ] + [q(x) + ¸r(x)]y = 0
>
>
dx
< dx
>
>
>
>
:
A1 y(a) + A2 y0 (a) = 0
B1 y(b) + B2 y 0 (b) = 0
Sean f¸n gn2N los in¯nitos autovalores del problema ordenados en forma creciente. Sea fÁn (x)gn2N el
correspondiente conjunto de autofunciones ortonormales del problema dado. Sea, adem¶
as, f (x) una
funci¶
on continua en el intervalo a · x · b, que tenga una derivada f 0 (x) continua a trozos en dicho
intervalo y que adem¶
as f (a) = 0 si Á1 (a) = 0 y f (b) = 0 si Á1 (b) = 0. Entonces, la serie
1
X
cn Án (x);
cn =
n=1
Z
b
a
f (x)Án (x)r(x)dx
(n = 1; 2; 3; :::)
converge uniformemente y absolutamente a f (x) en el intervalo a · x · b.
Ejemplo: f (x) = ¼x ¡ x2 , 0 · x · ¼
8
>
>
<
>
>
:
4.
d2 y
+ ¸y = 0
dx2
y(0) = 0; y(¼) = 0
Series trigonom¶
etricas de Fourier
De¯nici¶
on: Sea fÁn (x)gn2N un sistema ortonormal respecto de una funci¶
on peso r(x) en a · x · b.
Sea f (x) una funci¶
on tal que para cada n = 1; 2; 3; ::: el producto f (x)Án (x)r(x) sea integrable en
a · x · b. En estas condiciones la serie
1
X
cn Án (x)
n=1
donde
cn =
Z
b
a
f (x)Án (x)r(x)dx
(n = 1; 2; 3; :::)
se llama serie de Fourier de f (x) respecto del sistema fÁn g; los coe¯cientes cn se denominan coe¯cientes
de Fourier de f (x) respecto de fÁn g. Escribiremos, entonces
f (x) »
1
X
cn Án (x);
n=1
7
a·x·b
Si consideramos el sistema de funciones fÃn g de¯nido por
Ã1 (x) = 1; Ã2n (x) = cos(
n¼x
n¼x
); Ã2n+1 (x) = sen(
) (n = 1; 2; 3; :::)
L
L
para todo x del intervalo ¡L · x · L, (L > 0)
Z
L
cos(
¡L
Z
Z
n¼x
m¼x
)cos(
)dx = 0
L
L
L
sen(
¡L
L
cos(
¡L
(m; n = 0; 1; 2; ::::; m 6
= n)
n¼x
m¼x
)sen(
)dx = 0
L
L
n¼x
m¼x
)sen(
)dx = 0
L
L
(m; n = 1; 2; ::::; m 6
= n)
(m = 0; 1; 2; ::::; n = 1; 2; 3::::)
on peso r(x) = 1 en ¡L · x · L. Adem¶
as
luego, fÃn (x)g es un sistema ortogonal respecto de la funci¶
Z
L
(1)2 dx = 2L
¡L
Z
L
Z
L
cos2 (
n¼x
)dx = L
L
(n = 1; 2; 3; ::::)
sen2 (
n¼x
)dx = L
L
(n = 1; 2; 3; ::::)
¡L
¡L
por lo que podemos construir el sistema ortonormal fÁn (x)g en el intervalo ¡L · x · L, dado por
1
1
1
n¼x
n¼x
Á1 (x) = p ; Á2n (x) = p cos(
); Á2n+1 (x) = p sen(
) (n = 1; 2; 3; :::)
L
L
2L
L
L
Si f (x) es una funci¶
on tal que el producto f (x)Án (x) es integrable, para cada Án (x), en el
intervalo ¡L · x · L podemos escribir la serie de Fourier
c1 =
c2n
Z
Z
L
¡L
Z
1
1
p f (x)dx = p
2L
2L
1
1
n¼x
)dx = p
=
f (x) p cos(
L
L
L
¡L
c2n+1 =
cn Án (x), siendo
n=1
L
Z
1
X
L
L
f (x)dx
¡L
Z
L
f (x)cos(
¡L
1
1
n¼x
)dx = p
f (x) p sen(
L
L
L
¡L
Z
n¼x
)dx
L
L
f (x)sen(
¡L
n¼x
)dx
L
con lo que la serie quedar¶³a
1
X
cn Án (x) = c1 Á1 (x) +
n=1
+
1
X
1
f[ p
L
n=1
Z
L
¡L
f (x)cos(
1
X
1
[c2n Á2n (x) + c2n+1 Á2n+1 (x)] = [ p
2L
n=1
1
1
n¼x
n¼x
)dx][ p cos(
)] + [ p
L
L
L
L
8
Z
L
¡L
f (x)sen(
Z
L
1
f (x)dx][ p ]+
2L
¡L
1
n¼x
n¼x
)dx][ p sen(
)]g
L
L
L
y agrupando convenientemente podemos enunciar
De¯nici¶
on: Sea f (x) una funci¶
on de¯nida en el intervalo ¡L · x · L y tal que las integrales
Z
L
f (x)cos(
¡L
n¼x
)dx
L
y
Z
L
f (x)sen(
¡L
n¼x
)dx
L
existen para cada n = 0; 1; 2; 3; :::. Entonces la serie
1
X
1
n¼x
n¼x
a0 +
) + bn sen(
)]
[an cos(
2
L
L
n=1
siendo
1
an =
L
1
bn =
L
Z
L
Z
L
f (x)cos(
¡L
n¼x
)dx
L
f (x)sen(
¡L
n¼x
)dx
L
(n = 0; 1; 2; 3; :::)
(n = 1; 2; 3; ::::)
se denomina serie trigonom¶etrica de Fourier de f (x) en el intervalo ¡L · x · L, escribi¶endose
f (x) »
1
X
n¼x
n¼x
1
a0 +
) + bn sen(
)];
[an cos(
2
L
L
n=1
¡L · x · L
Los n¶
umeros an (n = 0; 1; 2; :::) y bn (n = 1; 2; 3; :::) se llaman coe¯cientes de Fourier de f (x) en
el intervalo dado.
En el caso particular de que f (x) sea una funci¶
on par o impar, el c¶alculo de los coe¯cientes de
Fourier se simpli¯ca.
Si f (x) es par en ¡L · x · L, entonces:
an =
2
L
Z
L
f (x)cos(
0
n¼x
)dx
L
con lo que
f (x) »
(n = 0; 1; 2; 3; :::) y bn = 0
1
X
n¼x
1
a0 +
);
an cos(
2
L
n=1
(n = 1; 2; 3; :::)
¡L · x · L
En caso de ser f (x) impar, entonces:
bn =
2
L
Z
L
f (x)sen(
0
n¼x
)dx
L
escribi¶endose
f (x) »
1
X
n=1
(n = 1; 2; 3; ::::) y an = 0
bn sen(
n¼x
);
L
(n = 0; 1; 2; 3; :::)
¡L · x · L
Ejemplos:
a) f (x) = jxj; ¡¼ · x · ¼
b) f (x) = x; ¡4 · x · 4
9
c) f (x) =
(
¼; ¡¼ · x < 0
x; 0 · x · ¼
Nota: Si f (x) y g(x) son funciones de¯nidas e integrables en a · x · b y tales que f (x) = g(x) salvo
en un n¶
umero ¯nito de puntos del intervalo a · x · b, entonces
Z
b
f (x)dx =
a
Z
b
g(x)dx
a
esta situaci¶
on es trasladable a los desarrollos de Fourier, por lo que si f (x) = g(x) salvo en un n¶
umero
¯nito de puntos de ¡L · x · L, entonces f (x) y g(x) tendr¶
an el mismo desarrollo en serie de Fourier.
Ejemplo:
f (x) =
(
8
>
< ¼;
¡¼ · x < 0
¼=2 x = 0
g(x) =
>
: x; 0 < x · ¼
¼; ¡¼ · x < 0
x; 0 · x · ¼
Series de Fourier de senos y series de Fourier de cosenos
Recordemos que el problema de Sturm-Liouville
8
>
>
<
d2 y
+ ¸y = 0
dx
>
>
:
y(0) = 0; y(¼) = 0
tiene el conjunto ortonormal de autofunciones fÃn (x)g de¯nidas por
Ãn (x) =
r
2
sen(nx); 0 · x · ¼
¼
(n = 1; 2; 3; :::)
si sustituimos la condici¶
on y(¼) = 0, por la condici¶
on m¶
as general y(L) = 0 (L > 0), obtenemos el
problema
8
>
>
<
>
>
:
d2 y
+ ¸y = 0
dx
y(0) = 0; y(L) = 0
el cual tiene el conjunto ortonormal de autofunciones fÁn (x)g de¯nidas por
Án (x) =
r
n¼x
2
sen(
); 0 · x · L
L
L
(n = 1; 2; 3; :::)
Consideremos el problema de desarrollar una funci¶
on arbitraria f (x), de¯nida en 0 · x · L, en
serie respecto de este sistema ortonormal de funciones
f (x) »
cn =
Z
L
r
f (x)
0
1
X
cn Án (x)
n=1
n¼x
2
sen(
)
L
L
10
(n = 1; 2; 3; :::)
y operando adecuadamente obtenemos
f (x) »
donde
2
bn =
L
Z
1
X
bn sen(
n=1
L
f (x)sen(
0
n¼x
)
L
n¼x
)dx
L
recibiendo esta u
¶ltima serie, cuando exista, el nombre de serie de Fourier de senos de f (x) en el
intervalo 0 · x · L.
Nota: Si f (x) es impar, la serie trigonom¶etrica de Fourier de f (x) en ¡L · x · L coincide con la
serie de Fourier de senos de f (x) en 0 · x · L.
An¶
alogamente, si planteamos el problema
8
>
>
<
>
>
:
d2 y
+ ¸y = 0
dx
y 0 (0) = 0; y0 (L) = 0 (L > 0)
obtenemos el conjunto ortonormal de autofunciones fÁn g de¯nido por
1
Á1 (x) = p ; Án (x) =
L
r
n¼x
2
cos(
); 0 · x · L
L
L
(n = 1; 2; 3; :::)
y dada f (x) de¯nida en 0 · x · L podemos desarrollarla respecto a este sistema de funciones,
obteni¶endose
1
X
1
n¼x
f (x) » a0 +
)
an cos(
2
L
n=1
donde
an =
2
L
Z
L
f (x)cos(
0
n¼x
)dx
L
(n = 0; 1; 2; :::)
serie que se denomina serie de Fourier de cosenos de f (x) en el intervalo 0 · x · L.
Nota: Si f (x) es par, la serie trigonom¶etrica de Fourier de f (x) en ¡L · x · L coincide con la serie
de Fourier de cosenos de f (x) en 0 · x · L.
Ejemplos:
a) f (x) = 1; 0 · x · ¼
b) f (x) = x; 0 · x · ¼
Convergencia de las series de Fourier
Hemos expresado el desarrollo de una funci¶
on f (x) en serie trigonom¶etrica de Fourier en un
intervalo ¡L · x · L como
1
X
1
n¼x
n¼x
a0 +
) + bn sen(
)]
[an cos(
2
L
L
n=1
11
donde los coe¯cientes de Fourier de f (x) vienen dados por
an =
1
L
1
bn =
L
Z
L
Z
L
f (x)cos(
¡L
n¼x
)dx
L
f (x)sen(
¡L
(n = 0; 1; 2; 3; :::)
n¼x
)dx
L
(n = 1; 2; 3; ::::)
Este desarrollo es meramente formal y nos planteamos ahora cu¶
ales deben ser las condiciones
n¼x
n¼x
2L
para la convergencia de la serie. Las funciones sen(
) y cos(
) son peri¶
odicas de periodo
,
L
L
n
lo que nos lleva a que tambi¶en son peri¶
odicas de periodo 2L, por tanto si la serie trigonom¶etrica de
Fourier converge a una funci¶
on f (x), ¶esta debe ser tambi¶en peri¶odica de periodo 2L. Luego, si la serie
converge para todo x del intervalo ¡L · x · L lo har¶
a para todo x en ¡1 < x < 1 y la funci¶
on
suma ser¶
a peri¶
odica de periodo 2L.
Teorema: Sea f (x) una funci¶
on tal que
1. f (x) es peri¶
odica de periodo 2L.
2. f (x) es regular a trozos en el intervalo ¡L · x · L.
Entonces, la serie trigonom¶etrica
1
X
1
n¼x
n¼x
a0 +
) + bn sen(
)]
[an cos(
2
L
L
n=1
donde
an =
1
L
1
bn =
L
Z
L
Z
L
f (x)cos(
¡L
n¼x
)dx
L
f (x)sen(
¡L
(n = 0; 1; 2; 3; :::)
n¼x
)dx
L
(n = 1; 2; 3; ::::)
converge en cada punto x al valor
f (x+ ) + f (x¡ )
2
siendo f (x+ ) =
lim
h!0; h>0
f (x + h) y f (x¡ ) =
lim
h!0; h>0
f (x ¡ h). En particular si f es continua en x, la
convergencia ser¶
a a f (x).
Ejemplo:
f (x) =
(
¼; ¡¼ · x · 0
x; 0 · x · ¼
Teorema: Sea f (x) una funci¶
on regular a trozos en el intervalo 0 · x · L. Entonces:
12
f (x+ ) + f (x¡ )
para cada x tal que
2
0 < x < L. En particular si f es continua en 0 < x < L, converge a f (x). Adem¶
as converge a
1. La serie de Fourier de senos de f (x) converge al valor
cero en x = 0 y x = L.
g(x+ ) + g(x¡ )
, siendo g la funci¶
on impar
2
peri¶
odica de periodo 2L que coincide con f en 0 < x < L y tal que g(0) = g(L) = 0.
La serie converge en cada punto x 2 (¡1; 1) a
f (x+ ) + f (x¡ )
para cada x tal que
2
0 < x < L. En particular si f es continua en 0 < x < L, converge a f (x). Adem¶
as converge a
2. La serie de Fourier de cosenos de f (x) converge al valor
f (0+ ) en x = 0 y a f (L¡ ) en x = L.
h(x+ ) + h(x¡ )
, siendo g la funci¶
on par peri¶
odica
2
de periodo 2L que coincide con f en 0 · x · L.
La serie converge en cada punto x 2 (¡1; 1) a
Ejemplo: f (x) = x;
0·x·¼
13