Apunte de Polinomios - Nelson Cifuentes F.

Polinomios
Definición 1.1. Un conjunto K junto con dos operaciones definidas en él que denotaremos por + : K × K → K y
· : K × K → K para las cuales se cumplen las siguientes propiedades:
Asociatividad
Conmutatividad
distributividad
Elementos neutros (los denotaremos por 0 y 1 y pediremos 1 6= 0)
Inverso aditivo
Es válida la ley de simplificación para el producto, es decir, si c 6= 0 y ac = bc entonces b = c.
es llamado un dominio de integridad (note que no pedimos inverso multiplicativo).
Observación 1.1. Todo cuerpo es un dominio de integridad, luego C, R y Q son dominios de integridad. Z es un
dominio de integridad pero N no lo es.
Definición 1.2. Sea (K, +, ·) un dominio de integridad. Un polinomio de grado n sobre K es una expresión de la
forma
n
X
n
p (x) = a0 + a1 x + · · · + an x =
ak xk
k=0
donde an 6= 0, n ≥ 0 y ak ∈ K para k = 0, . . . , n. Los números ak para k = 0, . . . , n son llamados coeficientes del
polinomio, an es llamado coeficiente principal y a0 es llamado coeficiente libre.
Definición 1.3. El grado de un polinomio es el mayor exponente de x que aparece en la expresión, es decir, si
p (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
con an =
6 0 entonces gr (p (x)) = gr (p) = n. Como primera propiedad podemos decir que gr (p) ≥ 0. Denotaremos
por K [x] el conjunto de los polinomios en x con coeficientes en K.
Ejemplo 1.1. p (x) = −1 + 32 x + x2 6∈ Z [x] en efecto, el coeficiente 32 6∈ Z. p (x) = −1 + 32 x + x2 ∈ Q [x] porque todos
√
√
√
los coeficientes del polinomio son números racionales. 2 + 32 x + x2 6∈ Z [x] porque 2, 23 6∈ Z [x], 2 + 32 x + x2 6∈ Q [x]
√
√
porque 2 6∈ Q, sin embargo 2 + 32 x + x2 ∈ R [x] porque todos los coeficientes son números reales. El polinomio
ix2 + x + 1 esta en C [x] pero no en R [x] , Q [x] , Z [x].
√
Ejemplo 1.2. Si p (x) = −1 + 32 x + x2 entonces gr (p (x)) = gr (p) = 2. Si q (x) = 1 + πx + 2x2 − (2 + i) x4
entonces q ∈ C [x] y gr (q) = 4.
Definición 1.4. Sean p y q en K [x] polinomios
p (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
y
q (x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm
entonces p = q si
1
1. gr (p) = gr (q)
2. Para i = 0, 1, . . . , n se cumple ai = bi .
Vamos a introducir dos operaciones en K [x] la adición y multiplicación de polinomios. Sean p y q elementos de
K [x] con gr (p) = n ≤ gr (q) = m, entonces existen constantes ai ∈ K, i = 0, . . . , n y bi ∈ K, i = 0, . . . , m tales que
p (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
y
q (x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm
se define, la suma y el producto de polinomios de la siguiente forma
(p + q) (x)
= p (x) + q (x)
(a0 + a1 x + · · · + an xn ) + (b0 + b1 x + · · · + bm xm )
=
(a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + · · · + (an + bn ) xn + bn+1 xn+1 + · · · + bm xm
n
m
X
X
=
(ai + bi ) xi +
bi x i
=
i=0
i=n+1
y
(pq) (x)
= p (x) q (x)
(a0 + a1 x + · · · + an xn ) (b0 + b1 x + · · · + bm xm )
=
= a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) x + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ) x2 + · · · + an bm xn+m


n+m
X
X

=
ai bj  xk
k=0
Obs:
P
i+j=k
i+j=k
ai bj denota la suma sobre los subindices que suman k por ejemplo, si k = 3 entonces
X
ai bj = a0 b3 + a1 b2 + a2 b1 + a3 b0
i+j=3
de estas definiciones obtenemos las siguientes propiedades para los grados.
Proposición 1.1. Sean p y q elementos de K [x] entonces:
1. gr (p + q) ≤ máx {gr (p) , gr (q)}
2. gr (pq) = gr (p) + gr (q)
3. gr (pn ) = n gr (p)
Ejemplo 1.3. Si p (x) = 1 + 2x + 3x2 y q (x) = −2 + 4x − 3x3 entonces
p (x) + q (x) = 1 + 2x + 3x2 + −2 + 4x − 3x3
=
−1 + 6x + 3x2 − 3x3
y
p (x) · q (x)
=
=
=
1 + 2x + 3x2 · −2 + 4x − 3x3
−2 + 4x − 3x3 + 2x −2 + 4x − 3x3
+3x2 −2 + 4x − 3x3
−2 + 4x − 3x3 + −4x + 8x2 − 6x4
+ −6x2 + 12x3 − 9x5
= −9x5 − 6x4 + 9x3 + 2x2 − 2
2
Ejemplo 1.4. Si p (x) = 1 − x + x2 y q (x) = 2 − 2x − x2 entonces (p + q) (x) = 3 − 3x luego gr (p + q) = 1 y
máx {gr (p) , gr (q)} = máx {2, 2} = 2 luego 1 ≤ 2.
1.1.
Álgebra de polinomios
(K [x] , +, ·) cumple las siguientes propiedades:
Para la adición:
1. Si p y q pertenecen K [x] entonces p + q ∈ K [x]
2. ∀p, q, r ∈ K [x] se cumple p + (q + r) = (p + q) + r
3. ∀p, q ∈ K [x] se cumple p + q = q + p
4. ∃e ∈ K [x] tal que para cada p ∈ K [x] se cumple p + e = p (e (x) = 0 es el neutro aditivo)
5. ∀p ∈ K [x] , ∃q ∈ K [x] tal que p + q = e (el inverso aditivo esta dado por −p, es decir, si
p (x) =
n
X
ak xk
k=0
entonces
−p (x) =
n
X
(−ak ) xk
k=0
es su inverso aditivo)
Para la multiplicación:
1. Si p y q pertenecen K [x] entonces p · q ∈ K [x]
2. ∀p, q, r ∈ K [x] se cumple p · (q · r) = (p · q) · r
3. ∀p, q ∈ K [x] se cumple p · q = q · p
4. ∃1 ∈ K [x] tal que para cada p ∈ K [x] se cumple p · 1 = p (1 (x) = 1 es el neutro multiplicativo)
Además se cumple distributividad, es decir, ∀p, q, r ∈ K [x] se cumple
p · (q + r) = (p · q) + (p · r)
Observación 1.2. Note que no se enunció el inverso multiplicativo, al respecto note lo siguiente: Si p ∈ K [x] tiene
un inverso multiplicativo entonces existe q ∈ K [x] tal que
pq = 1
de donde obtenemos
gr (pq) = gr (1) = 0
pero
gr (pq) = gr (p) + gr (q)
luego
gr (p) + gr (q) = 0
como gr (p) ≥ 0 y gr (q) ≥ 0 se sigue que
gr (p) = gr (q) = 0
es decir p y q son polinomios constantes, en conclusión, los únicos polinomios que pueden tener inverso multiplicativo
(polinomio) son los polinomios constantes.
3
1.2.
Raı́ces de polinomios
Sea p ∈ K [x] y x0 ∈ K. Si
p (x) =
n
X
ak xk = a0 + a1 x + · · · + an xn
k=0
entonces
p (x0 ) =
n
X
ak xk0 = a0 + a1 x0 + · · · + an xn0
k=0
luego
p (x) − p (x0 )
=
=
n
X
k=0
n
X
a k xk −
n
X
ak xk0
k=0
ak xk − xk0
k=1
= a1 (x − x0 ) + a2 x2 − x20 + · · · + an (xn − xn0 )
y factorizando obtenemos
p (x) − p (x0 ) = (x − x0 ) q (x)
donde q ∈ K [x] es un polinomio de grado igual a n − 1, en efecto
n
=
gr (p (x) − p (x0 )) = gr ((x − x0 ) q (x))
=
gr (x − x0 ) + gr (q (x))
=
1 + gr (q (x))
se sigue
n − 1 = gr (q (x))
Definición 1.5. Diremos que x0 ∈ K es una raı́z de p (x) si se cumple p (x0 ) = 0.
Observación 1.3. Note que del cálculo anterior sabemos que podemos escribir
p (x) − p (x0 ) = (x − x0 ) q (x)
y si x0 es raı́z de p (x) entonces p (x0 ) = 0 se sigue
p (x) = (x − x0 ) q (x)
luego podemos decir que x0 ∈ K es una raı́z de p (x) si y solo si podemos escribir
p (x) = (x − x0 ) q (x)
donde q es un polinomio con gr (q) = gr (p) − 1.
Observación 1.4. Con la observación anterior e inducción concluimos que un polinomio de grado n a lo más puede
tener n raı́ces (si tiene más de n raı́ces debe ser el polinomio nulo).
En efecto, si el grado de p es uno, es claro que a lo más posee una raı́z. suponga que los polinomios de grado k
tienen a lo más k raı́ces y mostremos que eso implica que los de grado k + 1 tienen a lo más k + 1 raı́ces. En efecto,
si p es un polinomio de grado k + 1 y no tiene raı́ces estamos listos (tiene menos de k + 1 raı́ces) si p tiene por lo
menos una raı́z x0 entonces podemos escribir
p (x) = (x − x0 ) q (x)
donde gr (q) = k se sigue por hipótesis que q tiene a lo más k raı́ces y ası́ p tiene a lo más k + 1 raı́ces.
4
Definición 1.6. Sea p ∈ K [x] y x0 ∈ K. Diremos que x0 es una raı́z de multiplicidad k si existe un polinomio h tal
que
k
p (x) = (x − x0 ) h (x)
con h (x0 ) 6= 0.
2
Ejemplo 1.5. Si p (x) = x3 − 3x + 2 entonces p (x) = (x − 1) (x + 2) luego x = 1 es una raı́z de multiplicidad 2 y
x = −2 es una raı́z de multiplicidad 1. Decimos que p tiene 3 raı́ces contando multiplicidades y su grado es tres.
√ 3
6
Ejemplo 1.6. Si p (x) = (x − 2) (x − 1) x − 2 entonces x = 2 es raı́z de multiplicidad 3, x = 1 es raı́z de
√
multiplicidad 6 y x = 2 es raı́z de multiplicidad 1. Podemos decir que p tiene 10 raı́ces contando multiplicidades.
Definición 1.7. Sea K un cuerpo, lo denotaremos por K. Diremos que K es algebraicamente cerrado si todo
polinomio en K [x] tiene por lo menos una raı́z en K. Esto es equivalente a pedir que todo polinomio de grado n
tiene exáctamente n raı́ces contando sus multiplicidades.
Observación 1.5. R y Q no son algebraicamente cerrados pues el polinomio x2 + 1 = p (x) no tiene ninguna raı́z
en esos cuerpos.
Teorema Fundamental del Álgebra
El cuerpo C es algebraicamente cerrado.
F
Este teorema nos dice que todo polinomio en C [x] de grado n tiene exactamente n raı́ces contando multiplicidades,
esto nos permitirá escribirlo en la forma
p (x) = an (x − z1 ) (x − z2 ) · · · (x − zn )
donde zi son las raı́ces que pueden estar repetidas (es decir, pueden ser raı́ces de multiplicidad mayor que 1).
Ejemplo 1.7. Sabemos que p (x) = xn − z0 donde z0 ∈ C tiene exactamente n raı́ces en C.
Proposición 1.2. Supongamos que p ∈ R [x] y z0 ∈ C es una raı́z de p entonces z0 también es raı́z de p.
En efecto, si
p (x) =
n
X
ak xk
k=0
con ak ∈ R y z0 ∈ C es una raı́z de p entonces
0 = p (z0 ) =
n
X
k=0
5
ak z0k
tomemos conjugados
0
=
0=
n
X
ak z0k
k=0
=
=
n
X
k=0
n
X
ak z0k =
n
X
ak z0k
k=0
k
ak (z0 ) = p (z0 )
k=0
luego z0 también es raı́z de p.
Ejemplo 1.8. Sea p (z) = 2z 4 + z 2 − z + 1, resolver la ecuación
p (z) = 0
sabiendo que una de las raı́ces cubicas de la unidad es raı́z de p.
Desarrollo: Las raı́ces cúbicas de la unidad son los z ∈ C tales que
z3 = 1
y las soluciones de esta ecuación son
√
√
−1 + 3i −1 − 3i
,
1,
2
2
una de ellas debe ser raı́z de p, notemos que p (1) = 3 6= 0 por lo que debe ser
√
√
−1 + 3i −1 − 3i
o
2
2
√
√
√
−1+ 3i
es raı́z de p por último el teorema −1−2 3i = −1+2 3i también lo
2
√
√
−1− 3i
= −1−2 3i también lo es. En cualquiera de los casos ambos números son
2
pero note que p ∈ R [z] entonces si
es. Si
es raı́z de p entonces
de p. luego podemos escribir
raı́ces
√
−1− 3i
2
4
2
2z + z − z + 1 =
note que
z−
z−
√ !!
−1 − 3i
z−
2
√ !!
−1 − 3i
z−
2
√ !!
−1 + 3i
q (z)
2
√ !!
−1 + 3i
= z2 + z + 1
2
luego
2z 4 + z 2 − z + 1 = z 2 + z + 1 q (z)
por grados q tiene grado 2
q (z) = az 2 + bz + c
ası́
2z 4 + z 2 − z + 1 = z 2 + z + 1
az 2 + bz + c
como esta igualdad debe cumplirse para todos los z reemplazamos en algunos puntos para obtener los valores de las
constantes
z=0⇒1=c
z = 1 ⇒ 3 = 3 (a + b + 1)
z = −1 ⇒ 5 = 1 (a − b + 1)
6
ası́
a+b =
0
a−b =
4
que tiene solución a = 2 y b = −2
2z 4 + z 2 − z + 1 = z 2 + z + 1
2z 2 − 2z + 1
y
2z 2 − 2z + 1 = 0
es fácil de resolver. (Nota: Si se sabe dividir polinomios no es necesario obtener los valores de las constantes de esta
forma).
Observación 1.6. Suponga que p ∈ R [x] tiene la forma p (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , podemos
mirar a p como un elemento de C [x] de esta forma por el teorema fundamental del álgebra, existen z1 , z2 , . . . , zn
n-raı́ces (posiblemente complejas) de p. Por el último teorema, sabemos que las raı́ces complejas en un polinomio
con coeficientes reales se presentan junto con su conjugado, de esta forma hagamos la siguiente selección, sean
r1 , r2 , ..., rj las raı́ces reales de p y sean a1 + ib1 , a1 − ib1 , a2 + ib2 , a2 − ib2 , ..., ak + ibk , ak − ibk las raı́ces complejas
de p, se sigue que
p = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
= an (x − r1 ) (x − r2 ) · · · (x − rj ) (x − (a1 + ib1 )) (x − (a1 − ib1 )) · · · (x − (ak + ibk )) (x − (ak − ibk ))
= an (x − r1 ) · · · (x − rj ) ((x − a1 ) − ib1 ) ((x − a1 ) + ib1 ) · · · ((x − ak ) − ibk ) ((x − ak ) + ibk )
2
2
2
2
= an (x − r1 ) · · · (x − rj ) (x − a1 ) − (ib1 ) · · · (x − ak ) − (ibk )
2
2
= an (x − r1 ) · · · (x − rj ) (x − a1 ) + b21 · · · (x − ak ) + b2k
esto nos dice que todo polinomio de grado ≥ 1 en R [x] puede ser factorizado en productos de polinomios de grado
1 con coeficientes reales y en polinomios de grado dos con coeficientes reales (estos últimos con discriminantes
negativos)
Definición 1.8. Sea p ∈ R [x] es un polinomio. Si f : A ⊆ R → R es una función definida por f (x) = p (x) entonces
decimos que f es una función polinomial. Note que en el gráfico de f los puntos donde la curva corta el eje x
corresponden a las raices reales del polinomio. Una función racional es una función de la forma
R (x) =
p (x)
q (x)
donde p, q ∈ R [x], el dominio natural de esta función es R− {r ∈ R : q (r) = 0}.
Ejemplo 1.9. Las funciones
A
k
(x − r)
,
(x2
Bx + C
n
− 2ax + (a2 + b2 ))
son ejemplos de funciones racionales donde A, B, C, a, b, r son números reales y k, n son números naturales. Más adelante veremos que toda función racional puede ser descompuesta en sumas de fraccciones de este tipo (descomposición
en fracciones parciales).
7
Algoritmo de la división
Sean p, q ∈ K [x] con gr (p) ≥ gr (q). Entonces existen
polinomios h, r ∈ K [x] tales que
F
p (x) = h (x) q (x) + r (x)
donde gr (r) < gr (q) o r (x) = 0.
Ejemplo 1.10. Considere los polinomios p (x) = x4 − 3x2 + 2x + 1 y q (x) = x2 + x + 1 entonces
x4 − 3x2 + 2x + 1 : x2 + x + 1
− x4 + x3 + x2
−x3 − 4x2 + 2x + 1
− −x3 − x2 − x
−3x2 + 3x + 1
− −3x2 − 3x − 3
6x + 4
luego x4 − 3x2 + 2x + 1 = x2 + x + 1 x2 − x − 3 + (6x + 4).
x2 − x − 3
Ejemplo 1.11. Considere los polinomios p (u) = u8 y q (u) = u3 + u + 2 entonces
u8
− u + u + 2u5
−u6 − 2u5
6
− −u − u4 − 2u3
−2u5 + u4 + 2u3
− −2u5 − 2u3 − 4u2
u4 + 4u3 + 4u2
− u4 + u2 + 2u
4u3 + 3u2 − 2u
− 4u3 + 4u + 8
3u2 − 6u − 8
8
: u3 + u + 2
= u5 − u3 − 2u2 + u + 4
6
luego
u8 = u3 + u + 2
u5 − u3 − 2u2 + u + 4 + 3u2 − 6u − 8
Definición 1.9. Sean p, q ∈ K [x]. Diremos que q divide a p si el resto del algoritmo de la división es cero,
equivalentemente, si existe un polinomio h tal que
p (x) = q (x) h (x)
utilizaremos la notación q (x) \p (x) para denotar q divide a p.
Proposición 1.3. Sean p, q, h ∈ K [x], se cumplen las siguientes propiedades:
1. p (x) \p (x)
2. Si q (x) \p (x) y p (x) \h (x) entonces q (x) \h (x).
8
3. Si q (x) \p (x) y q (x) \h (x) entonces q (x) \ (a (x) p (x) + b (x) q (x)) cualquiera sean a (x) y b (x).
En el caso especial en el cual se esta dividiendo por un polinomio de grado 1 de la forma x − c existe un método
especial de división llamado división sintética o regla de Ruffini consiste en lo siguiente: Considere el polinomio
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 y lo queremos dividir por x − c entonces
an
bn−1
an−1
cbn−1
bn−2
...
...
a1
cb1
b0
a0
cb0
r
c
donde
bn−1
=
an
bn−2
=
an−1 + cbn−1
..
.
b0
=
a1 + cb1
r
=
a0 + cb0
el cuociente quedará h (x) = bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + ... + b1 x + b0 y el resto es r.
Ejemplo 1.12. Dividir 3x3 − 4x + 2 por x + 3.
Desarrollo: Formamos la tabla
0
−4
(−3) 3 (−3) (−9)
3 −9
23
se sigue que 3x3 − 4x + 2 = 3x2 − 9x + 23 (x + 3) − 67
3
2
(−3) (23)
−67
−3
Teorema del resto
El resto de dividir un polinomio p (x) por x − a es p (a).
F
En efecto, por el algoritmo de la división p (x) = h (x) (x − a) + r (x) donde gr (r) < gr (x − a) = 1 se sigue que
el resto es constante ası́
p (x) = h (x) (x − a) + C
evaluando ambos lados en x = a se sigue
p (a)
= h (a) · 0 + C
= C
Teorema del factor
Un polinomio p (x) es divisible por (x − a) si y solo si a es
raı́z de p.
Ejemplo 1.13. ¿Para que valores de a y b el polinomio
3x2 + ax − a2 − b
es divisible por x − 2 pero el resto de dividir por x − 1 es 1?
9
F
Desarrollo: Como 3x2 + ax − a2 − b es divisible por x − 2 por el teorema del factor se sigue que 2 es raı́z de p ası́
12 + 2a − a2 − b = 0
por el teorema del resto, el resto de dividir 3x2 + ax − a2 − b por x − 1 es p (1) luego
3 + a − a2 − b = p (1) = 1
tenemos el sistema
12 + 2a − a2 − b =
0
3 + a − a2 − b =
1
que tiene solución a = −10 y b = −108.
Definición 1.10. Sea p ∈ K [x]. Diremos que p es reducible o reductible en K [x] si existen polinomios q, h ∈ K [x]
de grados mayores o iguales a 1 tales que p (x) = q (x) h (x). En caso contrario diremos que el polinomio es irreducible
o primo en K [x].
Ejemplo 1.14. p (x) = x2 + 1 es reducible en C [x] en efecto
x2 + 1 = (x − i) (x + i)
donde x − i y x + i son polinomios en C [x]. Sin embargo p (x) = x2 + 1 es irreducible en R [x] y Q [x] (no se puede
factorizar porque si pudiera tendrı́a que ser en factores de grado uno, luego deberı́a tener raı́ces en R o Q lo que no
se cumple)
Por el teorema fundamental del álgebra todo polinomio en C [x] de grado mayor que 1 es reducible a factores
irreducibles de grado 1. De manera similar en R [x] todo polinomio se puede factorizar en polinomios irreducibles de
grado 1 o 2.
Ejemplo 1.15. ¿Es x4 + 1 un polinomio irreducible en R [x]? La respuesta es no porque
√
√
x4 + 1 = x2 + 2x + 1 x2 − 2x + 1
(en R los irreducibles tienen grado 1 o 2)
Teorema 1.1. Si p ∈ R [x] es de grado impar entonces posee una raı́z .
(En efecto las raı́ces complejas en un polinomio con coeficientes reales se presentan de dos: la raı́z y su conjugada).
√
Teorema 1.2.
√ Si p ∈ Q [x] tiene una raı́z en la forma a + b con a, b ∈ Q y b no es el cuadrado de un racional,
entonces a − b también es raı́z.
Ejemplo 1.16. Resolver x3 − 5x2 + 5x − 1 = 0 sabiendo que x = 2 +
√
3 es una raı́z.
Desarrollo: Por el teorema anterior, como x3 − 5x2 + 5x − 1 ∈ Q [x] se sigue que 2 −
sigue que x3 − 5x2 + 5x − 1 es divisible por
√ √ x− 2+ 3
x − 2 − 3 = x2 − 4x + 1
luego
x3 − 5x2 + 5x − 1 : x2 − 4x + 1 = x − 1
√
√
se sigue que las raı́ces son x1 = 2 + 3, x2 = 2 − 3 y x3 = 1.
10
√
3 también debe ser raı́z. Se
Teorema 1.3. Si p (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ Z [x] tiene una raı́z racional x =
(máximo común divisor) entonces c\a0 y d\an .
Demostración: Si x =
c
d
c
d
con mcd (c, d) = 1
es raı́z entonces
an
c n
d
+ an−1
c n−1
d
+ · · · + a1
c
d
+ a0 = 0
entonces multiplicando por dn se tiene:
an cn + an−1 cn−1 d + an−2 cn−2 d2 + · · · + a1 cdn−1 + a0 dn = 0
despejando
an cn = − an−1 cn−1 d + an−2 cn−2 d2 + · · · + a1 cdn−1 + a0 dn
note que el número de la derecha es divisible por d luego d divide an cn pero d no tiene divisores en común con c se
sigue que d\an .
Similarmente
− an cn + an−1 cn−1 d + an−2 cn−2 d2 + · · · + a1 cdn−1 = a0 dn
note que c divide − an cn + an−1 cn−1 d + an−2 cn−2 d2 + · · · + a1 cdn−1 luego c divide a0 dn pero como c no tiene
divisores en comun con d se sigue c\a0 .
Este teorema nos permite buscar las posibles raı́ces racionales de un polinomio con coeficientes enteros, formamos
loas racionales de la forma
divisor de a0
±
divisor de an
y comprobamos si es raı́z. es posible que ninguno de estos número sea raı́z en cuyo caso el polinomio no tiene raı́ces
racionales pero puede tener raı́ces reales de tipo irracional.
√
Ejemplo 1.17. Encontrar las raı́ces del polinomio 4x6 − 16x5 + 15x4 + 4x3 − 20x2 + 4 sabiendo que 1 + 3 es raı́z
del polinomio
√
√
Como 4x6 − 16x5 + 15x4 + 4x3 − 20x2 + 4 ∈ Q [x] y 1 + 3 es raı́z se sigue que 1 − 3 también es raı́z, luego el
polinomio es divisible por
√ √ x − 1 − 3 = x2 − 2x − 2
x− 1+ 3
efectuando la división tenemos
4x6 − 16x5 + 15x4 + 4x3 − 20x2 + 4 = 4x4 − 8x3 + 7x2 + 2x − 2
x2 − 2x − 2
ahora busquemos raı́ces racionales de
4x4 − 8x3 + 7x2 + 2x − 2
los divisores de 2 son ±1, ±2 y los divisores de 4 son ±1, ±2, ±4 se sigue que las posibles raı́ces racionales son
1 1 2 2 2
±1, ± , ± , ± , ± , ±
2 4 1 2 4
es decir
1 1
±1, ± , ± , ±2
2 4
reemplazando obtenemos que ± 12 son las únicas raı́ces racionales, se sigue que 4x4 − 8x3 + 7x2 + 2x − 2 es divisible
por (2x − 1) (2x + 1) = 4x2 − 1 efectuando la división obtenemos
4x4 − 8x3 + 7x2 + 2x − 2 = x2 − 2x + 2 4x2 − 1
ası́
4x6 − 16x5 + 15x4 + 4x3 − 20x2 + 4
= x2 − 2x + 2 4x2 − 1 x2 − 2x − 2
√ √ = x2 − 2x + 2 (2x − 1) (2x + 1) x − 1 + 3
x− 1− 3
11
por último las raı́ces de x2 − 2x + 2 son
2±
√
√
4−4·1·2
= 1 ± −1 = 1 ± i
2
se sigue que
x2 − 2x + 2 = (x − (1 + i)) (x − (1 − i))
ası́
4x6 − 16x5 + 15x4 + 4x3 − 20x2 + 4
=
√ √ (x − (1 + i)) (x − (1 − i)) (2x − 1) (2x + 1) x − 1 + 3
x− 1− 3
donde tenemos las 6 raı́ces del polinomio.
Aprovechando el ejercicio podemos obtener la descomposición de 4x6 − 16x5 + 15x4 + 4x3 − 20x2 + 4 en C [x],
R [x] y Q [x]: En C [x] la descomposición es
√ √ (x − (1 + i)) (x − (1 − i)) (2x − 1) (2x + 1) x − 1 + 3
x− 1− 3
en R [x] la descomposición es
√ √ x− 1− 3
x2 − 2x + 2 (2x − 1) (2x + 1) x − 1 + 3
y en Q [x] la descomposición es
x2 − 2x + 2 (2x − 1) (2x + 1) x2 − 2x − 2
1.3.
Ejercicios Resueltos
1. Demuestre que
(x − b) (x − c) (x − c) (x − a) (x − a) (x − b)
+
+
=1
(a − b) (a − c)
(b − c) (b − a)
(c − a) (c − b)
Desarrollo: Definamos
p (x) =
(x − b) (x − c) (x − c) (x − a) (x − a) (x − b)
+
+
−1
(a − b) (a − c)
(b − c) (b − a)
(c − a) (c − b)
entonces p (x) es un polinomio de grado ≤ 2 luego puede tener a lo más 2 raı́ces, si tiene más serı́a el polinomio
nulo. evaluando en x = a, b, c se cumple p (a) = p (b) = p (c) = 0 luego el polinomio debe ser nulo es decir
(x − b) (x − c) (x − c) (x − a) (x − a) (x − b)
+
+
− 1 ≡ 0 ası́
(a − b) (a − c)
(b − c) (b − a)
(c − a) (c − b)
(x − b) (x − c) (x − c) (x − a) (x − a) (x − b)
+
+
=1
(a − b) (a − c)
(b − c) (b − a)
(c − a) (c − b)
para todos los valores de x.
2. Hallar las condiciones para que x3 + px2 + qx + r sea divisible por x2 + ax + b
Desarrollo: Supongamos que x3 + px2 + qx + r es divisible por x2 + ax + b entonces existe un x − k tal que
x3 + px2 + qx + r = x2 + ax + b (x − k)
(por grados debe ser un polinomio de grado 1). Desarrollando el producto tenemos
ax2 − kx2 − bk + bx + x3 − akx =
3
2
x + (a − k) x + (b − ak) x − bk
12
=
x3 + px2 + qx + r
x3 + px2 + qx + r
igualando coeficientes
(a − k)
=
p
(b − ak)
=
q
−bk
=
r
k=−
r
b
de la última ecuación tenemos
ası́
r
=p
b
ar b+
=q
b
y
a+
es decir el polinomio debe tener la forma
r 2 ar x3 + a +
x + b+
x+r
b
b
3. Resolver la ecuación 4x3 − 24x2 + 23x + 18 = 0 sabiendo que las raı́ces están en progresión aritmética.
Desarrollo: Sean r1 , r2 , r3 las raı́ces del polinomio entonces podemos escribir
4 (x − r1 ) (x − r2 ) (x − r3 ) = 4x3 − 24x2 + 23x + 18
expandimos
4x3 − 4 (r2 + r3 + r1 ) x2 + 4 (r1 r2 + r1 r3 + r2 r3 ) x − 4r1 r2 r3 = 4x3 − 24x2 + 23x + 18
de donde obtenemos
−4 (r2 + r3 + r1 )
= −24
4 (r1 r2 + r1 r3 + r2 r3 )
=
23
−4r1 r2 r3
=
18
sabemos que las raı́ces del polinomio están en progresión aritmética entonces tienen la forma a, a + d y a + 2d
reemplazando en el sistema anterior
−4 (a + (a + d) + (a + 2d))
= −24
4 (a (a + d) + a (a + 2d) + (a + d) (a + 2d))
=
23
−4a (a + d) (a + 2d)
=
18
y tratamos de resolver este sistema, en la primera ecuación se tiene
−12 (a + d) = −24
es decir la segunda raı́z es a + d = 2 reemplazando en la última
−4a (2) (2 + d) = 18
tenemos el sistema
a+d =
a (2 + d)
que tiene soluciones a = 29 , d = − 52 y a = − 21 , d =
5
2
2
−9
=
4
que dan las raı́ces
9
−1
, 2,
2
2
y
9
1
− , 2,
2
2
13
4. Demostrar que la ecuación
A22
A2n
A21
+
+ ··· +
=k
x − a1
x − a2
x − an
no tiene raı́ces complejas (todos los números que aparecen en la ecuación son reales)
Desarrollo: Suponga que x = x1 + iy1 es una raı́z compleja, entonces por teorema x = x1 − iy1 también serı́a
raı́z entonces
A22
A2n
A21
+
+ ··· +
=k
(x1 + iy1 ) − a1
(x1 + iy1 ) − a2
(x1 + iy1 ) − an
y
A21
A22
A2n
+
+ ··· +
=k
(x1 − iy1 ) − a1
(x1 − iy1 ) − a2
(x1 − iy1 ) − an
se sigue que
A21 (x1 − a1 − iy1 )
2
(x1 − a1 ) + y12
+
A22 (x1 − a2 − iy1 )
+
A22 (x1 − a2 + iy1 )
2
(x1 − a2 ) + y12
+ ··· +
A2n (x1 − an − iy1 )
+ ··· +
A2n (x1 − an + iy1 )
2
(x1 − an ) + y12
=k
y
A21 (x1 − a1 + iy1 )
2
(x1 − a1 ) + y12
2
(x1 − a2 ) + y12
2
(x1 − an ) + y12
restando ambas tenemos
A21 iy1
2
(x1 − a1 ) + y12
+
A22 iy1
2
(x1 − a2 ) + y12
se sigue que
y1 = 0
de donde la raı́z debe ser real.
14
+ ··· +
A2n iy1
2
(x1 − an ) + y12
=0
=k