Matemáticas I 38. ¿Para qué valores reales de λ los vectores v 1 = (λ

Matemáticas I
1.5 Listas de ejercicios
−1
−1
−1
−1 −1
38. ¿Para qué valores reales de λ los vectores v1 = (λ, −1
2 , 2 ) v2 = ( 2 , λ, 2 ) y v3 = ( 2 , 2 , λ)
3
forman un conjunto linealmente dependiente en IR ?
39. Dados tres vectores linealmente independientes u, v y w , demostrar que u + v , v + w y w + u
son también linealmente independientes.
40. Probar que si los vectores v1 , . . . , vk son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se
puede escribir como una combinación lineal de los restantes.
41. Determinar la dimensión de los siguientes subespacios de IR4 :
a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, 0).
b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con d = a + b y c = a − b.
c) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con a = b = c = d.
42. Hallar las soluciones del sistema de abajo y expresarlas como vectores de IR6 . Determinar la
dimensión del subespacio de soluciones y encontar una base.
5x3 + 10x4 + 15x6
x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5
2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6
2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6
−1x1 − 3x2 + 4x3 + 4x4 − 2x5 + 6x6
3x1 + 9x2 − 4x3 + 4x4 + 6x5 + 12x6
=0
=0
=0
=0
=0
=0

















43. Demostrar que los vectores solución de un sistema no homogéneo compatible, AX = B , de
m ecuaciones con n incógnitas no forman un subespacio de IRn . ¿Qué ocurre si el sistema es
homogéneo, es decir, si B = 0?
44. Considerar en IR4 los siguientes conjuntos de vectores:
A = {(1, 2, −1, 3), (0, 1, 0, 3)}
B = {(1, −1, 1, 0), (2, 3, 1, 2), (0, 0, 0, 1)}
a) Hallar las dimensiones de lin(A) y de lin(B).
b) Hallar las ecuaciones paramétricas de lin(A) y de lin(B).
c) Hallar las ecuaciones cartesianas de lin(A) y de lin(B).
d) ¿Qué vectores forman el conjunto lin(A) ∩ lin(B)?
45. Sean W1 y W2 dos subespacios de V . Probar que también son subespacios de V los conjuntos:
a) W1 ∩ W2 = {w ∈ V : w ∈ W1 y w ∈ W2 }
b) W1 + W2 = {w = w1 + w2 : w1 ∈ W1 y w2 ∈ W2 }
46. Consideremos en el espacio vectorial IR3 la base B = {u1 , u2 , u3 }. Sean, E el subespacio engendrado por los vectores
v1 = u1 + 3u3 , v2 = 2u1 − 3u2 + u3 , v3 = 4u1 − 3u2 + 7u3
y F el subespacio engendrado por los vectores
w1 = u1 + u2 + u3 , w2 = 2u1 + 3u2 + 4u3 , w3 = 3u1 + 4u2 + 5u3 .
a) Hallar una base de E y una base de F .
b) El subespacio E ∩ F y una base de E ∩ F .
c) El subespacio E + F y una base de E + F .
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15
Matemáticas I
1.5 Listas de ejercicios
47. Sea M2×2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre IR. Probar que
(
Bc =
1 0
0 0
(
¿Es B1 =
!
0 1
0 0
,
1 −2
0 −2
!
,
!
,
0 0
1 0
0 −2
0 −2
!
,
!
,
0 0
0 1
!)
1 −2
1 −2
!
es una base de M2×2 (Se dice su base canónica).
,
1 0
1 −2
!)
también una base de M2×2 ?
48. Sea M2×2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre IR y sea E el subcona
b+c
−b + c
a
junto de M2×2 formado por las matrices de la forma
!
con a, b, c ∈ IR.
a) Demostrar que E es un subespacio vectorial.
b) Probar que las matrices A1 =
1 0
0 1
!
, A2 =
0 1
−1 0
!
, A3 =
0 1
1 0
!
, forman una
base de E .
49. Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensión n. Probar que:
n
B1 = {v1 , v2 , . . . , vn } es base de V ⇐⇒ B1∗ = [v1 ]B , [v2 ]B , . . . , [vn ]B
o
es base de IRn .
50. Considerar en IR3 , la base canónica Bc = {e1 , e2 , e3 }, la base B1 = {e1 , e3 , e2 } y la base
B2 = {e3 , e1 , e2 }.
Hallar las matrices del cambio de base entre ellas, es decir de Bc a B1 y a B2 , de B1 a Bc y a
B2 y de B2 a Bc y a B1 .
Si denotamos por Mc→1 , M1→2 y Mc→2 respectivamente las matrices de cambio de Bc a B1 ,
de B1 a B2 y de Bc a B2 , comprobar que es cierto que Mc→2 = M1→2 Mc→1 .
51. Probar que B =
n
o
v1 = (1, −1, 0, −1), v2 = (0, −1, 0, −1), v3 = (1, −1, 1, −1), v4 = (1, 0, 1, −1)
es una base de IR4 .
Considerar en IR4 la base canónica, Bc . Hallar la matriz del cambio de base de la base B a la
base Bc y viceversa.
¿Cuáles son las coordenadas del vector v = (1, 1, 1, 1) en la base B ?
Si (w)B = (1, 1, 1, 1), ¿cuál es el vector w ?
52. En una cierta base {u1 , u2 , u3 , u4 } de un espacio vectorial V , un vector w tiene por coordenadas (3, 1, 2, 6). Hallar las coordenadas de w en otra base {v1 , v2 , v3 , v4 } cuyos vectores
verifican que
v1 = u1 + u2 , v2 = 2u4 − u1 , v3 = u2 − u3 , v4 = 2u1 − u2 .
53. Se consideran en IR3 las bases B = {u1 , u2 , u3 } y B 0 = {v1 , v2 , v3 }, siendo u1 = (−3, 0, −3),
u2 = (−3, 2, −1), u3 = (1, 6, −1) y v1 = (−6, −6, 0), v2 = (−2, −6, 4), v3 = (−2, −3, 7).
a) Hallar la matriz de paso de B a B 0 .
b) Calcular la matriz de coordenadas, [w]B , siendo w = (−5, 8, −5).
c) Calcular [w]B 0 de dos formas diferentes
54. Sean B = {v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (0, 1, −1)} y B 0 = {w1 , w2 , w3 } dos bases de IR3 ,


0 −2 −1


0
y sea P =  −1
2 −4 −2  la matriz del cambio de base de B a B .
0 −1 −1
a) Encontrar [3v1 ]B 0 y [v1 − v2 ]B 0 .
b) ¿Qué vectores son w1 , w2 y w3 ?
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Matemáticas I
55.
1.5 Listas de ejercicios
a) Encontrar dos vectores de IR2 con norma euclı́dea uno y cuyo producto interior euclı́deo
con (−2, 4) sea cero.
b) Demostrar que hay un número infinito de vectores en IR3 con norma euclı́dea uno y cuyo
producto interior euclı́deo con (−1, 7, 2) es cero.
56. Sean u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ). Determinar si cada una de las expresiones siguientes
define un producto interior en IR3 :
a) hu, vi = u1 v1 − u2 v2 + u3 v3
b) hu, vi = u1 v1 + 2u2 v2 + 3u3 v3
c) hu, vi = u1 v2 + u2 v3 + u3 v1
d) hu, vi = 2u1 v1 + 2u2 v2 + u3 v3 + u1 v2 + u2 v1
57. Demostrar que si V es un espacio con producto interior, entonces ∀ u, v ∈ V ,
hu, vi =
1
ku + vk2 − ku − vk2
4
−1
58. Sean a = ( √15 , √
) y b = ( √230 , √330 ). Probar que {a, b} es ortonormal si IR2 tiene el producto
5
interior hu, vi = 3u1 v1 + 2u2 v2 donde u = (u1 , u2 ) y v = (v1 , v2 ), y que no lo es si IR2 tiene el
producto interior euclı́deo.
59. Sea V un espacio con producto interior. Demostrar que si w es ortogonal a cada uno de los
vectores v1 , v2 , . . . , vk entonces es ortogonal a lin{v1 , v2 , . . . , vk }.
60. Tomemos en IR4 el producto interior euclideo. Expresar el vector w = (−1, 2, 6, 0) en la forma
w = w1 + w2 donde, w1 está en el subespacio W generado por los vectores u1 = (−1, 0, 1, 2)
y u2 = (0, 1, 0, 1), y w2 es ortogonal a W .
61. Considera IR3 con el producto interior euclideo. Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para
transformar, en cada caso, la base {u1 , u2 , u3 } en una base ortonormal.
a) u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 1, 0), u3 = (1, 2, 1).
b) u1 = (1, 0, 0), u2 = (3, 7, −2), u3 = (0, 4, 1).
62. Para cada uno de los productos interiores definidos en el ejercicio 56 (los que lo sean), utilizar
el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base formada por los vectores u1 = (1, 1, 1),
u2 = (1, 1, 0) y u3 = (1, 0, 0) en una base ortonormal.
63. Suponer que IR4 tiene el producto interior euclideo.
a) Hallar un vector ortogonal a u1 = (1, 0, 0, 0) y u4 = (0, 0, 0, 1), y que forme ángulos
iguales con los vectores u2 = (0, 1, 0, 0) y u3 = (0, 0, 1, 0).
b) Hallar un vector x de longitud 1, ortogonal a u1 y a u2 , tal que el coseno del ángulo
entre x y u3 sea el doble del coseno del ángulo entre x y u4 .
64. Sea IR4 con el producto interior euclı́deo. Hallar la distancia del vector u = (1, 1, 1, 1) al
subespacio generado por los vectores v1 = (1, 1, 1, 0) y v2 = (1, 1, 0, 0).
n
65. Sea P3 [x] = a0 + a1 x + a2 x2 : a0 , a1 , a2 ∈ IR
de grado menor o igual que 2.
a) Probar que hp(x), q (x)i =
Z
o
el espacio vectorial de las funciones polinómicas
1
p(x)q (x) dx define un producto interior en P3 [x].
0
b) Probar que la base Bc = {1, x, x2 } no es una base ortonormal con este producto interior y
hallar una que sı́ lo sea.
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