5ta OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL

5ta OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA
30va OLIMPIADA BOLIVIANA DE MATEMATICA
3era Etapa (Examen Simultáneo)
1ero SECUNDARIA
PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE
1. (15 pts) Encontrar un entero positivo “a” tal que la suma 𝑎 + 2𝑎 + 3𝑎 + 4𝑎 + 5𝑎 + 6𝑎 + 7𝑎 +
8𝑎 + 9𝑎 resulta ser un número con todas sus cifras iguales.
A)123
B)1234
C)2345
D) 123456789 E)345678
2. (15 pts) Mira las siguientes figuras, ambas están formadas por las mismas 5 piezas. El rectángulo
tiene 5 cm de ancho y 10 cm de largo, y las otras piezas son cuadrantes. ¿Cuál es la diferencia de
los perímetros de las dos figuras?
Aclaración: Un cuadrante es la cuarta parte de un círculo
A)20cm
B)30 cm
C)10 cm
D)2.5 cm
E) 5.2 cm
3.(15 pts) A la final de la O.C.P.B en Santa Cruz (2014), asistieron 392 padres de familia, y se
observó que las
3
8
de las mujeres usaban lentes, siendo esta cantidad igual a las
2
11
partes de los
varones. ¿Cuántas mujeres no usaban lentes?
A)72B)80
C)64
D)60
E)75
PREGUNTAS DE DESARROLLO
4. (20pts) Determinar la cifra de menor orden al elevar al exponente 26 el número 23.
SOLUCION.Del problema:
2326= ..........X; debemos determinar X
Urge analizar en qué cifra terminan solo las potencias de 3, es decir:
… 𝟑𝟎 = ⋯ 𝟏
… 𝟑𝟏 = ⋯ 𝟑
… 𝟑𝟐 = ⋯ 𝟗
… 𝟑𝟑 = ⋯ 𝟕
… 𝟑𝟒 = ⋯ 𝟏
Vemos que urge descomponer el exponente 26, en función de la referencia anterior
2326 = (234 )6𝑥232
2326 = (… .1)6 𝑥(… .9)
2326 = (… .1)(… .9)
2326 = ⋯ 9se concluye que la cifra buscada es;
𝒙 = 𝟗 ( Cifra de las unidades)
Pautas de calificación.i). Advierte que necesita orientarse de los numerales que resultan al elevar el 3 de 23 a
diferentes exponentes en sucesión (10pts)
ii). Dispone la orden del problema: 2326 y descompone convenientemente el exponente 26 con
el sustento anterior, y concluye que la cifra de las unidades buscada es 9 … (10 pts). Hacen
el total del puntaje para el planteo del problema
5.(20 pts) En cada casilla de un tablero de 3x3, se escribe un número entero, de tal manera que,
para cada casilla, la suma de los números escritos en sus casillas vecinas sea siempre la misma.
¿Cuántos números distintos, como máximo, se puede escribir en el tablero?
Observación: Dos casillas son vecinas si tienen un lado o un vértice en común.
SOLUCIÓN.Si los números escritos en las casillas vecinas de una esquina son A, B y C, entonces, la suma de los
números escritos en las casillas vecinas de cada casilla es S=A+B+C, luego, podemos completar
algunas casillas del tablero de la siguiente manera:
A
B
C
A
B
C
B
A
Sean X,Y,Z y W los números escritos en las casillas de las esquinas:
X
A
Z
B
C
B
Y
A
W
Si sumamos los números que están en las casillas vecinas a las casillas que tienen escritos los
números B:
𝑋+𝐴+𝐶+𝐴+𝑌 = 𝑍+𝐴+𝐶+𝐴+𝑊
⇒ 𝑋 + 𝑌 = 𝑍 + 𝑊 (1)
Hagamos lo mismo para A:
𝑋 + 𝑍 = 𝑌 + 𝑊 (2)
De (1) y (2), resulta que:𝑋 = 𝑊 y 𝑌 = 𝑍. La figura cambia así:
X
A
Y
B
C
B
Y
A
X
Y aplicando nuevamente las condiciones del problema a las casillas A y B:
𝑋+𝐵+𝐶+𝐵+𝑌 = 𝑋+𝐴+𝐶+𝐴+𝑌
⇒ 𝐴=𝐵
Volviendo a pintar el tablero
X
A
Y
A
C
A
Y
A
X
Repitiendo la condición del problema a las casillas X y A:
𝐴 + 𝐶 + 𝐴 = 𝑋 + 𝐴 + 𝐶 + 𝐴 + 𝑌 ⇒ 𝑌 = −𝑋
Para las casillas A y C, resulta:
𝑋 + 𝐴 + 𝐶 + 𝐴 + (−𝑋) = 4𝐴 + 2𝑋 + 2(−𝑋) ⇒ 𝐶 = 2𝐴
El tablero final cumple las condiciones del problema; la suma de los números vecinos de cada casilla
es 4A
X
A
A 2A
-X A
-X
A
X
Finalmente, notamos que en la generalización, como máximo se tienen cuatro números distintos
en el tablero (– 𝑿, 𝑿, 𝑨 𝒚 𝟐𝑨), ejemplo, si 𝑋 = 1 y 𝐴 = 2, cumplen las condiciones del problema
Pautas de calificación.i). Acomoda algún caso particular con números, verificando cumplir la condición…….(2 pts)
ii). Procura buscar una generalización, asumiendo como primer referente una de las
esquinas del tablero, disponiendo en el entorno letras, para el caso según el problema la
suma será A + B + C (3pts)
ii). Completa las esquinas con letras y sucesivamente va ajustando a cada casilla las
condiciones del problema, suma del entorno de cada casilla sea siempre la misma, logrando
así secuencialmente igualdades que le permiten por lógica sacar conclusiones, como: X = W;
Y = Z; A = B; Y = - X; finalmente C= 2A (10 pts)
iii). El último tablero que obtiene, cumple la condición del problema, la suma de los números
vecinos de cada casilla es 4 A; y los 4 números distintos en el tablero de manera general es
(- X, X, A, 2A),(5 pts)Hacen los 20 pts asignados a la pregunta.
6. (15pts)En un pentágono regular ABCDE, calcule la medida de los ángulos.
𝑚∡𝐴𝐶𝐸 + 𝑚∡𝐵𝐷𝐴 + 𝑚∡𝐶𝐸𝐵 + 𝑚∡𝐷𝐴𝐶 + 𝑚∡𝐸𝐵𝐷.
SOLUCION.



El trazado de diagonales Identifica los ángulos cuyo valor se requiere
Por geometría, se sabe que la medida de los ángulos interiores de un pentágono es 1080.
Al trazar dos diagonales desde un mismo vértice, estás trisecan el ángulo interior;
entonces la medida del ángulo 𝑚∡𝐵𝐷𝐴 = 360 .
De manera análoga se procede con cada ángulo interior del pentágono. En consecuencia:
D
𝑚∡𝐴𝐶𝐸 = 360
𝑚∡𝐵𝐷𝐴 = 360
𝑚∡𝐶𝐸𝐵 = 360 +
𝑚∡𝐷𝐴𝐶 = 360
𝑚∡𝐸𝐵𝐷 = 360 }
E 1080
360 36D0
360
1080 C
B
A
0
𝑚∡𝐴𝐶𝐸 + 𝑚∡𝐵𝐷𝐴 + 𝑚∡𝐶𝐸𝐵 + 𝑚∡𝐷𝐴𝐶 + 𝑚∡𝐸𝐵𝐷 = 5𝑥36 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
Pautas de calificación.i). Grafica el pentágono y traza las diagonales para identificar la medida de los ángulos que
se pide ( 5pts)
ii). Se da cuenta que al trazar dos diagonales de un mismo vértice, trisecan al ángulo
interior, siendo la medida de cada uno de estos 36º con lo que advierte el proceso reiterativo
para cada vértice, que sumando 5 veces 36º, obtiene 180º (10 pts). Son los 15 pts asignados al
problema
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30va OLIMPIADA BOLIVIANA DE MATEMATICA
3era Etapa (Examen Simultáneo)
2do SECUNDARIA
PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE
1. (15 pts)Un padre propone a su hijo Gabriel darle 4 Bs. por cada problema que resuelva bien; y él
debe devolverle 1Bs., por cada problema mal resuelto.Si después de hacer 50 problemas Gabriel
tiene 150 bolivianos ¿En cuántos problemas se equivocó?
A)15
B)12C) 10
D) 8
E)25
2. (15pts) Si P(N) es la suma de los dígitos pares de N. Por ejemplo: 𝑃(2012) = 2 + 2 = 4 .
Hallar el valor de:
𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) + ⋯ + 𝑃(100).
A)200
B)360 C) 400 D) 900 E) 2250
3.(15 pts) Alana asiste a un casino, apuesta todo lo que tiene y gana un quinto. Luego
apuesta los tres cuartos de lo que tiene ahora y pierde la cuarta parte. Finalmente decide
apostar todo el dinero que tiene ahora y gana los dos tercios. Si al final de todo Alana
observa que ganó 60 Bs. ¿Cuál fue el dinero que tenía Alna al inicio?
A)136Bs
B)120Bs
C) 84Bs
D) 96Bs
E) 100Bs
PREGUNTAS DE DESARROLLO
4.- (20 pts) Para cada entero positivo k; sea:
𝑎𝑘 =
𝑘2
𝑘 2 + 100𝑘 + 5000
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯
Calcular el valor de:
+ 𝑎99 .
SOLUCIÓN:
Si: 𝑘 = 1 ;
𝑎1 =
1
4901
Si: 𝑘 = 2 ;
𝑎2 =
4
4804
Si: 𝑘 = 3 ;
𝑎3 =
4709
9
.
.
Si: 𝑘 = 97 ;
𝑎97 =
Si: 𝑘 = 98 ;
𝑎1 =
Si: 𝑘 = 99 ;
𝑎99 =
972
4709
982
4804
992
4901
Observamos que si sumamos los extremos la suma es siempre 2, pero queda 𝒂𝟓𝟎 .
𝑎1 + 𝑎2 + ⏟
𝑎3 + ⋯
⏟
⏟
+ 𝑎50+⋯
𝑎1 + 𝑎99 =
1
992
1 + 9801 9802
+
=
=
=2
4901 4901
4901
4901
𝑎2 + 𝑎98 =
4
982
4 + 9604 9608
+
=
=
=2
4804 4804
4804
4901
+ 𝑎97 +𝑎98 + 𝑎99
𝑎50 =
502
2500
=
2500
2500
=1
Se forman 49 parejas +𝑎50 .
→ 49𝑥2 + 1 = 98 + 1 = 99.
Pautas de calificación.i). Usa la relación ak, para obtener los valores de: 𝒂𝟏 ; 𝒂𝟐 ; 𝒂𝟑………a99 (10 pts)
ii). Dispone la sumatoria de estos términos, cuando advierte que la suma de extremos da
siempre como resultado el numeral 2, quedando el término central a50. Cuyo valor es el
numeral 1, mostrándose en consecuencia 49 parejas más 1, es decir: 49 x 2 + 1 = 99 (10 pts). La
sumatoria da el puntaje asignado de 20 ptsa la pregunta
5.- (20pts) ¿Cuántos números de ocho cifras se pueden formar de tal manera que el producto de
sus cifras sea 18?
SOLUCIÓN
Sea N el número𝑁 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎1 𝑎2 𝑎3 … 𝑎7 𝑎8 supuesto de ocho cifras
Por la condición del problema
𝑎1 𝑥𝑎2 𝑥𝑎3 𝑥 … 𝑥𝑎7 𝑥𝑎8 = 18
Se dan tres casos.
PRIMER CASO
2𝑥3𝑥3𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1 → 𝑁1 = 23311111
1,2,5
Es una permutación con repetición 𝑃𝑅8
=
8!
2!𝑋5!
= 168
SEGUNDO CASO
6𝑥3𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1 → 𝑁2 = 63111111
1,1,6
Es una permutación con repetición𝑃𝑅8
8!
= 6! = 56
TERCER CASO
2𝑥9𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1 → 𝑁3 = 29111111
1,1,6
Es una permutación con repetición 𝑃𝑅8
8!
= 6! = 56
Por lo tanto, el total de números que cumplen con la condición es 168 + 56 + 56 = 𝟐𝟖𝟎.
Pautas de Calificación.i). Siendo el resultado a llegar tan pequeño, resulta fácil, conseguir los numerales cuyo
producto de 18. Identifica una de las opciones al menos y se orienta de las permutaciones
(10 pts)
ii). Determina los otros dos casos, más sus permutaciones (5 pts)
iii). Se orienta del resultado, sumando los resultados de los tres casos, obteniendo 280,
(5 pts)
La sumatoria da, los 20 pts., asignados a la pregunta
6.- (15) En los lados AB y AD de un cuadrado ABCD, se ubican los puntos PyQ , respectivamente,
de modo que la 𝑚∡𝑃𝑄𝐶 = 900 . Si PQ =3 y QD =4; Calcule PB.
SOLUCIÓN:
Sea l, la longitud del lado del cuadrado ABCD.
C
l
B
Entonces 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 = 𝑙
̅̅̅̅ 2 (1)
En el ∆𝐶𝐷𝑄: 𝑙2 + 42 = 𝐶𝑄
X
En el ∆𝐶𝑄𝑃: ̅̅̅̅
𝐶𝑄 2 + 32 = ̅̅̅̅
𝐶𝑃2 (2)
En el ∆𝐶𝐵𝑃: 𝑙2 + 𝑥 2 = ̅̅̅̅
𝐶𝑃2 (3)
P
Reemplazando (1) en (2)
3
l−𝑥
4
D
Q
A
𝑙2 + 42 + 32 = ̅̅̅̅
𝐶𝑃2 (4)
(3) en (4)
𝑙2 + 42 + 32 = 𝑙2 + 𝑥 2
De donde x= 5
Pautas de calificación.i). Se orienta que es suficiente aplicar Pitágoras a los tres triángulos rectángulos, CDQ; CQP
y CBP. Permitiéndoles hallar el valor de x = 5 (15 pts)
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30va OLIMPIADA BOLIVIANA DE MATEMATICA
3era Etapa (Examen Simultáneo)
3ero SECUNDARIA
PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE
1. (15 pts) Determine el valor de 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐; 𝑠𝑖
(102𝑥 − 304)2 + 100𝑥 − 5 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
A)298B)299
C) 300
D) 301
2. (20 pts) El producto de 8x888…8, donde el segundo factor tiene “n” dígitos 8, es un número
entero cuya suma de dígitos es 1000. ¿Cuál es el valor de n?
A)901
B)911
C) 919
D) 991 E)999
3. (15 pts)En la figura, la longitud del lado del cuadrado es 2, las semicircunferencias pasan por el
centro del cuadrado, y tienen sus centros en los vértices del cuadrado, y los círculos sombreados
tienen centros en los lados del cuadrado y son tangentes a las semicircunferencias. ¿Cuál es el
valor del área sombreada?
Escriba aquí la ecuación.
A) 𝜋
B)√2𝜋
C)
√3
𝜋D)4 𝜋
4
(3 − 2√2)
E) 2𝜋
PREGUNTAS DE DESARROLLO
4. (15 pts) Sean a y b dos números enteros positivos cuya suma es menor que 50 y tales que:
𝟑
𝟗
𝒃
𝒂
𝟏𝟎 ( √ ) = ( √𝒂 + 𝒃) Calcular el valor de (𝒂 − 𝒃)𝟐 .= ?
𝟏𝟎
SOLUCIÓN:
Acomodando convenientemente ambos miembros
𝒃
𝟗. 𝟏𝟎𝟑
𝒂
√
= ( √𝒂 + 𝒃)
𝟏𝟎
𝟑
𝒂
𝟑
√𝟗𝟎𝟎 = ( √𝒂 + 𝒃)
𝟑
√𝟑𝟎𝟐 = ( 𝒂√𝒂 + 𝒃)
𝟐
𝒃
𝒃
𝒃
𝟑𝟎𝟑 = (𝒂 + 𝒃)𝒂
𝑏 2
= =𝑘
𝑎 3
→ 𝑎 = 3𝑘 𝑦 𝑏 = 2𝑘 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 (1)
𝑎 + 𝑏 = 30; 3𝑘 + 2𝑘 = 30
De donde 𝑘 = 6, → 𝑎 = 3(6) = 18 𝑦 𝑏 = 2(6) = 12
→ 𝑎 + 𝑏 = 30
(1)
𝑦
∴ (𝒂 − 𝒃)𝟐 = (𝟏𝟖 − 𝟏𝟐)𝟐 = 𝟔𝟐 = 𝟑𝟔
Pautas de Calificación.i). El estudiante se orienta y busca el acomodo del primer miembro de la relación dada,
buscando la similitud en forma con el segundo (5 pts)
ii). Establece la igualdad de bases y exponentes, por la similitud en forma (5 pts)
2
iii). Encuentra la forma de hallar los valores de a = 18 y b = 12, con lo que (a - b) = 36
(5 pts). Hacen los 15 pts asignados a la pregunta.
5. (20 pts) En el triángulo isósceles ABC (AB=BC). Halle la medida del ángulo APC si se cumple que
𝑚∡𝐵𝐴𝑃
𝑚∡𝑃𝐴𝐶
=
3
2
B
P
Q
A
3α
2α
680
H
x
5α
C
SOLUCIÓN
De los datos
𝑚∡𝐵𝐴𝑃 = 3𝛼
}  𝑚∡𝐵𝐴𝐶 = 5𝛼
𝑚∡𝑃𝐴𝐶 = 2𝛼
𝐸𝑛 𝑒𝑙 ∆𝐴𝑃𝐶: 2𝛼 + 5𝛼 + 𝑥 = 1800
7𝛼 + 𝑥 = 1800 (1)
Siendo H el pie de la altura, trazada desde BQ.
𝐸𝑛 𝑒𝑙 ∆𝐴𝐻𝑄: 2𝛼 + 68 + 90 = 1800 2𝛼 = 22º 𝛼 = 11º
Entonces; volviendo a ∆ 𝐴𝑃𝐶, en (1)
7𝛼 + 𝑥 = 1800 → 𝑥 = 1800 − 7𝑥11
𝑥 = 1800 − 770
𝒙 = 𝟏𝟎𝟑𝟎 .
Pautas de calificación.i). Asume las condiciones del problema a partir de la relación de la medida de ángulos,
ubicando los ángulos: 𝟑𝜶; 𝟐𝜶 ;𝟓𝜶(10pts)
ii). Usando el triángulo APC, incluye al ángulo x en la relación (1) y trazando la altura
BH, usa el triángulo AHQ, calculando 𝜶 = 11º (5 pts)
iii). Concluye, usando (1) para hallar x = 103º (5 pts)
La sumatoria de los tres puntajes da los 20pts asignados a la pregunta
6. (20 Pts) ¿De cuántas maneras es posible acomodar los números del 1 al 10 de manera que del
primero al séptimo vayan creciendo, que el séptimo sea mayor que el octavo, y que del octavo al
décimo vayan creciendo otra vez? (por ejemplo, una posibilidad es 1,2,3,5,6,8,10,4,7,9.)
SOLUCION.Llamemos a los números 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎10 .
Como 𝑎7 , 𝑎9 𝑦 𝑎10 son mayores que 𝑎8 , entonces las posibilidades para 𝑎8 son 1,2, … ,7.



Si 𝑎8 = 7, entonces hay 3 posibilidades para escoger 𝑎9 𝑦 𝑎10 (deben ser dos números en
{8,9,10} y las opciones son {8,9}, {8,10} 𝑦 {9,10}). Al escoger esos dos números ya todo
queda determinado (los que sobren se pondrán en orden para formar la sucesión
𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎7 ; por ejemplo, si se escogen el 8 y el 10, la sucesión será 1,2,3,4,5,6,9,7,8,10).
En el lenguaje del análisis combinatorio es: (32) = 3
Si 𝑎8 = 6, entonces hay (42)= 6 posibilidades para escoger 𝑎9 𝑦 𝑎10 ,
Si 𝑎8 = 5, entonces hay (52) =10 posibilidades para escoger 𝑎9 𝑦 𝑎10
Así sucesivamente tenemos que el total de posibilidades es.
3
4
5
6
7
8
9
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )
2
2
2
2
2
2
2
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 𝟏𝟏𝟗
Pautas de calificación.i). Se orienta de que a7 , a9 y a10 deben ser mayores que a8 (2 pts)
ii). Inicia el proceso con que a8 = 7 (número máximo que puede tomar a8)( 3pts)
iii). Asumiendo a8 = 7; encuentra las 3 posibilidades para a9 y a10 (5pts)
iv). Continúa con el mismo enfoque para números menores a 7; determinando todas las
posibilidades para cada número menor a este, que en el lenguaje utilizado muestre:
𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = (𝟑𝟐) + (𝟒𝟐) + (𝟓𝟐) + (𝟔𝟐) + (𝟕𝟐) + (𝟖𝟐) + (𝟗𝟐)= 119 (10 pts). La sumatoria del puntaje da el total de
20 puntos asignados al problema.
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30va OLIMPIADA BOLIVIANA DE MATEMATICA
3era Etapa (Examen Simultáneo)
4to SECUNDARIA
PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE
1. (15 pts) Sean a,b y c números reales no nulos que verifican la ecuación:
𝑎2 + 2𝑏 2 + 2𝑐 2 = 2𝑎(𝑏 + 𝑐).
𝑆=
Calcule el valor de
A)8
𝑎3 +𝑏3 +𝑐 3
.
𝑎𝑏𝑐
B)7
C) 6
D) 5
E)4
2. (15pts) Calcule el residuo de dividir el producto de los diez primeros números primos entre 8.
A)6
B)5
C) 10
D) 1
E)7
3. (15 pts) David ordena los 12 números del 1 al 12 alrededor de una circunferencia de tal forma
que dos números adyacentes cualesquiera difieran en 2 o 3. ¿Cuáles de los siguientes números son
necesariamente adyacentes?
A)5 y 8
B)3 y 5
C) 7 y 9
D) 6 y 8
E)2 y 7
PREGUNTAS DE DESARROLLO
4. (20 pts) Se tiene una colección de circunferencias iguales, que la colocamos formando
un triángulo equilátero, cuyo lado tiene “n” circunferencias. Calcule en función de “n” el
número total de puntos de tangencia (contactos), que hay entre las circunferencias.
SOLUCIÓN
1 2
3
n
Sea Tn: número de tangencias del triángulo equilátero de lado “n” circunferencias.
𝑇1 = 0
𝑇2 = 3 = 0 + 3𝑥1 = 𝑇1 + 3𝑥1
𝑇3 = 9 = 3 + 3𝑥2 = 𝑇2 + 3𝑥2
𝑇3 = 18 = 9 + 3𝑥3 = 𝑇3 + 3𝑥3
⋮
𝑇𝑛 = ⋯ … … … … … = 𝑇𝑛−1 + 3(𝑛 − 1)
Sumando
𝑇𝑛 = 3𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 + ⋯ … + 3(𝑛 − 1)
𝑇𝑛 = 3(1 + 2 + 3 + ⋯ … + 𝑛 − 1)
𝑇𝑛 =
3𝑛(𝑛 − 1)
2
𝑻𝒏 =
𝟑
𝒏(𝒏 − 𝟏)
𝟐
Pautas de calificación.i). Con buen criterio define el número de tangencias a partir de T1, en la forma indicada,
hasta Tn
(10pts)
ii) Advierte que es suficiente sumar las tangencias definidas, llegando a la conclusión de que
𝟑
el número de tangencias entre las Cias., es:𝑻𝒏 = 𝒏(𝒏 − 𝟏) (10 pts)
𝟐
La sumatoria de ambos puntajes da el total del asignado a esta pregunta, total 20 pts.
5. (15 pts) Determine cuántas soluciones reales tiene la siguiente ecuación:
√𝟒 − 𝒙 (√𝟒 − (𝒙 − 𝟐)√𝟏 + (𝒙 − 𝟓)(𝒙 − 𝟕)) =
𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐
𝟐
SOLUCIÓN:
Resolviendo
√𝟒 − 𝒙 (√𝟒 − (𝒙 − 𝟐)√(𝒙 − 𝟔)𝟐 ) = 𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙
𝟐
𝟐
𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐
𝟐
Si trabajamos con (𝑥 − 6) la ecuación toma mayor complejidad, pero sabemos que
(𝒙 − 𝟔)𝟐 = (𝟔 − 𝒙)𝟐
√𝟒 − 𝒙 (√𝟒 − (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟔)) =
√𝟒 − 𝒙 (√𝟒 − (𝒙 − 𝟐)(𝟔 − 𝒙)) =
𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐
𝟐
Algebrisando secuencialmente la ecuación
𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐
𝟐
De igual manera trabajamos con (2 − 𝑥)2
√𝟒 − 𝒙 (√(𝑥 − 2)2 ) =
𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐
𝟐
𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐
√𝟒 − 𝒙(𝟐 − 𝒙) =
𝟐
Finalmente obtenemos:
𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐
√(𝑥 − 2)2 =
𝟐
De dónde obtenemos dos posibilidades
√𝟒 − 𝒙 (√(2 − 𝑥)2 ) =
𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐
𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐
𝑦 𝟐−𝒙=
𝟐
𝟐
Resolviendo para cada caso obtenemos
𝒙−𝟐=
(2,3)
𝑦
(5,2)
Reemplazando en la ecuación el único valor que cumple con la condición es 𝒙 = 𝟐 ,
Entonces la ecuación tiene una solución real.
Pautas de calificación.i). Advierte que la clave para reducir de tamaño la ecuación, es considerar que:
(𝒙 − 𝟔)𝟐 = (𝟔 − 𝒙)𝟐 y (x – 2)2 = (2 – x)2(10 pts)
ii). Llegando
a la igualdad
𝒙−𝟐 =
𝟓𝒙−𝟔−𝒙𝟐
𝟐
y en la consideración de la segunda igualdad
asume las dos opciones de solución para (x – 2) y (2 - x); concluyendo que la única solución
es x = 2 (10pts)
La sumatoria de los puntajes da el total de 20 pts., asignados a la pregunta
6. (15 pts) En el gráfico AB =BC; AD=AC y ED=DC. Calcule x, sabiendo que la medida del
𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 2(𝑚∡𝐴𝐶𝐸).
B
D
E
A
α
x
C
SOLUCIÓN.Sea 𝛼 la 𝑚∡𝐸𝐴𝐶; entonces en el ∆𝐴𝐶𝐸; 𝑙𝑎 𝑚∡𝐶𝐸𝐷 = 𝛼 + 𝑥 (por ángulo exterior en el ∆𝐴𝐸𝐶 )
Como 𝐸𝐷 = 𝐷𝐶 → 𝑚∡𝐸𝐶𝐷 = 𝛼 + 𝑥
→ 𝑚∡𝐵𝐶𝐴 = 𝛼 + 2𝑥 = 𝑚∡𝐵𝐴𝐶
𝑚∡𝐵𝐴𝐷 = 2𝑥
Por datos del problema 𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 2(𝑚∡𝐴𝐶𝐸) → 𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 2𝑥.
En el triángulo ADB; 𝑚∡𝐴𝐷𝐵 = 1800 − 4𝑥
𝑚∡𝐶𝐷𝐸 = 1800 − 4𝑥 + 𝑚∡𝐴𝐷𝐶 = 1800
→ 𝑚∡𝐴𝐷𝐶 = 4𝑥
𝐸𝑛 𝑒𝑙 ∆𝐴𝐷𝐶; 𝑙𝑎 𝑚∡𝐴𝐶𝐷 = 𝑚∡𝐴𝐷𝐶 = 4𝑥
De donde 𝛼 = 2𝑥 𝑦 𝑙𝑎 𝑚∡𝐵𝐶𝐴 = 4𝑥
Entonces en el ∆𝐴𝐵𝐶: 2𝑥 + 2𝑥 + 𝛼 + 2𝑥 + 𝛼 = 1800
Como 𝛼 = 2𝑥 → 5(2𝑥) = 1800 → 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎
Pautas de calificación.i). Basado en las condiciones del problema y asignando letras a los diferentes ángulos,
especifica la medida de los ángulos:
𝒎∡𝑬𝑪𝑫 = 𝜶 + 𝒙; 𝒎∡𝑩𝑪𝑨 = 𝜶 + 𝟐𝒙; 𝒎∡𝑩𝑨𝑫 = 𝟐𝒙 (5 pts)
ii). En la misma visión continua determinando la medida de otros ángulos:
𝒎∡𝑨𝑩𝑪 = 𝟐𝒙; 𝒎∡𝑨𝑫𝑩 = 𝟏𝟖𝟎º − 𝟒𝒙;𝒎∡𝑪𝑫𝑬 = 𝟒𝒙 (5 pts)
iii). Retoma la 𝒎∡𝑨𝑫𝑪 = 𝟒𝒙𝜶 = 𝟐𝒙; 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒕𝒓𝒊á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝑨𝑩𝑪,
2 x + 2 x + 𝜶 + 2 x + 𝜶 = 180º y concluye que x = 18º (5 pts)
iV. La sumatoria da el puntaje total de 15 pts asignados a esta pregunta
V). Con habilidad e ingenio resuelve el problema satisfactoriamente, por otra vía.
(15pts.)
5ta OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA
30va OLIMPIADA BOLIVIANA DE MATEMATICA
3era Etapa (Examen Simultáneo)
5to SECUNDARIA
PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE
1. (15 pts) SE tiene un triángulo ABC recto en B. Si sumas las longitudes de los lados BC y AC y el
resultado lo elevas al cuadrado obtienes 9 veces el producto de las longitudes de dichos lados.
Calcula 𝑠𝑒𝑛𝐴 + 𝑐𝑠𝑐𝐴 .
A)7
B)20
C) -1
D) 4
E)3
2. (15 pts) Sea 𝑥 = 2𝑘 un número real que verifica
4
2
1
8
𝑥 1−𝑥 = √ Calcule el valor de 𝑥 𝑘 .
A) 1
B)3 C) 2
D) 4
E)8
3.(15 pts) Si {𝑎𝑛 } = {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 ; … }
Es una sucesión geométrica tal que: 𝑎1 = log 𝑦 𝑥 ; 𝑎2 = 2log 𝑧 𝑦 ; 𝑎3 = 4log 𝑥 𝑧 ; 𝑎4 = 1
Calcule la razón positiva.
A)1
1
2
B)√2
C) D)
1
√2
E)2√2
PREGUNTAS DE DESARROLLO
4. (20 pts) Para todo entero positivo n, tenemos:
𝑓(𝑛) =
3
√𝑛2
+ 2𝑛 + 1 +
1
3
√𝑛2
3
− 1 + √𝑛2 − 2𝑛 + 1
Calcule el valor de la suma:
𝑓(1) + 𝑓(3) + 𝑓(5) + ⋯ + 𝑓(999997) + 𝑓(999999)
SOLUCIÓN
Observando las cantidades subradicales, vemos que el cociente notable siguiente, nos será útil.
𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
3
En función del planteo consideremos que: 𝑎 = √𝑛 + 1
características de las raíces.
Reemplazando en la función:
𝑓 (𝑛 ) =
𝑓 (𝑛 ) =
1
{𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎 − 𝑏
(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 )
𝑎−𝑏
𝑎−𝑏
𝑎−𝑏
=
=
3
3
(𝑛 + 1) − (𝑛 − 1)
𝑎 −𝑏
2
Escribiendo la función de la forma inicial 𝑓(𝑛) =
3
3
𝑦 𝑏 = √𝑛 − 1 dadas las
3
𝑎−𝑏
2
=
3
3
√𝑛+1− √𝑛−1
2
2𝑓(𝑛) = √𝑛 + 1 − √𝑛 − 1
3
Si n = 1 → 2𝑓(1) = √2
3
3
Si n = 3 → 2𝑓(3) = √4 − √2a
3
3
Si n = 5 → 2𝑓(5) = √6 − √4 +
:
:
3
3
Si n = 999997 → 2𝑓(999997) = √999998 − √999996
3
3
Si n = 999999 → 2𝑓(999999) = √1000000 − √999998
13
∴ 𝑓(1) + 𝑓3 + 𝑓(5) + ⋯ + 𝑓(999999) = √1000000 = 50
2
Pautas de calificación.i). Recurre a sus conocimientos de álgebra, usando el cociente notable y los cambios de
variable que le serán útiles (10 pts)
ii). Aprovecha las consideraciones anteriores, reemplazando en la función dada (5pts)
iii). Procede con la secuencia numérica según el requerimiento del problema, hasta llegar al
resultado 50 (5 pts). La sumatoria de los 20 pts da el puntaje asignado al problema
5. (15 pts) Oscar compró una caja de 24 chocolates, al abrirla se dio cuenta que los chocolates
están ubicados simétricamente con respecto a la línea vertical central, tal como se muestra en la
figura. En los círculos blancos van los chocolates.
De cuántas formas puede Oscar comer 4 chocolates, tal que los 20 chocolates que queden
tengan simetría respecto a la línea vertical
SOLUCIÓN:
Etiquetemos los chocolates de la siguiente forma:
 4 chocolates A
 10 Chocolates B
 10 Chocolates C
C
B
B
C
B
B
A
B
C
B
B
A
C
C
A
C
C
B
B
C
A
B
C
C
C
C
C
C
C
Cada chocolate etiquetado con B tiene su simétrico en C,
Cuando Oscar come un chocolate B, deberá comer otro chocolate en C, observando la simetría
respecto a la línea vertical
Como solo debe comer 4 chocolates; las opciones son las siguientes:
i). Se come solo los 4 chocolates en A, nada de B ni C; entonces solo hay una posibilidad
ii). Come un chocolate en B; hay (𝟏𝟎
) = 𝟏𝟎 posibilidades para este chocolate; como tiene que
𝟏
comer un chocolate en C, entonces tendrá que comer2 chocolates en A.
Hay (𝟒𝟐) = 𝟔 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑐ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑒s.
𝐸𝑠 𝑎𝑠í 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑦 10 𝑥 6 = 𝟔𝟎 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
iii). Come dos chocolates en B. Hay (𝟏𝟎
) = 𝟒𝟓 posibilidades para estos dos chocolates. Como debe
𝟐
comer 2 chocolates en C, no comerá ningún chocolate en A. Existe una posibilidad para este caso
45 x 1 = 45 posibilidades
En consecuencia, hay en total 1 + 60 + 45 = 106 posibilidades
Pautas de calificación.i). Se orienta de algún caso suelto de comer 4 chocolates, manteniendo la simetría de los que
quedan (5 pts)
ii). Asume que hay al menos dos casos (5 pts)
iii). Completa así por partes con los tres casos (5pts)
La suma de los tres incisos da el puntaje asignado de 15 pts a esta pregunta
6. (20 pts.)Untriángulorectángulotienetrescircunferenciasex-inscritas,lasquesontangentesalos
catetostienenradios5y12.Hallarelradiodelatercera circunferencia.
SOLUCION
 Sea el triángulo ABC, recto en A
 Circunferencia, lado AB; r2 = 12, centro D
Circunferencia, lado BC; r1 = 5, centro E
Circunferencia, lado AC; Radio R; centro F
𝛼
A
F
𝛽
D
C
B
E
 En los triángulos rectángulos formados es posible identificar:
DB = √122 + 122 = 12 √𝟐
EB = √52 + 52 = 5 √𝟐
FB = √𝑅 2 + 𝑅 2 = 𝑅√2
Por otro lado:
D,A y F colineales por biscectricez exterior a ∡ BAC
D,B y E colineales por biscectricez exterior a ∡ ABC
E,C y F colineales por biscectricez exterior a ∡ ACB
Además ∡ DBA = 45º; ∡ ABF = 45º ∡ DBF = 90º
En  DBF; sea α = ∡ DFB; donde
𝑫𝑩 𝟏𝟐√𝟐 𝟏𝟐
𝐭𝐚𝐧 𝜶 =
=
=
… … … . . (𝟏)
𝑩𝑭
𝑹
𝑹√𝟐
En  EBF; sea β = ∡ EFB; donde
𝑩𝑬 𝟓√𝟐 𝟓
𝐭𝐚𝐧 𝜷 =
=
= … … … . . (𝟐)
𝑩𝑭 𝑹√𝟐 𝑹
∡𝐴𝐵𝐶
También ∡𝐴𝐹𝐶 = 𝟗𝟎𝟎 −
= 𝟒𝟓𝟎 , por ser ángulo formado por las bisectrices exteriores
𝟐
De donde: 𝜶 + 𝜷 = 𝟒𝟓𝟎  𝐭𝐚𝐧(𝜶 + 𝜷) = 𝐭𝐚𝐧 𝟒𝟓𝟎 →
𝐭𝐚𝐧 𝜶+𝐭𝐚𝐧 𝜷
𝟏−𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝜷
= 𝟏(3)
2
Reemplazando (1) y (2) en (3)  R - 17 R – 60 = 0
De donde
R1 = 20y R2 = -3
Tomando el valor positivo, R = 20
Pautas de calificación.i). Analiza su planteo, caracterizando las circunferencias con los radios respectivos; r1, r2 y
Res más, encuentra utilidad a los triángulos rectángulos formados y con sus conocimientos
de geometría, en la definición de puntos colineales, por bisectriz exterior a los ángulos que
se señalan en la solución, determina la medida de los ángulos necesarios para su estudio (10
pts)
ii). En las consideraciones anteriores determina y define los ángulos 𝜶 𝒚𝜷, 𝒚 las tangentes
correspondientes, para finalmente aseverar que a partir de
que 𝐭𝐚𝐧(𝜶 + 𝜷) = 𝐭𝐚𝐧 𝟒𝟓𝟎 →
𝐭𝐚𝐧 𝜶+𝐭𝐚𝐧 𝜷
𝟏−𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝜷
∡𝐴𝐹𝐶 = 𝟒𝟓𝟎 , verifique
= 𝟏(5pts)
iii). Finalmente reemplazando sus consideraciones de todo el trayecto logra que R = 20
(5 pts). La sumatoria de puntos, da el total de 20 pts asignados a este problema
5ta OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA
30va OLIMPIADA BOLIVIANA DE MATEMATICA
3era Etapa (Examen Simultáneo)
6to SECUNDARIA
PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE
1. (15 pts.) Calcula el área del triángulo formado por los ejes cartesianos y la recta de
ecuación 𝐿: 2𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0.
A) 12 B)6
C)24
D)48
E)9
2. (15 pts.) Dada la figura
B
log 𝑥
log 𝑦
A
Calcule:
y
x
C
D
𝑥
𝑦
[log(𝑥𝑦)] [log ( )]= ?
A )𝑥 2 + 𝑦 2 B)𝑥 2 − 𝑦 2
D)𝑦 2 − 𝑥 2
C) xy
e)𝑥 2 𝑦
3. (15 pts) En un triángulo ABC, recto en C, las medidas de los ángulos agudos son 𝛼 𝑦 𝛽, los
cuales cumplen que:tan 𝛼 + tan 𝛽 + cot 𝛼 + cot 𝛽 = 8.
Calcule el valor de: 𝑀 = 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝛽.
A) 24
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
PREGUNTAS DE DESARROLLO
4. (15 pts) Sea 𝑓(𝑥) una función cuadrática tal que:
𝑓(𝑥 + 3) = 2𝑓(𝑥) + 𝑥 2 ;
Calcule 𝐽 = 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4) + 𝑓(5)
Escribiendo la función cuadrática
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Como 𝑓(𝑥 + 3) = 2𝑓(𝑥) + 𝑥 2
→ 𝑎(𝑥 + 3)2 + 𝑏 (𝑥 + 3) + 𝑐 = 2(𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑥 2
𝑎𝑥 2 + 6𝑎𝑥 + 9𝑎 + 𝑏𝑥 + 3𝑏 = 2𝑎𝑥 2 + 2𝑏𝑥 + 2𝑐 + 𝑥 2
(𝑎 + 1)𝑥 2 + (𝑏 − 6𝑎)𝑥 + (𝑐 − 9𝑎 − 3𝑏) = 0; Así 𝒂 = −𝟏 ; 𝒃 = −𝟔 ;
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑓(1) = −12 − 6 (1) − 27
𝑓(2) = −22 − 6 (2) − 27
𝑓(3) = −32 − 6 (3) − 27
𝑓(4) = −42 − 6 (4) − 27
+
𝒄 = −𝟐𝟕,
𝑓(5) = −52 − 6 (5) − 27
𝐽=
−5 × 6 × 11
5 × 6
−6×
− 27 × 5
6
2
𝐽 = −55 − 90 − 135
𝑱 = −𝟐𝟖𝟎
Pautas de calificación.i). Considerando las condiciones del problema, escribe la función cuadrática y ajusta la
misma a : 𝒇(𝒙 + 𝟑) = 𝟐𝒇(𝒙) + 𝒙𝟐 (5 pts)
ii). Reacondiciona la ec.,de segundo grado resultante, determinando los valores de
𝒂 = −𝟏 ; 𝒃 = −𝟔 ; 𝒄 = −𝟐𝟕 (5 pts.)
iii). Finalmente determina el valor de la función cuadrática f1, f2, …. F5, reemplazando los
valores anteriores, el problema pide sumar, llegando al resultado de J = 280 (5pts). La
sumatoria de los pts, da el puntaje total de 15 para el problema.
5. (20 pts) En la cuadrícula que se muestra aparecen escritos los números 1 y 19. Determinar
de cuántas formas es posible poner números enteros en los cuadros vacíos si en cada fila
los números van en orden creciente de izquierda a derecha, en cada columna los números
van en orden creciente de arriba abajo, y se cumple que en cada tres cuadros consecutivos
en la misma fila o en la misma columna, el número que aparece en medio es el promedio
de los otros dos.
1
19
SOLUCIÓN:
Observemos que en cada fila y en cada columna, la diferencia de dos números consecutivos debe
ser una constante (posiblemente distintas para distintas filas o columnas).
Sean a,b,c y d las respectivas diferencias de dos números en cuadros consecutivos de la primera
fila, la última columna, la primera columna y la última fila. Entonces el borde de la cuadrícula
queda como indica la figura.
1
1+a
1+2a
1+3a
1+c
1+3a+b
1+2c
11+3a+2b
1+3c
1+3c+d
1+3c+2d
1+3a+3b
19
1+3c+3d
Tenemos 𝟏𝟗 = 𝟏 + 𝟑𝒂 + 𝟑𝒃 → 𝒂 + 𝒃 = 𝟔
También 𝟏𝟗 = 𝟏 + 𝟑𝒄 + 𝟑𝒅 → 𝒄 + 𝒅 = 𝟔
Observamos también que los dos números extremos de cada fila y de cada columna deben diferir
por un múltiplo de tres (pues uno se obtiene sumando la misma constante 3 veces al otro).
En consecuencia𝒂 − 𝒅 debe ser también múltiplo de 3.
Para contar los posibles casos, supongamos, que 𝒂 ≥ 𝒄 (los otros casos se obtendrán reflejando
con respecto a la diagonal, es decir, invirtiendo el papel de (𝒂, 𝒃) 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑒 (𝒄, 𝒅).
𝑎+𝑏 = 6= ⏟
⏟
𝑐 + 𝑑 , 𝑎 ≥ 𝑐, 𝑎 − 𝑑 = 3̇
5
5
4
3
2
1
1
2
3
4
1
4
2
3
1
5
2
4
3
5
(5,1,1,5), (5,1,4,2), (4,2,2,4), (3,3,3,3), (2,4,1,5)
En la figura se muestra cómo construir la cuadrícula en cada caso
1
6
11
16
1
6
11
16
1
6
11
16
1
6
11
16
1
6
11
16
2
7
12
17
2
7
12
17
2
7
12
17
2
7
12
17
2
7
12
17
3
8
13
18
3
8
13
18
3
8
13
18
3
8
13
18
3
8
13
18
4
9
14
19
4
9
14
19
4
9
14
19
4
9
14
19
4
9
14
19
Hasta aquí tenemos 5 casos. Al invertir el papel de (𝑎, 𝑏) con el de (𝑐, 𝑑) obtenemos otros 4.
(1,5,5,1), (4,2,5,1), (2,4,4,2), (1,5,2,4)
Para un total de 9 casos.
Pautas de calificación.i). Se orienta que en cada fila y en cada columna, la diferencia de dos números consecutivos
debe ser una constante, lo que permite elaborar el cuadro (1), ……. (5 pts)
ii). Con la observación anterior llega a las ecuaciones:
𝟏𝟗 = 𝟏 + 𝟑𝒂 + 𝟑𝒃 → 𝒂 + 𝒃 = 𝟔
𝟏𝟗 = 𝟏 + 𝟑𝒄 + 𝟑𝒅 → 𝒄 + 𝒅 = 𝟔
Observa que en cada fila y columna la diferencia es siempre un múltiplo de 3
Siendo el referente para continuar con el estudio …. (5 pts)
iii). En la misma óptica consolida los valores de a, b, c y d; que le permiten llegar al número
total de casos, siendo estos 9. (10 pts)
6 (20 pts) . A continuación se muestra una semicircunferencia de diámetro AB, F es el punto de
intersección AC y BD. Además FG es perpendicular a A B. Si 𝐸𝐹 = 2 , 𝐷𝐹 = 3 𝑦 𝐹𝐶 = 6, calcula la
longitud de AB.
SOLUCIÓN:
C
D
𝛼
𝛼
F
2𝛼
E
𝛼
A
B
G
Como AB es diámetro tenemos que ∡ 𝐴𝐷𝐵 = 900 , con lo cual el cuadrilátero ADFG seria cíclico,
∡D + ∡G 180º (ángulos opuestos)  ∡ FDE = ∡EAG = ∡ CAB
∡ CDF = ∡CAB porque subtiende el mismo arco BC
Luego ∡ CDF = ∡FDE Por transitividad
 D F bisectriz interior del triángulo CDE
𝐷𝐸
𝐷𝐶 =
Y
𝐴𝐸
𝐴𝐶
𝐸𝐹
𝐹𝐶
=
2
6
1
= 3(1)
𝐷𝐸
Por bisectriz interior
= 𝐷𝐶 (2)Por bisectriz exterior
De (1) y (2)
𝐴𝐸
𝐴𝐶
1
en D.
= 3AE = K; AC = 3k
 EC = 2k(3)
Pero: EC = EF + FC = 2 + 6 = 8
(4)
De (3) y (4); 2k = 8  k = 4 AE = 4; AC = 12
Aplicando el teorema de cuerdas
𝐷𝐹 ∗ 𝐹𝐵 = 𝐴𝐹 ∗ 𝐹𝐶 → 𝐹𝐵 =
6.6
= 12.
3
En el  rectángulo ADF:
AD = √62 − 32 = √27 = 3 √𝟑
2
̅̅̅̅)2 = (3√3) + (3 + 12)2
En  rectángulo ADB: (𝐴𝐵
= 27 + 225 = 252
∴ 𝑨𝑩 = √𝟐𝟓𝟐 = 𝟔√𝟕
Pautas de calificación.i). Se dispone a completar la figura, en función de las necesidades, traza AD, para tener que
∡D = 90º; y el cuadrilátero ADFG es cíclico, de donde ∡D + ∡G = 180º (∡s opuestos) …..(5 pts)
ii). Se da cuenta que el análisis anterior, le permite mostrar la igualdad de ciertos ángulos:
∡ FDE = ∡EAG = ∡ CA ∡ CDF = ∡CAB∡ CDF = ∡FDE Por transitividad, con lo que DF
bisectriz interior del triángulo CDE, con lo que escribe las igualdades (1) y (2)…..(5pts)
iii). Con el análisis anterior, se da cuenta que con sus conocimientos de geometría y algebra,
puede terminar aplicando el teorema de cuerdas y llegar AB = 6 √𝟕 ….. (10 pts.)
Por el comité académico nacional:Area Matemáticas
MSc. Ing. Ma. Teresa Torres Romero
E mail: [email protected]
Cel. 72891162 - 69669610
Sucre - Bolivia