Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Integración numérica Objetivos UNIDAD VII Integración numérica duración Contenido temático 3 hrs. objetivos • 7.1Regla Trapezoidal 7.2 Regla de Simpson 1/3 7.3 Regla de Simpson 3/8 • • Definir el concepto de integración numérica Aplicar los métodos de integración para la solución de un problema Definir, reconocer y aplicar lo métodos de integración: o Regla trapezoidal o Regla de Simpson 1/3 o Regla de Simpson 3/8 Bibliografía del tema Burden, pp. 166 a 248capítulo 4 Chapra, pp. 601 a 700 parte 6: capítulos 21 a 24 Gerald, pp. 354 a 447 capítulo 5 Maron, pp. 353 a 436 capítulo 7 Nakamura, pp. 109 a 145 capítulo 4 Nieves, pp. 393 a 465: capítulo 6 NGJ/v06 Unidad VII 1 Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Integración numérica 7 Integración numérica INTRODUCCIÓN b A= A ∫ f ( x)dx a Representación gráfica de la integral de f(x) entre los límites (a,b). La integral es equivalente al área bajo la curva Las fórmulas de integración de Newton – Cotes son los métodos de integración más comunes. Se basan en reemplazar una función complicada p datos tabulados con una función aproximada (ajustada) que sea fácil de integrar. b I = ∫ f ( x)dx ≅ a donde f n ( x ) = a0 + a1 x + a1 x + ....... + an − a x 2 n−a b ∫f n ( x)dx a + an x n donde n es el grado del polinomio. Aproximación de una integral como el área bajo a) línea recta, b) parábola NGJ/v06 Unidad VII 2 Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Integración numérica 7.1 Regla Trapezoidal Fórmulas de integración: Newton – Cotes Trapecio: Área del trapecio = altura x promedio de base Área del trapecio = base x promedio de altura b I= ∫ b f ( x)dx ≅ a I = (b − a ) Error aproximado: Et = − NGJ/v06 ∫ f ( x)dx 1 a f (b) + f (a ) 2 1 f ´´(ξ )(b − a )3 12 Unidad VII 3 Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Integración numérica Aplicación múltiple de la regla trapezoidal Si h = b−a donde n es el número de intervalos: n Dos segmentos Tres segmentos Cuatro segmentos I= x1 ∫ f ( x)dx a I =h Cinco segmentos + x2 ∫ f ( x)dx x1 + x32 ∫ f ( x)dx b + ........ x2 ∫ f ( x)dx x n −1 f ( x 2 ) + f ( x3 ) f ( x n −1 ) + f (b) f (a) + f ( x1 ) f ( x1 ) + f ( x 2 ) +h +h + ........ + h 2 2 2 2 I≅ n −1 h⎡ f ( a ) 2 f ( xi ) + ∑ 2 ⎢⎣ i =1 ⎤ + f (b)⎥ ⎦ (b − a)3 Error estimado: Et = − f ´´(ξ ) donde f ´´(ξ ) = 12n 2 ∑ f ´´(ξ ) 1 n Por lo tanto, el método trapezoidal se basa en el ajuste de una línea recta. NGJ/v06 Unidad VII 4 Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Integración numérica 7.2 Regla de Simpson Simpson 1/3 Ajuste de una parábola: cuadrática Regla de Simpson 1/3 consiste en tomar el área bajo una parábola que conecta tres puntos. LAGRANGE: P2 ( x) = (x − x 0 )(x − x 2 ) (x − x0 )(x − x1 ) (x − x1 )(x − x 2 ) f (x 0 ) + f ( x1 ) + f (x ) (x1 − x0 )(x1 − x 2 ) (x 2 − x0 )(x 2 − x1 ) 2 (x 0 − x1 )(x 0 − x 2 ) ⎡ ( x − x1 )( x − x 2 ) ⎤ (x − x0 )(x − x1 ) (x − x0 )(x − x1 ) I = ∫⎢ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x 2 )⎥ dx (x0 − x1 )(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 ) ⎦ x0 ⎣ x 0 − x1 = cons tan te como: tienen la misma distancia x1 − x 2 = cons tan te entonces: h b−a I ≅ [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x 2 )] donde h = 3 2 x1 I≅ Error aproximado: Et h [ f (a ) + 4 f (x1 ) + f (b )] 3 5 ( b − a) =− f iv (ξ ) más exacta 2880 Aproximaciones múltiples: n −1 n−2 ⎤ h⎡ I ≅ ⎢ f (a) + 4 ∑ f ( xi ) + 2 ∑ f (x j ) + f (b)⎥ 3⎣ i =1, 3, 5 j = 2, 4, 6 ⎦ Error aproximado: Et NGJ/v06 5 ( b − a) =− 180n 4 h= b−a n f iv (ξ ) Unidad VII 5 Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Integración numérica Regla de Simpson 3/8 Ajuste de una parábola: cuadrática Regla de Simpson 3/8 consiste en tomar el área bajo una ecuación cúbica que conecta cuatro puntos. LAGRANGE: (x − x1 )(x − x 2 )(x − x3 ) (x − x 0 )(x − x 2 )(x − x3 ) f (x0 ) + f (x ) (x0 − x1 )(x0 − x 2 )(x0 − x3 ) (x1 − x0 )(x1 − x 2 )(x1 − x3 ) 1 (x − x0 )(x − x1 )(x − x 2 ) (x − x 0 )(x − x1 )(x − x3 ) f (x 2 ) + f (x ) + (x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x 2 ) 3 (x 2 − x0 )(x 2 − x1 )(x 2 − x3 ) P2 ( x) = I≅ Error aproximado: E t NGJ/v06 3h [ f (a ) + 3 f (x1 ) + 3 f (x2 ) + f (b )] 8 5 ( b − a) =− 6480 f v (ξ ) más exacta Unidad VII 6 Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Integración numérica 7.3 Ejemplos de integración Utilizando todos los métodos integrar numéricamente: f ( x) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5 en el intervalo [0,0.8] Solución: 1) Analíticamente: ∫ (0.2 + 25 x − 200 x ) 0.8 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5 dx 0 0.8 25 2 200 3 675 4 900 5 400 6 = 0 .2 x + x − x + x − x + x 2 3 4 5 6 0 = 1.640533 2) Regla Trapezoidal: x 0 0.8 f (x ) 0.2 0.232 0.2 + 0.232 I ≅ (0.8 − 0 ) ≅ 0.1728 2 NGJ/v06 I = (b − a ) Unidad VII f (b) − f (a ) 2 7 Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Integración numérica Error absoluto: Ea = 1.640533 − 0.1728 = 89.5% 1.640533 Error aproximado: f ( x) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5 f ´(x) = 25 − 400 x + 2025 x 2 − 3600 x 3 + 2000 x 4 f ´´(x) = −400 + 4050 x − 10800 x 2 + 8000 x 3 ∫ (− 400 + 4050 x − 10800 x ) 0.8 f ´´(x) = Ea = − 0 2 + 8000 x 3 dx = −60 (0.8 − 0) 1 (− 60)(0.8 − 0)3 = 2.56 más exacto 12 3) Trapezoidal múltiple a. 2 segmentos: h = 0.4 x 0 0.4 0.8 f (x ) 0.2 2.456 0.232 I≅ I≅ ⎤ + f (b)⎥ ⎦ 0 .4 [0.2 + 2(2.456) + 0.232] ≅ 1.06888 2 Error absoluto: E a = NGJ/v06 n −1 h⎡ + f ( a ) f ( xi ) ∑ 2 ⎢⎣ i =1 1.640533 − 1.0688 = 34.9% 1.640533 Unidad VII 8 Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Integración numérica (0.8 − 0) (− 60) = 0.64 Error aproximado: − 12(2) 2 b. 4 segmentos: h = 0.2 x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 f (x ) 0.2 1.288 2.456 3.464 0.232 n −1 h⎡ ⎤ + f ( a ) f ( xi ) + f (b)⎥ ∑ ⎢ 2⎣ i =1 ⎦ 0.2 I≅ [0.2 + 2(1.288 + 2.456 + 3.464) + 0.232] ≅ 1.4848 2 I≅ Error absoluto: Ea = 1.640533 − 1.4848 = 9.5% 1.640533 Error aproximado: (0.8 − 0) (− 60 ) = 0.16 − 12(4) 2 c. 8 segmentos: h = 0.1 x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 NGJ/v06 f (x ) 0.2 1.289 1.288 1.607 2.456 3.325 3.464 2.363 0.232 I≅ n −1 h⎡ + f ( a ) f ( xi ) ∑ 2 ⎢⎣ i =1 I≅ ⎤ + f (b)⎥ ⎦ 0.1 ⎡0.2 + 2(1.2891.288 + 1.607 + 2.456⎤ ≅ 1.6008 2 ⎢⎣+ 3.325 + 3.464 + 2.363) + 0.232 ⎥⎦ Unidad VII 9 Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Integración numérica Error absoluto: Ea = 1.640533 − 1.6008 = 2.7% 1.640533 Error aproximado: I≅ (0.8 − 0) (− 60 ) = 0.04 − 12(8) 2 h [ f (a ) + 4 f (x1 ) + f (b )] 3 1) Simpson 1/3 x 0 0.4 0.8 f (x ) 0.2 2.456 0.232 I≅ I≅ h [ f (a ) + 4 f (x1 ) + f (b )] 3 0.4 [0.2 + 4(2.456) + 0.232] ≅ 1.367467 3 Error absoluto: Ea = 1.640533 − 1.36747 = 16.6% 1.640533 Error aproximado: − (0.8 − 0)5 (− 2400 ) = 0.2730667 2880 Nota: -2400 es el promedio de la cuarta derivada NGJ/v06 Unidad VII 10 Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Integración numérica 2) Simpson 1/3 múltiple x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 f (x ) 0.2 1.288 2.456 3.464 0.232 n −1 n−2 ⎤ h⎡ I ≅ ⎢ f (a) + 4 ∑ f ( xi ) + 2 ∑ f (x j ) + f (b)⎥ 3⎣ i =1, 3, 5 j = 2, 4, 6 ⎦ I≅ Error absoluto: Ea = 0 .2 [0.2 + 4(1.288 + 3.464) + 2(2.456) + 0.232] ≅ 1.623467 3 1.640533 − 1.623467 = 1.04% 1.640533 Error aproximado: Et = − (b − a )5 180n 4 f iv (ξ ) Et = − (0.8)5 2400 = 0.017067 4 180(4 ) 6) Simpson 3/8 b−a 3 x 0 0.2667 0.5334 0.8 h= f (x ) 0.2 1.423724 4.487177 0.232 I≅ I≅ Error absoluto: Ea = 0 .8 [0.2 + 3(1.423724 + 4.487177) + 0.232] ≅ 1.51917 8 1.640533 − 1.51917 = 7. 4 % 1.640533 Error aproximado: E t NGJ/v06 3h [ f (a ) + 3 f (x1 ) + 3 f (x2 ) + f (b )] 8 5 ( b − a) =− 6480 f (ξ ) v Unidad VII Et 5 ( 0 .8 ) =− 2400 = 0.121363 6480 11 Métodos numéricos y álgebra lineal CB00851 Integración numérica 7) Simpson 1/3 y Simpson 3/8 (2 puntos y 3 puntos) n = 5 h = 0.16 x f (x ) 0 0.2 0.16 1.296919 0.32 1.743393 0.48 3.186015 0.64 3.181929 0.8 0.232 0.16 [0.2 + 4(1.296919) + 1.743393] ≅ 0.3803237 3 0.48 [1.743393 + 3(3.18605 + 3.181929) + 0.232] ≅ 1.264754 I2 ≅ 8 I ≅ 0.3803237 + 1.264754 ≅ 1.645077 I1 ≅ Error absoluto: Ea = NGJ/v06 1.640533 − 1.645077 = 0.28% 1.640533 Unidad VII 12