Progresiones Geométricas

PROGRESIONES ARITMETICAS Y
GEOMETRICAS
MATEMATICAS DISCRETAS II
FERNANDO NARANJO
Sucesión – Progresión - Serie
Sucesión : Es cualquier secuencia de elementos ordenados, o sea para los
cuales pueda decirse que lugar ocupa cada uno.
Una progresión es un caso particular de sucesión.
Progresión aritmética : Cuando la diferencia entre un elemento y el
sucesivo se mantiene constante.
Progresión Geométrica: La razón entre un elemento y el sucesivo se
mantiene constante.
Sumando los términos de una sucesión se obtiene una serie.
Una serie es la sucesión cuyo termino general es la suma de los primeros
n términos de una sucesión dada.
Progresiones Aritméticas y Geométricas
Definición. Una progresión aritmética es una sucesión de números
reales de la forma siguiente:
a1 , a2 , a3 , a4 , .............., an donde la diferencia entre cualquier par de
números consecutivos es siempre constante, es decir, an - an-1 = d para
todo n
El término d se llama diferencia constante.
En la notación anterior se tendrá que:
a1: Es el primer término de la progresión.
d: Diferencia común.
n: Número de términos.
Progresiones Aritméticas y Geométricas
Según lo anterior, otra forma de escribir la progresión aritmética es:
a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d ,.........., a1 + ( n-1 )d.
Como consecuencia de lo anterior, en una progresión aritmética, en la
cuál la diferencia común es d y el primer término es a1 se tiene que el
enésimo término se denota por a = a1 + ( n-1 ) d.
n
Progresiones Aritméticas y Geométricas
Ejemplo 1.
La sucesión 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 es una progresión aritmética en la cuál el
primer término es 3 y la diferencia común es 3.
Ejemplo 2.
Halle el término de lugar 12 de la progresión aritmética 10, 7, 4, ........ .
Solución.
Se tiene que a1 = 10, d = -3. Se sabe que an = a1 + ( n-1 ) d. Por tanto, para n
= 12, se tiene: a12 = 10 + ( 12 - 1 ) x ( - 3 ) , o sea que a12 = - 23.
Progresiones Aritméticas y Geométricas
Ejemplo 3.
Si el cuarto término de una progresión aritmética es 14 y el noveno es 34,
encuentre el primer término.
Solución
Como an = a1 + ( n-1 ) d se tiene entonces:
Para n = 4
14 = a1 + 3 d.
Para n = 9
34 = a1 + 8 d
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se concluye que a1 = 2 y d = 4.
Progresiones Aritméticas y Geométricas
Ejemplo 4.
Encuentre una progresión aritmética de 7 términos cuyo primer término
es 1/2 y cuyo último término es 13/2.
Solución
Se sabe que a1 = 1/2, n = 7 , an = a1 + ( n-1 ) d.
En nuestro caso se tiene: 13/2 = 1/2 + ( 7 - 1 ) d. Por tanto, 6 = 6 d o sea
que d = 1. De lo anterior se tiene que la progresión aritmética es : 1/2 , 3/2
, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 13/2.
Progresiones Aritméticas y Geométricas
Suma de términos de una progresión aritmética.
Sn
Dada una progresión aritmética con n términos, de la forma: a 1 , a1 + d , a1
+ 2d , a1 + 3d ,.........., a1 + ( n-1 ) d , su suma se expresa como S n = a1 + a1 +
d + a1 + 2d + a1 + 3d +..........+ a1 + ( n-1 ) d . La suma viene dada por la
siguiente fórmula :
Sn =
Progresiones Geométricas
Una progresión geométrica es una expresión de la forma a 1 , a2 , a3 , a4 ,
.............. an y en donde la razón r de dos términos consecutivos
cualquiera es constante, es decir, r =
para
es constante.
Hay que notar, que como consecuencia de la definición, en toda
progresión geométrica se cumple que
donde
es el
término situado en el lugar enésimo.
Ejemplo 1.
La sucesión 4 , 12 , 36 , 108 , 324 , 972 es una progresión geométrica que
consta de seis términos.
Progresiones Geométricas
Ejemplo 2.
Dada una progresión geométrica donde r = 3, a1 = 2 , halle el quinto
término.
Solución.
Si en la fórmula que se toma a1 = 2 , r = 3 y n = 5, se tiene: , por
tanto = 162.
Progresiones Geométricas
Ejemplo 3.
Si en una progresión geométrica el octavo término es 32 y el quinto
término es 4, halle los cuatro primeros
r  8 términos.
3
Solución
Se sabe que ,
por tanto se tendrán las siguientes dos ecuaciones:
haciendo n = 8.
haciendo n = 5.
De las anteriores ecuaciones se tiene que, r  8 y por tanto r = 2 y
reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones anteriores, se
tiene que a1 = 1/4. Por tanto, los primeros cuatro términos de la
progresión son: 1/4 , 1/2 , 1 , 2.
3
.
Suma Progresiones Geométricas
Suma de términos de una progresión geométrica.
Dada una progresión geométrica con n términos de la forma
la suma que se denota por Sn viene dada por:
Sn =
r diferente de 1
Sn=
.
EJERCICIOS PROGRESIONES ARITMETICAS Y
GEOMETRICAS
 Problemas resueltos de progresiones. Calcular el término general,
interpolación, suma de n términos.
Sn
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