Aritmética compleja

Capı́tulo 2
Aritmética compleja
Objetivos
Familiarizar al alumno con las distintas maneras de expresar números
complejos.
Manejar con soltura las operaciones aritméticas con números complejos.
2.1.
Representaciones de los números complejos
Los números enteros, Z, surgen para dar sentido a la resta de números
naturales, N, cuando el sustraendo es mayor que el minuendo. Por ejemplo,
2 − 3 = −1.
Los números racionales, Q, surgen para dar sentido al cociente de enteros,
cuando el dividendo no es múltiplo del divisor. Por ejemplo, 2 ÷ 4 = 1/2.
Los números reales, R, surgen para dar sentido
√ a operaciones entre números
racionales que no tienen solución racional, como 2, e = lı́m (1 + 1/n)n , 2π =
n→∞
longitud()/radio().
Del mismo modo, los números
complejos,
C, surgen para dar sentido a la
√
√
raı́ces de números negativos, −a2 = ±a
−1.
√
Esto se consigue denotando por i := −1 la unidad imaginaria. Ası́ pues,
i2 = −1.
De este modo, un número complejo z se puede escribir en forma binómica
como z = x + i y, siendo x su parte real e y, su parte imaginaria. Ambos
números x, y son reales.
Si x es nulo, se dice que el número z es imaginario puro. Si y es nulo, se
dice que z es real.
Asimismo podemos representar los números complejos como pares ordenados
(x, y) de números reales en el plano, forma cartesiana. El eje de las abscisas
corresponde a la parte real y el eje de las ordenadas, a la parte imaginaria.
También se pueden representar los números complejos, excepto el cero, en
forma polar, rφ , donde r es el módulo del número complejo, es decir, su
distancia al origen en el plano, y φ es su argumento, el ángulo que forma con
el semieje x positivo medido en el sentido antihorario. Las ecuaciones que ligan
1
2
CAPÍTULO 2. ARITMÉTICA COMPLEJA
φ
Figura 2.1: Representación de un número complejo
la forma polar con las otras representaciones son
r = |z| =
p
x2 + y 2 ,
z = r (cos φ + i sin φ) ,
tan φ =
x = r cos φ ,
y
,
x
(2.1)
y = r sin φ .
(2.2)
El argumento está definido salvo factor 2π, es decir, si φ es un argumento
de un número z, entonces φ + 2nπ es también un argumento para cualquier n
entero.
Finalmente, ı́ntimamente relacionada con la forma polar, está la forma exponencial, o de Euler,
z = r (cos φ + i sin φ) = reiφ .
(2.3)
i = cos(π/2) + i sin(π/2) = eiπ/2 ,
−i = cos(3π/2) + i sin(3π/2) = ei3π/2 .
√
Ejemplo 2.1.1 z = 1 − i, r = |z| = 2, tan φ = −1 ⇒ φ = 3π/4,√7π/4, pero
como
el número está en el cuarto cuadrante, la forma polar de z = 2ei7π/4 es
√
27π/4 .
1 = cos 2π + i sin 2π = ei2π ,
−1 = cos π + i sin π = eiπ ,
Ejemplo 2.1.2 z = 2π/3 = 2eiπ/3 . Entonces 2(cos π/3 + i sin π/3) = 1 + i
es la forma binómica de z.
2.2.
√
3
Suma de complejos
La suma de dos complejos, z, w, en forma binómica o cartesiana se define
como
z = x + i y = (x, y) , w = u + i v = (u, v) ,
z + w = (x + u) + i (y + v) = (x + u, y + v) .
Ejemplo 2.2.1 z = 1 − i,
√
w = 1 + i 3,
√
z + w = 2 + i ( 3 − 1).
3
2.3. PRODUCTO DE COMPLEJOS
El elemento neutro de la suma es el 0 = 0 + i 0 = (0, 0). Para todo z
complejo,
z+0=0+z =z .
(2.4)
El opuesto de un complejo z se denota por −z y se caracteriza porque
z + (−z) = (−z) + z = 0. En las distintas representaciones,
z = x + i y = (x, y) = rφ , −z = −x − i y = (−x, −y) = rφ+π = rei(φ+π) . (2.5)
√
√
Ejemplo 2.2.2 z = 1 + i 3 = 2π/3 = 2eiπ/3 , −z = −1 − i 3 = 24π/3 =
2ei4π/3 .
2.3.
Producto de complejos
El producto de dos complejos, z, w, en las diferentes representaciones se
define como
z = x + i y = (x, y) = rφ ,
z·w
=
=
w = u + i v = (u, v) = sϕ ,
(xu − yv) + i (xv + yu) = (xu − yv, xv + yu)
(rs)φ+ϕ = rsei(φ+ϕ) ,
teniendo en cuenta que i2 = −1 y que ea+b = ea eb .
Claramente, la representación polar es más cómoda que la binómica para
realizar productos de complejos. Podemos pensar en la multiplicación por z como
en una rotación de ángulo φ seguida de una homotecia de razón r. Ası́ pues,
multiplicar por un complejo de módulo unidad, es equivalente a rotar un ángulo
φ.
.
φ
φ
Figura 2.2: Multiplicación por un complejo unitario
√
√
√
Ejemplo 2.3.1 z = 1 − i = 2−π/4 = 2e−iπ/4 , w = 1 + i 3 = 2π/3 = 2eiπ/3 ,
√
√
√
√ iπ/12
z · w = (1 + 3) + i ( 3 − 1) = 2 2π/12 = 2 2e
.
El elemento unidad del producto es el 1 = 1 + i 0 = (1, 0) = 10 = ei0 .
Para todo z complejo,
z · 1 = 1 · z = z.
(2.6)
4
CAPÍTULO 2. ARITMÉTICA COMPLEJA
Otra operación interesante es la conjugación. El conjugado de un número
complejo, z, se denota por z̄ y se define en las distintas representaciones como
z = x + i y = (x, y) = rφ = reiφ ,
z̄ = x − i y = (x, −y) = r−φ = re−iφ . (2.7)
Observamos que el conjugado de un número es su simétrico respecto al eje
X en el plano, ya que la operación consiste simplemente en cambiar de signo la
parte imaginaria del número.
φ
−φ
Figura 2.3: Conjugación compleja
Ejemplo 2.3.2 z = 1 − i =
√ iπ/4
2e
.
√
2−π/4 =
√
2e−iπ/4 ,
z̄ = 1 + i =
√
2π/4 =
La conjugación se puede usar para despejar las partes real e imaginaria de
un número complejo z = x + iy,
<z = x =
z + z̄
,
2
=z = y =
z − z̄
.
2i
En particular, obtenemos expresiones interesantes para el seno y el coseno
de un ángulo, aplicándolas a z = cos φ + i sin φ = eiφ ,
cos φ =
eiφ + e−iφ
,
2
sin φ =
eiφ − e−iφ
.
2i
Claramente, ¯
z̄ = z, z + w = z̄ + w̄ y zw = z̄ w̄. Comprobamos esta última,
zw
= (x + i y)(u + i v) = (xu − yv) + i(xv + yu)
= (xu − yv) − i(xv + yu) = (x − i y)(u − i v) = z̄ w̄ .
Además, verifica que z · z̄ = |z|2 = x2 + y 2 = r2 . De aquı́ se deducen algunas
propiedades adicionales del módulo:
|z̄| = |z| .
|zw| = |z| · |w| .
Pues |zw|2 = zwzw = z z̄ww̄ = |z|2 · |w|2 .
|z + w|2 = |z|2 + |w|2 + 2<(z w̄) .
Pues |z +w|2 = (z +w)z + w = z z̄ +wz̄ +z w̄ +ww̄ = |z|2 +|w|2 +z w̄+z w̄ .
5
2.4. POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS
|<z| ≤ |z|, |=z| ≤ |z| .
Pues x2 ≤ x2 + y 2 .
|z + w| ≤ |z| + |w| .
Pues <(z w̄) ≤ |z w̄| = |z| · |w| .
|z − w| ≥ ||z| − |w|| .
Sustituyendo z por z − w en la anterior.
El inverso de un complejo z se denota por 1/z o por z −1 y se caracteriza
porque z · z −1 = z −1 · z = 1.
En las distintas representaciones,
z = x + i y = (x, y) = rφ = reiφ ,
e−iφ
x−iy
y
z̄
x
−1
−1
=
(r
)
=
=
=
,
−
. (2.8)
z
=
−φ
|z|2
x2 + y 2
x2 + y 2
x2 + y 2
r
√
√
√
2/2 π/4 =
Ejemplo 2.3.3 z = 1−i = 2−π/4 = 2e−iπ/4, 1/z = (1+i)/2 =
√
2/2 eiπ/4 .
El cociente de dos complejos, z, w 6= 0, consiste en multiplicar z por el
inverso de w.
En las diferentes representaciones,
z = x + i y = (x, y) = rφ = reiφ ,
w = u + i v = (u, v) = sϕ = seiϕ ,
z · w̄
(xu + yv) + i (−xv + yu)
xu + yv −xv + yu
z · w−1 =
=
=
,
|w|2
u2 + v 2
u2 + v 2 u2 + v 2
r
r
=
=
ei(φ−ϕ) .
(2.9)
s φ−ϕ
s
√
√
√
Ejemplo 2.3.4 z = 1 − i = 2−π/4 = 2e−iπ/4 , w = 1 + i 3 = 2π/3 = 2eiπ/3 ,
√
√
√
√
=
z/w = (1 − 3)/4 − i ( 3 + 1)/4 =
2/2
2/2 e−i7π/12 .
z
w
=
−7π/12
2.4.
Potencias y raı́ces de números complejos
La potencia n-ésima de un complejo, z, donde n es un número natural, se
define como
z n := z| ·{z
· · z} .
(2.10)
n
La representación polar es particularmente sencilla, ya que
z = rφ = reiφ ,
z n = (rn )nφ = rn einφ .
(2.11)
Ejemplo 2.4.1 (2π/3 )3 = 8π = 8eiπ = −8.
También es interesante la fórmula de Moivre,
(cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ ,
que permite calcular el seno y el coseno de un ángulo múltiplo.
(2.12)
6
CAPÍTULO 2. ARITMÉTICA COMPLEJA
Ejemplo 2.4.2 n = 2:
cos 2φ + i sin 2φ
(cos φ + i sin φ)2 = cos2 φ − sin2 φ + i 2 sin φ cos φ ,
cos 2φ = cos2 φ − sin2 φ
⇒
sin 2φ = 2 sin φ cos φ .
=
Una raı́z n-ésima de un complejo, z, donde n es un número natural, se define
como
√
(2.13)
w := n z = z 1/n , tal que z = wn .
Cada complejo distinto del cero tiene n raı́ces n-ésimas distintas. En forma
polar, z = rφ = reiφ , el conjunto completo de raı́ces se puede expresar como
√
√
n
z = {( n r)(φ+2mπ)/n , m = 0, 1, . . . , n − 1}
√
√
√
= {( n reiφ/n , n rei(φ+2π)/n , . . . , n rei(φ+2(n−1)π)/n } .
(2.14)
Como vemos, las raı́ces se obtienen a partir de una dada por rotaciones de
ángulo 2π/n, por lo que conforman un polı́gono regular de n lados.
√
√
π
√
√
Figura 2.4: Raı́ces cuartas de −16
Ejemplo 2.4.3 Las raı́ces cuartas de −16 son los cuatro números complejos
√
4
16π = {2π/4 , 23π/4 , 25π/4 , 27π/4 } = {2eiπ/4 , 2ei3π/4 , 2ei5π/4 , 2ei7π/4 }.