Problema 199

Problema 199.- (Propuesto por el editor).
∞
1 π
Demostrar que ∑ arctan 2 < .
2
n
n =1
Resolución: Vicente Vicario García, Huelva, España.
Daremos dos soluciones diferentes al problema, una totalmente elemental y otra
en la que se recurre a la conocida suma de Euler para el famoso problema de Basilea
∞
1 π2
.
ς (2) = ∑ 2 =
6
n =1 n
1ª Demostración. Utilizaremos dos lemas sencillos que demostramos a continuación.
Lema 1: “La función f ( x) = arctan x es estrictamente creciente en el intervalo
(0, π / 2) ”.
1
Basta con observar que f ´(x) =
> 0 en todo el intervalo considerado. ■
1+ x2
∞
x
π
Lema 2:”Si x > 0 se cumple que ∑ arctan
”.
=
2
2
1 + n(n − 1) x
n =1
a−b
Para la demostración basta emplear la identidad arctan a − arctan b = arctan
con
1 + ab
a = arctan nx y b = arctan(n − 1) x , para obtener
arctan
x
nx − (n − 1) x
= arctan
= arctan nx − arctan(n − 1) x
2
1 + nx ⋅ (n − 1) x
1 + n(n − 1) x
Por otra parte, la suma parcial n-ésima de la serie anterior es claramente
S n = (arctan x − arctan 0) + (arctan 2 x − arctan x) + (arctan 3 x − arctan 2 x) + ⋅ ⋅ ⋅ +
(arctan nx − arctan(n − 1) x) = arctan nx
y, en consecuencia
 π /2 ,x > 0
x

arctan
= lím S n = lím arctan nx =  0 , x = 0
∑
2
n → +∞
n →∞
1 + n(n − 1) x
n =1
− π / 2 , x < 0

∞
■
Finalmente, considerando x = 1 en el lema anterior y como ∀n ≥ 1 tenemos que
1
1
, entonces aplicando lema 1, llegamos al resultado
n2 ≥ n2 − n +1 ⇔ 2 ≤ 2
n
n − n +1
∞
∞
1
1
π
pedido: ∑ arctan 2 < ∑ arctan 2
= .
n
n − n +1 2
n =1
n =1
2ª Demostración. Emplearemos aquí la famosa suma de Euler y el siguiente lema que
demostramos a continuación.
Lema: “Tenemos la desigualdad arctan x < x , ∀x ∈ (0, π / 2 ) ”.
Para la demostración basta aplicar el teorema del valor medio de Lagrange a la función
f ( x) = arctan x , en (0, x) y observar que
arctan x − arctan 0
1
=
x−0
1+ c2
con c ∈ (0, x) →
arctan x
< 1 , ∀x ∈ (0, π / 2 ) ■
x
Ahora, basta aplicar el lema y observar la desigualdad
∞
∑ arctan
n =1
 π
1 ∞ 1 π ∞ 1 π π 2
<∑ 2 = + ∑ 2 = + 
− 1 <
2
4 n=2 n
4  6
n
n =1 n
 2
que es cierta ya que 2π 2 < 3π + 12 , (que se comprueba con una aproximación sencilla
de π ), lo que concluye la demostración.
---oooOooo---