Nota sobre un modelo de J. D. Hey para una empresa bajo

Nota sobre un modelo de J. D. Hey para una empresa bajo
incertidumbre en el precio que no busca necesariamente
maximizar el beneficio
Alberto A. Álvarez López
Departamento de Economı́a Aplicada Cuantitativa.
UNED.
Resumen: En el trabajo de Holthausen (1979) se estudia el comportamiento de una empresa competitiva bajo incertidumbre en el precio que
tiene la opción de operar en un mercado de futuros. En el artı́culo de
Hey (1981b), el autor extiende este modelo al considerar una empresa que,
en vez de buscar maximizar el beneficio (como la empresa original), busca
maximizar el rendimiento neto por trabajador (labor-managed firm). En el
presente trabajo estudiamos ciertos aspectos relacionados con la empresa del
modelo de Hey no tratados por el autor, ni tampoco tratados en el contexto
del trabajo original de Holthausen.
Palabras clave: empresa competitiva, empresa que maximiza el rendimiento
neto por trabajador, función de utilidad de Bernoulli, incertidumbre en
el precio, aversión al riesgo, medidas de Arrow–Pratt, costes fijos, impuestos.
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1
Introducción
En Hey (1981a) el autor plantea un modelo general para una empresa cuyo
objetivo no es maximizar el beneficio, sino el rendimiento neto por trabajador
(la que allı́ llama labor-managed firm), y llega a llamativas conclusiones sobre
su comportamiento. Además, estudia tal empresa tanto bajo certidumbre
como bajo incertidumbre en el precio y aversión al riesgo. En particular, el
modelo bajo incertidumbre es una extensión del modelo de Sandmo (1971).
En Hey (1981b) el autor amplı́a el modelo bajo incertidumbre en el
precio introduciendo un mercado de futuros para el bien producido por la
empresa. Este modelo ampliado es una extensión, para el tipo de empresa
que considera, del de Holthausen (1979).
En la sección 2 damos una descripción general de esta empresa que maximiza el rendimiento neto por trabajador, y detallamos algunas propiedades
que más adelante utilizamos. En la sección 2 estudiamos el modelo bajo
incertidumbre en el precio (y aversión al riesgo) con el mercado a plazo
presente, y estudiamos algunos aspectos no estudiados en los artı́culos de
Hey, como la variación de los costes fijos o la introducción de un impuesto.
La teorı́a de la utilidad esperada es utilizada aquı́ tal y como se presenta en
Mas-Colell, Whinston y Green (1995); en particular, la relación entre
la allı́ llamada función de utilidad de Bernuolli y la función de utilidad esperada de von Neumann–Morgenstern. Y dada una función de utilidad
(de Bernuolli) u, también consideramos las medidas de Arrow–Pratt
de aversión al riesgo: la absoluta y la relativa, denotadas, respectivamente,
por ru y Ru ; se trata de las funciones (definidas sobre R):
ru (s) = −
u (s)
u (s)
y Ru (s) = −s
u (s)
.
u (s)
Con R+ designamos el conjunto de los números reales no negativos, y
con R∗+ el de los positivos.
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2
Observaciones sobre el tipo de empresa que consideramos
Consideramos una empresa que produce un único output con dos inputs:
capital y trabajo, perfectamente competitiva en todos los mercados (tanto
los de factores como el de producto). Su tecnologı́a viene descrita por una
función de producción; matemáticamente, ésta es una función real f definida
sobre R+ × R+ , de forma que el nivel máximo Y de producción alcanzable
fijadas unas cantidades L ≥ 0 y K ≥ 0 de los factores trabajo y capital,
respectivamente, es: Y = f (L, K). Suponemos que la función f es suficientemente regular, y que verifica: f (L, 0) = 0 y f (0, K) = 0 para cada L ≥ 0 y
cada K ≥ 0, y también: fL > 0 y fK > 0. Suponemos además que la forma
cuadrática asociada a la matriz hessiana de f en cada (L, K) ∈ R∗+ × R∗+ es
definida negativa, o lo que es equivalente:
fLL
< 0,
fKK
< 0 y (fLK
)2 − fLL
fKK
< 0,
lo que en particular implica que f es estrictamente cóncava sobre R∗+ × R∗+ .
El objetivo de la empresa no es maximizar el beneficio, sino maximizar el
rendimiento neto por trabajador (o la utilidad esperada de este rendimiento,
en el caso de incertidumbre). Fijados unos niveles positivos L y K de los
factores trabajo y capital, respectivamente, el máximo nivel de producción
por trabajador alcanzable por la empresa es:
x=
f (L, K)
,
L
(1)
y su coste en capital por trabajador es: rK/L, donde r es el precio del capital
(la tasa de interés). De esta forma, fijado un nivel x (positivo) de producción
por trabajador, la empresa calcula el coste mı́nimo en capital por trabajador
de esta producción, que denotaremos: C(x), como el valor mı́nimo de la
función:
(L, K) −→ rK/L,
con la restricción: x = f (L, K)/L. Esta minimización puede llevarse a cabo
con una restricción adicional que fije alguno de los dos factores, o bien sin más
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restricciones, según opere la empresa a corto o a largo plazo, respectivamente.
En particular, la empresa puede operar a corto plazo con el factor capital
fijo: K = K̄ (con K̄ > 0), o con el factor trabajo fijo: L = L̄ (con L̄ > 0).
En cualquiera de los casos (corto o largo plazo) la función de costes C es
suficientemente regular y verifica: C > 0 y C > 01 . Antes de explicitar la
función objetivo de la empresa, nos interesa detallar un resultado especı́fico
del comportamiento a corto plazo con el capital fijo:
Resultado previo. En las condiciones anteriores, supongamos que la empresa opera a corto plazo con el factor capital fijo: K = K̄. Si la empresa
aumenta su producción por trabajador, necesariamente disminuye su producción total y su nivel de utilización del factor trabajo.
Demostración.
El volumen de producción por trabajador: x, est rela-
cionado con la cantidad de factor trabajo: L, por la igualdad (1), que al
considerar el capital fijo: K = K̄, toma la forma:
x=
f (L, K̄)
.
L
Esta última igualdad expresa explı́citamente x en función de L: L −→ x(L);
esta función, de acuerdo con las hipótesis sobre f , es derivable en cada
punto L, y de derivada:
dx(L)
f (L, K̄)L − f (L, K̄)
.
= L
dL
L2
Ahora bien, se tiene:
∀ L ∈ R∗+ , fL (L, K̄)L − f (L, K̄) < 0.
(2)
En efecto. Si fijamos L > 0 y aplicamos a la función s −→ f (s, K̄) el teorema
del valor medio sobre el intervalo [0, L], se obtiene:
f (L, K̄) − f (0, K̄) = fL (λ, K̄)L para algún λ ∈ (0, L),
de donde:
f (L, K̄) = fL (λ, K̄)L > fL (L, K̄)L,
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pues la función s −→ fL (s, K̄) es estrictamente decreciente (al ser fLL
< 0).
Efectivamente se verifica (2), y por tanto: dx(L)/dL < 0 para cada L > 0.
Por otra parte, el hecho de que al aumentar la producción por trabajador
disminuya la producción total es una consecuencia de que disminuya el nivel
de utilización del factor trabajo y de: fL > 0.
c.q.d.
Designemos por P el precio unitario de venta del producto. El rendimiento
neto que la empresa obtiene por trabajador al producir x unidades de output
por trabajador (con x ≥ 0) es:
π(x) = P x − C(x).
La empresa busca maximizar la función π (sobre R+ ), y su variable de decisión es el volumen de producción por trabajador: x. La condición necesaria
de primer orden de solución interior es:
P = C (x),
y la suficiente de segundo orden: C (x) > 0, que ya sabemos se satisface
autom ticamente. Este tipo de empresa que estamos considerando —en el
modelo habitual bajo certidumbre— escoge, pues, un nivel de producción
por trabajador tal que su coste en capital por trabajador marginal iguale el
precio.
3
El modelo: incertidumbre en el precio y un mercado de futuros
Consideramos una empresa como la descrita en la sección 2, y suponemos
que se enfrenta a una incertidumbre en el precio al cual podrá vender su
producto en el mercado. Más en concreto, suponemos que el precio es una
variable aleatoria real P , no negativa y no degenerada, con una distribución
conocida (por la empresa) y media µ > 0.
La empresa debe tomar sus decisiones de producción antes de la fecha
de la venta del producto, momento en que se resuelve la incertidumbre. A
la vez que la empresa decide cu nto producir, también puede operar, tanto
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vendiendo como comprando, en un mercado de futuros que suponemos existe
para el producto. El precio unitario en este mercado, que designaremos por b,
es conocido (no incierto) en el momento de la decisión2 .
La actitud de la empresa frente al riesgo está por una función de utilidad u, que supondremos suficientemente regular y tal que: u > 0 y u < 0.
En particular, la empresa presenta aversión al riesgo3 .
La empresa busca maximizar el rendimiento neto por trabajador, o más
precisamente: la utilidad esperada de este rendimiento. Si, por trabajador, la
empresa produce x unidades de output y opera —vendiendo o comprando—
con h futuros, entonces obtiene como rendimiento neto por trabajador4 :
π(x, h) = P (x − h) + bh − C(x).
En consecuencia, la empresa busca maximizar:
U (x, h) = E u π(x, h) .
El problema de decisión de la empresa es, pues, un problema de optimización (sin restricciones) de una función de dos variables sobre el conjunto R+ ×R. Las condiciones necesarias de primer orden de solución interior
son:
y
Ux (x, h) = E u π(x, h) · P − C (x) = 0
(3)
Uh (x, h) = E u π(x, h) · (b − P ) = 0.
Suponemos, a partir de ahora, existe una solución óptima interior (x∗ , h∗ ) (en
particular: x∗ > 0) para este problema. Es decir, suponemos que la empresa
escoge un nivel óptimo de producción por trabajador: x∗ , que es positivo, y
un volumen óptimo de operaciones a plazo por trabajador: h∗ .
Si en el problema de optimización anterior imponemos la restricción: h =
0, obtenemos formalmente el mismo problema estudiado en Sandmo (1971)
para una empresa que maximiza el beneficio (en particular, si en la condición
de primer orden (3) hacemos h = 0, obtenemos la misma condición estudiada
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por este autor). Interpretando el resultado fundamental de Sandmo (1971)
en términos de producción por trabajador, podemos afirmar: bajo incertidumbre en el precio y aversión al riesgo (y en ausencia del mercado de
futuros), la empresa produce por trabajador menos de lo que producirı́a en
el caso de certidumbre con el precio igual al precio esperado. Este resultado
tiene una consecuencia en el caso en que la empresa opere a corto plazo con
el factor capital fijo (cf. sección 2): la incertidumbre induce un aumento de
la producción total y del nivel de utilización del factor trabajo 5 .
La existencia del mercado de futuros modifica la situación sustancialmente. Antes de ver los resultados, debemos observar que el problema de optimización que estamos considerando es formalmente el mismo que se estudia
´
en Alvarez
(1999) (y por ende el que se plantea en Holthausen (1979)); de
hecho, para enfatizar esta coincidencia formal utilizamos los mismos sı́mbolos6 .
En particular, no ser necesario demostrar aquı́ ningún resultado, sino tan sólo
remitirse a la prueba correspondiente en el artı́culo citado.
En primer lugar, caracterizamos la producción óptima por trabajador:
Resultado 1. Se verifica: b = C (x∗ ).
Este resultado establece que la empresa elige el nivel de producción por
trabajador como si el precio fuera conocido con certidumbre e igual al precio a
plazo: b. Una consecuencia inmediata es que la producción por trabajador es
indiferente, por ejemplo, a la distribución del precio o a la aversión al riesgo.
Otra consecuencia es la siguiente. Supongamos que el mercado de futuros
es altamente competitivo, de forma que el precio esperado: µ, es aproximadamente igual al precio a plazo (sobre este detalle, véase Hey (1981b,
p. 755)). Entonces, comparando con el comportamiento de la empresa bajo
incertidumbre en ausencia del mercado de futuros (en este caso produce por
trabajador menos de lo que producirı́a bajo certidumbre con el precio igual
a µ), podemos afirmar: la introducción del mercado de futuros induce a la
empresa a aumentar su producción por trabajador. Si la empresa opera a
corto plazo con el factor capital fijo, podemos adicionalmente afirmar que
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la introducción del mercado de futuros induce a la empresa a disminuir su
producción total y el nivel de utilización del factor trabajo.
En segundo lugar, mostramos cómo la relación entre el precio esperado y
el precio del futuro influye en las decisiones sobre las operaciones a plazo:
Resultado 2. Si µ > b, entonces h∗ < x∗ ; si µ = b, entonces h∗ = x∗ ; y
si µ < b, entonces h∗ > x∗ .
Podemos, pues, afirmar: si µ > b, entonces la empresa decide cubrir parte
de su producción por trabajador (0 < h∗ < x∗ ), o no entrar en absoluto en
el mercado de futuros (h∗ = 0), o especular comprando en este mercado
(h∗ < 0); si µ = b, entonces la empresa decide cubrirse totalmente (h∗ = x∗ );
y, finalmente, si µ < b, decide especular vendiendo a futuro, por trabajador,
más de lo que produce (h∗ > x∗ ).
Un tercer resultado nos informa cómo influye una variación en la aversión
al riesgo en las decisiones de cobertura. Para estudiar el efecto, debemos
considerar dos empresas en las condiciones del modelo, una con utilidad u y
la otra con una utilidad v. Como la única diferencia entre ellas está en su
función de utilidad (de Bernoulli), ambas escogen el mismo nivel óptimo
de producción por trabajador. En el resultado siguiente se comparan los
volúmenes óptimos de cobertura por trabajador escogidos por ambas empresas —denotados: h∗u y h∗v , respectivamente— bajo la hipótesis de que la
primera presenta una aversión absoluta al riesgo mayor que la segunda.
Resultado 3. Bajo la hipótesis: ∀ s ∈ R, ru (s) > rv (s), se verifica que h∗u >
h∗v cuando µ > b, y que h∗u < h∗v cuando µ < b.
En el siguiente resultado consideramos unos costes fijos y estudiamos la
influencia de su variación en las operaciones a plazo. Consideramos, pues, que
la empresa opera a corto plazo (con el capital fijo), y que el coste en capital
por trabajador C(x) (de producir x unidades por trabajador) se descompone
en un coste variable c(x) más un coste fijo B:
C(x) = c(x) + B.
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Supongamos que al aumentar el coste fijo de B a B1 la empresa decide pasar
del volumen h∗ de operaciones en el mercado de futuros a un volumen h∗1 .
Entonces:
Resultado 4. Bajo la hipótesis de que la medida de Arrow–Pratt de la
aversión absoluta al riesgo: ru , es una función estrictamente decreciente, se
tiene: h∗ < h∗1 cuando µ > b, y h∗ > h∗1 cuando µ < b.
Finalmente, ampliamos el modelo suponiendo existe un impuesto proporcional sobre el rendimiento neto por trabajador a un tipo τ (con 0 < τ < 1),
de forma que tal rendimiento después de impuestos es:
πτ (x, h) = (1 − τ ) P (x − h) + bh − C(x) ,
y la empresa busca un nivel de producción por trabajador x∗τ y un volumen
de operaciones a plazo por trabajador h∗τ con los que maximizar:
Uτ (x, h) = E u πτ (x, h) .
La producción óptima por trabajador no varı́a al considerar el impuesto: x∗τ =
x∗ ; sı́ varı́a, sin embargo, el nivel de cobertura, y depende del tipo del impuesto:
Resultado 5. Bajo la hipótesis de que la medida de Arrow–Pratt de
la aversión relativa al riesgo: Ru , es una función estrictamente decreciente,
al aumentar el tipo del impuesto se verifica que h∗τ aumenta si µ > b, y
disminuye si µ < b.
Bibliografı́a
´
1. Alvarez,
A. A. (1999): “Sobre un modelo de Holthausen para la
empresa competitiva bajo incertidumbre en el precio”. Actas de las
VII Jornadas de ASEPUMA, pp. 1–11.
2. Hey, J. D. (1981a): “A unified theory of the behaviour of profitmaximizing, labor-managed and joint-stock firms operating under uncertainty”. The Economic Journal, vol. 91, junio, pp. 364–374.
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3. Hey, J. D. (1981b): “Hedging and the competitive labor-managed
firm under price uncertainty”. The American Economic Review, vol. 71,
no. 4, pp. 753–757.
4. Holthausen, D. M. (1979): “Hedging and the competitive firm under
price uncertainty”. The American Economic Review, vol. 69, no. 5,
pp. 989–995.
5. Mas-Colell, A., M. Whinston, y J. Green (1995): Microeconomic Theory. Oxford University Press, Nueva York. Capı́tulo 6.
6. Sandmo, A. (1971): “On the theory of the firm under price uncertainty”. The American Economic Review, vol. 61, pp. 65–73.
7. Simon, C. P. y L. Blume (1994): Mathematics for Economists. Norton, Nueva York. Sección 19.4.
Notas:
1. En Hey (1981a) pueden consultarse detalles sobre el cálculo efectivo de C y C .
Sobre el problema de la regularidad, puede consultarse Simon y Blume (1994).
2. A los efectos de este artı́culo (y de acuerdo con los trabajos de Holthausen (1979),
´
o Alvarez
(1999)), por vender en este mercado de futuros un volumen igual a h
(o, simplemente, vender h futuros) entenderemos recibir un efectivo igual a bh, en
el momento en que se toma la decisión, a cambio de comprometerse a entregar h
unidades de producto en la fecha en que se lleva a cabo la venta; por comprar
entenderemos la operación contraria.
3. De acuerdo con la nomenclatura de Mas-Colell, Whinston y Green (1995), la
función u es la función de utilidad de Bernoulli.
4. La cantidad de producto es no negativa: x ≥ 0, y el volumen h de las operaciones a
plazo puede ser teóricamente un número real cualquiera: si es positivo, la operación
se interpreta como una venta, y si es negativo, como una compra. Por otra parte,
recuérdese que C(x) designa el coste mı́nimo en capital por trabajador consistente
con la producción de x unidades de output por trabajador (cf. sección 2).
5. En Hey (1981a) se estudia este modeloy se extiende el modelo de Sandmo (1971) —
que está basado en una empresa maximizadora del beneficio— al tipo de empresa
que estamos considerando, y lleva a cabo un estudio muy completo de distintas
propiedades de estática comparativa.
50
´
6. En concreto, los sı́mbolos cuyo significado difiere son: C, x y h. En Alvarez
(1999)
designaban, respectivamente, coste total, producción total y volumen de operaciones a plazo; en el modelo que ahora nos ocupa, coste en capital por trabajador,
producción por trabajador y volumen de operaciones a plazo por trabajador.
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