1 Trigonometr´ıa.

Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 5) Hoja
1
Escuela Técnica Superior de Ingenierı́a Civil e Industrial (Esp. en Hidrologı́a)
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a.
Tema 5: Geometrı́a del plano y del espacio.
1
Curso 2008-09
Trigonometrı́a.
1.1
Ángulos y razones
Un ángulo viene determinado por dos semirrectas, llamadas lados, con un mismo origen llamado vértice.
Medida de ángulos.
En el sistema sexagesimal se toma como unidad el ángulo recto. Un ángulo recto se divide en 90 partes
llamadas grados sexagesimales.
En el sistema circular la unidad de medida es el radián. Un ángulo mide un radián cuando la longitud del
arco es igual al radio.
360o = 2π radianes
Si la medida de un ángulo es de g grados sexagesimales y r en radianes, se verifica:
g
r
=
180
π
Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
sen α =
longitud del cateto opuesto a
longitud de la hipotenusa
α
cos α =
longitud del cateto contiguo a
longitud de la hipotenusa
α
tg α =
sen α
longitud del cateto opuesto a α
=
longitud del cateto contiguo a α
cos α
Además se definen las razones secante (sec), cosecante (cosec) y cotangente (ctg) de la forma:
secα =
1
cosα
1
senα
1
ctgα =
tgα
cosecα =
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2
Razones de los ángulos de 0o , 30o , 45o , 60o y 90o .
seno
coseno
tangente
0o
0
1
0
30o
1
√2
3
√2
3
3
o
45
√
2
√2
2
2
1
o
60
√
3
2
1
√2
3
90o
1
0
no definida
Relación fundamental de la trigonometrı́a.
sen 2 α + cos2 α = 1
Como se puede observar esta relación es consecuencia inmediata del Teorema de Pitágoras
h2 = C 2 + c2 ,
es decir, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Ejercicios
1. Calcula la altura que alcanza una escalera de 6m de longitud cuando descansa sobre una pared y forma
un ángulo de 60o con el suelo.
Solución: x = 6sen60o .
2. Se quiere medir la altura de una estatua situada sobre un pedestal. Desde un punto que se encuentra a
20m del pedestal, éste se observa bajo un ángulo de 12o y el extremo superior de la estatua bajo un ángulo
de 28o . ¿Qué altura tiene la estatua?
Solución: y = 20(tg28o − tg12o )
3. Calcula la altura de un edificio sabiendo que, desde cierto punto, la cúspide del edificio forma un ángulo
de 30o con la horizontal y cuando nos aproximamos 70m el ángulo es de 60o .
70tg60o tg30o
Solución: y =
.
tg60o − tg30o
Relaciones entre las razones de ángulos distintos.
Complementarios
cos(90o − α) = sen α
sen (90o − α) = cos α
tg (90o − α) = ctgα
Suplementarios
cos(180o − α) = − cos α
sen (180o − α) = sen α
tg (180o − α) = −tg α
Difieren en 180o
cos(180o + α) = − cos α
sen (180o + α) = −sen α
tg (180o + α) = tg α
Opuestos
cos(−α) = cos α
sen (−α) = −sen α
tg (−α) = −tg α
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3
Fórmulas de adición.
Razones de la suma
sen (α + β) = sen α cos β + cos αsen β
cos(α + β) = cos α cos β − sen αsen β
tg α + tg β
tg (α + β) =
1 − tg αtg β
Razones de la diferencia
sen (α − β) = sen α cos β − cos αsen β
cos(α − β) = cos α cos β + sen αsen β
tg α − tg β
tg (α − β) =
1 + tg αtg β
Fórmulas del ángulo doble y mitad.
sen 2α = 2sen α cos α
cos 2α = cos2 α − sen 2 α
2tg α
tg 2α =
1 − tg 2 α
1 − cos 2α
2
1 + cos 2α
cos2 α =
2
1 − cos 2α
tg 2 α =
1 + cos 2α
sen 2 α =
Fórmulas de transformación en producto.
α+β
α−β
cos
2
2
α+β
α−β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
α+β
α−β
sen α − sen β = 2 cos
sen
2
2
α+β
α−β
cos α − cos β = −2sen
sen
2
2
sen α + sen β = 2sen
Ejercicios
1. Resuelve la ecuación sen 2x = sen x.
Solución: 2senxcosx = senx, senx(2cosx − 1) = 0.
Por tanto, senx = 0 o 2cosx − 1 = 0, es decir cosx = 12 . Luego las soluciones son: kπ,
π
3
+ 2kπ y − π3 + 2kπ.
2. Resuelve la ecuación sen x + cos x = 1.
√
√
Solución: senx + 1 − sen2 x = 1, por tanto 1 − sen2 x = 1 − senx, y elevando al cuadrado obtenemos:
1 − sen2 x = 1 + sen2 x − 2senx
2sen2 x − 2senx = 0; 2senx(senx − 1) = 0. Por tanto senx = 0 o senx = 1, es decir, x = kπ y x =
π
2
+ 2kπ
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1.2
4
Resolución de triángulos
Sea ABC un triángulo, donde denotamos por A, B, C los ángulos y por a, b, c, los lados enfrentados a los
ángulos A, B, C, respectivamente.
Se verifica:
A + B + C = 180o = π radianes
Teorema del seno:
a
b
c
=
=
= 2R
sen A
sen B
sen C
siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Teorema del coseno:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
Área del triángulo:
1
absen C
2
1
S = acsen B
2
1
S = bcsen A
2
S=
Dado p =
a+b+c
,
2
S=
p
p(p − a)(p − b)(p − c) (Fórmula de Herón)
Ejercicios
1. Un barco que se encuentra frente a un golfo es observado desde los dos cabos que lo forman y que distan
10km. Desde cada cabo se ve el barco con ángulos de 28o y 32o . Calcula la menor distancia a que se
encuentra el barco de la costa.
sen28o
sen120o
=
Solución:
10
a
2. Desde un aeropuerto C se observan dos aviones A y B bajo un ángulo de 38o . Si los aviones distan 5 y 8
km del aeropuerto, calcula la distancia que separa a los aviones.
Solución: a2 = 82 + 52 − 2 × 8 × 5cos38o
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2
5
El plano y el espacio euclı́deos. Operaciones
2.1
Introducción
R2 = {(x, y) /x, y ∈ R} ; R3 = {(x, y, z) /x, y, z ∈ R}
Es usual representar, por comodidad, a los elementos de estos conjuntos por u, entendiéndose que tienen
dos o tres coordenadas según trabajemos en R2 o R3 y se les denomina vectores. En estos conjuntos se definen
dos operaciones: una interna llamada suma y una externa llamada producto por un escalar.
Suma
u
2.2
u+v
v
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) y (x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
Ejemplos:
• (1, 2) + (−4, 5) = (1 + [−4], 2 + 5) = (−3, 7)
1
1
5
• (1, 2, −3) + (4, , 2.5) = (1 + 4, 2 + , −3 + 2.5) = (5, , −0.5)
2
2
2
Esta operación verifica las propiedades usuales de una suma: sean u, v, w vectores de R2 (R3 ).
1. Asociativa: u + (v + w) = (u + v) + w
2. Conmutativa: u + v = v + u
3. Elemento neutro: u + 0 = u,
4. Opuesto: u + (−u) = 0,
2.3
0 = (0, 0) ó 0 = (0, 0, 0)
−u = (−x, −y)
ó −u = (−x, −y, −z)
Producto por un escalar
λ(x, y) = (λx, λy) y λ(x, y, z) = (λx, λy, λz) donde λ ∈ R.
Esta operación está relacionada con el paralelismo de vectores, de forma que dos vectores u, v son paralelos si
y sólo si existe un número real α tal que u = α v y se escribe u k v. Una aplicación geométrica de este último
hecho son las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las rectas, tanto en el plano como en el espacio.
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6
r
OP0=(x0,y0)
P0
OP=(x,y)
v=(v1,v2)
P(x,y)
O v
(a) En R2 , la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 (x0 , y0 ) y que tiene como vector director a
v = (v1 , v2 ), se obtiene al tener en cuenta que dado un punto cualquiera P (x, y) de la recta debe ocurrir
que P0 P k v y este hecho caracteriza a todos los puntos de la recta. Por lo tanto P0 P = λ v. Recordar que
las coordenadas del vector que une dos puntos se calculan restando a las coordenadas del punto extremo
las del punto origen. Luego:
(x − x0 , y − y0 ) = λ (v1 , v2 ) ⇔ (x, y) = (x0 , y0 ) + λ (v1 , v2 )
½
x = x0 + λ v1
(Ec. Paramétricas)
y = y0 + λ v2
x − x0
y − y0
=
v1
v2
y − y0 =
v2
(x − x0 )
v1
(Ec. vectorial)
(Ecuación continua)
( Ecuación punto-pendiente)
v2
recibe el nombre de pendiente y coincide con la tangente del ángulo que forma la recta
v1
con el eje OX. En el caso de las rectas paralelas al eje OX, m = 0. Para las rectas paralelas al eje OY ,
m = ∞.
el cociente m =
y = mx + n
ax + by + c = 0
(Forma explı́cita)
(Forma general o implı́cita:)
n=
v2
x0 + y0
v1
b = −v1 , a = v2 , c = −v2 x0 + v1 y0
(b) Análogamente, en R3 , la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 (x0 , y0 , z0 ) y que tiene como vector
director a v = (v1 , v2 , v3 ), será :
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = λ (v1 , v2 , v3 ) ⇔ (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ (v1 , v2 , v3 )

 x = x0 + λ v1
y = y0 + λ v2
(Ec. Paramétricas)

z = z0 + λ v3
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
v1
v2
v3
½
ax + by + cz + d = 0
a0 x + b0 y + b0 z + d0 = 0
(Ecuaciones continuas)
(Ecuaciones generales)
(Ec. vectorial)
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7
Ejemplos:
2
2 2
2
(1, −3) = ( 1, [−3]) = ( , −2)
3
3 3
3
√
√
√
√
√
√
• 5 (4, −1, 0) = ( 5 4, 5 [−1], 5 0) = (4 5, − 5, 0)
•
• Hallar la recta que pasa por el punto P0 (1, 1) y tiene como vector director a v = (−2, 3).
(x − 1, y − 1) = λ (−2, 3) ⇔ (x, y) = (1, 1) + λ (−2, 3)
½
x=1−2λ
(Ec. Paramétricas)
y =1+3λ
(Ec. vectorial)
• Hallar la recta que pasa por los puntos P0 (1, −2, 0) y P1 (2, 3, −1).
En primer lugar hemos de averiguar el vector director de la recta, pero es obvio que debe ser el que une
los dos puntos dados, es decir v = P0 P1 = (1, 5, −1). A partir de aquı́ la cosa es sencilla
(x − 1, y − (−2), z − 0) = λ (1, 5, −1) ⇔ (x, y, z) = (1, −2, 0) + λ (1, 5, −1)

 x=1+λ
y = −2 + 5 λ
(Ec. Paramétricas)

z = −λ
(Ec. vectorial)
Las propiedades más importantes de esta operación son: sean u, v vectores de R2 (R3 ), y λ, µ ∈ R.
1. λ(u + v) = λu + λv
2. (λ + µ)u = λu + µu
3. λ(µu) = (λµ)u
4. 1u = u
5. 0u = 0
6. λ0 = 0
3
Módulo de un vector
Se define el módulo de un vector como
p
p
|u| = x2 + y 2 (u = (x, y) ∈ R2 ) ; |u| = x2 + y 2 + z 2 (u = (x, y, z) ∈ R3 )
Este número mide el tamaño del vector.
y
|u|
x
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8
Ejemplos:
• |(2, 3)| =
p
√
22 + 32 =
s
1
• |(−1, , 4)| =
2
(−1)2
4+9=
√
13
r
√
√
µ ¶2
1
1
4 + 1 + 64
69
2
+
+ 4 = 1 + + 16 =
=
2
4
2
2
Un vector se dice unitario si su módulo es 1. Se denominan vectores unitarios canónicos a los siguientes:
i = (1, 0),
j = (0, 1)
(en R2 )
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) (en R3 )
Todo vector de R2 o R3 , se expresa como combinación lineal de los correspondientes vectores canónicos
u = (x, y) = x i + y j
4
,
u = (x, y, z) = x i + y j + z k
Producto escalar
Dados dos vectores no nulos u y v, se define el producto escalar de estos como el número real:
u.v = |u|.|v|.cos α
siendo α el ángulo que forman dichos vectores. Si uno de los vectores es nulo, el producto escalar es cero. El
producto escalar también dará cero cuando los vectores sean perpendiculares, ya que en dicho caso el ángulo
formado por estos es de 90◦ y cos(90◦ ) = 0.
El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
En términos de coordenadas el producto escalar se expresa como:
u.v = x1 .x2 + y1 .y2
u.v = x1 .x2 + y1 .y2 + z1 .z2
(u = (x1 , y1 ) , v = (x2 , y2 ) ∈ R2 )
(u = (x1 , y1 , z1 ) , v = (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3 )
Este último hecho nos permite hallar la ecuación de un plano que pasa por un punto dado P0 (x0 , y0 , z0 ) y
tiene como vector perpendicular, es decir, vector director a v = (v1 , v2 , v3 ).
v
v=(v1,v2,v3)
OP0=(x0,y0,z0)
OP=(x,y,z)
P0
P
P(x,y,z)
O
Nótese que si P (x, y, z) es cualquier punto del plano mencionado, ha de ocurrir que los vectores P0 P y v
sean perpendiculares, y además esta cuestión caracteriza a todos los puntos de ese plano. Por tanto:
P0 P ⊥ v ⇔ P0 P · v = 0 ⇔ v1 (x − x0 ) + v2 (y − y0 ) + v3 (z − z0 ) = 0
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9
llegándose a la ecuación general del plano
Ax + By + Cz + D = 0
(A = v1 , B = v2 , C = v3 , D = −[v1 x0 + v2 y0 + v3 z0 ])
El plano puede ser representado, al igual que la recta, en forma vectorial y paramétrica. Para ello, sea
P0 (x0 , y0 , z0 ) un punto del plano, u = (u1 , u2 , u3 ) y w = (w1 , w2 , w3 ) dos vectores del mismo y P (x, y, z) un
punto arbitrario de éste. Entonces,
(x−x0 , y−y0 , z−z0 ) = λ (u1 , u2 , u3 )+µ (w1 , w2 , w3 ) ⇔ (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 )+λ (u1 , u2 , u3 )+µ (w1 , w2 , w3 )

 x = x0 + λ u1 + µ w1
y = y0 + λ u 2 + µ w 2
(Ec. Paramétricas)

z = z0 + λ u3 + µ w3
4.1
(Ec. vectorial)
Propiedades
Sean u, v, w vectores en el plano o en el espacio y λ número real.
1. u · v = v · u
2. u · (v + w) = u · v + u · w
3. λ (u · v) = (λ u) · v = u · (λ v)
4. 0 · u = 0
Es fácil comprobar que el módulo de un vector puede escribirse como
que u.u = 1.
√
u.u y que un vector unitario verifica
Ejemplos:
• u = (1, 3) , v = (0, −2) ⇒ u · v = 1 · 0 + 3 · (−2) = −6
1
1
1 1
2
−13
• u = (−1, 2, ) , v = (4, , −2) ⇒ u · v = −(1) · 4 + 2 · + · (−2) = −4 + − 1 =
2
3
3 2
3
3
• Calcular el ángulo entre los vectores u = (−4, 0, 2) y v = (2, 0, −1).
d
cos(u
, v) =
u·v
−10
d
√ = −1 ⇒ u
=√
, v = π rad.
|u| · |v|
20 · 5
• Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P0 (2, 1, 1) y tiene como vector director a v = (9, 6, 12).
(x − 2, y − 1, z − 1) · (9, 6, 12) = 0 ⇔ 9(x − 2) + 6(y − 1) + 12(z − 1) = 0 ⇔ 9x + 6y + 12z − 36 = 0
es decir
3x + 2y + 4x − 12 = 0
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5
10
Producto vectorial
Dados los vectores u, v ∈ R3 que forman un ángulo α, se llama producto vectorial de u y v a un vector que
representamos por u × v y queda caracterizado del siguiente modo:
v
ux v
u
vxu
Módulo: |u × v| = |u|.|v|.|sen α|
Dirección: perpendicular al plano determinado por los vectores u y v
Sentido: el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de u a v
5.1
Propiedades
Sean u, v, w vectores en el espacio y λ número real.
1. u × v = −(v × u)
2. u × (v + w) = u × v + u × w
3. λ (u × v) = (λ u) × v = u × (λ v)
4. u × 0 = 0 × u = 0
5. u × u = 0
El módulo del vector u × v es igual al área del paralelogramo que tiene por lados adyacentes a los vectores
u y v.
v
u
En términos de coordenadas, el producto vectorial se expresa como: u = (x1 , y1 , z1 ), v = (x2 , y2 , z2 )
u × v = (y1 z2 − z1 y2 , z1 x2 − x1 z2 , x1 y2 − y1 x2 )
Una regla, fácil de recordar, para calcular las coordenadas de u × v es el desarrollo del siguiente pseudodeterminante
¯
¯
¯ i
j k ¯¯
¯
u × v = ¯¯ x1 y1 z1 ¯¯ = (y1 z2 − z1 y2 ) i + (z1 x2 − x1 z2 ) j + (x1 y2 − y1 x2 ) k
¯ x2 y2 z2 ¯
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11
Ejemplos:
• u = (1, −4, 1), v = (2, 3, 0)
¯
¯
¯ i j k ¯ ¯
¯ ¯ −4 1
¯
u × v = ¯¯ 1 −4 1 ¯¯ = ¯¯
3 0
¯ 2 3 0 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ i − ¯ 1
¯
¯ 2
¯
¯
¯ 1
1 ¯¯
j + ¯¯
0 ¯
2
¯
−4 ¯¯
k = −3 i + 2 j + 11 k = (−3, 2, 11)
3 ¯
• Mostrar que el cuadrilátero con vértices en los puntos siguientes es un paralelogramo y calcular su área.
A(5, 2, 0), B(2, 6, 1), C(2, 4, 7), D(5, 0, 6).
Los lados del cuadrilátero los constituyen los cuatro vectores AB, AD, CB, y CD. Hallemos dichos
vectores
AB = (−3, 4, 1); AD = (0, −2, 6); CB = (0, 2, −6); CD = (3, −4, −1)
es fácil apreciar que CD = −AB y que CB = −AD, luego los lados del cuadrilátero son paralelos dos a
dos, es decir, es un paralelogramo. En cuanto al área de éste, bastará con calcular el módulo del vector
que se obtiene al multiplicar vectorialmente dos de los vectores adyacentes que constituyen sus lados.
¯
¯
¯
¯ i
¯
¯
¯
¯
j k ¯¯ ¯¯
¯
¯ −3 1 ¯
¯ −3 4 ¯
4 1 ¯¯
¯
¯
¯ k = 26 i+18 j+6 k = (26, 18, 6)
¯
¯
¯
¯
AB×AD = ¯ −3 4 1 ¯ = ¯
i−¯
j+¯
−2 6 ¯
0 6 ¯
0 −2 ¯
¯ 0 −2 6 ¯
y el módulo de este vector nos dará el área buscada
p
√
Área = (26)2 + (18)2 + (6)2 = 1036 u.a.
• Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos P0 (2, 1, 1), P1 (0, 4, 1) y P2 (−2, 1, 4).
Por lo visto hasta ahora, lo pedido serı́a sencillo si conociésemos un vector perpendicular al plano. Este
vector puede obtenerse fácilmente efectuando el producto vectorial de los vectores P0 P1 y P0 P2 .
v = P0 P1 × P0 P2 = (9, 6, 12)
por lo que el plano buscado será
9(x − 2) + 6(y − 1) + 12(z − 1) = 0 ⇔ 3x + 2y + 4z − 12 = 0
6
Producto mixto
Dados tres vectores u, v, w ∈ R3 , se llama producto mixto de estos al producto escalar de u por el vector
resultante del producto vectorial de v por w, y se representa por [u, v, w].
[u, v, v] = u.(v × w)
Es evidente que el producto mixto de tres vectores es un número real. El valor absoluto de dicho número
coincide con el volumen del paralelepı́pedo que tiene por aristas adyacentes los vectores u, v y w.
w
v
u
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12
En términos de coordenadas, el producto mixto se expresa como: u = (x1 , y1 , z1 ), v = (x2 , y2 , z2 ),
w = (x3 , y3 , z3 )
[u, v, w] = x1 (y2 z3 − z2 y3 ) + y1 (z2 x3 − x2 z3 ) + z1 (x2 y3 − y2 x3 )
y una forma sencilla de
¯
¯
¯
[u, v, w] = ¯¯
¯
calcularlo serı́a desarrollando el siguiente determinante
¯
x1 y1 z1 ¯¯
x2 y2 z2 ¯¯ = x1 (y2 z3 − z2 y3 ) + y1 (z2 x3 − x2 z3 ) + z1 (x2 y3 − y2 x3 )
x3 y3 z3 ¯
Ejemplo:
• Calcular el volumen del paralelepı́pedo que tiene a los vectores u = (3, −5, 1),
w = (3, 1, 1) como aristas adyacentes.
¯¯
¯¯
¯ ¯ 3 −5 1 ¯ ¯
¯¯
¯¯
Volumen = |u · (v × w)| = ¯¯ ¯¯ 0 2 −2 ¯¯ ¯¯ = |36| = 36 u.v.
¯¯ 3 1
1 ¯¯
7
v = (0, 2, −2))
y
Posiciones relativas de planos y rectas.
7.1
Rectas en el plano.
Dos rectas del plano pueden cortarse, ser paralelas o ser coincidentes.
1. Si las rectas vienen dadas en forma genaral ax + by + c = 0 y a0 x + b0 y + c0 = 0
a
b
6
=
las dos rectas se cortan.
a0
b0
a
b
a
b
c
a
b
c
• si 0 = 0 , entonces: si 0 = 0 6= 0 son paralelas y si 0 = 0 = 0 coinciden
a
b
a
b
c
a
b
c
• si
2. Si vienen dadas en forma vectorial OX = OP + td y OX = OQ + td0
• si d 6= kd0 , se cortan
• si d = kd0 y OP − OQ 6= k 0 d, son paralelas
• si d = kd0 = k 0 (OP − OQ), son la misma recta
3. Si vienen dadas en forma explı́cita y = mx + n e y = m0 x + n0
• si m 6= m0 , se cortan
• si m = m0 y n 6= n0 , son paralelas
• si m = m0 y n = n0 , coinciden
Ángulo entre dos rectas: el ángulo que forman dos rectas r y r0 , es el que forman sus vectores directores. Si
estos son d y d0 , el ángulo φ será:
d.d0
cos φ = cos(d, d0 ) =
|d||d0 |
Cuando la inclinación de las rectas viene dada por sus pendientes m y m0 , el ángulo φ se determina por
tag φ = tag(α − β) =
m − m0
tag α − tag β
=
1 + tag α tag β
1 + mm0
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 5) Hoja
13
siendo m = tag α y m0 = tag β
Si las rectas son perpendiculares, no existe tag φ. En ese caso 1 + mm0 = 0 ⇒ mm0 = −1, o lo que es lo
1
mismo m0 = − .
m
Distancia de un punto a una recta: Dada la recta r : ax + by + c = 0 y el punto P (x0 , y0 ), la distancia del punto
P a la recta r viene dada por
|ax0 + by0 + c|
√
dist(P, r) = d(P, r) =
a2 + b2
7.2
Rectas y planos en el espacio.
Aunque no es la única forma de estudiar la posición relativa entre planos o rectas o recta y plano, en el espacio.
Nosotros lo haremos haciendo uso del álgebra matricial, planteando el problema como el estudio de sistemas de
ecuaciones.
Posición relativa entre dos planos.
Dos planos son paralelos si no tienen ningún punto común, y secantes (o incidentes) en caso contrario. Dados
dos planos π1 ≡ a1 x + b1 y + c1 z = d1 y π2 ≡ a2 x + b2 y + c2 z = d2 , tenemos:
µ
¶
a1 b1 c1
- Son secantes si rango
= 2.
a2 b2 c2
µ
¶
µ
¶
a1 b1 c1
a1 b1 c1 d1
- Son paralelos si rango
= 1 y rango
= 2.
a2 b2 c2
a2 b2 c2 d2
¶
µ
a1 b1 c1 d1
= 1, se trata del mismo plano.
- En el caso de que rango
a2 b2 c2 d2
Ejemplo. Estudiar
la posición¶relativa de losµplanos π1 ≡ x − 2y¶+ z = 1 y π2 ≡ −2x + 4y − 2z = 3.
µ
1 −2 1 1
1 −2 1
= 2, los planos son paralelos.
= 1 y rango
Como rango
−2 4 −2 3
−2 4 −2
Posición relativa entre una recta y un plano.
Existen tres posibilidades: la recta está contenida en el plano, la recta es paralela al plano o bien la recta y
el plano
½ se cortan en un punto, en cuyo caso diremos que son secantes. Dados la recta
a1 x + b1 y + c1 z = d1
r ≡
y el plano π ≡ a3 x + b3 y + c3 z = d3 , se tiene que:
a2 x + b2 y + c2 z = d2
¯
¯
¯ a1 b1 c1 ¯
¯
¯
- Si ¯¯ a2 b2 c2 ¯¯ 6= 0, la recta y el plano son secantes.
¯ a3 b3 c3 ¯




a1 b1 c1
a1 b1 c1 d1
- Si rango  a2 b2 c2  = 2 y rango  a2 b2 c2 d2  = 3, la recta y el plano son paralelos.
a3 b3 c3
a3 b3 c3 d3


a1 b1 c1 d1
- Si rango  a2 b2 c2 d2  = 2, la recta está contenida en el plano.
a3 b3 c3 d3
½
2x + y + z = 1
, encontrar el valor de α para que el plano
x + −2y + z = −1
π ≡ αx + 6y + 3z = 6 sea paralelo a r.
Ejemplo. Dada la recta r ≡
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 5) Hoja

2
Necesitamos que rango  1
α
¯
¯ 2 1
1
¯
¯ 1 −2 1
¯
¯ α 6
3


1
1
2
−2 1  = 2 y rango  1
6
3
α
14

1
1 1
−2 1 −1  = 3. Entonces
6
3 6
¯
¯
¯
¯ = −12 + α + 6 + 2α − 12 − 3 = 3α − 21 = 0 ⇒ α = 7
¯
¯
y además
¯
¯
¯ 1
1 1 ¯¯
¯
¯ −2 1 1 ¯ = 3 6= 0
¯
¯
¯ 6
3 6 ¯
Por tanto, para α = 7 la recta y el plano son paralelos.
Posición relativa entre dos rectas.
Hay tres situaciones posibles: las rectas se cortan en un punto, son paralelas o se cruzan. Si las rectas vienen
dadas por la ecuaciones:
½
½
a1 x + b1 y + c1 z = d1
a3 x + b3 y + c3 z = d3
r ≡
y s ≡
a2 x + b2 y + c2 z = d2
a4 x + b4 y + c4 z = d4
escribimos

a1
 a2
A=
 a3
a4
b1
b2
b3
b4

c1
c2 

c3 
c4

a1
 a2
∗
; A =
 a3
a4
b1
b2
b3
b4
c1
c2
c3
c4

d1
d2 

d3 
d4
entonces
- Cuando rango(A) = rango(A∗ ) = 2, las dos rectas son la misma.
- Cuando rango(A) = 2 y rango(A∗ ) = 3, las dos rectas son paralelas.
- Cuando rango(A) = rango(A∗ ) = 3, las dos rectas son secantes.
- Cuando rango(A) = 3 y rango(A∗ ) = 4, las dos rectas se cruzan.
Nota: El caso rango(A) = 2 y rango(A∗ ) = 4, nunca puede darse.
Ejemplo. Determinar la posición relativa de las rectas
½
½
ax + y + z = 1
x+y+z =1
y s ≡
r ≡
2x − y + z = 2
x + 3y + 2z = 2
en función del parámetro real a.
Sean

1
 2
A=
 a
1

1
1 

1 
2
¯
¯ 1
¯
¯ 2
A = ¯¯
¯ a
¯ 1
1
−1
1
3


1 1
1 1
 2 −1 1 2 

; A∗ = 
 a 1
1 1 
1 3
2 2
¯
1
1 ¯¯
−1 1 ¯¯
= −1 6= 0
1
1 ¯¯
3
2 ¯
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 5) Hoja
y por tanto rango(A) = 3. Para hallar el rango
¯
¯ 1
¯
¯ 2
¯
¯ a
¯
¯ 1
15
de A∗ :
¯
1
1 1 ¯¯
−1 1 2 ¯¯
=a−1
1
1 1 ¯¯
3
2 2 ¯
ası́, rango(A∗ ) = 4 si a 6= 1, mientras que cuando a = 1, rango(A∗ ) = 3.
En resumen, si a 6= 1, las rectas se cruzan, y cuando a = 1 se cortan. Pudede comprobarse que el punto de
corte es (−1, −1, 3).
8
Cónicas. Ecuaciones y elementos caracterı́sticos.
Circunferencia
Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Elementos caracterı́sticos:
- Centro (O): punto fijo.
- Radio (r): distancia de un punto cualquiera de la circunferencia al centro.
Ecuaciones: Circunferencia de centro O(x0 , y0 ).
Ecuación reducida: (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 .
Ecuación general: x2 + y 2 + Ax + By + C = 0, siendo A2 + B 2 − 4C > 0.
Longitud y área
- Longitud: 2πr
- Área: πr2
Elipse
Una elipse es el conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados
focos, es constante. (2a > 0)
B
P
a
b
A
A’
F’
c
O
B’
F
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 5) Hoja
16
Elementos caracterı́sticos:
- Focos (F , F 0 ): los dos puntos fijos. La distancia focal es 2c.
- Centro (O): Punto medio del segmento F F 0 .
- Eje focal: recta que pasa por los focos.
- Eje normal: mediatriz del segmento F F 0 .
- Vértices (A, A0 , B, B 0 ): Puntos de corte de la elipse con los ejes focal y normal.
- Eje mayor: segmento AA0 de longitud 2a.
- Eje menor: segmento BB 0 de longitud 2b.
- Radio vectores de P : segmentos P F y P F 0 .
c
- Excentricidad: e = . Se tiene que 0 ≤ e < 1. Indica lo achatada que puede ser la
a
elipse.
Relación fundamental: a2 = b2 + c2 .
Ecuaciones: (elipses con ejes paralelos a los ejes de coordenadas)
Ecuación reducida: Elipse de centro O(x0 , y0 )
- Eje focal paralelo a OX:
(x − x0 )2
(y − y0 )2
+
= 1.
a2
b2
- Eje focal paralelo a OY :
(x − x0 )2
(y − y0 )2
+
= 1.
b2
a2
Ecuación general: M x2 + N y 2 + Ax + By + C = 0, siendo M y N del mismo signo y
|M |B 2 + |N |A2 − 4M N |C| > 0.
Longitud y área
r
a2 + b2
- Longitud: ≈ 2π
2
- Área: πab
Hipérbola
Una hipérbola es el conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias
a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. (2a > 0)
B
P
c
b
O
F’
A’
aA
F
B’
Elementos caracterı́sticos:
- Focos (F, F 0 ): los dos puntos fijos. La distancia focal es 2c.
- Centro (O): Punto medio del segmento F F 0 .
- Eje focal: recta que pasa por los focos.
- Eje normal: mediatriz del segmento F F 0 .
- Vértices (A, A0 ): Puntos de corte de la hipérbola con el eje focal.
- Eje real: segmento AA0 . Su longitud es 2a.
- Eje imaginario: segmento BB 0 de longitud 2b, donde B y B 0 son los puntos de
corte del eje normal y la circunferencia de centro A y radio c.
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 5) Hoja
17
- Radio vectores de P : segmentos P F y P F 0 .
c
- Excentricidad: e = . Se tiene que e > 1. Indica lo abierta o cerrada que está la
a
hipérbola.
- Ası́ntotas: (hipérbola de centro O(x0 , y0 ))
b
- Eje focal paralelo a OX: y − y0 = ± (x − x0 ).
a
b
- Eje focal paralelo a OY : x − x0 = ± (y − y0 ).
a
Relación fundamental: c2 = a2 + b2 .
Ecuaciones: (hipérbolas con ejes paralelos a los ejes de coordenadas)
Ecuación reducida: Hipérbola de centro O(x0 , y0 )
- Eje focal paralelo a OX:
(x − x0 )2
(y − y0 )2
−
= 1.
a2
b2
- Eje focal paralelo a OY :
(y − y0 )2
(x − x0 )2
−
= 1.
a2
b2
Ecuación general: M x2 + N y 2 + Ax + By + C = 0, siendo M y N de distinto signo.
Parábola
Una parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una
recta fija llamada directriz.
d
P
A
V
p
F
Elementos caracterı́sticos:
- Foco (F ): el punto fijo.
- Directriz (d): recta fija.
- Eje: recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
- Parámetro (p): distancia del foco a la directriz.
- Vértice (V ): Punto de corte de la parábola con el eje. Es el punto medio del
segmento AF , donde A es el punto de corte del eje y la directriz.
- Radio vector de P : segmento P F .
Ecuaciones: (parábolas con ejes paralelos a los ejes de coordenadas)
Ecuación reducida: Parábola de vértice V (x0 , y0 ) y parámetro p.
- Eje paralelo a OX y abierta a la derecha: (y − y0 )2 = 2p(x − x0 ).
- Eje paralelo a OX y abierta a la izquierda: (y − y0 )2 = −2p(x − x0 ).
- Eje paralelo a OY y abierta hacia arriba: (x − x0 )2 = 2p(y − y0 ).
- Eje paralelo a OY y abierta hacia abajo: (x − x0 )2 = −2p(y − y0 ).
Ecuación general:
- Eje paralelo a OX: x = Ay 2 + By + C, siendo A 6= 0.
- Eje paralelo a OY : y = Ax2 + Bx + C, siendo A 6= 0.
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9
18
Ejercicios
1. Resolver el triángulo ABC en los siguientes supuestos:
(a) c = 25, A = 35o , B = 68o .
(b) a = 25.2, b = 37.8, c = 43.4.
(c) b = 7, c = 8, A = 30o .
(d) c = 628, b = 480 y C = 55o 100 .
(e) a = 132, b = 224 y C = 28o 400 .
2. Una torre está situada en un terreno llano directamente al norte del punto A y al oeste de un punto B.
La distancia entre los puntos A y B es de c metros. Si los ángulos de elevación del extremo superior de la
torre medidos desde A y B, son a y b respectivamente, encontrar la altura h de la torre.
3. Desde lo alto de un faro, a 175m sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un barco situado
directamente al sur, es 18o 500 . Dos minutos más tarde el ángulo de depresión es 14o 200 . Calcular la
velocidad media del barco si se observa que navega directamente hacia el oeste.
4. Encontrar la altura de un árbol si el ángulo de elevación de su extremo superior crece desde 20o hasta 40o
cuando un observador avanza 75m. hacia el pie del árbol.
5. En las orillas opuestas de un rı́ o se sitúan dos puntos A y B. En la orilla donde está situado el punto A
se determina un segmento de recta AC = 275m y se miden los ángulos CAB = 125o 400 y ACB = 48o 500 .
Encontrar la longitud de AB.
6. Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes; para ello se hacen dos observaciones
desde los puntos A y B, al oeste de la torre, obteniendo como ángulos de elevación 30o y 45o , respectivamente. La distancia AB=30 m. Hallar la altura de la torre.
7. Pedro y Ana han creido ver un OVNI desde dos puntos situados a 800 m, con ángulos de elevación 30o y
75o . Si el OVNI esta situado entre ambos, ¿sabrı́ as calcular la altura a la que se encuentra?
8. Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre
una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45o y si se apoya sobre la otra fachada forma un
ángulo de 30o . Halla la anchura de la calle. ¿Qué altura sobre cada una de las fachadas se alcanza con
dicha escalera?
9. Halla el área de un hexágono regular de 10cm de lado.
10. Calcular el área de un octógono regular de lado 7cm.
11. La diferencia entre la longitud de una circunferencia y el perı́metro de un hexágono regular inscrito es de
28m. Halla el radio de la circunferencia.
12. Calcula la longitud de un puente que se quiere construir sobre un barranco, conociendo que los ángulos
que forman los extremos del barranco A y B con un punto en el fondo del barranco O son ABO = 32o y
OAB = 48o y que la distancia entre A y O es de 120m.
13. Dos montañeros que han ascendido en fines de semana sucesivos a dos picos querrı́an saber qué distancia
hay entre ellos. Para ello han medido desde la base del pico A los ángulos α1 = 85o y α2 = 30o , después
han caminando hasta la base del pico B y han medido los ángulos β1 = 40o y β2 = 93o . La distancia que
hay entre dichas bases es de 600m.
¿ Podrı́as calcularla?
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 5) Hoja
19
14. Dados los vectores a = (2, 1), b = (−3, 1) y c = (−2, −2), calcular: a + b; a + c; b + c.
15. Hallar los vectores opuestos de los vectores a, b y c del ejercicio anterior.
16. Con los vectores del ejercicio 1 calcular: 3a + 2b; 2a − 3c; a − 2b + 5c.
17. Dados los puntos A(3, 1) y B(5, 4), hallar las coordenadas del vector AB.
18. Sean CD = (2, −3) y C(5, 7). Calcular las coordenadas de D.
19. En el sistema de referencia R = {0, i, j} se consideran los vectores siguientes: a = (2, 3);
b = (0, −1); c = (5, 0); i = (1, 0); j = (0, 1). Hallar: a · b; a · c; i · j.
20. Dado el vector a = (3, −1) encontrar un vector que sea perpendicular a a.
21. Hallar el módulo de los siguientes vectores: a = (2, 1); b = (4, 3); c = (1, 2).
1
3
22. Comprobar si los vectores siguientes son unitarios: a = (3, 2); b = (1, 0); c = ( √ , − √ ).
10
10
23. El producto escalar de dos vectores es igual a 18, el módulo de uno de ellos es igual a 6 y el ángulo que
forman es de 60◦ . Hallar el módulo del otro.
24. Dados los vectores a = (3, 1) y b = (−1, 2), calcular: a · b y b · a.
25. Dados los vectores a = (3, 1); b = (2, −4) y c = (5, 3), calcular: a · (b + c) y a · b + a · c.
26. En el sistema de referencia R = {0, i, j k} se consideran los vectores siguientes: a = (2, 3, −1); b = (0, 1, 3);
c = (5, 0, 4). Hallar: a · b; a · c; b · c.
3
4
27. Comprobar si los vectores siguientes son unitarios: a = (3, 2, 0); c = (0, − √ , √ ).
5
5
28. Dados los vectores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1), calcular i × j; i × k; j × k; j × i; k × i y k × j.
29. Hallar el área del paralelogramo formado sobre los vectores a = (2, 1, 5) y b = (3, 2, 1).
30. Dado el vector a del ejercicio anterior, calcular a × a.
31. Hallar el volumen del paralelepı́pedo cuyas aristas son los vectores a = (2, 1, 0); j = (0, 1, 0) y b = (3, 2, 1).
32. Dados los vectores a = (2, 0, 1) y b = (0, 3, 1) comprobar si son perpendiculares. En caso negativo, cambiar
una coordenada del vector b para que lo sean.
33. Con los vectores del ejercicio anterior, comprobar que (5a) × b = 5.(a × b).
34. Hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores a = (2, 1, 5) y b = (3, 4, 0).
35. Dados los vectores a = (2, 1, 0); b = (3, 5, 1) y c = (2, 4, 1), halla el producto mixto [a, b, c].
36. Calcula el volumen del paralelepı́pedo que tiene por aristas los vectores: a = (3, 1, 2); b = (0, 5, 0) y
c = (−1, 1, 0).
37. Dados los vectores u = (1, 1, 0) y v = (a, 1, −1), hallar a para que el ángulo entre u y v sea 60◦ .
√
38. Sabiendo que ABCD es un cuadrado A = (2, 0, 2), B = (1, 1, 0) y C = (0, y, z), hállese razonadamente
las coordenadas que faltan de C.
39. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P0 (1, −2, 4) y tiene a v = (2, 4, −4)
como vector director.
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 5) Hoja
20
40. Idem para la recta que pasa por los puntos P (−2, 1, 0) y Q(1, 3, 5).
41. Hallar el plano que pasa por el punto P (2, 1, 2) y tiene a i como vector director.
42. Idem, siendo P (3, 2, 2) y v = (2, 3 − 1).
43. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P (0, 0, 0), Q(1, 2, 3) y R(−2, 3, 3).
44. Hallar la ecuación de la recta:
(a) que pasa por (−4, 3) y tiene pendiente 12 .
(b) que pasa por (0, 5) y tiene pendiente −2.
(c) que pase por los puntos (−2, −3) y (4, 2).
45. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (−2, 3) y es perpendicular a la recta 2x − 3y + 6 = 0.
46. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2, −3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y
(−2, 2).
47. Demostrar, aplicando el concepto de pendiente, que los puntos A(8, 6), B(4, 8) y C(2, 4) son los vértices
de un triángulo rectángulo.
48. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son A(−3, −2), B(2, 5) y C(4, 2).
49. Hallar la distancia desde la recta 8x + 15y − 24 = 0 al punto (−2 − 3)
3
50. Hallar las ecuaciones de las rectas de pendiente − que formen con los ejes coordenados un triángulo de
4
área 24 unidades de superficie.
51. Sea R la resistencia eléctrica medida en ohmios de una pieza de alambre de cobre de diámetro y longitud
fijos a una temperatura de T grados centı́ grados. Suponiendo que la relación entre R y T es lineal, y
sabiendo que R = 00 0170 ohmios cuando T = 0o y R = 00 0245 ohmios cuando T = 100o , obténgase una
ecuación que exprese R en función de T .
52. En la escala F de Fahrenheit el agua se congela a los 32o y hierve a los 212o , mientras que en la escala C
de Celsius se congela a los 0o y hierve a los 100o (por tanto 32o F = 0o C y 212o F = 100o C). Demostrar
que la relación entre las dos escalas es
9
F = C + 32.
5
¿Cuántos grados Celsius son 68o F ? ¿Cuántos grados Fahrenheit son 70o C?
53. Una recta r pasa por A(5, −5, 7) y por el origen. Hallar las ecuaciones de una recta paralela a ella por el
punto P (1, 1, −1).
54. Estudiar la posición relativa de las rectas:

 x = −2λ
y = −12 + λ
r0 :

z = −5 + 4λ.
x−2
y
z+1
r:
= =
;
1
6
2
55. Hallar las ecuaciones paramétricas de un plano que pasa por el punto P(3,2,1) y contiene a la recta
x = y = z + 6.
56. Hallar la ecuación de un plano paralelo a π : 5x − y + 3z = 0 que pase por el punto Q(−12, 1, 4).
57. Estudiar la posición relativa de los planos:
π :x−y+z−1=0
y
π 0 : 2x − 2y + 2z = 3.
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 5) Hoja
21
58. Hallar la posición relativa de la recta r y el plano π, siendo
½
x−y+z =1
r:
π : 4x − 7y + 5z = 0.
x+y−z =0
59. Determinar la posición relativa del plano 3x − 2y + z − 3 = 0 y la recta de ecuación
x−1
y
= = z + 3.
3
2
60. Consideremos la recta r, el plano π y el punto P (1, 0, 4), siendo:
r:
x−1
y+8
z−2
=
=
2
3
5
π : 2x − y + 3z = 1
(a) Halla una recta s paralela a r que pase por el punto P.
(b) Calcula el punto de intersección de r y π.
61. Hallar las coordenadas del centro y radio de la circunferencia x2 + y 2 − 3x + 5y − 14 = 0.
62. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (5, −2) y que pase por el punto (−1, 5).
63. Hallar la ecuación de una circunferencia sabiendo que uno de sus diámetros es el segmento que une los
puntos (5, −1) y (−3, 7).
64. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2, 3) y (−1, 1) y cuyo centro está situado
en la recta x − 3y − 11 = 0.
65. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos están en el eje OX y su centro coincide con el origen de
coordenadas, sabiendo además:
(a) Sus semiejes son iguales a 5 y a 2.
(b) Su eje mayor es 10 y la distancia entre los focos es 8.
(c) La distancia focal es 6 y la excentridad es
(d) Su eje mayor es 20 y la excentricidad es
3
5
3
5
66. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos están en el eje OY y su centro es el origen de coordenadas,
sabiendo además:
(a) Sus semiejes son iguales a 7 y a 2.
(b) Su eje mayor es 10 y la distancia focal es 8.
(c) La distancia focal es 24 y la excentricidad es
12
13
67. Verificar que cada una de las ecuaciones siguientes es una elipse y hallar las coordenadas del centro, los
semiejes y la excentricidad:
a) 5x2 + 9y 2 − 30x + 18y + 9 = 0;
b) 16x2 + 25y 2 + 32x − 100y − 284 = 0.
68. La órbita de la Tierra es una elipse, con el Sol situado en uno de sus focos. La longitud del eje mayor es
241.428.00 kilómetros y la excentricidad 00 0167. Determinar las distancias de los extremos del eje mayor
al Sol (éstas son la mayor y la menor distancia de la Tierra al Sol).
69. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen de coordenadas, sabiendo además:
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a. (Tema 5) Hoja
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(a) La párabola está situada en el semiplano derecho, es simétrica respecto al eje OX y su parámetro es
3.
(b) Está situada en el semiplano izquierdo, es simétrica respecto al eje OX y su parámetro es 0,5.
1
(c) Está situada en el semiplano superior, es simétrica respecto al eje OY y su parámetro es .
4
(d) Está situada en el semiplano inferior, es simétrica respecto al eje OY y su parámetro es 3.
70. Determinar el valor del parámetro y la situación de las parábolas siguientes con respecto a los ejes coordenados.
a) y 2 = 6x; b) x2 = 5y; c) y 2 = −4x; c) x2 = −y.
71. Una antena para televisión por satélite es parabólica y tiene su receptor a 70 cm de su vértice. Encontrar
la ecuación de la sección transversal de la antena (supóngase que el vértice es el origen).
72. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados en el eje OX y su centro coincide con el
origen de coordenadas, sabiendo además que
(a) Sus ejes son 10 y 8.
(b) La distancia focal es 10 y el eje imaginario 8.
(c) La distancia focal es 6 y la excentricidad es 32 .
73. Dadas las siguientes hipérbolas calcular el centro, los semiejes, los focos, la excentricidad y las ecuaciones
de las ası́ntotas:
a) 16x2 − 9y 2 = 144 b) 16x2 − 9y 2 − 64x − 54y − 161 = 0.
74. Clasificar las cónicas siguientes:
(a) x2 − y 2 + x + 1 = 0
(b) x2 + 3x − y 2 + 3y = 0
(c) 2x2 − y 2 + 4y − 1 = 0
(d) 2x2 + y 2 + 4y + 2 = 0