La lección de hoy es sobre escribir una ecuación de una línea

CGT.5.G.3-Pam Beach-Write the equation of a line perpendicular to a line through a point.
La lección de hoy es sobre escribir una ecuación de una línea perpendicular a una línea dado un
punto. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT-5.G.3
Nuestro primer ejemplo nos dice: Escribe la ecuación de una línea que es perpendicular a la
grafica de Y= ½x + 4 y pasa por los puntos (0,-1).
Lo primero que haremos es nuestra grafica:
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
Notas la línea que intercepta es +4 entonces en el eje de alas Y vamos hacia arriba 4 unidades.
Ahora para buscar en la grafica otro punto de la línea vamos a seguir la pendiente, y esta es ½,
entonces quiere decir hacia arriba uno, y a la derecha verticalmente dos unidades. Ahora,
tenemos nuestro segundo punto y podemos trazar la línea. Lo próximo que necesitas hacer es
buscar la pendiente perpendicular a la línea. Para hacer esta la pendiente de nuestra línea
original es ½, y líneas perpendiculares tienen pendientes reciprocas negativas, que es el
opuesto, básicamente inviertes la fracción y cambias el signo, seria m=-2.
Esta es nuestra pendiente de nuestra línea perpendicular. Lo próximo que haremos es buscar
b, o sea la línea que intercepta. ¿Cómo lo haremos? E punto (0,-1) es nuestra Y que intercepta,
entonces la b que es la línea que intercepta será -1. Si sabes la pendiente y la línea que
intercepta, escribe la ecuación de la línea que es Y= mx +b, sustituye y tendrás:
Y= -2x -1 esta es la ecuación. Ahora necesitas usar la grafica, vamos a graficar para ver si esta
es perpendicular, tenemos la línea que intercepta es -1 y colocamos el punto, y la pendiente es
-2 y se sobre entiende que es 2-1 entonces desde la línea que intercepta vamos hacia abajo dos,
y a la derecha uno, este es nuestro segundo punto en la línea. Ahora que tenemos dos puntos
trazamos la línea. Y notas la línea es perpendicular a nuestra línea original. Entonces la línea
perpendicular a Y= x +4 es Y= -2x -1.
Problema #2:
Para nuestro segundo ejemplo vamos a escribir la ecuación de la línea perpendicular a la grafica
de Y= -3x -2, y contiene los puntos (-3,2).
¿Qué será lo primero que haremos?
Buenos, vamos a ver la ecuación, en la ecuación Y= -3x -2,
¿Qué necesitaremos?
La pendiente, y la Y que intercepta.
¿Cómo lo haremos? Vamos a hablar de la pendiente m= -3, esta es nuestra pendiente de la
línea original, y la pendiente de la línea perpendicular es el opuesto reciproco, que quiere decir,
inviertes la fracción y cambias el signo.
m=⅓
Algo a si, el reciproco
de la pendiente m es igual a, inviertes el 3, y seria ⅓, y
Ahora es positivo. Esta es la pendiente. Lo siguiente es encontrar la línea que
intercepta, ahora esta no es cero o el valor de Y, esta no es la Y que intercepta,
esta es solo otro punto en la línea.
¿Cómo lo haremos?
Vamos a usar nuestra ecuación para encontrar el valor de b, en orden de hacer esto, sustituye
en la ecuación y tendrás:
2= (⅓)(-3)+b Notas que el valor que no sabemos es la b, es la Y que intercepta. Ahora
simplifica.
2= -1 +b
Ahora para resolver por b, lleva el -1 al otro lado aquí cuando cruzas el otro
lado del signo de igualdad usas el signo opuesto de negativo a positivo.
3=b
Esta es línea que intercepta. Ahora b es igual a 3. Ahora sabemos nuestra
pendiente ⅓, ahora sabemos nuestra Y que intercepta es 3. Sustituye en Y=mx +b
nuestra ecuación de una línea perpendicular es Y= ⅓ x +b.
Ejemplo # 3:
Escribe la ecuación de la línea que es perpendicular a la grafica de 3x -4y =8
Y contiene los puntos (9,-6). Esta es un poco diferente, porque no se resuelve por Y.
Recuerda, para buscar la pendiente, la ecuación deberá resolverse por Y. Porque es Y=mx
Entonces, ¿Qué haremos para resolver por Y?
Primer paso será, sustituir el -3x por los dos lados de la ecuación, y si lo haces tendrás:
-4y = -3x +8
Ahora el -4y para llevar este -4 al otro lado que se multiplica en este se divide,
en los dos lados de la ecuación, tendrás:
Y= ¾x -2
Ahora sabemos la pendiente que es ¾, si buscas la línea que es perpendicular, la pendiente de
nuestra línea será opuesta reciproca. Entonces cambias el signo e inviertes la fracción. Si haces
esto a ¾ tendrás,
m= -4/3
Ahora esta es la pendiente, busca la línea que intercepta la b. ¿Cómo harás esta?
Empieza con la ecuación Y= mx +b tenemos el punto x, y, para sustituir el (9,-6). La
pendiente que es -4/3 sustituye y tendrás,
-6 = (-4/3)(9) +b
Todo excepto b y este es lo que queremos. Ahora multiplica el -4/3 por 9
y tendrás -12.
-6 = -12 +b
Ahora para resolver por b lleva el -12 al otro lado entonces sumas 12 en los
dos lados y tendremos:
6= b
Entonces la Y que intercepta o b es 6.
Ahora tenemos la Y que intercepta, la pendiente, escribe la ecuación que es,
Y= -4/3x +b
Esta es la línea que es perpendicular al 3x -4y =8.
Ejemplo # 4:
Ahora veremos el ejemplo cuatro, y dice que, usa la grafica para la línea que es perpendicular a
la grafica de Y= -2x +4, y contiene los puntos (-2,-1). Lo primero que vamos hacer como
estamos viendo este problema gráficamente y vamos a buscar la ecuación seria buscar la line
en la grafica.
Para usar la grafica necesitamos saber la pendiente, y la grafica que intercepta la pendiente
esta sobreentendida que es -2/1, la Y que intercepta es siempre el numero que se suma al
final, en este caso es positivo 4.
Ahora estamos listos para la grafica
Y
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
X
1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
Desde el origen b=4 vamos hacia arriba 4 unidades y colocas un punto en purpura, ahora sigue
la pendiente y vas hacia abajo dos y a la derecha uno. Aquí esta nuestro segundo punto de la
línea Y= -2x +4, ahora traza la línea.
Ahora busca la pendiente a esta, para hacer esta tienes que buscar los puntos (-2,-1) en la
grafica, recuerda para buscar estos puntos en la grafica la pendiente tiene que ser opuesta
reciproca, mira la pendiente original es -2, ahora nuestra nueva pendiente es m= ½, este es
el reciproco de dos, y cambias el signo de negativo a positivo, esta es nuestra pendiente.
Ahora hay que buscar en la grafica el segundo punto desde el punto verde que es -2 hacia
arriba una unidad, y a la derecha dos, este es el segundo punto de nuestra línea. Ahora traza
tu línea en estos dos puntos. Esta es la línea perpendicular a Y= -2x +4.
Ejemplo: #5
En nuestro ejemplo final vamos a escribir la ecuación de la línea que es perpendicular a la línea
en azul, y contiene los puntos (-4,-2).
Y
6
4
2
-6 -4 -2
2 4 6
X
-2
-4
-6
Una cosa puedes notar que es diferente en este ejemplo que no hemos experimentado en
ninguno de los otros cuatro ejemplos es que no te han dado la ecuación de la línea que es
perpendicular. Tenemos que usar la grafica.
¿Cómo lo desarrollamos?
¿Cómo buscas la ecuación de la línea perpendicular?
Lo primero que necesitas es un punto de origen, y este es (-4,-2). Ahora en orden de buscar la
ecuación necesitas un punto y ya lo tenemos, pero necesitamos la pendiente.
¿Cómo encuentras la pendiente? Primero hay que buscar la pendiente de la línea en azul que
es perpendicular. Para hacer este busca 2 puntos en la línea azul, no importa donde, ahora
busca la pendiente entre dos puntos, recuerda hacia abajo negativo uno, y a la derecha dos.
Recuerda el uno es negativo, y el dos hacia la derecha en orden de ir desde el primer punto al
segundo punto, esta es la pendiente de nuestra línea original.
Ahora la pendiente de la línea perpendicular es exactamente el opuesto reciproco, quiere decir
cambia signo e invertir la fracción.
Sería un positivo dos seria 2/1, pero se sobre entiende que es dos = 2, esta es la pendiente de
nuestra línea perpendicular que estamos tratando de desarrollar y buscar la ecuación.
Ahora que sabemos la pendiente desde nuestro punto en verde vamos hacia arriba dos
unidades sobre uno. Ahora tenemos nuestro segundo punto y podemos trazar la línea de
perpendicular, entonces en orden de escribir la ecuación de esta línea, necesitas saber la línea
que intercepta, es donde cruza el eje de Y, y cruza en el valor de 6. Ya tenemos la pendiente
que es 2, la línea que intercepta que es 6, ahora escribe tu ecuación Y= mx +b ahora sustituye
seria Y= 2x +6.
A si es que buscas la línea perpendicular usando puntos, ecuaciones, y usando la grafica.