La Lección de Hoy es sobre Líneas Perpendiculares y

LF.3.A1.7-Tara Walker-Parallel and Perpendicular Lines-
La Lección de Hoy es sobre Líneas Perpendiculares y Paralelas.
El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante del estudiante
LF.3.A1.7
¿Que son las Líneas Paralelas?
Son dos distintas líneas coplanarias que no interceptan. Nota, las líneas paralelas
tienen las mismas pendientes.
Gráficamente lo que queremos decir es, es que estas dos líneas azules notaras
que están marcadas por una distancia que las separa en rojo. Y no importa
donde vallan en estas líneas siempre será la misma distancia, y sus pendientes
serán las mismas.
Ahora que sabemos estos vamos a buscar la ecuación de la línea que contiene el
punto (2,3) y esta paralela a la línea y= 2x +5, en el momento que lees este
realizaras que tiene la misma pendiente. Entonces la pendiente de la línea que
nos han dado la y= 2x +5 y la línea que estamos buscando tendrán la misma
pendiente. Ahora para definir una ecuación de cualquiera línea necesitas un
punto que ya lo tenemos es (2,3) y necesitamos la pendiente. ¿Cómo
encontramos la pendiente? Mira la línea que es paralela y= 2x +5 , notas que
está en la forma de forma y= mx +b o sea, la m, que es la pendiente es el
coeficiente de X, que en este caso es 2.
Entonces la nuestra pendiente es m =2. Recuerda, m es la pendiente de la línea.
Ahora tenemos un punto, y pendiente, vamos a escribir la ecuación. La ecuación
que siempre usamos es y-y1 = m(x-x1). Ahora, x1 – y1 es nuestro orden de pares,
o sea nuestro punto. Recuerda en el orden de pares “ x” es primero, “Y” es
segundo, y “m” es nuestra pendiente. Si sustituimos nuestros valores tendremos
Y-3 = 2(x-2)
Ahora, en cada ecuación de una línea, usualmente resolvemos por
“Y”, porque es fácil para graficar. Ahora, ¿Cómo resolveremos esta ecuación por
“Y”? Para hacer esta y= ms +b vemos que la ecuación no tiene paréntesis
entonces necesitamos eliminar el paréntesis. Vamos a distribuir el dos. O sea
multiplicamos todo en el paréntesis. Tenemos:
Y-3 = 2x -4 El próximo paso para resolver por Y, es cancelar el -3, para hacer
esto tenemos que hacer lo opuesto, que es sumar tres en los dos lados.
Y-3 +3 = 2x -4 +3 El -3 y el +3 se cancelan, y tenemos Y=3 , y combinamos los
dos términos a la derecha Y= 2x -4 +3 que seria -1, la ecuación seria y= 2x -1
Y esta es la ecuación de la línea que es paralela.
¿Cómo podemos probar esta? Vamos a usar una grafica primero. Pero, ¿Cómo
graficaremos una línea?
Siempre empieza con la Y que intercepta, que es el numero al final de la
ecuación que es +5, que quiere decir en la Y desde el origen, voy hacia arriba 5
unidades. Ahora para el segundo punto en la línea necesitamos seguir la
pendiente, y la pendiente de la línea es 2, y para recordarte la pendiente es el
aumento sobre la base, o el cambio en Y, sobre el cambio en X. Recuerda se
sobre entiende que dos está sobre uno, quiere decir desde el primer punto que es
(0,5) para tener un segundo punto en la línea necesitamos seguir la pendiente,
ir dos unidades hacia arriba, y uno a la derecha, porque el valor es positivo. Si
voy hacia arriba uno a la derecha, y dos hacia arriba tengo mi segundo punto.
Ahora que tengo 2 puntos trazo una línea sobre estos dos puntos. Aquí esta
nuestra línea en rojo.
Ahora, haremos la segunda, esta vez usaremos verde para diferenciarlas.
De nuevo, sigue los mismos pasos. Sustituye tú Y que intercepta, que es el
negativo. Ahora, el negativo quiere decir desde el origen iremos hacia abajo
una unidad, y seguimos la pendiente y notaras que la pendiente es la misma, 2,
quiere decir que desde el -1 vas hacia arriba dos unidades y a la derecha una
para tu segundo punto.
Ahora, traza una línea en verde, notas algo con respecto a estas líneas. Tienen
las mismas distancias que las separan. Notaras algo con respecto a estas líneas.
Tienen las mismas distancias que las separan. Ahora, sabemos son líneas
paralela. No tienen un punto en común.
Ahora que hablamos de líneas paralelas también hablaremos de líneas
perpendiculares. Las líneas perpendiculares son dos distintivas líneas coplanarias
que interceptan a un Angulo de 90°. Nota, las líneas perpendiculares tienen
una pendiente reciproca que es negativa. Algunos Profesores lo llamaran
pendientes reciprocas opuestas. Después hablaremos de esta. Visualmente en
una grafica lo que quiere decir es que tenemos dos líneas y siempre se origina en
un Angulo de 90°. Una de la pendiente es positiva y la otra es negativa cada
vez. Sera algo como
Primeramente, ¿Qué es una Pendiente reciproca negativa? Es el resultado de
invertir la fracción y cambiar el signo. Entonces, el reciproco negativo y el
reciproco opuesto quiere decir lo mismo. Esto es solo para estar seguros de tener
la terminología correcta antes de empezar nuestro problema. Está Bien!
Ahora varemos está pendiente es – .
¿Cómo encontraremos el reciproco negativo?
M= -
m =?
Recuerda, negativo quiere decir cambiar el signo. Entonces, si comenzamos con
negativo, ahora la pendiente de la línea perpendicular será positiva. Y la
pendiente es
entonces, lo invertimos y tenemos , entonces cambias el signo,
inviertes la fracción y será m =
y esta es la pendiente de la línea
perpendicular.
Ahora que sabemos esto, vamos a trabajar este:
Busca la ecuación de la línea que contiene el punto (-2,-1) y es perpendicular a
la línea y= x +2
Para graficar o buscar la ecuación de cualquiera línea, necesitas tener un punto
y pendiente. El punto aquí es (-2,-1). ¿Cómo encontraremos la pendiente? Mira
la línea que nos han dado esta en la forma de y= mx +b.
Entonces, la pendiente es el número que es el coeficiente enfrente de la X.
En este caso es m= , esta es la pendiente de la línea perpendicular.
¿Cómo encontraremos la pendiente de nuestra línea?
Nuestra pendiente es el reciproco opuesto, entonces,
línea perpendicular y el
será negativo por la
sera invertido, entonces, seria
que es -3.
Entonces la pendiente es m= -3.
Ahora, tenemos pendiente, punto, y buscamos la ecuación. De nuevo tenemos:
y-y1 = m(x-x1) Recuerda, x1 , y1 es nuestro orden de pares, la x es primero, la y es
segundo, m es nuestra pendiente.
Entonces sustituiremos, tenemos:
y-(-1) = -3 (x-(-2)) tenemos que simplificar, recuerda, en matemáticas cada vez
que tengas dos negativo es lo mismo que escribir positivo. Es lo primero que
haremos, tendremos:
y+1 = -3(x+2) Vamos a tratar de escribir este en la forma y= mx +b, pero un
momento tenemos que trabajar los paréntesis. ¿Cómo lo cancelamos?
Necesitamos distribuir el -3, si hacemos esto tenemos:
y+1 = -3x -6 Tenemos un paso más para resolver por Y. ¿Cómo cancelamos el
+1? ¿Cómo lo llevamos al otro lado? Recuerda, lo opuesto de sumar uno, seria,
restar uno, en los dos lados. Entonces,
y+1-1 = -3x -6 -1 El menos uno y más uno a la izquierda se cancelan y tenemos
Y=
y combinamos las constantes a la derecha, y tendremos,
Y= -3x -7 Esta es la línea perpendicular.
¿Cómo mostraremos esta gráficamente?
Vamos a graficar, entonces, Y= x +2
¿Cómo graficaremos esta?
Lo mismo que hicimos al principio. Mira la Y intercepta primero es 2, y quiere
decir, desde el origen voy dos unidades hacia arriba en el eje de Y.
Ahora, para buscar el segundo punto, vamos a seguir la pendiente que es hacia
arriba sobre uno de los lados, o sea, cambio en Y, sobre cambio en X. En este
caso es , que quiere decir voy hacia arriba uno y a la derecha tres unidades
desde mi línea que intercepta. Tenemos nuestro segundo punto, ahora
trazaremos nuestra línea que va en estos dos puntos. Ahora vamos a graficar la
línea que decimos que es perpendicular que encontramos hace un memento. En
esta la hacemos en rojo, para ver la diferencia entre las líneas.
La Y que intercepta es -7 que quiere decir desde el origen en el eje X, vamos
hacia abajo 7 unidades para nuestro primer punto, y la pendiente es -3 , y esta
sobre entendido que es
no vamos a aumentar o hacia arriba, recuerda esta es
negativa, quiere decir que vamos hacia abajo 3 unidades a la derecha y si
hacemos esto tenemos nuestro segundo punto.
Ahora traza tu línea y notaras que si hicimos esta correctamente las dos líneas
interceptan en el Angulo derecho porque son perpendiculares.
Ahora las líneas paralelas son las líneas con las mismas pendientes.
Líneas perpendiculares son las líneas con negativas u opuestas pendientes
reciprocas.
Cada grupo de líneas que no tienen la misma pendiente o pendientes reciprocas
opuestas no se llamarían Ninguna de estas.
Esperamos que hayas aprendido con respecto a Líneas Paralelas, Líneas
Perpendiculares y las que llamaríamos Ninguna de estas.