Solucion Problema 3 Asignacion ( ) ( ) ( )

Solucion Problema 3 Asignacion
Nota: Solucion hecha en MathCAD 14. De tener duda favor contactarme.
a. Demuestre que:
ln⎛⎜
⎞
⎟
R⎠
⎝
v 0⋅
v (r )
z
r
ln( k )
Previamente estudiado, luego de hacer un balance de momentum para un Anulo obtenemos:
(Ρ 0 − Ρ L)
(rTrz)
dr
d
L
⌠
⎮ 1 d rTrz
⌡
(
rTrz
)
r
0
Pero la premisa del ejecicio dice que la diferencia en presiones
es cero, por tanto, el diferencial es igual a cero
⌠
⎮ 0 dr
⌡
Solucion parcial. Pero como no conocemos los stress en el rod o en la pared pues
obviamos esta parte y continuamos intergrando y luego resolvemos.
C1
Obtenemos:
Trz
dv
C1
r
−C1
r ⋅μ
−C1
μ
dv
dr
dr
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
⌠
⎮ 1 dv
⌡
v
−μ ⋅
−C1
r ⋅μ
dr
ln( r ) + C2
Ahora podemos resolver nuestras desconocidas. Tenemos 2 Boundry
Conditions y 2 desconocidas.
Boundry Conditions:
r@kR , v = v0
Esta v0 es la velocidad del rod
r@R , v = 0
Sustituimos en las ecuaciones:
vo
−C1
ln( kR) + C2
μ
0
−C1
μ
ln( R) + C2
Obtenemos de aqui:
μ ⋅ vo
C1
C2
ln( R) − ln( kR)
ln( R) ⋅ v 0
ln( R) − ln( kR)
Algebra
ln⎛⎜
ln( R) − ln( kR)
⎞
⎟
R
ln⎛⎜
1⎞
⎟
⎝k⎠
⎝ kR ⎠
−ln( k )
Ahora podemos sustituir en la ecuacion de velocidad lo que hemos obtenido
ln( R) ⋅ v 0
⎛ μ ⋅ v0 ⎞ 1
⎟ ⋅ ln( r ) +
−ln( k )
⎝ −ln( k) ⎠ μ
v
−⎜
v
v 0⋅
ln( R)
− v 0⋅
ln( k )
ln( k )
ln⎛⎜
v
v 0⋅
v0
ln( r )
r
ln( k )
( ln( r ) − ln( R) )
⎞
⎟
⎝ R⎠
ln( k )
b. El Mass Flow Rate esta determinado por la densidad del fluido, el area del anulo y la velocidad
del fluido.
MFR
ρ⋅ Vave⋅ A
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
Vave
2π
0
⌠
⎮
⎮
⎮
⌡
A
R
⎞
⎟
R⎠
⎝
v0
dr dθ
ln( k )
ln⎛⎜
2π
2
r
k⋅R
⌠
⎮
⌡
2
π ⋅ ( R) − π ⋅ ( kR)
− 2⋅ ( k ⋅ ln( k ) − k + 1) ⋅ π ⋅ R⋅ v0
ln( k )
⌠
⎮
⌡
R
r dr dθ
(2 )
− k − 1 ⋅π ⋅R
(k2 − 1)⋅ln(k)⋅R
2
k⋅R
0
Para conocer cual es el Flujo Masico en los limites de k = {0,1}
lim
k →
lim
k →
⎡⎢ ⎡⎢⎡⎢ 2⋅ ( k ⋅ ln( k ) − k + 1) ⋅ v 0⎥⎤ ⎡
2
2 ⎤⎤
ρ⋅
⋅ ⎣π ⋅ ( R) − π ⋅ ( kR) ⎤⎦⎥⎥
2
⎢⎢
⎥
⎥⎥
0⎢
⎣ ⎣⎣ k − 1 ⋅ ln( k ) ⋅ R ⎦
⎦⎦
0
⎡⎢ ⎡⎢⎡⎢ 2⋅ ( k ⋅ ln( k ) − k + 1) ⋅ v 0⎥⎤ ⎡
2
2 ⎤⎤
ρ⋅
⋅ ⎣π ⋅ ( R) − π ⋅ ( kR) ⎤⎦⎥⎥
2
⎥
⎥⎥
1 ⎢ ⎢⎢
⎣ ⎣⎣ k − 1 ⋅ ln( k ) ⋅ R ⎦
⎦⎦
0
(
(
)
)
2⋅ ( k ⋅ ln( k ) − k + 1) ⋅ v 0
Ambos da 0 el limite del Flujo Masico, esto es debido a que cuando k --> 1 el area se vuelve cero. En el
otro caso cuando k --> 0 el flujo se vuelve cero pues es como si el Rod no existiese.
c. La fuerza que actua sobre el Rod en los limites de k = {0,1}
Fz
Fz
( 2π ⋅ k ⋅ R⋅ L) ⋅ Trz
⎡
⎣
@ r
⎛ d v ⎞⎤
z⎟⎥
⎝ dr ⎠⎦
( 2π ⋅ k ⋅ R ⋅ L) ⋅ ⎢−μ ⋅ ⎜
kR
⎡ ⎡ ⎛ ln⎛ r ⎞ ⎞⎤ ⎤
⎜ R ⎟ ⎟⎥ ⎥
⎢ ⎢d ⎜
⎝ ⎠ ⎟⎥
( 2π ⋅ k ⋅ R⋅ L) ⋅ ⎢−μ ⋅ ⎢ ⎜ v 0⋅
⎥
ln
( k ) ⎠⎦
kR⎦
⎣ ⎣dr ⎝
⎡
⎡ ⎡ ⎛ ln⎛ r ⎞ ⎞⎤ ⎤⎤
⎜ R ⎟ ⎟⎥ ⎥⎥
⎢
⎢ ⎢d ⎜
⎝ ⎠ ⎟⎥
lim ⎢( 2π ⋅ k ⋅ R⋅ L) ⋅ ⎢−μ ⋅ ⎢ ⎜ v 0⋅
⎥⎥
ln( k ) ⎠⎦
dr
k → 0⎣
kR⎦⎦
⎣ ⎣ ⎝
0
⎡
⎡ ⎡ ⎛ ln⎛ r ⎞ ⎞⎤ ⎤⎤
⎜ R ⎟ ⎟⎥ ⎥⎥
⎢
⎢ ⎢d ⎜
⎝ ⎠ ⎟⎥
lim ⎢( 2π ⋅ k ⋅ R⋅ L) ⋅ ⎢−μ ⋅ ⎢ ⎜ v 0⋅
⎥⎥
ln
( k ) ⎠⎦
r
d
k → 1⎣
kR⎦⎦
⎣ ⎣ ⎝
−inf
En el limite de k --> 0, la fuerza = 0 pues el Rod no existe.
Para el caso de k -->1, la fuerza es infinita (negativa solo indica direccion, resistencia del flujo) debido
a que el espacio entre el anulo y el rod es casi 0, por tanto necesita una fuerza infinita para mover el
flujo a traves del espacio restante.