1
Centro Educacional San Carlos de Aragón.
Coordinación Académica Enseñanza Media.
Sector: Matemática.
Nivel: NM – 3
Prof.: Ximena Gallegos H.
Guía - 4 de Matemática: Trigonometría
Nombre(s): ____________________________________Curso: ______ Fecha._________
Contenido: Trigonometría.
Aprendizaje Esperado: Resuelve problemas relativos al cálculo de área y perímetro,
utilizando teoremas conocidos y razones trigonométricas.
Instrucciones: Resuelve en tu cuaderno cada uno de los siguientes problemas.
I) Desarrolla de texto…!!!
1) 1) pág. 256 – 257 – 258 – 259 – 260 - 261
II) Desarrolla en tu cuaderno…!!!
1) Determina la medida de la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide.
2) Calcula la medida del lado de un triángulo equilátero, cuya altura mide.
2
3 cm
3
2
3 cm
3
3) Determina la medida de la diagonal de un cuadrado cuya área es 18 cm2
4) En un triángulo ABC rectángulo en C, un cateto mide 8 cm, determina el perímetro del
triángulo si los otros dos lados son números impares consecutivos.
5) Calcula las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es 60 cm y
su hipotenusa mide 26 cm.
6) Determina la medida de la diagonal de un cubo, cuya arista mide 5 cm.
7) Determina la medida de la arista de un cubo, si su diagonal mide 2 3 cm
8) Las dimensiones del paralelepípedo recto rectangular de la figura, son: 12 cm, 3 cm y 4
cm. Determina la medida de su diagonal AD.
2
9) En un triángulo ABC rectángulo en C, las proyecciones de a y b son:
32
18
p=
cm y q =
cm respectivamente. Determina la medida del lado a.
5
5
10) Determina el perímetro del triángulo equilátero cuya área es 48 3 cm2
11) Los catetos de un triángulo rectángulo son a = 30 cm y b = 80 cm. Calcula la razón p : q
de las proyecciones de estos catetos sobre la hipotenusa.
12) En un triángulo ABC rectángulo en C, la proyección del cateto b sobre la hipotenusa
25
cm , determina la medida del
mide 2 cm menos que el mismo. Si la hipotenusa mide
3
cateto b.
13) Utilizando las siguientes proposiciones, encuentra los valores de las razones
trigonométricas restantes, suponiendo el ángulo α agudo.
2
5
a) senα =
b) ctgα =
7
2
14) Las bases de un trapecio isósceles miden 6 cm y 4 cm. el ángulo de la base mide 60º.
Calcula el área y el perímetro del trapecio.
D
4 cm
C
h
60º
E
A
B
6 cm
15) Una estatua de 15 metros se sitúa sobre un pedestal. Si desde un sitio situado a 34 m
del pié del pedestal, se observa el extremo superior de la estatua con un ángulo de
elevación de 26º; ¿cuál es la altura del pedestal?
16) A cincuenta metros de la base de un edificio se observa la base de una chimenea con
un ángulo de elevación de 62º y el punto más alto de la chimenea se observa con un ángulo
de elevación de 65º.
Calcula:
a) La altura del edificio.
b) La altura de la chimenea.
17) En las siguientes proposiciones calcula el valor del ángulo que satisface la ecuación
a) senβ = 0,4765
b) tgα = 4,28
c) cos λ = 0,18
18) A un grupo de personas que paseaban en bote, les llama la atención una bandera que
flamea sobre un acantilado. Si los ángulos de elevación hacia los puntos más bajos y más
alto del asta de una bandera son 30º y 60º respectivamente y la altura del acantilado es de
24 metros, ¿cuál es la altura de la bandera?.
19) En la cima de un cerro se ha levantado una antena de telefonía celular. Desde un punto
ubicado en el valle se miden los ángulos de elevación del extremo superior y la base de la
antena. ¿Cuál es la altura del cerro si estos ángulos son 57º y 42º respectivamente y la
antema mide 80 m de alto?
3
20) Dos persona A y B observan en la misma dirección un mismo edificio de 18 m de altura,
el primero con un ángulo de elevación de 52º y el segundo con un ángulo de elevación de
20º. ¿Qué distancia separa al observador A del B?
21) ¿Cuál debe ser el ángulo de inclinación de un avión próximo a aterrizar, si acaba de
sobrevolar a una altura de 450 km un galpón que se encuentra a 35 km del aeropuerto.
22) Al colocarse a cierta distancia del pie de un árbol, se ve la punta de esta con ángulo de
70º, bajo qué ángulo se verá el árbol si uno se aleja el triple de la distancia inicial.
23) Un agricultor quiere vender la parcela de la figura, ¿cuánto obtendrá por ella si le pagan
$50.000 por m2 ?
24) Un futbolista va a lanzar un penal, sabiendo que el alto del arco es de 2,5 metros de alto
y que el punto de lanzamiento está a 12 metros del arco, ¿cuál es el ángulo máximo de
lanzamiento para que este no dé en el travesaño?
Respuestas…!!!
4
cm 3) 6 cm 4) 40 cm 5) 10 cm ; 24 cm 6) 5 3 cm 7) 2 cm
3
9) a = 8 cm 10) 24 3 cm 11) p : q = 9 : 64 12) b = 10 cm
1) 1cm 2)
8) 13 cm
3 5
2
5
2
; tgα =
b) senα =
; cos α =
7
3 5
29
29
2
14) P = 14 cm A = 5 3 cm 15) 1,58 m
16) a) 94 m b) 13,2 m
13) a) cos α =
17) a) β = 28,5°
b) α = 76,8°
c) λ = 79,6°
18) 28 m 19) 112,6 m 20) 35,5 m 21) α ≈ 85,56
A ≈ 1926 m2 → $96.300.000 24) α = 11,8°
22) α = 34,2° 23)
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Centro Educacional San Carlos de Aragón.
Coordinación Académica Enseñanza Media.
Sector: Matemática.
Nivel: NM – 3
Prof.: Ximena Gallegos H.
Guía - 5 de Matemática: Trigonometría
Nombre(s): ____________________________________Curso: ______ Fecha._________
Contenido: Trigonometría.
Aprendizaje Esperado: Resuelve problemas relativos al cálculo de área y perímetro,
utilizando teoremas conocidos y razones trigonométricas.
III) Selección Múltiple.
1) Si senα =
a)
7
5
2) Si tgα =
5
, entonces cos α = ?
7
b)
2 6
7
c)
2 6
5
2)
12
7
e) n.a.
3
, entonces csc α =?
4
3
4
5
1
b)
c)
d)
e) n.a.
4
5
4
5
3) Con los datos de la figura, la expresión sen α − c os α es igual a:
a)
a−c
b
c −a
b)
b
a−b
c)
c
b−a
d)
c
e) n.a.
a)
4) Si cos α =
a)
12
13
b
a
α
c
5
, entonces c t gα = ?
13
b)
13
12
c)
5
13
d)
13
5
e)
5
12
5
5) Calcular ( tg α + tg β ) , en función de los lados.
a2
b2
c2
a+b
a+c
b)
c)
d)
e)
bc
ac
ab
c
b
6) Desde la ventana de un edificio, de 42 m de altura, se observa un automóvil con un
ángulo de depresión de 60º. Calcula la distancia que hay desde el automóvil hasta la base
del edificio.
a)
a) 14 3 m
b) 42 3 m
c) 14 m
7) ¿Cuál es el valor de (2x + y) en la figura dada?
a) 18+36
b) 18+18
c) 18 3
(
d) 9 2 + 3
d) 42 m
e) n.a.
18 cm
x
)
30º
e) Otro valor
y
8) Una persona ubicada en lo alto de un edificio P de 12 mts de altura, observa a otra
persona de igual tamaño, en lo alto de un edificio Q de 18 mts de altura, con un ángulo de
elevación de 30º. ¿Cuál es la distancia entre los dos edificios?
a) 2 3 mts.
b) 6 3 mts.
c) 3 mts
9) Si cos α =
8
, entonces c s c α = ?
17
d) 12 mts.
e) n.a.
17
17
15
15
8
b)
c)
d)
e)
8
15
8
17
15
10) Un observador está a una distancia de 12 mts de la base de un edificio, formando un
ángulo de elevación de 60º con el último piso, ¿cuál es la altura del edificio?
a)
a) 12 3 mts
b) 6 3 mts
c) 8 3 mts
d)
12
3
mts
e) n.a.
6
11) ¿Cuál de los siguientes triángulos es(son) rectángulo en C?
C
C
A
A
cos 0º
cos 30º
sen 30º
cos 45º
sen 45º
C
sen 90º
tg 60º
tg 45º
B
A
B
2tg 45º
B
a) I y II
b) II y III
c) I y III
d) I, II y III
e) n.a.
12) En la figura , ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s):
B
I) tg α = 2
β
4 5
5
II) sen α + cos β =
2x
α
III) tg α + tg β = 1
C
x
A
a) Sólo I
b) Sólo II
c) I y II
d) I y III
e) Todas
13) El perímetro del ∆ ABC es 48 m, ¿cuál es el valor de sen α , si tg α = 0,75 ?
C
20
x
α
A
y
B
4
5
2
14) cos 60º −tg 45ºi sen 30º =?
a) 12
b) 16
3
1
b) −
4
4
15) ¿Cuál es el valor de
a) −
a) 2 3
b)
11
6
c)
d)
16
20
e)
3
5
1
3
e)
4
4
( 2sen α − 3tg β ) en la figura?
c) 0
c)
d)
3 3
2
d)
9
2
e) 0
7
16) En un triángulo ABC isósceles de base AB, ¿cuál es la medida de su base, si uno de sus
lados mide 10 cm y uno de sus ángulos basales mide 30°?.
5 3
5 3
3
cm
c)
cm
d)
cm
e) Otro valor
3
2
2
17) Una escalera que mide 6 metros de largo, está apoyada en la parte superior de un muro,
formando con el suelo un ángulo de 50º, ¿cuál es la altura del muro?
a) 5 3 cm
b)
sen 50º
6
d)
e) n.a.
6
sen 50º
18) Un observador está a una distancia de 12 mts de la base de un edificio, formando un
ángulo de elevación de 60º con el último piso, ¿cuál es la altura del edificio?
a) 6 ⋅ cos 50º
b) 6 ⋅ sen 50º
a) 12 3 mts
c)
b) 6 3 mts
c) 8 3 mts
d)
12
mts
e) n.a.
3
19) Un observador de 1,80 m de altura observa la azotea de un edificio con un ángulo de
elevación de 60º. Si el observador está a 12 m del edificio, ¿cuál es la altura de éste?
a) 24 m
b) 12 3 m
c) 8 3 m
d) 4 3 + 1,8 m
e) 12 3 + 1,8 m
20) En un triángulo isósceles de base AB, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones
representa(n) la medida del lado AC?
I)
1,8
cos 50º
II)
1,8
sen 40º
III) 3,6 ⋅ cos50º
C
80º
A
B
3,6
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) Sólo I y II
e) I, II y III
21) Un camión al chocar con un poste lo quiebra y la punta del poste toca el suelo a una
distancia de 3m de la base del poste. Si la parte superior del poste quebrado forma con el
suelo un ángulo de 45º, ¿cuál era la altura original del poste?
a) 6 + 3 2 m
b) 6m
c) 3 + 3 2 m
d) 6 2 m
e) Otro valor
8
22) En un triángulo ABC rectángulo en C, la altura de la hipotenusa mide la mitad de esta.
En relación a esto se afirma que:
p
III) p = q
2
De estas afirmaciones es (son) verdadera(s):
2
I) ( p + q) = 4pq
II) q =
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) Sólo I y II
23) Se puede determinar el perímetro del triángulo ABC si:
e) Sólo I y III
C
A
(1) tg α =
B
3
4
(2) AB = 5 cm
a) (1) Por sí sola
b) (2) Por sí sola
c) Ambas juntas (1) y (2)
d) Cada una por sí sola (1) ó (2)
e) Se requiere información adicional
24) El extremo superior de una escalera se encuentra apoyado en el punto más alto de una
muralla, la escalera forma con el piso un ángulo de 60º. Se puede determinar la altura de la
muralla si:
(1) Se conoce el largo de la escalera
(2) Se conoce la distancia entre el pie de la escalera y la muralla.
a) (1) Por sí sola
b) (2) Por sí sola
c) Ambas juntas (1) y (2)
d) Cada una por sí sola (1) ó (2)
e) Se requiere información adicional
Respuestas….!!!
1) b
9) b
17) b
2) c
10) a
18) a
3) a
11) d
19) e
4) e
12) c
20) d
5) c
13) e
21) c
6) a
14) d
22) e
7) d
15) e
23) c
8) b
16) c
24) d
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Guía - 4 de Matemática: Trigonometría I) Desarrolla de texto…!!!