Tarea 4

Inferencia Estadı́stica Tarea 3
Soriano Flores Antonio
I. Eficiencia.
1. Considere X1 , . . . , Xn m.a. del modelo con función de densidad dada por:
1 x
fX (x) = e− θ
θ
x>0
Se definen dos estimadores para θ:
θ̂1 =
n
X
Xi
i=1
θ̂2 =
n
X1 + (n − 1)X2
n
Verifique que ambos estimadores son insesgados y calcule lo siguiente :
(a) eff(θ̂1 )
(b) eff(θ̂2 )
(c) eff.rel(θ̂1 , θ̂2 )
(d) ¿Es θ̂1 consistente? (Justifique su Respuesta)
(e) ¿Es θ̂2 consistente? (Justifique su Respuesta)
II. Suficiencia.
1. Considere una m.a. de tamaño n. Para cada una de las siguientes distribuciones encuentre
un estadı́stico suficiente para el parametro θ
• Geometrica (θ)
• BinNeg (k, θ), k conocida
• Beta (a, θ), a conocida
• Beta (θ, b), b conocida
2. Considere X1 , . . . , Xn m.a. del modelo N (µ, σ 2 ) (ambos desconocidos).
(a) Demuestre que:
Pn
Pn
t1 (x1 , x2 , . . . , xn ) :=
i=1 xi
n
t2 (x1 , x2 , . . . , xn ) :=
(xi − x)2
n−1
i=1
Son estadı́sticas conjuntamente suficientes para (µ, σ 2 )
3. Considere X1 , . . . , Xn m.a. del modelo gamma de parámetro α, β (ambos desconocidos):
fX (x; α, β) :=
β α α−1 −βx
x e 1(0,∞) (x)
Γ(α)
1
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(a) Demuestre que:
t1 (x1 , x2 , . . . , xn ) :=
n
X
log (xi )
t2 (x1 , x2 , . . . , xn ) :=
n
X
i=1
xi
i=1
Son estadı́sticas conjuntamente suficientes para (α, β)
4. Considere X1 , . . . , Xn m.a. del modelo beta de parámetro a > 0, b > 0 (ambos desconocidos):
Γ (a + b) a−1
fX (x; a, b) :=
x (1 − x)b−1 1(0,1) (x)
Γ (a) Γ (b)
Encuentre una estadı́stica conjuntamente suficiente para el vector de parámetros (a, b)
III. Familia Exponencial - Estadı́stica Suficiente Minimal
1. En clase definimos a la familia exponencial uniparamétrica como aquellas variables aleatorias con función de densidad de la forma:
fX (x; θ) = a (θ) b (x) ec(θ)d(x)
Donde a(θ), c(θ) funciones que no depende de x y b(x), d(x) funciones que dependen de
x y no dependen de parámetros desconocidos.
Demuestre que:
(a) El modelo P oisson(λ) pertenece a la familia exponencial. (Identifique adecuadamente quien es a(λ), c(λ), b(x), d(x))
λx −λ
fX (x) = P (X = x) = e
x!
x ∈ {0, 1, 2, . . . , }
(b) El modelo Binomial(k, p) pertenece a la familia exponencial, suponga para ello que el
parámetro k es conocido. (Identifique adecuadamente quien es a(p), c(p), b(x), d(x))
k x
fX (x) = P (X = x) =
p (1 − p)k−x
x ∈ {0, 1, 2, . . . , k}
p ∈ (0, 1)
x
(c) El modelo Exponecial (λ) pertenece a la familia exponencial. (Identifique adecuadamente quien es a(λ), c(λ), b(x), d(x))
fX (x) = λeλx
x ∈ (0, ∞)
(d) El modelo Geometrico(p) pertenece a la familia exponencial. (Identifique adecuadamente quien es a(p), c(p), b(x), d(x))
fX (x) = P (X = x) = (1 − p)x−1 p x ∈ {1, 2, 3, . . .}
2
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(e) El modelo N ormal (µ, σ 2 ) pertenece a la familia exponencial. Suponga σ 2 conocida.
(Identifique adecuadamente quien es a(µ), c(µ), b(x), d(x))
fX (x) = √
1
2πσ 2
2
1
e− 2σ2 (x−µ)
x∈R
(f) El modelo Gamma (α, β) pertenece a la familia exponencial. Suponga α conocida.
(Identifique adecuadamente quien es a(β), c(β), b(x), d(x))
fX (x) :=
β α α−1 −βx
x e ;
Γ(α)
x ∈ (0, ∞)
2. Con ayuda del ejercicio anterior, responda lo siguiente:
(a) Encuentra una estadı́stica suficiente y completa para λ del modelo P oisson(λ)
(b) Encuentra una estadı́stica suficiente y completa para p del modelo Binomial(k, p)
Suponga k conocida
(c) Encuentra una estadı́stica suficiente y completa para λ del modelo Exponencial(λ)
(d) Encuentra una estadı́stica suficiente y completa para p del modelo Geometrico(p)
(e) Encuentra una estadı́stica suficiente y completa para µ del modelo N ormal(µ, σ 2 ).
Suponga σ 2 conocida
(f) Encuentra una estadı́stica suficiente y completa para β del modelo Gamma(α, β).
Suponga α conocida
IV. Rao Blackwell - Lehmann Scheffé
1. Sea X1 , . . . , Xn m.a. del modelo Bernulli (θ). Encuentre el UMVUE para la cantidad
θ (1 − θ).
Obs: En este ejercicio debe de calcular la esperanza condicional correspondiente, en este
caso considere a:
(X1 − X2 )2
2
Primero demuestre que la estadı́stica anterior
Pnes un estimador insesgado para la cantidad
θ(1 − θ). Luego utilizando el hecho de que i=1 Xi es suficiente y completa, encuentre el
UMVUE para θ(1 − θ) por medio del calculo de:
n
!
(X1 − X2 )2 X
E
Xi
2
i=1
2. Sea X1 , . . . , Xn m.a. del modelo P oisson (λ). Encuentre el UMVUE para la cantidad:
P (X = 1) = e−λ
3
λ1
1!
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\
Hint: Considere P (X
= 1) = 1{XP
1 =1} , demuestre que la estadı́stica anterior es insesgada
para P (X = 1), y recuerde que ni=1 Xi es una estadı́stica suficiente y completa, luego
entonces:
!
n
X
Xi
E 1{X1 =1} i=1
Es el UMVUE.
3. Sea X1 , . . . , Xn m.a. del modelo N ormal (θ, 1), encuentre el UMVUE para θ2
4. Sea X1 , . . . , Xn m.a. del modelo Bernulli (θ), encuentra el UMVUE para θn .
(Hint:
Considere θ̂n = 1{X1 =1,...,Xn =1} como un estimador insesgado y recuerde que
Pn
i=1 Xi es una estadı́stica suficiente y completa para θ)
5. Sea X1 , . . . , Xn m.a. de la densidad MAXWELL:
12
3
1 2
2
θ− 2 x2 e− 2θ x
fX (x) =
π
Demuestre que dicha densidad pertenece a la familia exponencial, encuentre una estadı́stica suficiente y completa y encuentre un UMVUE para θ
V. Métodos de Estimación
1. Sea X1 , . . . , Xn m.a. del modelo U nif orme(θ, 0) con θ < 0.
1
fX (x) := − 1(θ,0) (x)
θ
Encuentre el estimador de momentos y el de máxima verosimilitud y responda lo siguiente:
(a) ¿Los estimadores encontrados son insesgados?
(b) ¿El estimador es consistente?
2. Sea X1 , . . . , Xn m.a. de una población con función de densidad dada por:
fX (x; θ) =
2
(θ − x), x ∈ [0, θ]
θ2
(a) Aplica el método de momentos para encontrar un estimador para θ. (Denotemos a
dicho estimador como θ̂M )
(b) Demuestre que θ̂M es insesgado
3. Sea X1 , . . . , Xn m.a. de una población con densidad dada por:
1 1
fX (x; θ) = x θ −1 , x ∈ [0, 1] θ > 0
θ
• Demuestre que la densidad pertenece a la familia exponencial
4
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• Demuestre que
Pn
i=1
Log(Xi ) es una estadı́stica suficiente y completa para θ
• Aplica el método de máxima verosimilitud para encontrar un estimador para θ.
(Denotemos a dicho estimador como θ̂M V )
• Demuestre que θ̂M V es insesgado.
• ¿El estimador θ̂M V es UMVUE? (Justifique su respuesta)
4. Considere X1 , . . . , Xn m.a. de tamaño n Uniforme (0, θ) Encuentre los estimadores MV
para la media y la varianza.
5. Sea X1 , ..., Xn una m.a. con densidad común
f (x; θ) = e−(x−θ)
1(θ<x<∞) (x)
• Encuentre el estimador de MV de θ
• Encuentre el estimador por momentos de θ
5
−∞<θ <∞
(1)