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La Proporción desde el Arte: de
Estalmat al Aula
Carlos Segura, Irene Ferrando
Actividades Estalmat ↔ Actividades Aula
A partir de las actividades Estalmat, desarrollaremos
posibles extensiones al aula, contemplando tres
niveles de competencia (A= bajo, B = medio, C = alto).
Dentro de estas extensiones se encuentra el uso del
programa Geogebra, que también podría
retroalimentar las sesiones Estalmat, completando el
círculo.
Nuestro objetivo es enseñar
competencias en el dominio de
la Proporción a partir de los
distintos usos y significados que
los artistas le han ido dando a lo
largo de la historia.
Motivaciones:
-El significado de Proporción entre magnitudes plantea
dificultades entre los alumnos.
-Principio de variabilidad perceptual.
-Modelo funcional de aprendizaje (ICMI, PISA/OCDE)
Contextualizar de forma coherente todo el proceso de
aprendizaje.
El estudio histórico-artístico del concepto
de Proporción permite establecer una
secuencia de aprendizaje: del
razonamiento visual a las relaciones
numéricas.
Competencias básicas
Competencia en comunicación lingüística : lectura de tratados
de arte antiguos, etc.
Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo
físico: manipular figuras, uso de la perspectiva, etc.
Tratamiento de la información: búsqueda de fuentes históricas
que se indiquen.
Competencia cultural y artística
Competencia en aprender a aprender y en autonomía e
iniciativa personal: explotadas por la modelización.
Competencia matemática.
Proporción en el arte egipcio: búsqueda de una total regularidad
Hacia el 3200 aC, la representación de la figura
humana empezó a realizarse según la llamada "regla
de proporción", un estricto sistema geométrico de
cuadrículas que aseguraba la repetición exacta de la
forma ideal egipcia a cualquier escala y en cualquier
posición.
ACTIVIDAD ESTALMAT (1ER AÑO)
Nivel (B) Observa detenidamente la siguiente
figura. Teniendo en cuenta que la medida del
dedo al codo es de 45 cm intenta contestar las
siguientes preguntas:
¿Cuánto mide cada celda de la cuadrícula?
Ahora fíjate en la figura del hombre entero,
¿cuánto mide?
¿Cuántos cuadros crees que necesitaríamos
para representar a ese mismo hombre sentado
en una silla de manera que las plantas del pie
tocaran el suelo?
Nivel (C) Teniendo en cuenta que en los casos de
dibujos cuidadosamente elaborados:
El nivel de la línea de la rodilla desde la planta del
pie representaba un tercio de la altura de la línea
frontal del cabello; que el nivel más bajo de las
nalgas representaba la mitad de la altura de la
línea del cabello; que la línea del codo
representaba dos tercios de la altura del cabello, y
que la distancia desde la línea del cabello hasta la
unión del cuello con los hombros era un noveno de
la altura de la línea del cabello.
¿Sabrías deducir porqué los egipcios
representaban las figuras en una cuadrícula
de 18 celdas?
EXTENSIÓN AL AULA (RECONOCIMIENTO PATRONES GEOMÉTRICOS)
Nivel (A) Tras observar detenidamente una figura dibujada con una
cuadrícula responde a las siguientes preguntas:
¿Crees que la cuadrícula te sería útil para reproducir el dibujo?
¿Cómo lo harías?
Si en lugar de mantener el tamaño de los cuadros los reducen, ¿qué crees
que ocurrirá? ¿Y si los amplias?
Propuesta de Durero para cambiar las
proporciones de cualquier figura.
Actividades con “sistemas no
proporcionales” para que los alumnos
encuentren cómo el patrón se rompe y
en función de qué.
Conducirles hacia la noción de que en la
repetición exacta de una forma a
distintos tamaños juegan un papel
determinante el ancho y largo de las
figuras. Búsqueda de relación intuitiva
entre ambas.
Proporción en el arte
Griego:
Belleza, canon y módulo
Orden dórico
“Para medir se emplea el pie, éste era la sexta parte del cuerpo,
transfirieron esta proporción a la columna, dando a ésta de altura
seis veces el grueso de su imoscapo, incluso el capitel” (PITARCH,
A.J., 1982, pp. 261).
Orden jónico
“La altura total del capitel jónico es un tercio del
diámetro del imoscapo. Se divide el capitel en 9’5
partes, 6’5 partes para el cimacio, canal y ábaco, las 3
partes restantes están bajo el astrágalo. La volada del
cimacio fuera del filo del ábaco, será cuanto es el ojo de
la voluta” (Vitrubio Polión 1974, pp. 73-76).
Orden corintio
“La altura del capitel incluido el ábaco es el diámetro
del imoscapo. La anchura del ábaco en diagonal es
dos veces la altura del capitel y la altura del ábaco la
séptima del capitel. La forma del ábaco resultaría al
recortar concávamente desde los ángulos
una novena parte de su longitud. El capitel en su
parte más baja tendría un diámetro
igual al sumoscapo, al que quedaría unido” (Vitrubio
Polión 1974, pp. 84-85)
Conocer la
proporción a partir
del módulo
permitió a los
griegos poder
realizar esculturas
de forma “muy
similar” aún con
tamaños muy
distintos. Porque...
¿tienen las mismas
proporciones dos
copias de
Policleto, una con
la cabeza de 15
cm y otra con la
cabeza de 50 cm?
Orden Dórico
Orden
completo
20 m
Entablamento
4m
Columna
16 m
Cornisa
1+½m
Friso
1+½m
Arquitrabe
1m
Capitel
1m
Fuste
14 m
Basa
1m
Orden Jónico
Orden
completo
22 + ½ m
Entablamento
4+½m
Columna
18 m
Cornisa
1+¾m
Friso
1+½m
Arquitrabe
1+¼m
Capitel
1m
Fuste
16 m
Basa
1m
EJERCICIO 1: Imagina que perteneces a un equipo de arqueología
y descubres un manuscrito del siglo IV aC en el que aparece la
siguiente planta del templo de Hera en Olimpia. Del templo sólo
se conserva la plataforma, con dos escalones de 0'75 m de altura
cada uno.
En dicha planta, no se especifica si el orden del templo es dórico o
jónico, pero sí se observa que el diámetro de la columna es de 50
cm. Siguiendo el plano, y a partir de estimaciones, determina las
dimensiones del templo (ancho, largo, alto) si:
a) Su orden es dórico.
b) Su orden es jónico.
Actividad Gnomon. Concepto de crecimiento.
Nivel A: Guiar hacia la noción de
gnomon. Repartir hojas de tamaños
DINA3, DINA4, DINA5, doblando las
hojas comprobarán que son
proporcionales todas entre sí y podrán
establecer la proporción.
Nivel B: Si llamamos L al largo y A al ancho de una hoja
DINA3 y la doblamos, ¿cómo podemos escribir que el
resultado es proporcional a la hoja sin doblar?
¿Se te ocurre qué ancho puede cumplir esa relación?
Haz pruebas experimentales.
¿Sigue ocurriendo lo mismo con las hojas DINA4? ¿Cuál
será el largo de una DINA4 en relación a las dimensiones
de una DINA3? ¿Y el ancho?
Nivel C: ¿Puedes poner en relación el
largo y el ancho de una de estas
hojas? ¿Qué relación tienen entre sí?
¿Serías capaz, a partir del largo L de
una DINA1, de escribir una expresión
que permita calcular el largo y el
ancho de una DINA2, de una DINA3 y
de las sucesivas hojas resultantes de
doblar una DINA1 n veces?
Herón de Alejandría definió un gnomon “como cualquier figura que, añadida a
una figura original, produce una figura semejante a la original”.
A esto se le llamaba crecimiento gnomónico.
Se cuenta esta leyenda: El pintor Apeles pintó una batalla en un lienzo de
proporciones bellísimas sobre el que distribuyó las figuras usando otras
proporciones dentro del lienzo. Alejandro Magno se emocionó al verlo, pero pidió
otro más grande. Entonces Apeles añadió un cuadrado de lado el largo de su
lienzo original y continuó la batalla en él, obteniendo otra escena de batalla que
contenía a la anterior y, mejor todavía, con idénticas y tan celebradas
proporciones.
PROPORCIÓN EN EL ARTE
MEDIEVAL Y RENACENTISTA:
Razones numéricas
Estalmat: Actividad proporción raíz de dos
NIVEL A:
Encuentra en el cuadro de Piero della Francesca (La
flagelación de Cristo) y en las plantas de estos dos edificios
rectángulos con proporción raíz de dos.
Exploración con el Geogebra (J. M. Dos Santos, Proporción,
arte y matemáticas, Uno)
ACTIVIDAD 2º ESTALMAT: RECTÁNGULOS RAÍZ DE UN ENTERO
Nivel B/C: A partir de un cuadrado dado como módulo, construir
plantas de edificios con habitaciones rectangulares de proporción raíz
de 2 y de distintos tamaños proporcionales entre sí con valores
fraccionarios.
Hemos visto la construcción con regla y compás del rectángulo de
proporción raíz de 2. La clave está en la diagonal.
a) ¿Serías capaz de construir el rectángulo de proporción raíz de 3 y el
de proporción raíz de 5?
b) ¿Se puede construir con el mismo procedimiento el rectángulo de
proporción raíz de n?
c) Si dividimos el rectángulo de proporción raíz de n en n partes
iguales, ¿qué proporción tiene cada una de ellas?
ACTIVIDAD 2º ESTALMAT: CRECIMIENTO GNOMÓNICO Y
RECTÁNGULOS RAÍZ DE DOS
Estudiemos otro concepto clave de cómo entendían los griegos el
concepto de proporción. Pero primero vamos a ver qué ocurre con
un folio DIN A4.
- Mide el ancho y el largo del folio y calcula su razón de proporción.
¿Cuál es, aproximadamente?
- Dobla el folio. Calcula ahora su razón de proporción. ¿Cuál es?
- Vuelve a doblarlo. Calcula su razón de proporción. ¿Cuál es?
- ¿Qué ocurrirá si seguimos doblando el folio indefinidamente?
- A partir del largo de un folio DIN A4, serías capaz de calcular el largo
y el ancho del rectángulo de papel resultante de doblarlo 2 veces,
3 veces... ¿y n veces?
Actividad proporción
raíz de tres
Cuestión planteada en Estalmat (extensible):
Niveles A, B, C. Tras observar las mandorlas (vesica pisci)
anteriores,
¿serías capaz de construir una usando regla y compás?
Extensión al aula: Vesica Piscis con Geogebra
Actividad Estalmat, segundo curso (C.V. Federico, N. A. Díaz,
M.J. Arias Mercader, Enseñanza interdisciplinaria: geometría y
arte. )
EJERCICIO: Hemos visto la construcción de la vesica piscis. Sabemos que la proporción entre el eje mayor
y el menor de la curva es raíz de 3. Trabajemos un poco más con estas figuras.
a) Conecta los lados AD, DF, FG. Hemos obtenido el soporte de una figura geométrica conocida. ¿Cuál es?
b) Encuentra la progresión geométrica que sigue.
Nivel (A) Fíjate en los arcos ojivales típicos
de la arquitectura gótica…
¿se pueden relacionar de alguna manera
con la mandorla?
Durero. La última cena.
1510
Nivel A.
¿Dónde se emplea la
vesica piscis?
Nivel B. Observa el dibujo de la
construcción de la vesica piscis,
suponiendo que el radio de cada
círculo es 1, ¿cuál es la longitud
de la mandorla?
Nivel C. La proporción entre
lado del triangulo y el lado del
hexágono es raíz de 3. ¿Por
qué?
Actividad razón áurea
(F. Corbalán, La proporción
áurea)
Nivel A. Obtengamos la razón
de algunos objetos
que nos resultarán muy familiares…
EUCLIDES
Dado un segmento AB de
longitud 1
¿Cómo dividir AB en
dos partes AC y CB
de manera que la
razón entre el total
y lado mayor
coincida con la razón entre el
mayor y el pequeño?
A
C
B
Sección áurea de un segmento dado con Geogebra
Rectángulo áureo a partir de un cuadrado
Pentágono y pentalfa,
proporción áurea.
Nivel C
¿Por qué AD/ED tiene proporción áurea?
Intenta deducir de esta relación
la construcción de un pentágono regular.