Continuidad de funciones de varias variables

Continuidad de funciones de varias variables
1. Definición y propiedades elementales
Definición 1.1. Una función f : U ⊂ Rn → Rm se dice que es continua en un punto a ∈ U
si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ U con kx − ak < δ se tiene que
kf (x) − f (a)k < ε.
Si lı́m→a f (x) 6= f (a) se dirá que f tiene una discontinuidad evitable en a.
Si @ lı́m→a f (x) se dirá que f tiene una discontinuidad esencial en a.
Proposición 1.2. (Continuidad por sucesiones)
Sea una función f : U ⊂ Rn → Rm y a un punto de U . Son equivalentes las siguientes
afirmaciones:
(i) f es continua en a.
(ii) Para toda sucesión {xk }k∈N ⊂ U que converja a a, la sucesión de imágenes {f (xk )}k∈N
converge a f (a).
Proposición 1.3. (Propiedades elementales) Sean f = (f1 , f2 , . . . , fm ) y g = (g1 , g2 , . . . , gm )
funciones definidas en U ⊂ Rn con valores en Rm y a un punto de U .
(i) f es continua en a ⇔ fi es continua en a, cualquiera que sea i = 1, 2, . . . m.
(ii) Si f es continua en a, entonces f está acotada en un entorno de a.
(iii) Supongamos que f es real. Si f es continua en a y f (a) 6= 0 entonces f tiene signo constante
en un entorno de a.
(iv) Si f y g son continuas en a, entonces f + g es continua en a.
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(v) Si f y g son reales y continuas en a, entonces la función f (x).g(x) es continua en a.
(vi) Si f y g son reales y continuas en a, y g(a) 6= 0 entonces la función
f (x)
g(x)
es continua en a.
(vii) Si f y g son continuas en a, entonces la función
f (x) · g(x) :=
m
X
fi (x)gi (x)
i=1
es continua en a.
Proposición 1.4. (Continuidad de la compuesta) Sean f : U ⊂ Rn → Rm y g : V ⊂ Rm →
Rp , donde f (U ) ⊂ V . Si f es continua en a y g es continua en b = f (a), entonces g ◦ f es continua
en a.
2. Funciones continuas en conjuntos compactos
Proposición 2.1. Sea f : K ⊂ Rn → Rm donde K es compacto y f continua en K. Entonces
f (K) es compacto.
Teorema 2.2. (Weierstrass). Sea f : K ⊂ Rn → R continua en el conjunto compacto K.
Entonces f (K) alcanza el máximo y el mı́nimo.
Proposición 2.3. (Continuidad de la inversa). Sea f : K ⊂ Rn → R continua en el conjunto
compacto K. Supongamos además que f es inyectiva en K. Entonces f −1 es continua en f (K).
3. Continuidad en conjuntos conexos por arcos
Definición 3.1. Sea [α, β] un intervalo cerrado de la recta real. Una aplicación ϕ : [α, β] → S
que sea continua en [α, β] se dice que es un arco o una curva en S. Al intervalo [α, β] se le
denomina intervalo del parámetro y los extremos de la curva son ϕ(a) y ϕ(b).
Definición 3.2. Un subconjunto S de Rn se dice que es conexo por arcos si dados dos puntos
cualesquiera a y b de S existe una curva en S que los une.
Proposición 3.3. Sea U un subconjunto conexo por arcos de Rn . Si f : U → Rm continua en
U, entonces f (U ) es conexo por arcos.
Proposición 3.4. (Propiedad de Darboux) Sea U un subconjunto conexo por arcos de Rn
y f : U → R continua en U. Si a y b son dos puntos de U y f (a) < k < f (b) entonces existe un
c ∈ U tal que f (c) = k.
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4. Continuidad uniforme
Definición 4.1. Una función f definida en un subconjunto U de Rn con valores en Rm se dice que
es uniformemente continua en U si dado cualquier ε > 0 existe un δ > 0 tal que cualesquiera
que sean x, x0 ∈ U verificando que kx − x0 k < δ se tiene que kf (x) − f (x0 )k < ε.
Una función que no sea uniformemente continua en U verificará alguna de las condiciones
equivalentes siguientes:
∃ε0 > 0 tal que ∀δ > 0 existen x, x0 ∈ U de modo que kx − x0 k < δ pero kf (x) − f (x0 )k ≥ ε0 .
∃ε0 > 0 y existen sendas sucesiones {xk }k∈N , {x0k }k∈N ⊂ U tal que kxk − x0k k → 0 pero
kf (xk ) − f (x0k )k ≥ ε0 .
Proposición 4.2. (Extensión a la frontera) Sea f : U ⊂ Rn → Rm uniformemente continua
en U y a ∈ ∂U . Entonces f se puede extender continuamente a a.
Definición 4.3. Una función f : U ⊂ Rn → Rm se dice que verifica la condición de Lipschitz
o que es lipschitziana si existe una constante K > 0 tal que
kf (x) − f (y)k ≤ Kkx − yk
∀x, y ∈ U.
Proposición 4.4. Toda función lipschitziana en U es uniformemente continua en U .
Teorema 4.5. (Teorema de Heine) Toda función continua en un compacto K es uniformemente continua en K.
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