Soluciones ejercicios 2.

Guía de Ejercicios 2
Econometría II
1.- Para el siguiente proceso
donde
:
es un ruido blanco con varianza 1.
a) Calcule la media y la varianza marginal y condicional del proceso. Compare los valores
marginales y condicionales.
Media marginal:
Tomando esperanzas en la ecuación se llega a
dado que un proceso ruido
blanco tiene esperanza cero.
̅ .
Media condicional: suponemos que conocemos el valor de
Luego, la esperanza condicional será
̅
̅
Varianza marginal:
Varianza condicional: el valor de
es cero. Por lo tanto
.
se conoce con certeza por lo que su varianza
̅
Comparacion: la varianza condicional siempre toma un valor menor que la marginal
dado que conocer el pasado mas cercano reduce la incertidumbre sobre la dinámica
de la serie. Sin embargo, no puede decirse que la media condicional sea mayor o
menor que la marginal. Eso dependerá del valor sobre el que se condiciona en t-1.
b) Calcule la covarianza y función de autocorrelación del proceso hasta el período 4.
Autocovarianzas
Autocorrelaciones: en general se sabe que
En general, la función de autocorrelacion de este proceso decrecerá de forma
exponencial acercándose progresivamente a cero.
Funcion de autocorrelacion
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2.- Sea el siguiente proceso autorregresivo de orden 2:
donde
es un proceso de varianza 1.
a) Calcule la media y la varianza marginal de este proceso.
Media marginal:
Tomando esperanzas en la ecuación se llega a
Para calcular la varianza marginal primero escribimos el modelo en forma de
desviaciones respecto a la media
La varianza se obtiene como
[
]
De aquí se obtiene la expresión para la varianza
b) Es estacionario este proceso? Justifique.
Para que el proceso sea estacionario las raíces de la ecuación
deben estar fuera del circulo unidad.
√
{
Por el que el proceso puede considerarse estacionario.
3. Dados los dos siguientes procesos estocásticos:
donde
t
es un proceso ruido blanco con varianza
 2
a) Clasifique ambos modelos dentro de la familia ARI(p,d) y escríbalos usando el operador de
retardos.
El proceso (a) es un ARI(0,1)
El proceso (b) es un ARI(2,0)
b) Discuta las propiedades de estacionariedad de cada uno de los procesos y en su caso
obtenga la transformación estacionaria de la variable original.
El proceso (a) es claramente no estacionario al ser una de las raíces igual a la unidad.
Las raíces del proceso (b) son
{
Una de las raíces esta dentro del circulo unicad por lo que seria explosivo y no estacionario.
b) Señale las características evolutivas en el nivel de las series temporales generadas por el
proceso (a).
El proceso es un paseo aleatoria con deriva. Seria un proceso con crecimiento sistematico
determinista de 0.3 unidades en cada periodo t mientras el nivel de la serie estaría afectado
por innovaciones estocásticas.
4. En el análisis económico se emplean con mucha frecuencia variables que se obtienen por la
agregación de otras variables. Este es el caso, por ejemplo, del PIB o del IPC. Este ejercicio
pretende ilustrar que la agregación de procesos estocásticos puede generar esquemas de
autocorrelación más complejos que los que tienen los procesos desagregados.
Considere a este respecto dos procesos xt e y t cuya evolución temporal viene descrita
por un esquema AR(1) estacionario, es decir:
xt  1 xt 1  ut ,
1  1
yt   2 yt 1  vt ,
2  1
ut y vt son procesos ruido blanco que se distribuyen independientemente.
Compruebe que el proceso zt  xt  yt es:
donde
a) Un proceso AR(1) si
1   2
b) Un proceso ARMA(2,1) en general. (Pista: calcule las autocovarianzas de la parte MA del
proceso)
1   2
(c) Un proceso AR(2) si
y  u2   v2 .
Solución
Dado
xt  1 xt 1  ut  xt 
ut
1  1 L
yt   2 yt 1  vt  yt 
vt
1  2 L
Tenemos
zt  xt  yt 
ut
vt
(1   2 L)ut  (1  1 L)vt

 zt 
1  1 L 1   2 L
(1  1 L)(1   2 L)
(1)
Apartado a)
Si
1   2 obtenemos de [1] que z t
es un AR(1).
Efectivamente:
zt 
ut  vt
 1  1 L) zt   t 
(1  1 L)
con
 t  ut  vt
ruido blanco dado que es la suma de
dos procesos ruido blanco.
Apartado b)
En (1) se aprecia que hay un componente AR (denominador de la expresión) y un
componente MA (numerador de la expresión).
Componente AR:


(1  1 L)(1   2 L) zt  1  1   2 L  1 2 L2 zt  AR(2)
Componente MA:
wt  (1   2 L)ut  (1  1 L)vt . Veamos que presenta una estructura MA(1), para ello
calculamos la función de autocovarianzas
 1  C ( wt , wt 1 )  Eut   2ut 1  vt  1vt 1 ut 1   2ut 2  vt 1  1vt 2 
 
 
  2 E ut21  1 E vt21   2 u2  1 v2
 2  C ( wt , wt 2 )  Eut   2 ut 1  vt  1vt 1 ut 2   2 ut 3  vt 2  1vt 3   0
….
 k  C ( wt , wt k )  Eut   2ut 1  vt  1vt 1 ut k   2ut k 1  vt k  1vt k 1   0
Efectivamente presenta la estructura de autocorrelación de un MA(1).
En definitiva hemos comprobado que z t presenta una estructura ARMA(2,1)
Apartado c)
k 1
1   2
y  u2   v2 . Eso supone que no hay estructura MA(1) en el
 1   2 u2  1 v2  0 , luego sólo tengo estructura AR(2).
Consideremos que
proceso. Ahora
5.- Sean los siguientes correlogramas de dos diferentes procesos:
a) De qué procesos cree que son este correlograma? Por qué?
b) Escriba cada un modelo tentativo para este proceso asumiendo que su media es 3.
Solucion
a) El proceso podría ser un AR(1) porque la FAC decrece alternando sus signos, y la FACP
tiene un pico significativo en el primer período, y luego tiene valores cercanos a cero, o no
significativos.
b) Un posible modelo podría ser :
6. Considere la serie mensual del índice de ventas de supermercados para el periodo 1991:012007:06. La serie necesita una diferencia regular y una diferencia estacional para convertirse en
estacionaria. Una vez hecho esto, la serie tiene el siguiente gráfico y correlograma:
.10
.05
.00
-.05
-.10
-.15
1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006
D12INDICE
a) Con la información proporcionada, ¿considera que podría tratarse de una serie
estacionaria?. Justifique su respuesta.
b) Proponga uno o más modelos que le parezcan adecuados para representar la serie,
justificando cada uno de ellos.
c) Si propone dos modelos o más, que criterio utilizaría para elegir entre uno u otro?
Comente.
Solucion
a) Tal y como dice el enunciado, la serie en el nivel no es estacionaria. Una vez tomadas
una diferencia regular y una estacional podria ser estacionaria dado que el grafico
muestra media constante. Ademas no resulta lógico tomar mas de dos diferencias para
series económicas en ninguno de los casos.
b) Un primer modelo a proponer sería un ARIMA(2,1,0)x(1,1,0), ya que el correlograma
parcial muestra 2 picos significativos en la parte regular, y la parte estacional no es tan
clara ya que no hay picos significativos en el período 12, pero si los hay en el 13 y 14.
Además el FAC tiene un decrecmiento oscilante entre valores negativos y positivos.
Otro modelo podría ser ARIMA(2,1,0), por las características de la FAC y la FACP ya
mencionadas, sólo considerando la parte regular.
c) Suponiendo que los modelos propuestos son validos, será mejor el que tenga un menor
valor en el criterio de Akaike o en el criterio de Schwartz, los cuales ponderan por un
lado la minimización de la suma de cuadrados residuales y por otro penaliza por los
números de parámetros a estimar en el modelo.