10-funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas

Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato
I.E.S. “Ramón Giraldo”
FUNCIONES LOGARÍTMICAS,
EXPONENCIALES Y TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
■ Logaritmo de base a
El logaritmo en base a ( > 0 y ¹ 1) de un número N es el exponente al que hay que elevar la base
para que dé dicho número:
log a N = x Û a x = N
Los logaritmos de base 10 se llaman decimales1 y se representaban por log, y los logaritmos de base
e se llaman neperianos o naturales y se representaban por ln o L.
Propiedades:
1) log a ( MN ) = log a M + log a N
æM ö
2) log a ç ÷ = log a M - log a N siempre que N ¹ 0
èNø
3) log a N m = m log a N "m Î R
Transformación de logaritmos:
ln N
4) log a N =
ln a
Otras propiedades:
1
son opuestos.
a
6) Conocidos los logaritmos en una base mayor que 1 se pueden hallar fácilmente en
cualquier otra base.
5) Los logaritmos de un número en dos bases inversas a y
■ Función logaritmo de base a ( > 0 y ¹ 1)
log a : ( 0, +¥ ) ® ¡
x a log a x
Propiedades:
1) Dom ( log a ) = ( 0, +¥ )
2) Img ( log a ) = R
3) Continua y estrictamente monótona (creciente si a > 1 y decreciente si a < 1 )
4) Biyectiva, luego tiene inversa que es la función exponencial de base a .
1
Actualmente esta notación está en desuso y se utiliza la notación log para representar el logaritmo neperiano.
Cipri
Departamento de Matemáticas
1
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log a x = -¥
ìï lim
x ®0 +
Si a > 1 í
log a x = +¥
ïî xlim
®+¥
5)
ìï lim log a x = +¥
0
Si a < 1 í x ® +
log a x = -¥
ïî xlim
®+¥
1
ì
ï f ' ( x ) = x log a e
ï
6) Curvatura: í
convexa si a < e
ï f '' ( x ) = - 1 log a e ® f ( x ) es ìí
2
ïî
x
îcóncava si a ³ e
FUNCIONES EXPONENCIALES
■ Dos funciones exponenciales
f (x ) = 2 x
æ1ö
g (x ) = ç ÷
è2ø
x
Propiedades:
1) Dom ( f ) = ¡
1) Dom ( f ) = ¡
2) Img ( f ) = ¡ +
2) Img ( f ) = ¡ +
3) f está acotada inferiormente,
pero no superiormente
3) f está acotada inferiormente
pero no superiormente
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
2
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4) f no es par ni impar
5) f es continua
6) f es estrictamente creciente y por
tanto inyectiva (luego tiene inversa)
7) f no tiene extremos relativos
8) lim f ( x ) = 0 y lim f ( x ) = +¥
x ® -¥
x ® +¥
9) f ( x ) = log 2 ( x )
10) f es sobreyectiva y
consecuencia, es biyectiva
-1
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4) f no es par ni impar
5) f es continua
6) f es estrictamente decreciente y
por tanto inyectiva (luego tiene
inversa)
7) f no tiene extremos relativos
8) lim f ( x ) = +¥ y lim f ( x ) = 0
x ® -¥
como
9) f
-1
(x ) = log 1 (x )
x ® +¥
2
10) f es sobreyectiva y
consecuencia, es biyectiva
como
■ Dos funciones exponenciales especiales
f ( x ) = e x (donde ln -1 = f : e x = y Û x = ln y )
g ( x ) = 10 x
Propiedades:
1) Dom ( f ) = Dom ( g ) = R
2) Img ( f ) = Img ( g ) = R +
3) f y g son estrictamente crecientes y como consecuencia inyectivas
4) f y g están acotadas inferiormente pero no superiormente
5) f y g son continuas
6) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 y lim f ( x ) = lim g ( x ) = +¥
x ® -¥
x ® -¥
x ® +¥
x ® +¥
7)
f y g son sobreyectivas y por tanto, biyectivas
8)
f
-1
(x ) = ln x
y
g -1 ( x ) = log x
■ Función Exponencial
f : R ® ( 0, +¥ )
f ( x ) = a x :=e x ln a con a > 0 y a ¹ 1
Propiedades:
1) Dom ( f ) = R
2) Img ( f ) = R +
3)
Cipri
f ( 0 ) = 1 y f (1) = a
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f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) Û a x+ y = a x a y
f es continua
ìcreciente si a > 1
6) f es estrictamente í
îdecreciente si 0 < a < 1
ì
ì lim f ( x ) = 0
ïPara 0 < a < 1 se tiene que ïí x®-¥
ï
f ( x ) = +¥
ïî xlim
®+¥
ï
7) í
ìï lim f ( x ) = +¥
ï
x ®-¥
>
Para
1
se
tiene
que
a
ï
í
f ( x) = 0
ïî xlim
®+¥
îï
4)
5)
ìï f ' ( x ) = a x ln a
8) Curvatura: í
2x
2
ïî f '' ( x ) = a ln a > 0 ® f ( x ) es convexa
ì f ' ( x ) = 3x 2
ï
í
ìconvexa si x > 0
ï f '' ( x ) = 6 x ® f ( x ) es ícóncava si x < 0
î
î
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
■ Función seno
sen : R ® [ -1,1]
x a sen x
Propiedades:
1) La función seno es impar: sen ( - x ) = -sen x
2) Es continua
3) sen x £ 1 "x Î R , es decir, está acotada
4) Es 2p - periódica: sen ( x + 2p ) = sen x
ì
é p é ù 3p
ù
ïcreciente en ê0, 2 ê È ú 2 , 2p ú
ï
ë
ë û
û
5) sen es estrictamente í
ïdecreciente en ù p , 3p é
úû 2 2 êë
ïî
æp ö
æ 3p
ö
6) Tiene un máximo relativo en ç ,1÷ y un mínimo relativo en ç , -1÷ .
è2 ø
è 2
ø
é p pù
é p pù
7) sen : ê - , ú ® [ -1,1]
biyectiva Þ $sen -1 = arcsen : [ -1,1] ® ê - , ú
ë 2 2û
ë 2 2û
sen ( arcsen x ) = x = arcsen ( sen x )
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tal
que
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■ Función coseno
cos : R ® [ -1,1]
x a cos x
Propiedades:
1) La función coseno es par: cos ( - x ) = cos x
2) Es continua
3) cos x £ 1 "x Î R , es decir, está acotada
4) Es 2p - periódica: cos ( x + 2p ) = cos x
5) cos es estrictamente creciente en ]p ,2p [ y decreciente en ]0,p [ .
6) Tiene un máximo relativo en ( 0,1) y un mínimo relativo en (p , -1) .
7) cos : [0, p ] ® [ -1,1] biyectiva Þ $ cos -1 = arccos : [ -1,1] ® [0, p ] tal que
cos ( arccos x ) = x = arccos ( cos x )
■ Función tangente
p
ì
ü
tg : R - íkp + : k Î Z ý ® R
2
î
þ
x a tg x
Propiedades:
1) La función tangente es impar: tg ( - x ) = - tg x
2) Es continua
Cipri
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3)
4)
5)
6)
No está acotada ni superior ni inferiormente
Es p - periódica: tg ( x + p ) = tg x
tg es estrictamente creciente
No tiene extremos relativos
ù p pé
ù p pé
7) tg : ú - , ê ® R biyectiva Þ $tg -1 = arctg : R ® ú - , ê tal que
û 2 2ë
û 2 2ë
tg ( arctg x ) = x = arctg ( tg x )
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