Funciones reales de variable real: Gráficas, límites y continuidad

practica3.nb
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Funciones reales de variable real:
Gráficas, límites y continuidad
En esta práctica aprenderemos a usar los siguientes comandos: Plot, Plot3D, Show, ParametricPlot,
Options y Limit.
Gráficas
Para representar la gráfica de funciones de una sola variable de la forma y = f (x) cuando x varía
entre a y b usaremos orden
Plot[ f[x],{x, a, b}],
donde f[x] puede estar definida con anterioridad o dentro mismo de la orden Plot.
In[44]:=
g@x_D := Sin@xD;
f@x_D := Cos@xD;
Plot@g@xD, 8x, 0, 2 Pi<D
Plot@f@xD, 8x, 0, 2 Pi<D
Mathematica realiza de forma automática la elección de una escala adecuada en ambos ejes para
que la gráfica se pueda ver lo mejor posible.
In[48]:= Plot[(x^2-4)/((x+1)*(x-1)*(x-3)),{x,-3,5}];
20
10
-2
2
4
-10
-20
Para representar varias funciones a la vez en el mismo dominio, bastará con incluirlas entre llaves y
separar las por comas de la siguiente forma
Plot[ { f[x], g[x] }, {x, a, b}].
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In[49]:=
2
Plot@8g@xD, f@xD<, 8x, 0, 2 Pi<, PlotStyle Ø 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D
1
0.5
1
2
3
4
5
6
-0.5
-1
Out[49]=
Ü Graphics Ü
Nótese que en la orden Plot en ocasiones se añaden ciertas Opciones para modificar la gráfica de
salida (color, rango de la y, nombre de los ejes, etc). No entraremos aquí a describir con rigor cada
una, pero notamos que el comando Options[comando] sirve para ver todas las posibles opciones de
cada comando en Mathematica (cada una puede ser luego buscada en la ayuda para una completa
descripción).
In[50]:=
Out[50]=
Options@PlotD
1
9AspectRatio Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , Axes Ø Automatic, AxesLabel Ø None,
GoldenRatio
AxesOrigin Ø Automatic, AxesStyle Ø Automatic, Background Ø Automatic,
ColorOutput Ø Automatic, Compiled Ø True, DefaultColor Ø Automatic,
DefaultFont ß $DefaultFont, DisplayFunction ß $DisplayFunction, Epilog Ø 8<,
FormatType ß $FormatType, Frame Ø False, FrameLabel Ø None, FrameStyle Ø Automatic,
FrameTicks Ø Automatic, GridLines Ø None, ImageSize Ø Automatic,
MaxBend Ø 10., PlotDivision Ø 30., PlotLabel Ø None, PlotPoints Ø 25,
PlotRange Ø Automatic, PlotRegion Ø Automatic, PlotStyle Ø Automatic,
Prolog Ø 8<, RotateLabel Ø True, TextStyle ß $TextStyle, Ticks Ø Automatic=
Para representar la gráfica de funciones de dos variable, por ejemplo de la forma z = f (x,y) cuando x
varía entre a y b, e y entre los valores c y d, se utiliza la orden
Plot3D[ f[x, y], {x, a, b}, {y, c, d}],
donde f [x, y] puede estar definida con anterioridad o dentro del comando. Dibujamos ahora la "silla
de montar":
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In[51]:= Plot3D[x^2-y^2,{x,-5,5},{y,-5,5}];
20
4
0
2
-20
0
-4
-2
-2
0
2
-4
4
También podemos representar curvas en el plano dadas a través de sus ecuaciones paramétricas de la
forma x = f(t) , y = g(t), siendo t el parámetro que varía entre los valores a y b. Para ello usaremos el
comando:
ParametricPlot[ {f[t], g[t]},{t, a, b}].
Las opciones y variaciones de este comando y del Plot son similares.
In[52]:= ParametricPlot[{t*Sin[5*t],t*Cos[5*t]},{t,0,2 Pi}];
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
-2
-4
Dibujaremos tres circunferencias de centro (0,0) y radios 1,2 y 3, y diferentes colores:
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In[53]:= ParametricPlot[{{3 Sin[t], 3 Cos[t]},{2 Sin[t], 2 Cos[t]},{Sin[t], Cos[t]}},
{t,0,2 Pi}, PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]},
AspectRatio->1];
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
Continuamos con el estudio de las funciones reales de una variable real.
Concretamente, analizaremos los conceptos de límite y continuidad.
Límite de una función
Definamos la siguiente función:
In[54]:=
f@x_D := Sin@xD ê x
Está definida en todo ! excepto eventualmente para x = 0. La dibujamos en torno al punto conflictivo para "ver" lo que
ocurre cerca de 0:
In[55]:=
Plot@f@xD, 8x, -6 Pi, 6 Pi<, PlotRange Ø 8-0.3, 1.2<D
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-15
-10
-5
5
-0.2
Out[55]=
Ü Graphics Ü
10
15
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Mathematica dispone de una orden para calcular los límites laterales de una función en un punto:
Limit[ función, variable -> punto, Direction -> 1 ] Límite por la izquierda
Limit[ función, variable -> punto, Direction-> -1 ] Límite por la derecha
En nuestro caso, los límites laterales cuando x tiende a 2 se determinan como sigue:
In[56]:=
Limit@f@xD, x Ø 2, Direction -> 1D
Limit@f@xD, x Ø 2, Direction Ø -1D
Out[56]=
Sin@2D
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2
Out[57]=
Sin@2D
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2
La existencia del límite está garantizada cuando los dos límites laterales existen y son iguales, como en este ejemplo.
Mathematica también reconoce, a través del mismo comando Limit, la mayoría de los límites infinitos.
In[58]:=
Limit@Tan@xD, x Ø Pi ê 2, Direction -> 1D
Out[58]=
¶
In[59]:=
Limit@Tan@xD, x Ø Pi ê 2, Direction Ø -1D
Out[59]=
-¶
También podemos calcular límites en infinito (observamos que en estos casos no tiene sentido hablar de los dos límites
laterales porque uno de ellos es siempre inaceptable).
In[60]:=
Limit@Exp@-xD, x -> ¶D
Out[60]=
0
In[61]:=
Limit@Log@xD, x -> ¶D
Out[61]=
¶
In[62]:=
g@x_D := Which@-p § x § 0, Sin@xD, 0 < x § p, 1 - x, True, Hx ê 2L ^ 2D
Los únicos puntos en los que hay que determinar la existencia de límite son -p , 0, y p. Intentamos usar la orden Limit:
In[63]:=
Limit@g@xD, x -> -Pi, Direction Ø 1D
Out[63]=
p2
ÅÅÅÅÅÅÅ
4
No obtenemos ningún resultado. La orden Limit no se puede usar con funciones definidas con la orden Which. Para
trabajar podemos definir cuatro funciones diferentes a partir de las diferentes expresiones que intervienen en la definición
de g, asociadas a la partición H-¶, -pL ‹ @-p, 0D ‹ H0, pD ‹ Hp, +¶L .
In[64]:=
x 2
g1@x_D := J ÅÅÅÅ N
2
g2@x_D := Sin@xD
g3@x_D := 1 - x
x 2
g4@x_D := J ÅÅÅÅ N
2
In[68]:=
Limit@g1@xD, x -> -p, Direction -> 1D
Out[68]=
p2
ÅÅÅÅÅÅÅ
4
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In[69]:=
Limit@g2@xD, x -> -p, Direction Ø -1D
Out[69]=
0
Los límites laterales en x = -p existen pero son diferentes, luego x = -p hay una discontinuidad de salto.
In[70]:=
Limit@g2@xD, x -> 0, Direction -> 1D
Limit@g3@xD, x -> 0, Direction -> -1D
Out[70]=
0
Out[71]=
1
In[72]:=
Limit@g3@xD, x -> p, Direction -> 1D
Limit@g4@xD, x -> p, Direction -> -1D
Out[72]=
1-p
Out[73]=
p2
ÅÅÅÅÅÅÅ
4
Lo mismo sucede en x = 0 y x = p .
Podemos ilustrar gráficamente la situación representando por separado estas cuatro funciones y representándolas
conjuntamente.
In[74]:=
graf1 = Plot@g1@xD, 8x, -5, -p<,
PlotStyle -> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction -> IdentityD;
graf2 = Plot@g2@xD, 8x, -p, 0<, PlotStyle -> 8RGBColor@0, 1, 0D<,
DisplayFunction -> IdentityD;
graf3 = Plot@g3@xD, 8x, 0, p<, PlotStyle -> 8RGBColor@0, 0, 1D<,
DisplayFunction -> IdentityD;
graf4 = Plot@g4@xD, 8x, p, 5<, PlotStyle -> 8RGBColor@1, 0, 0D<,
DisplayFunction -> IdentityD;
Show@8graf1, graf2, graf3, graf4<, DisplayFunction -> $DisplayFunctionD;
6
4
2
-4
-2
2
-2
Podríamos haber representado graficamente la función g.
4
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In[79]:=
7
Plot@g@xD, 8x, -2 p, 2 p<D;
10
8
6
4
2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
La diferencia estriba en que la orden de representación gráfica produce segmentos verticales en la gráfica de la función
(que no pertenecen en realidad a la gráfica de la función).
Continuidad de una función
Estudiemos la continuidad de la función
f HxL =
x+a
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
1+Exp@1êxD
f H0L = 1
è!!!!!!!!!!!!!
f HxL = b + x2
si x < 0
si
x>0
donde a e ! y b > 0.
Es claro que sólo es necesario estudiar la continuidad en x = 0 .
Sabemos que la función f es continua en 0 si y sólo si está definida en 0, existe los dos límites laterales en 0 y son
iguales a f(0).
- La función está definida en 0, y su valor es igual a 1.
- Comenzamos definiendo la función de modo que sus límites laterales puedan ser calculados con Mathematica.
In[80]:=
Clear@a, b, f1, f2D;
x+a
f1@x_D := ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
1
1 + Exp@ ÅÅÅ
D
x
è!!!!!!!!!!!!
!
f2@x_D := b + x2
Como
In[83]:=
Limit@f1@xD, x -> 0, Direction -> 1D
Limit@f2@xD, x -> 0, Direction Ø -1D
Out[83]=
a
Out[84]=
è!!!
b
è!!!
se tiene que los límites laterales existen, y coincidirán si y sólo si a = b . En este caso, la función tiene límite si y sólo
è!!!
è!!!
si a = b y la función será continua si y sólo si a = b = f H0L = 1 . En definitiva, la función es continua si y sólo si
a = b = 1.
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Podemos representar gráficamente la función cuando se cumple esta condición.
In[85]:=
x+1
è!!!!!!!!!!!!!
f@x_D := WhichAx § 0, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , x > 0, 1 + x2 E
1
1 + Exp@ ÅÅÅ
D
x
Plot@f@xD, 8x, -4, 2<D;
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
-1
Ejercicios
1. Dibuja la curva He3 x + logH5 p xL - 3 xL ê Hx3 + cosHxLL, en el intervalo [ 0, 1 ].
è!!!!
2. Si f HxL = x y gHxL = 1 - x2 , halla las funciones compuestas f o g y g o f en el intervalo intervalo [ -2, 2 ]. Puedes
interpretar el mensaje de error que te indica en ambas gráficas. Ajusta el intervalo de representación de forma apropiada.
3. Dibuja la siguiente curva en paramétricas: x = cos( 5t ) , y = sen( 3t ) con t en el intervalo [ 0, 2p ].
4. Calcula los límites de las funciones definidas por las siguientes expresiones, en los valores que se indican:
a) (x^2-4) / (x-2), x->2,
b) ((t+h) 2-2 t) / h, h->0,
5. Estudia la continuidad de la función x log( |x| ) en x = 0.
6. Realiza el ejercicio II.13 de la relación de problema de Funciones reales de variable real.
p
7. Dibuja, usando la orden Do, las gráficas de las funciones sen( x + i ÅÅÅÅ
ÅÅ ) en el intervalo 0 y 2p, moviendo el contador
10
i desde 0 hasta 20 de 2 en 2 unidades.