Guía Método de Rigidez Matricial REV.2-1

Análisis Matricial de Estructuras
Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Depto. de Ingeniería en Obras Civiles
GUÍA MÉTODO DE RIGIDEZ
MATRICIAL.
Profesor:
Héctor González.
Realizado por:
Sergio Currilen.
Diego Valdivieso.
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso
Página 0
Análisis Matricial de Estructuras
Algoritmo Método de Rigidez.
a)
b)
c)
d)
Redución estructura y/o Modelación.
Determinar Grados de libertad.
Enumerar y asignar sentido de cada barra de la estructura.
Determinación de Grados de libertad independiente mediante
compatibilidades geométricas y definición de matriz [T] de transformación.
e) Momentos de empotramiento perfecto ( EST A_Esfuerzos σA + EST B).
f) Matrices de compatibilidad geométrica para cada barra.
ua
 sin( )
va
ϕa ub
cos ( )
sin ( )
1
L
L
vb
ϕb
cos ( ) 
0  ϴa
L
 L


a   sin ( ) cos ( )
sin ( ) cos ( ) 
i
0
1 ϴb
 L

L
L
L
 cos ( ) sin( ) 0 cos ( ) sin( ) 0 δ


EI
AEI
AE
g) Matriz [a].
( grados de libertad )
r r ... r ... r
1
2





a  





i
n












ϴ1a
ϴ1b
δ1
…
…
…
ϴna
ϴn
δ
bn
h) Matrices constitutivas para cada barra.
, -
i) Matriz constitutiva diagonal , j) Matriz de la estructura asociada a todos los G.D.L , , - , - , -.
k) Matriz de rigidez asociada a los grados de libertad independientes de la
estructura.
, - , - , - , Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso
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Análisis Matricial de Estructuras
l) Vector de cargas externas asociada a todos los GDL {R}, y vector de cargas
externas referidos a GDL independientes {Q} = , - * +
m) Compatibilidad de grados de libertad independientes {r} = [ T ]*{q}.
n) Ley de Hooke Matricial * + = , - * +
o) Esfuerzos internos {σB} , - , - , -.
p) Esfuerzos totales de la estructura {σT} = {σA} + {σB}, despieces y diagramas
de M, V, N.
Compatibilidades geométricas.
-
Barra EI inclinada.
vb
ϕb
ub
b
 tan(α)=
α
va
ϕa
ua
a
-
Barra infinitamente rígida horizontal.
va
ϕ
vb
a
u
 ϕ*L= vb - va
b
L
-
Barra infinitamente rígida inclinada.
vb
ub
L
ϕ
α
va
a
 ϕ*Lv= ua - ub
Lv= Lsen(α)
b
Lv
 ϕ*LH= vb - va
LH= Lcos(α)
ua
LH
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Análisis Matricial de Estructuras
Ejercicios resueltos.
Ejercicio Nº1:
Para la estructura que se muestra a continuacion, en la cual todos los elementos
son EI, de valor EI = 9450 T*m2, y para el estado de carga mostrado se pide
determinar utilizando el metodo de Rigidez:
-
Matriz de Rigidez referido a todos los G.D.L
Matriz de Rigidez referido a los G.D.L.I
Vector de fuerzas externas
Esfuerzos para todas las barras
Diagrama de momento de la estrucutura
Solución:
a) Determinación de los grados de libertad de la estructura así como también
identificar las compatibilidades entre los grados debido a las características
de la estructura y finalmente obtener los G.D.L.I. Recordar que los grados
de libertad corresponden a los vectores que describen los desplazamientos
de la estructura, mientras que los G.D.L.I corresponden a la cantidad
mínima de G.D.L que permiten representar el movimiento completo de la
estructura.
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Página 3
Análisis Matricial de Estructuras
b) Como existen cargas distribuidas en los tramos, y los métodos matriciales
analizan los nudos de cada elemento, es necesario representar la carga
distribuida en el tramo a un sistema de carga en los nudos, para ellos se
ocupan los momentos de empotramiento perfecto.
Caso general:
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Análisis Matricial de Estructuras
c) El estado de carga final de la estructura, la numeración de los elementos y
además el sentido de análisis de cada elemento se muestran a
continuación.
Vector de cargas externas:
 3 
 
1
3
 
2
R   
 3 
 
 3 
0
 
 4 
d) Determinación de las matrices elementales de cada elemento.
 0. 2 0. 1 1 0. 2 0. 1 0 
a1  

 0. 2 0. 1 0 0. 2 0. 1 1 
a2 
 0. 2 0. 1 1 0. 2 0. 1 0 


 0. 2 0. 1 0 0. 2 0. 1 1 
a3 
 0. 2 0. 1 1 0. 2 0. 1 0 


 0. 2 0. 1 0 0. 2 0. 1 1 
 84 52. 337 42 26. 168 0 
K( 1)   42 26. 168 84 52. 337 0 


0
0
0

 84 52. 337 42 26. 168 0 
K( 2)   42 26. 168 84 52. 337 0 


0
0
0

 84 52. 337 42 26. 168
K( 3)   42 26. 168 84 52. 337

0
0

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0

0

0
Análisis Matricial de Estructuras
 0

a4 

0

1

0

a5 

0

1
6
1
1 0
6
 63 00 31 50 0 
K( 4)   31 50 63 00 0 
 0

0
0


0


1
1
0 0
1
6
6


4
4 
1
1 
0 0
1

4
4 
1
1 0
 94 50 47 25 0 
K( 5)   47 25 94 50 0 
 0

0
0


0
e) Acoplamiento de las matrices.














k  














2
20
1
20
1
20
2
20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
3
6
0
0
1
1
6
3
0
0
0
0
1
1
2
4
1
1
4
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20
1
20
0
20
2
20
0
20
1
20
0
20
2
20
0
0
0
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













  2  94 50














Análisis Matricial de Estructuras
f) Determinación de la matriz de rigidez referida a todos los grados de libertad
de la estructura, en que:
,
-
, -
, - , -
0
30 7.1 52
 14 752 .33 7 31 50
23 204 .67 4 42 26.168 15 75
 31 50

0
42 26.168 17 902 .33 7
0

KT   30 7.1 52
15 75
0
77 8.5 69
 15 75
96 0.6 97 12 67.848
52 5

0
12 67.848 22 75.902
0

 25 35.702
0
25 35.702 50 7.1 4

15 75
0
25 35.702



12 67.848 22 75.902 25 35.702

52 5
0
50 7.1 4 

10 32.138 25 3.5 69
0

25 3.5 69 20 25.444
50 7.1 4 

0
50 7.1 4
30 42.844
96 0.6 97 12 67.848
0
g) Ahora se debe determinar la matriz de compatibilidades geométricas para
los grados de libertad, las compatibilidades existentes en esta estructura
son del tipo:
( )
Luego la matriz de compatibilidades es de acuerdo a la expresión { r } = [ T ]*{ q }.
 1
0
0

T   0
0

0
0

0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0

0 

0

0.5

0.5

1 

1 
0
h) La matriz de rigidez referida a los G.D.L.I es determinada de acuerdo a la
expresión:
[
]
, -
,
- , -
0
15 94.626
 14 752 .33 7 31 50


31 50
23 204 .67 4 42 26.168
15 75 

Kq 

0
42 26.168 17 902 .33 7 37 4.1 24


37 4.1 24 70 51.315
 15 94.626 15 75
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Análisis Matricial de Estructuras
i) Determinación del vector de fuerzas externas equivalente a los G.D.L.I.
 3 
 
1
3
 
2
R   
 3 
 
 3 
0
 
 4 
T
Q  T  R
=>
 3 


0. 333

Q
 2 


 4 
j) Resolución del sistema [Kq]*{ q } = { Q }, de esto se procede a determinar
los desplazamientos de los G.D.L.I para luego determinar los
desplazamientos en todos los G.D.L.
 1.381 10 4 

5 
2.78 10


q

4 
 1.298 10 
 5.491 10 4 


 1.381 10 4 


 2.78 10 5 


 1.298 10 4 


r   2.746 10 4 


 2.746 10 4 


4
 5.491 10 

 4
 5.491 10 
k) Determinación de los esfuerzos de acuerdo a la expresión *
 2.324


 2.908
 1.858
 1.976


2.054 

 
B
 2.72 
 0.092


 0.255 
 0.72 


 1.333
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+
, - * +
Análisis Matricial de Estructuras
l) Determinación de esfuerzos finales, que corresponde a sumar los esfuerzos
obtenidos anteriormente a los esfuerzos de empotramiento perfecto de la
estructura A, además se procede a trazar el diagrama de momento.
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Página 9
Análisis Matricial de Estructuras
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Análisis Matricial de Estructuras
Ejercicio Nº2.
La estructura mostrada se debe reforzar con un resorte de rigidez k para controlar
el descenso del vértice superior. Determine la rigidez del elemento que se incluye
para disminuir el descenso en un 25%.
Dato: Considere que ambas estructuras son iguales y están solicitadas por la
misma fuerza P, solo se diferencian en el resorte añadido.
P
EI
EI
L
k
L
L
(2)
(1)
Desarrollo:
Como se reducirá el descenso vertical, primero se debe calcular el desplazamiento
sin el resorte, por lo mismo trabajamos con la estructura (1).
i)
Grados de Libertad / Enumeración de barras y sentido de análisis.
r6
r2
GDL = 6
3 Compatibilidades.
GDLI= 4
r4
1
2
r3
r1
r5
ii)
Compatibilidades geométricas y matriz [T] de transformación.
0r
4
r 0
1
=> r4 = - r6
 1
=> r5 = -2r6
6
r r
5
4
r 0
6
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Página 11
Análisis Matricial de Estructuras
r1 r2 r3 r6
1 0 0 0
0

0
T  
0
0

0

iii)
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0

0

0
1 

2

1
r1
r2
r3
r4
r5
r6
Matriz de compatibilidad geométrica [a].
Por barra.
ua
 sin( )
va
ϕa ub
cos ( )
sin ( )
1
L
L
vb
ϕb
cos ( ) 
0  ϴa
L
 L


a   sin ( ) cos ( )
sin ( ) cos ( ) 
i
0
1 ϴb
 L

L
L
L
 cos ( ) sin( ) 0 cos ( ) sin( ) 0 δ


EI
AEI
AE
Para barra 1_ α=45º y Largo=L√
 0.5
 L
a  
1
 0.5
 L
0.5
0.5 0.5
0
 ϴ1a

0.5
0.5 0.5
0
1  ϴ1b
L
L
L

L
1
L
L
Para barra 2_ α=135º y Largo=L√
 0.5 0.5 1 0.5
 L
L
L
a  
2
 0.5 0.5 0 0.5
L
L
 L
0.5
0
 ϴ2a

0.5
1  ϴ2b
L

L
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Página 12
Análisis Matricial de Estructuras
Para la estructura.
r1 r2 r3 r4
1



0

a  
0


0

0.5
r5
r6
0.5 
 ϴ1a

0.5
0.5 
1 0
0
ϴ1b
L
L 

0.5 0.5 0.5
 ϴ2a
0 1
L
L
L 
0.5 0.5 0.5 
1 0
 ϴ2b
L
L
L 
0 0
L
0
L
Matriz de Rigidez asociada a las deformaciones ϴa, ϴb, y δ.
iv)
Matriz Constitutiva por barra.
 4 EI 2 EI 0  ϴ
 L
 a
L


EI
EI

4
0  ϴb
k  2
i
 L
L


AE  δ
0
 0

L 

k 
1


L  2 2 2
EI
2 2

2
k  k
2
1
Matriz Constitutiva para la estructura.
0 
2 2 2 0


0 
EI  2 2 2 0
k 

L  0
0 2 2
2


0
2 2 2
 0
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Página 13
Análisis Matricial de Estructuras
v)
Matriz de Rigidez asociada a todos los GDL de la estructura.
KT=aT*k*a
r1
r2
 2.828
 L

 1.414

 L

 0

K  EI 
T
 2.121
 L2

 0


 2.121
 2
 L
vi)
r3
1.414
0
L
r4
2.121
2
1.414
L
L
1.414
2.828
2.121
L
L
2
4.242
2.121
2
0
L
5.657
L
r5
2
L
4.242
2.121
2
2
L
2.121
2
L
L
2.121
3
3
L
L
2.121 2.121 2.121 2.121
2
L
0
2
L
3
3
L
2.121
0
2
2.121



0 


2.121

2 
L

0 


2.121
3 
L

4.242 
3 
L 
2
L
L
4.242
r6
L
2.121
3
L
L
Matriz de Rigidez asociada a los GDL independientes.
Kq=TT*KT*T
r1
r2
r3
r6
 2.828 1.414 0 4.243
 L
L
2 
L 

 1.414 5.657 1.414

0 
 L
L
L

K  EI 
q
1.414 2.828 4.243 
 0

L
L
2 
L


 4.243 0 4.243 16.971
 2
2
3 
L
L 
 L
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Página 14
Análisis Matricial de Estructuras
vii)
Vector de cargas externas y vector de GDL independientes.
Vectores para todos los grados de libertad
 r 1
 
 r 2
 
 r 3
r   
 r 4
r 
 5
r 
 6
0
0
 
0
R   
0
0
 
 P 
Vectores para GDL independientes
 r 1
 
 r 2
q   
 r 3
r 
 6
viii)
pero {Q}=[T]T*{R} =>
 0 
0
Q   
0
 P 
 
Ley de Hooke matricial.
{Q}=[Kq]*{q}
r1= -0.354 PL2/EI
r2= 0
r3= 0.354 PL2/EI
r6= -0.236 PL3/EI
=> Valor del descenso superior. Su
valor
es negativo debido a que definimos
el GDL hacia arriba, por ende nos
verifica que estamos frente a un
descenso del punto.
Luego mediante la ecuación {r}= [T]*{q}, obtenemos las incógnitas
restantes:
r4= 0.236 PL3/EI
y
r5= 0.471 PL3/EI
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso
Página 15
Análisis Matricial de Estructuras
ix)
Cálculo de rigidez del resorte.
Como se introduce el resorte (estructura 2) para disminuir el desplazamiento
vertical en un 25% implica que se reduce al 75%. Entonces:
r6’= 0.75 * -0.236 PL3/EI => r6’= -0.177 PL3/EI
Para obtener este desplazamiento se agregó el resorte mostrado en la estructura
(2). Como se observa esta rigidez actúa en el sentido del GDL r 5, por ende
sumamos directamente la incógnita k en el coeficiente C55 de la matriz KT, ya que
solo otorga rigidez en esa dirección, obteniendo la nueva matriz de rigidez de
todos los grados de libertad:
r1
2.828

 L

 1.414

 L

 0

K ‘  EI 
T
 2.121
 L2

 0


 2.121
 2
 L
r2
1.414
L
r3
0
1.414
L
L
1.414
2.828
L
L
4.242
2.121
2
2
L
5.657
L
r4
2.121
2
L
4.242
2
L
2.121
2
L
4.242
3
L
2.121 2.121 2.121
2
L
0
2
L
2.121
2
3
L
0
L
r5
r6
2.121



2.121
0 
2

L

2.121
2.121

2
2
L
L 

2.121
0 
3

L

2.121
2.121
k
3
3 
L
L

2.121
4.242 
3
3 
L
L 
0
2
L
Utilizando nuevamente [Kq’]= [T]T*[KT’]*[T]
Tenemos:
r1
2.828
r2
1.414
r3
r6
4.243


0
 L

L
2
L


 1.414 5.657 1.414

0
 L

L
L
‘


K  EI
q
1.414 2.828
4.243 
 0


L
L
2
L


 4.243 0 4.243 16.971  4k 
 2

2
3
L
L
 L

Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso
Página 16
Análisis Matricial de Estructuras
Nota: Si se hubiera dejado el grado de libertad r5 como grado independiente
hubiera bastado con agregar la rigidez k del resorte directamente en la matriz K q’,
ahorrando un paso en el cálculo y por ende tiempo. Además cabe notar que como
r5 es dependiente r6, es por eso que igualmente aparece nuestra incógnita en la
nueva matriz.
Finalmente redefinimos los vectores de fuerzas
independientes, y utilizamos la ley de Hooke matricial.
r


1




r
2


q ‘ 
r

3


3

PL
 0.177 EI 


externas
 0 
0
Q   
0
 P 
 
 {Q}=[Kq’]*{q}
Así:
r1= -0.266 PL2/EI
r2= 0
r3= 0.266 PL2/EI
Kresorte= 0.352 EI/L3
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso
Página 17
y
de
GDL
Análisis Matricial de Estructuras
Ejercicio Nº3.
Para la estructura que se muestra a continuación, se sabe que EI = 1000 T*m 2,
para el estado de cargas que se muestra se pide determinar los desplazamientos
en los nudos.
Solución:
a) Determinación de los grados de libertad de la estructura de acuerdo a las
condiciones de la estructura
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso
Página 18
Análisis Matricial de Estructuras
b) Determinación del sentido de análisis de la estructura y enumeración de
cada elemento de la estructura.
c) Matrices constitutivas de cada elemento.
a1 
 10 00 50 0 0 
K( 1)   50 0 10 00 0 
 0

0
0

 0. 125 0 1 0. 125 0 0 


 0. 125 0 0 0. 125 0 1 
 0. 2 0 1 0. 2 0 0 
a2  

 0. 2 0 0 0. 2 0 1 
 0 0. 167 1 0 0. 167 0 
a3  

 0 0. 167 0 0 0. 167 1 
 0 0. 167 1 0 0. 167 0 
a4  

 0 0. 167 0 0 0. 167 1 
 16 00 80 0 0 
K( 2)   80 0 16 00 0 
 0

0
0

 26 66. 667 13 33. 333
K( 3)   13 33. 333 26 66. 667

0
0

 26 66. 667 13 33. 333
K( 4)   13 33. 333 26 66. 667

0
0

0

0

0
0

0

0
 94 2.8 09 47 1.4 05 0 
 0. 167 0. 167 1 0. 167 0. 167 0 
a5  
 K( 5)   47 1.4 05 94 2.8 09 0 
 0. 167 0. 167 0 0. 167 0. 167 1 


0
0
0

 0. 167 0. 167 1 0. 167 0. 167 0 
a6  

 0. 167 0. 167 0 0. 167 0. 167 1 
 94 2.8 09 47 1.4 05
K( 6)   47 1.4 05 94 2.8 09

0
0

Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso
Página 19
0

0

0
Análisis Matricial de Estructuras
d) Matrices de acoplamiento.

0

1


0


0

1


0
a  

0

0


0

0


0


0

 1
0.5

0

0


0


0

k   0


0

0


0


0


0

0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0.5 0 0 0 0 0 0
1
0
0
0 0 0 0 0 0
8 4
5 5
4 8
5 5
0 0 0 0
0 0 0 0
8 4
0
0 0
0
0 0
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0
3 3
4 8
3 3
0 0
0 0
8 4
3 3
4 8
3 3
1
6
1
6
0
0
0
0
0
0
0
1
1
6
6
1
1
6
6
1
1
1
6
6
6
1
1
1
6
6
6
1
6
6
0
0
0
1
0
0
0
6
6
5
8
0
1
1
1
1
0
6
6
5
8
0
1
1
1
1
0
0



































0
0
0
0 

0
0
0
0 


0
0
0
0 


0
0
0
0


0
0
0
0   1000


0
0
0
0 

4
2
0
0 

3 2  3 2

2
4
0
0 
3 2 3 2

4
2 
0
0

3 2  3 2 
2
4 
0
0
3 2 3 2 
0
0
0
0
0
0
0
0
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso
Página 20
Análisis Matricial de Estructuras
e) Obtención de la matriz de rigidez referida a los todos los grados de libertad.
1
KT 
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
3666.667
1333.333
0
0
0
0
500
-666.667
0
0
187.5
2
1333.333
5333.333
1333.333
0
0
0
0
0
-666.667
0
0
3
0
1333.333
2666.667
0
0
0
0
666.667
-666.667
0
0
4
0
0
0
942.809
0
471.405
0
235.702
0
-235.702
235.702
5
0
0
0
0
942.809
471.405
0
0
-235.702
-235.702
235.702
6
0
0
0
471.405
471.405
3485.618
0
235.702
-235.702
8.595
471.405
7
500
0
0
0
0
0
1000
0
0
0
187.5
8
-666.667
0
666.667
235.702
0
235.702
0
523.012
-222.222
-78.567
78.567
9
0
-666.667
-666.667
0
-235.702
-235.702
0
-222.222
300.79
78.567
-78.567
10
0
0
0
-235.702
-235.702
8.595
0
-78.567
78.567
349.135
-157.135
11
187.5
0
0
235.702
235.702
471.405
187.5
78.567
-78.567
-157.135
204.01
f) Ahora se debe determinar la matriz de compatibilidades geométricas para
los grados de libertad, las compatibilidades existentes en esta estructura
( )
son del tipo:
Luego la matriz de compatibilidades es de acuerdo a la expresión
{ r } = [ T ]*{ q }
 1
0
0

0
0

T   0
0

0
0

0
0

0 0 0 0 0 0
0
0
1 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0



0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

1 0

1 1 

0 1
g) La matriz de rigidez referida a los G.D.L.I es determinada de acuerdo a la
expresión
[ ] , - , - , 0
0
0
 36 66.667 13 33.333
0
0
 13 33.333 53 33.333 13 33.333

0
13 33.333 26 66.667
0
0

0
0
0
94 2.8 09
0


Kq 
0
0
0
0
94 2.8 09

0
0
0
47 1.4 05 47 1.4 05

 50 0
0
0
0
0

 66 6.6 67 66 6.6 67 13 33.333 47 1.4 05 47 1.4 05
 18 7.5
0
0
0
0


0
0
66 6.6 67
0


0
0
13 33.333
0

47 1.4 05
0
47 1.4 05
0


47 1.4 05
0
47 1.4 05
0

34 85.618 0
46 2.8 09
48 0 

0
10 00
0
18 7.5

46 2.8 09
0
19 31.65
19 2 

48 0
18 7.5
19 2
23 8.8 75
0
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso
Página 21
50 0
66 6.6 67
18 7.5
Análisis Matricial de Estructuras
h) Resolviendo el sistema [Kq]*{q}={Q}.
1
 1.467 10 3 
1


4
2
 4.19 10 
3

 3
1.469 10


4
 2.195 10 3 

 r 5
q   2.195 10 3 
6


7
 7.748 10 3 
8


 8.304 10 3 
9


3
10
 3.357 10 


11
0.04


1.467·10 -3
-4.19· 10-4
-1.469· 10 -3
2.195·10 -3
2.195·10 -3
-7.748· 10 -3
-8.304· 10 -3
3.357·10 -3
-3.357· 10 -3
0.037
0.04
i) Esfuerzos.
 0.611

 0
 0
 
 0.611
 0

 4.885
3.389
0
0
0.048 0.233
11 .57 2 1.115
3.389
0
5.374
0
0
0.781
0.781 

0.781 0.781
1.4
4.687 4.687
0
0.781 0.781

0.048 0.233 0.781 0.781 
1.4
0
0
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso
Página 22
0


Análisis Matricial de Estructuras
Ejercicio Nº4.
Para la estructura mostrada, se pide:
a) Encontrar el valor de N de modo que el desplazamiento vertical de la barra
de rigidez 4EI no supere los 0,025 m.
b) Si la fuerza encontrada en a) aumentara en 20%, ¿en qué porcentaje
variaría el desplazamiento de la barra EI?
3
EI= 1250 T*m2
2.5
4EI
AE= 10000 T
2
20 T*m
*Todo en metros
AE
2EI
N
120º
2AE
2
4
Desarrollo.
i)
Grados de libertad / enumeración de barras.
r8
3
=>
r7
r1
r4
r6
GDL= 8
4 Compatibilidades.
 GDLI= 4
r3
2
1
r2
r5
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso
Página 23
Análisis Matricial de Estructuras
ii)
Compatibilidades geométricas y matriz de transformación.
Para la primera sección de la barra rígida inclinada.
 2cos(60)*r1= r7 – r6
r1= r7 – r6 => r6 = r7 – r1 (*)
 2sen(60)*r1 = r3 – r4
√ r1 = r3 – r4 => r4 = r3 - √ r1 (**)
Segunda sección de la barra rígida.
 2.5cos(60)*r1 = r8 – r7
*r1 = r8 – r7 => r7 = r8 - *r1 (***)
 2.5sen(60)*r1 = r4
√
*r1 = r4
(****)
Reemplazando (***) en (*) y desarrollando:
r6 = r8 - *r1
Reemplazando (****) en (**) y desarrollando:
r3 =
√
*r1
Así las compatibilidades son:
r3 =
r4 =
√
√
*r1
*r1
r6 = r8 - *r1
r7 = r8 - *r1
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso
Página 24
Análisis Matricial de Estructuras
 1
 0

 9 3
 4

5 3
4
T  
 0

 9
 4
 5
 4

 0

iii)
0 0 0
1 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
r1 r2 r5 r8
 r15 0r60 0 
0

0


0

0

1


1

1
 0

 3.897
 2.165
T 
 0
 2.25
 1.25

 0
Matriz de compatibilidad geométrica [a].
Por barra.
u1a v1a ϕ1a u1b v1b ϕ1b
a  ( 0 1 0 1 0 0 )
1
u2a
v2a
ϕ2a
u2b
δ1
v2b
ϕ2b
 0.108 0.062 1 0.108 0.062 0
ϴ2a
a   0.108 0.062 0 0.108 0.062 1 ϴ2b
2


 0.5 0.866 0 0.5 0.866 0 δ2
u3a v3a ϕ3a u3b v3b ϕ3b
0

a  
3
0

1
1 0
1
0  ϴ3a


1
1
0 0
1  ϴ3b
3
3

3
3
Para la Estructura.
r1 r2 r3 r4
0
0

1
a 
0
1

0
r5
r6
r7
r8

1 0 0.108 0.108 0 0.062
0 

0 0 0.108 0.108 0 0.062
0 
0 0 0.5 0.5 0 0.866 0 

0 0 0
0
0
0
0.333

0 0 0
0
0
0
0.333
0 0
0
0
1
0
0
δ1
ϴ1a
ϴ1b
δ2
ϴ3a
ϴ3b
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso
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

0
0

0

1
1

1
1 0 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
Análisis Matricial de Estructuras
Matriz de rigidez asociada a las deformaciones ϴa, ϴb, y δ.
iv)
Por elemento.
k  ( AE )
1
k  ( 10000)
δ1
1
4 ( 2 EI) 2 ( 2EI) 0  ϴ2a


8
8


( 2EI)
( 2EI)

4
0  ϴ2b
k  2
2

8
8


AE  δ
0
 0
 2
8 

 1250 625 0 
k   625 1250 0 
2 

0 1250
 0
4 ( 4EI) 2 ( 4EI)  ϴ3a
 3
3 
k  

3
2 ( 4EI) 4 ( 4EI)  ϴ3b
3 
 3
 6666.667 3333.333

 3333.333 6666.667
k 
3
Para la estructura.
 10000
 0

0
k 
 0
 0

 0
v)


1250 625 0
0
0

625 1250 0
0
0


0
0 1250
0
0

0
0
0 6666.667 3333.333

0
0
0 3333.333 6666.667
0
0
0
0
0
δ1
ϴ1a
ϴ1b
δ2
ϴ3a
ϴ3b
Matriz de rigidez asociada a todos los GDL.
KT=aT·k·a
r1
r2
r3
 7916.667 625 0
 625
1250 0

0
0
 0
 202.975 202.975 0
K 
T
 202.975 202.975 0
0
0
 0
 117.187 117.187 0

0
0
 3333.333
r4
r5
r6
r7
r8
202.975 202.975
0
117.187 3333.333
202.975 202.975
0
117.187


0
0
0
0
0


356.445 356.445 0
515.894
0

356.445 356.445
0
515.894
0

0
0
10000
0
0


515.894 515.894
0
952.148
0

0
0
0
0
2222.222
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0
Análisis Matricial de Estructuras
vi)
Matriz de rigidez asociada a grados de libertad independiente.
[Kq] = [T]T[KT][T]
r1
r2
r5
r8
 65078.532 917.969 1619.569 21356.608
917.969
1250
202.975 117.187 
Kq  
 1619.569 202.975 356.445 515.894 
 21356.608 117.187 515.894 13174.371


vii)
Definición vector de fuerzas externas y desplazamiento.
con r8 = 0.025 m
 r1 


 r2 


 r3 


r
4 

r 
 r 
 5 
 r 
 6 
 r7 


 0.025
=>
 r1 


 r2 
q  

 r5 


 0.025
 20
 0
 
N
 0
R   
 0
T
 0  sabemos que: {Q}=[T] {R} =>
 0
 
 0
  20
 3.897N

0


Q 


0


0


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Página 27
Análisis Matricial de Estructuras
viii)
Ley de Hooke matricial.
Aplicando {Q} = [Kq]*{q}
Obtenemos:
r1= 0.0161 rad
r2= -0.0089 rad
r5= 0.0321 m
 N= 112.063 Ton [Respuesta a)]
ix)
Si la fuerza aumenta en un 20%:
 N’= 1.2*112.063 => N’=134.476 ton
Variamos el vector de fuerzas externas, reemplazando el valor de N:
  20
 3.897N

0


Q 


0


0


=>
 544.052972
0

Q‘  


0


0


y nuestra nueva incógnita es ahora r8:
entonces:
 r 1
 
 r 2
q   
 r 5
r 
 8
realizando nuevamente la relación de Hooke, obtenemos el valor pedido:
r1 = 0.0192 rad
r2 = -0.0107 rad
r5 = 0.0382 m
 r8’ =0.0298 m ( nuevo valor del desplazamiento)
En porcentaje tenemos:
 X=1.192
X = r8’/ r8 = 0.0298/0.025
Respuesta b): El desplazamiento aumentó en un 19.2 %.
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