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PRIMERA PRUEBA DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS III. 14-Abril-2015. Grupo A
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI:
1.
Se quiere hacer un estudio sobre gasto en ropa en una comarca donde el 41% de los habitantes son mujeres.
a) (1 punto) Se decide tomar una muestra aleatoria estratificada con asignación proporcional de 300
observaciones. ¿Cuántos hombres y mujeres deben entrevistarse?
Se toma la anterior muestra, obteniéndose los siguientes valores muestrales:
media muestral (en euros) cuasivarianza muestral
HOMBRES
120
4000
MUJERES
170
9000
b) (1 punto) Estime el gasto medio en ropa de la comarca y el límite del error de estimación.
c) (1 punto) Quiere repetirse el estudio sólo en la población de mujeres para estimar el gasto medio en
ropa de ellas con un error inferior a 10 euros. ¿A cuántas mujeres habría que preguntarle?
2.
Un sociólogo quiere estimar el número de personas por habitación en un suburbio. El sociólogo ha
seleccionado una muestra aleatoria simple de 25 viviendas del total de 500 obteniendo los siguientes
valores:
p  10,1
25
p

i 1
h  3,6
2
i
25
h

i 1
 1600
2
i
 170
25
pi hi  522

i 1
( pi representa el número de personas en una vivienda y hi el número de habitaciones de la vivienda.)
a) (1,5 puntos) Estime el número de personas/habitación en el suburbio y el límite para el error de
estimación.
b) (1 punto) Se quiere ampliar el estudio de forma que la estimación tenga un error inferior a 0,5
personas/habitación, ¿cuántas viviendas deberían seleccionarse?
3. En el ayuntamiento de una ciudad se han recibido 500 hojas con firmas de los vecinos para una petición.
Todas las hojas no están completas de firmas. Se decide hacer una estimación rápida del número de vecinos
que han firmado por lo que se toma una muestra sistemática de 1 en 10 observando los siguientes
resultados:
y
i
 1500
y
2
i
 60000
a) (1,5 puntos) ¿Cuáles serían las previsiones más optimista y más pesimista en cuanto al número total
de firmas recogidas para la petición?
b) (1 punto) Si quisiéramos estimar el número total de firmas con un error inferior a 1600 firmas,
cómo debe ser la nueva muestra sistemática que se debe tomar. (Especifique los valores de n y k)
4. Un empresario quiere estimar el consumo mensual de electricidad en una comunidad de 2000 hogares
divididos en 400 manzanas de viviendas. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 4 manzanas que
proporciona los siguientes resultados:
Manzana Consumo eléctrico mensual por vivienda
1
200
200
160
140
2
230
100
90
200
180
3
200
220
180
4
170
240
160
230
Estime por los dos métodos el consumo total de electricidad en dicha comunidad y el límite para el
error de estimación.
a) (1 punto) Utilizando el valor de M conocido.
b) (1 punto) Considerando M desconocido.
SOLUCIONES:
1.a)
N1
 0,59
N
N2
 0, 41 n  300  n1  0,59n  177 n2  0, 41n  123
N
b)
y st 
1
N
L
L
Ni
N y  N
i
i 1
1
V ( y st )  2
N
i
i 1
y i   0,59 120    0, 41170   140,5
L
Si2 N i  ni
N i2 Si2 
4000  
9000 
2
N
  2
  0,592 

   0, 41 
  20,17
177  
123 
ni N i
ni 
i 1
i 1 N
L
2
i
2 V ( y st )  8,98146
c)
B  10 D 
B2
 2 9000
 25  n 

 360
4
D
25
2.a)
pi  yi
hi  xi
25
r
y
i 1
25
i
x
i 1

y 10,1

 2,8056
x 3, 6
i
25
1 25
1  25 2 2 25 2

2
Sr 
yi  r  xi  2r  xi yi  
 yi  rxi  



n  1 i 1
n  1  i 1
i 1
i 1

1
1600   2,80562 170    2  2,8056  522   0,3788

24
 x  x  3, 6
2


1 S2  N  n 
1 0,3788 500  25
Vˆ (r )  2 r 
 0, 00111 

500
 x n  N  3, 62 25
Br  2 Vˆ (r )  0, 06665
b)
2
B2 x
0,52  3, 62
N r2
500  0,3788
D

 0,81 n 

 0, 4672
2
4
4
ND   r  500  0,81  0,3788
3.a)
2
 n

yi 

n
15002
yi2   i 1 
60000 

n
50  306,12

S 2  i 1
49
n 1
N 500

 50
k
10
N n
500

  N y  
yi 
1500  15000
n i 1
50
n
S2
306,12
 500  450
 1377551,0204
2 V ( )  2347, 3824
V ( )  N ( N  n )
n
50
  2 V ( )  (15000  2347,38)  12652,62 , 17347,38


b)
B2
16002

 2,56
4 N 2 4  5002
N 2
500  306,12
n

 96,66  97
2
( N  1) D  
 499  2,56  306,12
D
k
N 500

 5,15  k  5
n
97
4.a)
mi yi
mi2
yi2
4 700 16 490000 2800
5 800 25 640000 4000
3 600
9 360000 1800
4 800 16 640000 3200
16 2900 66 2130000 11800
mi
yi
n
M  2000
N  400
y
y
i 1
n
m
i 1
Sc2 

1 n
 yi  ymi
n  1 i 1
  M y  362500

2

i
 181, 25
i
n
n
2
1  n 2

2
2
y
y
m
y
mi yi   6901, 0417





i
i

n  1  i 1
i 1
i 1

2
S
V ( )  N ( N  n) c  273281250
n
2 V ( )  33062, 4409
b)
2
1 n
2900
y t   yi 
 725
4
n i 1
 t  N y t  290000
St2 

1 n
 yi  yt
n  1 i 1

2
2
 n

yi 

n
29002
yi2   i 1 
2130000 

n
4  9166, 6667
 i 1

3
n 1
S
V ( t )  N ( N  n) t  363000000
n
2 V ( t )  38105,1178
PRIMERA PRUEBA DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS III (ordenador). 16-Abril-2015
APELLIDOS:
1
NOMBRE:
DNI:
SOLUCIONES
1. En una compañía de seguros de automóviles las primas de los seguros varían entre 255 y 1353 euros.
a) ¿Cuál es el tamaño muestral necesario para estimar el valor medio de las primas de los seguros
contratados con la mencionada compañía cometiendo un error de estimación menor de 45 euros?
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral para estimar la proporción de asegurados que son menores de 23
años con un error máximo del 6%?
2. Se quiere hacer un estudio sobre las personas que usan internet en una comarca donde el 48% de los
habitantes son mujeres. Se decide tomar una muestra aleatoria estratificada con asignación proporcional de
400 observaciones. Se toma la anterior muestra, obteniéndose los siguientes valores:
proporción muestral (en %)
HOMBRES
85
MUJERES
80
a) Estime, para la comarca, el porcentaje de habitantes que usan internet y el límite del error de
estimación asociado (en %).
b) Quiere repetirse el estudio sólo en la población de mujeres para estimar el porcentaje de ellas que
utilizan internet, con un error inferior al 2%. ¿A cuántas mujeres habría que preguntarle?
3. Un empresario quiere estimar el consumo mensual de electricidad en una comunidad de 2120 hogares
divididos en 500 manzanas de viviendas. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 5 manzanas que
proporciona los siguientes resultados:
Manzana Consumo eléctrico mensual por vivienda
1
200
200
160
140
2
230
100
90
200
180
3
200
220
180
4
180
175
213
147
238
5
170
240
160
230
Estime por los dos métodos el consumo total de electricidad en dicha comunidad y el límite para el
error de estimación.
c) Utilizando el valor de M conocido.
d) Considerando M desconocido.
4. Una encuesta de consumo fue realizada para determinar la proporción de los ingresos totales que es
dedicada a comprar alimentos, para las familias de una gran ciudad. Una muestra aleatoria de 8 familias fue
seleccionada, los datos de la muestra se presentan en la siguiente tabla:
Familia Gasto en alimentos
Ingreso total
1
5500
35100
2
6000
47200
3
5200
39600
4
6200
34000
5
5500
38400
6
4100
27500
7
3300
48700
8
3000
45200
a) Estime la mencionada proporción y su límite para el error de estimación.
b) Se quiere repetir el anterior estudio de forma que el error de estimación sea inferior a un 1%, ¿cuál
debe ser el tamaño muestral?
1 a)
2 a)
3 a)
4 a)
n  148,84
p  82, 6%
B  3, 79%
  388969,5238
r  0,1229
B  33758,1249
B  0, 03067
1 b)
2 b)
3 b)
4 b)
n  277, 7778
n  1600
 t  385300
n  75, 2628
B  58479,1963
PRIMERA PRUEBA DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS III (ordenador). 16-Abril-2015
APELLIDOS:
2
NOMBRE:
DNI:
SOLUCIONES
1. En una compañía de seguros de automóviles las primas de los seguros varían entre 255 y 1230 euros.
a) ¿Cuál es el tamaño muestral necesario para estimar el valor medio de las primas de los seguros
contratados con la mencionada compañía cometiendo un error de estimación menor de 45 euros?
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral para estimar la proporción de asegurados que son menores de 27
años con un error máximo del 4%?
2. Se quiere hacer un estudio sobre las personas que usan internet en una comarca donde el 62% de los
habitantes son mujeres. Se decide tomar una muestra aleatoria estratificada con asignación proporcional de
400 observaciones. Se toma la anterior muestra, obteniéndose los siguientes valores:
proporción muestral (en %)
HOMBRES
85
MUJERES
80
a) Estime, para la comarca, el porcentaje de habitantes que usan internet y el límite del error de
estimación asociado (en %).
b) Quiere repetirse el estudio sólo en la población de mujeres para estimar el porcentaje de ellas que
utilizan internet, con un error inferior al 4%. ¿A cuántas mujeres habría que preguntarle?
3. Un empresario quiere estimar el consumo mensual de electricidad en una comunidad de 3120 hogares
divididos en 750 manzanas de viviendas. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 5 manzanas que
proporciona los siguientes resultados:
Manzana Consumo eléctrico mensual por vivienda
1
200
200
160
140
2
230
100
90
200
180
3
200
220
180
4
180
175
213
147
238
5
170
240
160
230
Estime por los dos métodos el consumo total de electricidad en dicha comunidad y el límite para el
error de estimación.
a) Utilizando el valor de M conocido.
b) Considerando M desconocido.
4. Una encuesta de consumo fue realizada para determinar la proporción de los ingresos totales que es
dedicada a comprar alimentos, para las familias de una gran ciudad. Una muestra aleatoria de 6 familias fue
seleccionada, los datos de la muestra se presentan en la siguiente tabla:
Familia Gasto en alimentos
Ingreso Total
1
5500
35100
2
6000
47200
3
5200
39600
4
6200
34000
5
5500
38400
6
4100
27500
a) Estime la mencionada proporción y su límite para el error de estimación.
b) Se quiere repetir el anterior estudio de forma que el error de estimación sea inferior a un 1%, ¿cuál
debe ser el tamaño muestral?
1 a)
2 a)
3 a)
4 a)
n  117,3611
p  81,9%
B  3,85%
  572445, 7143
B  50722,3636
r  0,1465
B  0, 0166
1 b)
2 b)
3 b)
4 b)
n  625
n  400
 t  577950
n  16,5927
B  87866,3451
PRIMERA PRUEBA DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS III (ordenador). 16-Abril-2015
APELLIDOS:
3
NOMBRE:
DNI:
SOLUCIONES
1. En una compañía de seguros de automóviles las primas de los seguros varían entre 355 y 1353 euros.
a) ¿Cuál es el tamaño muestral necesario para estimar el valor medio de las primas de los seguros
contratados con la mencionada compañía cometiendo un error de estimación menor de 45 euros?
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral para estimar la proporción de asegurados que son menores de 28
años con un error máximo del 5%?
2. Se quiere hacer un estudio sobre las personas que usan internet en una comarca donde el 48% de los
habitantes son mujeres. Se decide tomar una muestra aleatoria estratificada con asignación proporcional de
400 observaciones. Se toma la anterior muestra, obteniéndose los siguientes valores:
proporción muestral (en %)
HOMBRES
85
MUJERES
90
a) Estime, para la comarca, el porcentaje de habitantes que usan internet y el límite del error de
estimación asociado (en %).
b) Quiere repetirse el estudio sólo en la población de mujeres para estimar el porcentaje de ellas que
utilizan internet, con un error inferior al 2%. ¿A cuántas mujeres habría que preguntarle?
3. Un empresario quiere estimar el consumo mensual de electricidad en una comunidad de 4120 hogares
divididos en 990 manzanas de viviendas. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 5 manzanas que
proporciona los siguientes resultados:
Manzana Consumo eléctrico mensual por vivienda
1
200
200
160
140
2
230
100
90
200
180
3
200
220
180
4
180
175
213
147
238
5
170
240
160
230
Estime por los dos métodos el consumo total de electricidad en dicha comunidad y el límite para el
error de estimación.
a) Utilizando el valor de M conocido.
b) Considerando M desconocido.
4. Una encuesta de consumo fue realizada para determinar la proporción de los ingresos totales que es
dedicada a comprar alimentos, para las familias de una gran ciudad. Una muestra aleatoria de 6 familias fue
seleccionada, los datos de la muestra se presentan en la siguiente tabla:
Familia Gasto en alimentos
Ingreso Total
1
5500
35100
2
6000
47200
3
5200
39600
4
6200
34000
5
3300
48700
6
3000
45200
a) Estime la mencionada proporción y su límite para el error de estimación.
b) Se quiere repetir el anterior estudio de forma que el error de estimación sea inferior a un 1%, ¿cuál
debe ser el tamaño muestral?
1 a)
2 a)
3 a)
4 a)
n  122,9635
p  87, 4%
B  3,32%
  755921,9048
r  0,1169
B  67007,9648
B  0, 0376
1 b)
2 b)
3 b)
4 b)
n  400
n  900
 t  762894
n  84,9412
B  116077,8903
PRIMERA PRUEBA DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS III (ordenador). 16-Abril-2015
APELLIDOS:
4
NOMBRE:
DNI:
SOLUCIONES
1. En una compañía de seguros de automóviles las primas de los seguros varían entre 300 y 1353 euros.
a) ¿Cuál es el tamaño muestral necesario para estimar el valor medio de las primas de los seguros
contratados con la mencionada compañía cometiendo un error de estimación menor de 45 euros?
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral para estimar la proporción de asegurados que son menores de 33
años con un error máximo del 3%?
2. Se quiere hacer un estudio sobre las personas que usan internet en una comarca donde el 62% de los
habitantes son mujeres. Se decide tomar una muestra aleatoria estratificada con asignación proporcional de
400 observaciones. Se toma la anterior muestra, obteniéndose los siguientes valores:
proporción muestral (en %)
HOMBRES
85
MUJERES
90
a) Estime, para la comarca, el porcentaje de habitantes que usan internet y el límite del error de
estimación asociado (en %).
b) Quiere repetirse el estudio sólo en la población de mujeres para estimar el porcentaje de ellas que
utilizan internet, con un error inferior al 4%. ¿A cuántas mujeres habría que preguntarle?
3. Un empresario quiere estimar el consumo mensual de electricidad en una comunidad de 4520 hogares
divididos en 1100 manzanas de viviendas. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 5 manzanas que
proporciona los siguientes resultados:
Manzana Consumo eléctrico mensual por vivienda
1
200
200
160
140
2
230
100
90
200
180
3
200
220
180
4
180
175
213
147
238
5
170
240
160
230
Estime por los dos métodos el consumo total de electricidad en dicha comunidad y el límite para el
error de estimación.
a) Utilizando el valor de M conocido.
b) Considerando M desconocido.
4. Una encuesta de consumo fue realizada para determinar la proporción de los ingresos totales que es
dedicada a comprar alimentos, para las familias de una gran ciudad. Una muestra aleatoria de 6 familias fue
seleccionada, los datos de la muestra se presentan en la siguiente tabla:
Familia Gasto en alimentos
Ingreso Total
1
5500
35100
2
6000
47200
3
5200
39600
4
6200
34000
5
5500
38400
6
3000
45200
a) Estime la mencionada proporción y su límite para el error de estimación.
b) Se quiere repetir el anterior estudio de forma que el error de estimación sea inferior a un 1%, ¿cuál
debe ser el tamaño muestral?
1 a)
2 a)
3 a)
4 a)
n  136,89
p  88,1%
B  3, 24%
  829312,381
r  0,1311
B  74472,1885
B  0, 0325
1 b)
2 b)
3 b)
4 b)
n  1111,1111
n  225
 t  847660
n  63,5462
B  129008,1644