FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS DINÁMICO

DEPARTAMENTO DE
INGENIERÍA MECÁNICA,
ENERGÉTICA
Y DE MATERIALES
TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
Introducción
3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES
- 1.1 -
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TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
- 1.2 -
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1.1
TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
Introducción
La experiencia demuestra que el comportamiento de un sistema mecánico es muy
diferente cuando los esfuerzos aplicados varían con el tiempo que cuando no lo hacen,
aunque el orden de magnitud de dichos esfuerzos sea similar.
En los métodos de análisis que se podría llamar "tradicionales" se ignora este carácter
variable de los esfuerzos y se realiza un cálculo estático, afectando a la magnitud de los
esfuerzos o a la tensión admisible del material con el correspondiente coeficiente de
seguridad. Cuando el carácter variable o "dinámico" de las cargas es importante, o cuando
hay fenómenos tales como choques, estos coeficientes de seguridad tienen valores muy
elevados - hasta 10 ó 15 - en previsión de lo que pudiera suceder.
Si el sistema mecánico que se trata de diseñar es de cierto compromiso, el
desconocimiento de la seguridad real que el método de cálculo utilizado comporta, obliga a
construir un prototipo o un modelo a escala y realizar ensayos que simulen las condiciones
reales de funcionamiento. Estos ensayos determinan modificaciones en el diseño inicial
tanto más profundas y costosas cuanto menos racionalmente haya sido realizado el
diseño. El proceso se prolonga con sucesivas modificaciones y ensayos tanto más
numerosos cuanto más a ciegas, y por tanto con menos acierto, se realizan dichas
modificaciones.
La aparición de las computadoras y el avance de los métodos teóricos de análisis, han
venido a modificar substancialmente esta situación. En la actualidad, es posible prever las
características y el comportamiento dinámico de un sistema con gran precisión, a pesar de
la enorme complejidad de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema
dinámico. Aunque dichas ecuaciones se conocen hace más de siglo y medio, sólo unos
pocos casos muy sencillos y de limitada relevancia práctica han sido susceptibles de
recibir solución analítica. Los métodos numéricos, utilizados conjuntamente con las
computadoras, han permitido obtener - con más o menos esfuerzo - soluciones a todo tipo
de problemas.
Se van a analizar, a continuación, las vibraciones en sistemas mecánicos. Los objetivos
primarios serán: comprender su naturaleza, estudiar algunos casos sencillos, proporcionar
la base necesaria para acometer el estudio de problemas prácticos más complicados, e
introducir los conceptos y magnitudes utilizados en los modernos equipos de medidas
dinámicas.
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- 1.3 -
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1.2
TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
Concepto de vibración
Los términos movimiento, oscilación y vibración no son sinónimos. Toda vibración es
una oscilación y toda oscilación es un movimiento, pero esta afirmación no puede hacerse
en sentido inverso. Así, una rueda se mueve pero no oscila, y un péndulo simple oscila
pero no vibra.
La diferencia específica que delimita el significado del concepto de vibración puede ser
encontrada haciendo intervenir el concepto de energía. Tanto las oscilaciones como las
vibraciones se prolongan en el tiempo mediante un proceso de conversión entre distintos
tipos de energía. Así, en el péndulo simple los tipos de energía que intervienen son la
energía cinética y la energía potencial gravitatoria. Pues bien, para que se pueda hablar de
vibración de un sistema mecánico es necesario que aparezca un tipo de energía especial:
la ENERGÍA de DEFORMACIÓN o la ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA (o
elastoplástica).
Existen o pueden existir PROBLEMAS DE VIBRACIONES allí donde se presenten
esfuerzos variables con el tiempo, o bien aportaciones de energía que puedan dar lugar a
fenómenos de vibraciones autoexcitadas. En cualquier caso, la resolución del problema
comporta la disminución - en la medida de lo posible - de los esfuerzos dinámicos, y un
adecuado diseño para dar suficiente rigidez dinámica al sistema mecánico estudiado.
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- 1.4 -
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1.3
TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
Concepto de gdl:
sistemas continuos y
discretos
Se llaman GRADOS DE LIBERTAD (gdl) o coordenadas generalizadas de un sistema
mecánico a los parámetros independientes que definen la posición y la configuración
deformada de dicho sistema.
En algunos sistemas (Figura 1), los grados de libertad vienen determinados por la propia
configuración del sistema. Si el sistema tiene masas concentradas, las posiciones de cada
una de las masas son los grados de libertad del problema. En sistemas o estructuras
formados por barras esbeltas de nudos articulados o nudos rígidos, es habitual tomar los
desplazamientos (y los giros, en el caso de nudos rígidos) de los nudos como grados de
libertad del problema.
Figura 1
En un medio continuo (Figura 2), es
imposible especificar su posición o su
configuración deformada con un número
finito de grados de libertad. En este caso,
son posibles infinitos modos independientes
de deformarse y para que una configuración
deformada quede definida hay que
especificar la posición de cada punto, lo que
exige infinitos parámetros independientes.
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Figura 2
- 1.5 -
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TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
Se llama SISTEMA DISCRETO a aquél cuya posición deformada puede determinarse
mediante un número finito de grados de libertad, y SISTEMA CONTINUO cuando este
número es infinito. En la práctica, en la mayor parte de las ocasiones hay que conformarse
con una solución aproximada, que se obtiene resolviendo un modelo matemático
discretizado del sistema real (Figura 3), con un número finito de grados de libertad. Esto
es discretizar un problema continuo: establecer un modelo matemático en el que el número
de grados de libertad sea finito y por tanto resoluble con la ayuda de un computador.
Figura 3.a – Suspensión. Sistema real
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Figura 3.b – Modelo matemático discretizado
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TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
Modelización de un
sistema mecánico
Cuando se desea analizar un sistema real, lo primero que debe hacerse es determinar un
modelo matemático de dicho sistema en el que queden recogidas las características o
propiedades físicas del modelo real. Estas propiedades reciben el nombre de parámetros.
Parámetros de un sistema mecánico son: la RIGIDEZ (k), la MASA (m) y el
AMORTIGUAMIENTO (c); relacionados con los tres tipos de fuerzas más características
de los problemas de vibraciones: las fuerzas elásticas, las fuerzas de inercia y las fuerzas
de disipación de energía, respectivamente.
La rigidez, la masa y el amortiguamiento deben ser datos en un problema de análisis
teórico de vibraciones. Ordinariamente, se supondrá que no varían ni con el tiempo ni con
la deformación del sistema. En un problema experimental, la medición de estos parámetros
puede ser precisamente el objetivo del estudio.
Los sistemas físicos reales son siempre de parámetros continuos. No se concibe un
elemento o parte de elemento de una máquina sin masa, o que se deforme sin la
aplicación de ninguna fuerza. Sin embargo, en muchas ocasiones, pueden obtenerse
modelos matemáticos de una aproximación razonable y mucho más fáciles de analizar,
concentrando en determinados elementos o puntos las distintas características del
sistema.
Por ejemplo, atribuyendo a resortes
ideales toda la capacidad de
absorción de energía elástica, a
masas indeformables toda la energía
cinética, y a amortiguadores viscosos
toda la capacidad de disipación de
energía (Fig. 4). Estos modelos
matemáticos tienen un número finito
de gdl (sistemas discretos) y se
llaman sistemas discretos de Figura 4 – Modelo de 4 gdl de la suspensión de un
automóvil
parámetros concentrados.
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TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
Existen también - y presentan un considerable interés práctico - modelos discretos que
tienen sus parámetros distribuidos, es decir, son modelos en los que cada uno de los
elementos tiene masa, se deforma y disipa energía. Los sistemas discretos de
parámetros distribuidos permiten analizar modelos matemáticos (Figura 5) mucho más
aproximados al sistema físico real que los de parámetros concentrados. El Método de los
Elementos Finitos (M.E.F.), una potente herramienta existente para el análisis de éstos y
otros muchos problemas, no es en el fondo más que un método de discretización que
permite reducir un sistema continuo a un modelo discreto de parámetros distribuidos.
Figura 5 – Modelización por Elementos Finitos
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1.5
TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
Sistemas lineales y
sistemas no lineales
Se puede definir un sistema lineal como aquél en el que se cumple el Principio de
Superposición. Un primer y quizá poco académico enunciado de dicho Principio podría
ser el siguiente: "un sistema cumple el Principio de Superposición si su respuesta ante un
conjunto de solicitaciones es la suma de las respuestas a cada una de las solicitaciones
por separado".
Cuando el tiempo interviene como variable independiente del problema, como sucede en
las vibraciones y en la dinámica de sistemas, se podría establecer el siguiente enunciado
para el Principio de Superposición: "se dice que un sistema dinámico cumple el Principio
de Superposición y que por lo tanto es lineal si dadas dos entradas x1(t) y x2(t) y sus
respuestas correspondientes y1(t) e y2(t), la respuesta a una entrada Ax1(t+t1) + Bx2(t+t2)
es precisamente Ay1(t+t1) + By2(t+t2), siendo A, B, t1 y t2 cuatro constantes cualesquiera".
En la práctica, ¿cuándo un sistema es lineal y cuándo no lo es? En sentido estricto, casi
puede decirse que los sistemas lineales no existen, pero también es verdad que la gran
mayoría de los sistemas reales presentan un comportamiento muy aproximadamente lineal
para un amplio rango de sus variables dependientes. Como el estudio de los sistemas no
lineales presenta considerables dificultades (precisamente por la imposibilidad de aplicar el
Principio de Superposición), lo que puede hacerse casi siempre que no hay poderosas
razones que obliguen a actuar de modo contrario, es suponer un comportamiento lineal, y
en esta hipótesis realizar los cálculos. En la mayor parte de los casos el error cometido
será despreciable.
Tres son las fuentes principales de no-linealidad:
grandes deformaciones: cuando los desplazamientos son grandes, las ecuaciones
de equilibrio no se pueden plantear sobre la geometría inicial del problema,
conocida, sino sobre la final. Además, en las relaciones entre deformación unitaria y
desplazamiento deben retenerse los términos cuadráticos, resultando relaciones
asimismo no lineales.
determinados tipos de rozamiento o amortiguamiento: el ejemplo más claro de
no linealidad de esta clase es el rozamiento de Coulomb o rozamiento seco, un
ejemplo particularmente sencillo de no cumplimiento del Principio de Superposición.
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TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
no-linealidad en las ecuaciones constitutivas del material: algunos materiales
como el acero, presentan esta no-linealidad sólo para valores grandes de los
esfuerzos. La plasticidad es un caso típico de no-linealidad.
A lo largo de este curso se hará referencia casi exclusiva a los sistemas lineales. Esta
hipótesis de linealidad implica que la rigidez, la masa y el amortiguamiento del sistema no
dependen de los desplazamientos o deformaciones, y tampoco de sus derivadas respecto
al tiempo.
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TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
Sistemas definidos y
sistemas semidefinidos
En la mayor parte de los casos, los desplazamientos son las incógnitas primarias del
problema. Otras funciones incógnita tales como las deformaciones unitarias y las
tensiones, pueden obtenerse a partir de ellas por derivación y multiplicación por las
constantes propias del material.
Siempre que en un sistema mecánico haya velocidad distinta de cero habrá energía
cinética mayor que cero. Sin embargo, no es cierto que siempre que haya desplazamientos
distintos de cero haya energía potencial elástica positiva. Hay muchos sistemas mecánicos
- aviones, automóviles, etc. - que tienen posibilidad de movimiento de sólido rígido. Tales
desplazamientos no producen deformaciones ni tensiones ni, por consiguiente, energía
elástica. Otros sistemas mecánicos, por ejemplo una torre convenientemente anclada en
sus cimientos, no pueden moverse sin deformarse. Estos últimos sistemas se llaman
sistemas definidos y aquéllos, sistemas semidefinidos.
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TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
Vibraciones libres y
vibraciones forzadas
Las vibraciones se pueden definir como un caso particular de la dinámica de sistemas
mecánicos en el que hay intercambio de energía elástica y una oscilación alrededor de una
posición de equilibrio. Se sabe, por experiencia, que si se saca un sistema de su posición
de equilibrio y se suelta, comienza a vibrar con una amplitud que se va amortiguando más
o menos rápidamente (según el sistema disponga de mayor o menor facilidad para disipar
energía). A estas vibraciones que tienen lugar en un sistema en ausencia de fuerzas
exteriores y son debidas únicamente a unas determinadas condiciones iniciales de
velocidad y/o desplazamiento, se les conoce como VIBRACIONES LIBRES.
Por el contrario, las vibraciones que tienen lugar en presencia de fuerzas variables con el
tiempo, reciben el nombre de VIBRACIONES FORZADAS; y se pueden clasificar según la
variación en el tiempo de las fuerzas excitadoras:
excitaciones armónicas (varían sinusoidalmente),
excitaciones periódicas (repiten valores cada cierto tiempo),
impulsos o choques (fuerzas de una gran intensidad que actúan durante tiempos
infinitesimales),
fuerzas que varían de un modo arbitrario con el tiempo. Contemplan el caso más
general. Comprenden, por ejemplo, las cargas móviles que se desplazan sobre el
sistema, o las excitaciones armónicas de frecuencia variable, problema que aparece
con cierta frecuencia en máquinas.
Las deformaciones estáticas no varían con el tiempo. Las dinámicas, evidentemente, sí.
Pero, dentro de esta carácter variable con el tiempo que por naturaleza tienen las variables
dinámicas, hay una división importante:
Se dice que un sistema dinámico está en RÉGIMEN ESTACIONARIO cuando su
variación con el tiempo reviste un carácter periódico. Forma parte esencial del
carácter de periodicidad de un fenómeno el que todas las variables del problema
repiten valores cada T segundos. A T se le llama período.
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TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
Cuando la dependencia temporal de las variables del problema es arbitraria o
carece del carácter periódico se dice que el sistema está en RÉGIMEN
TRANSITORIO.
Hasta ahora se ha supuesto que las fuerzas aplicadas eran perfectamente conocidas.
Cuando sucede así o, mejor dicho, cuando se supone que sucede así, se dice que se está
en un caso de VIBRACIONES DETERMINISTAS.
Sin embargo, no es esa la situación real ordinaria: los esfuerzos a que se ve sometida la
suspensión de un automóvil por una mala carretera, los que sufre el ala de un avión al
atravesar una tormenta, aquellos que padece un edificio bajo la acción del viento, o, en
general, los que aparecen en el funcionamiento normal de una máquina, de ningún modo
puede suponerse que son conocidos. Realmente, en estos y otros casos semejantes, a
todo lo que se puede aspirar es a conocer algunos valores estadísticos de los esfuerzos
aplicados, tales como su valor medio, su varianza, su composición en frecuencia, etc. La
teoría de las VIBRACIONES ALEATORIAS estudia estos casos y consigue relacionar los
valores estadísticos de la respuesta con los valores estadísticos de la excitación, prestando
fundamento teórico a muchos de los modernos métodos de medida experimental de
magnitudes dinámicas.
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TEMA 1 – INTRODUCCIÓN
Planteamiento de las
ecuaciones del sistema
Los métodos que pueden aplicarse para plantear las ecuaciones de la dinámica del
sistema, son los mismos que se utilizan para llegar a las del sólido rígido:
Ecuaciones de Newton. Debe aplicarse la segunda ley de Newton, igualando,
según cada grado de libertad, la suma de las fuerzas exteriores al producto de la
masa por la aceleración.
Principio de D´Alembert. Puede verse como una variante de las ecuaciones de
Newton o como un método diferente. Básicamente consiste en introducir las fuerzas
de inercia e imponer la condición de equilibrio.
Método de los Trabajos Virtuales. El trabajo de las fuerzas exteriores en un
pequeño desplazamiento virtual de las coordenadas del sistema es igual al
incremento de energía potencial elástica producido por dicho desplazamiento.
Este desplazamiento virtual debe cumplir las condiciones de ser pequeño, para que
no varíe la magnitud de las fuerzas y la geometría del sistema, y compatible con las
ligaduras cinemáticas de dicho sistema. A veces, es más cómodo utilizar
velocidades que desplazamientos y, entonces, en lugar de hablar del Método de los
Trabajos Virtuales se habla del Método de las Potencias Virtuales.
Ecuaciones de Lagrange. Son el punto de partida de la Mecánica Analítica. Se
establece una ecuación por cada grado de libertad o coordenada generalizada:
d æ ∂L ö ∂L
ç
−
= Qi
dt çè ∂q& i
∂qi
i = 1, 2, 3,K , n
L=T-U es la función Lagrangiana, igual a la diferencia entre la energía cinética y la
energía potencial, y Qi es la fuerza generalizada según el gdl i.
Principio de Hamilton. Es un principio variacional, y establece que de todas las
posibles formas de evolucionar el sistema entre dos instantes de tiempo t1 y t2, la
que verdaderamente se produce es la que hace mínima la integral respecto al
tiempo de la función Lagrangiana.
t2
t1
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Ldt
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