Recopilación de diversas demostraciones de la infinitud de los

TRABAJO FIN DE GRADO
Título
Recopilación de diversas demostraciones de la infinitud
de los números primos
Autor/es
Juan Rengel Rojo
Director/es
Juan Luis Varona Malumbres
Facultad
Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática
Titulación
Grado en Matemáticas
Departamento
Curso Académico
2012-2013
Recopilación de diversas demostraciones de la infinitud de los números
primos, trabajo fin de grado
de Juan Rengel Rojo, dirigido por Juan Luis Varona Malumbres (publicado por la
Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia
Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.
Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los
titulares del copyright.
©
©
El autor
Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2013
publicaciones.unirioja.es
E-mail: [email protected]
Facultad
Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática
Titulación
Grado en Matemáticas
Título
Recopilación de diversas demostraciones de la infinitud de los
números primos
Autor/es
Juan Rengel Rojo
Tutor/es
Juan Luis Varona Malumbres
Departamento
Matemáticas y Computación
Curso académico
2012-13
Recopilación de diversas
demostraciones de la infinitud
de los números primos
Juan Rengel Rojo
Tutor: Juan Luis Varona Malumbres
Quiero agradecer al Dr D. Juan Luis Varona por su ayuda y paciencia en
la elaboración de esta memoria, sin el no habrı́a sido posible.
Resumen
En el siguiente documento encontraremos con una recopilación de demostraciones sobre la infinitud de los números primos, como su propio tı́tulo
indica. En primer lugar veremos una introducción algebraica, en la cual definiremos qué es un número primo. Después empezará la recopilación con
la prueba de Euclides, que es la primera demostración conocida, además de
otras demostraciones parecidas a la suya como las de Hermite, Kummer y
Stieltjes. En general podremos ver más de veinte demostraciones que agruparemos bien por autor, como las de Euler y Pinasco (capı́tulos 4 y 10),
bien por el tipo de demostración, como las de Goldbach, Fibonacci, Harris,
Washington (capı́tulos 3 y 6). Otras demostraciones serán lo suficientemente
importantes y/o extensas para tener su propio capı́tulo, como las de Fürstenberg y Whang (capı́tulos 8 y 9). También podremos ver otras demostraciones
difı́cilmente catalogables, como las Perott, Auric, Métrod, Pollack y Mixon
(capı́tulos 5 y 7). Por último presentaremos las referencias que han sido utilizadas para la realización de este proyecto. Además, a lo largo de la memoria
veremos numerosas referencias a las fuentes originales.
1
Abstract
As the title suggests, in this paper we find a series of proofs of the infinity
of prime numbers. First, we will offer an algebraic introduction, in which
we define what a prime number is. After that, we will start the collection
with Euclid’s proof, which is the first known proof, apart from other similar
such as Hermite, Kummer and Stieltjes’. Altogether, we offer more than
twenty pieces of proofs which will be gathered either by author, as Euler and
Pinasco’s (Chapters 4 and 10), or by the type of proof such as Goldbach,
Fibonacci, Harris and Washington’s (Chapters 3 and 6). Other proofs, such
as Fürstenberg and Whang’s, are important and extensive enough to have
their own chapter (Chapters 8 and 9). We will also see other proofs that
are hard to classificate such as Perott, Auric, Métrod, Pollack and Mixon’s
(Chapters 5 and 7). Finally, we will present all the references that have been
used for this project. Moreover, all along this paper we will refer several times
to the original sources.
2
Índice general
1. Introducción
1.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Una proposición básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Consecuencias de la introducción . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
8
9
2. Primera demostración conocida
2.1. Definiciones de Euclides . . . . . . . . . . . .
2.2. Demostración de Euclides . . . . . . . . . . .
2.3. Demostración de Euclides con notación actual
2.4. Demostración de Hermite . . . . . . . . . . .
2.5. Demostración de Kummer . . . . . . . . . . .
2.6. Demostración de Stieltjes . . . . . . . . . . . .
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3. Números de Fermat y Fibonacci
3.1. Definición y propiedades . . . . . . . . . . .
3.2. Demostración de Goldbach . . . . . . . . . .
3.3. Demostración con los números de Fibonacci
3.4. Demostración de Harris . . . . . . . . . . . .
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21
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24
25
4. Dos
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
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demostraciones de Euler
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teorema básico sobre funciones multiplicativas . . .
Funciones aritméticas y una demostración de Euler
Identidad de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Demostración de Euler . . . . . . . . . . . . . . . .
Otra demostración de Euler con la función ϕ . . . .
3
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5. Tres demostraciones perdidas
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5.1. Demostración de Perott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2. Demostración de Auric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3. Demostración de Métrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6. Demostraciones algebraicas
6.1. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Demostración anónima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Demostración de Washington . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7. Demostraciones sin catalogar
7.1. Definiciones y lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Demostración de Pollack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Demostración de D. G. Mixon . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
34
35
8. Demostración topológica
36
8.1. Definiciones básicas de topologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.2. Demostración de Fürstenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9. Demostración de Whang
40
9.1. La identidad de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.2. Demostración de Whang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10.Dos demostraciones con acento latino
42
10.1. Primera demostración de Pinasco . . . . . . . . . . . . . . . . 42
10.2. El dos por uno de Pinasco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Conclusiones
45
Bibliografı́a
46
4
Capı́tulo 1
Introducción
Todo el mundo ha oı́do hablar de los números primos. Pero ¿qué es en
realidad un número primo?; ¿qué es en realidad un número primo para un
matemático?; ¿depende de sı́ mismo, o del conjunto en el que está, para
que cumpla esta propiedad? es decir, por ejemplo, ¿son los números primos
del conjunto de los enteros (Z) iguales a los del conjunto de los números
racionales (Q)?
Para responder a estas preguntas, tendremos que recordar un poco de
álgebra. A continuación veremos algunas definiciones elementales que nos
ayudarán a responderlas. Toda esta teorı́a se puede encontrar en cualquier
libro de álgebra como [10].
1.1.
Definiciones básicas
Estas son algunas definiciones básicas algebraicas que nos ayudarán a
entender mejor, el concepto de número primo.
Conjunto
Un conjunto es una colección de objetos bien definida. Estos objetos
pueden ser cualquier cosa: números, colores, letras, etc. . . Un conjunto
podrá ser finito o infinito.
Un ejemplo de conjunto finito es A = {1, 2, 3}, donde A es el conjunto
de los números naturales menores que cuatro.
Un ejemplo de conjunto infinito son los número naturales:
N = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , ∞} .
5
Otro conjunto, con especial interés, es el conjunto vacı́o, que es un
conjunto sin ningún elemento y lo denotaremos como ∅.
Subconjunto
Dado un conjunto X, diremos que A es un subconjunto de X si todo
elemento de A existe en X.
Diremos que un subconjunto A de X es el total, si todo elemento del
conjunto X existe en A. Notese entonces que el conjunto A y el X
tienen los mismos elementos.
Complementario de un subconjunto
El complementario de un subconjunto Ainducido en X (el total). Es
un subconjunto tal que A Ac = ∅, y A Ac = X.
Anillo
Un anillo R es un conjunto (no vacı́o) con dos operaciones binarias
(+, ), llamadas suma y producto, respectivamente. Además estas operaciones cumplen las siguientes propiedades:
• La suma es asociativa, conmutativa. Tiene elemento neutro, llamado cero y lo denotaremos como 0 (esto es que existe un elemento
0 ∈ R tal que para cada elemento a ∈ R cumple: 0+a = a+0 = a).
Además todos los elementos de R tienen inverso. (Es decir que para todo elemento a de R existe otro elemento que llamaremos −a
y cumple: a + (−a) = (−a) + a = 0.)
• El producto es asociativo y distributivo respecto de la suma:
(a + b) c = a c + b c, c (a + b) = c a + c b.
Anillo conmutativo
Diremos que el anillo R es conmutativo si el producto lo es.
Anillo unitario
Diremos que R es unitario si el producto tiene un elemento neutro, que
denotaremos por 1 ∈ R. Es decir para todo elemento a de R, se cumple
a 1 = 1 a = a.
6
Unidad de un anillo
Decimos que un elemento a de un anillo R (R tiene que ser unitario) es
una unidad, si existe un elemento de R, a este elemento lo denotaremos
como a−1 , que cumple:
a a−1 = a−1 a = 1.
El conjunto de las unidades de un anillo R lo denotaremos como R·∗
Divisor de cero
Decimos que un elemento a es divisor de cero si a = 0 y existe otro
elemento b = 0 tal que a b = 0 o b a = 0.
Dominio de integridad o D.I.
Diremos que R es D.I. si es conmutativo, unitario y no tiene divisores
de cero.
Elementos asociados
Si R un anillo conmutativo y a, b ∈ R. Diremos que los elementos a y
b son asociados si para a, b = 0 cumplen que a | b y b | a. Nótese que
es equivalente a decir a = b u, u ∈ R∗ .
Elemento irreducible
Para R D.I. diremos que un elemento p ∈ R es irreducible si:
• p = 0 y p ∈
/ R∗ .
• Siempre que a | p, se tiene que a ∈ R∗ o a = p u, con u ∈ R∗ .
Elemento primo
Para R D.I. diremos que un elemento p ∈ R es primo si:
• p = 0 y p ∈
/ R∗ .
• Siempre que p | a b, entonces p | a o p | b.
Dominio de factorización única o D.F.U.
Si dado R anillo que es D.I. diremos que R es D.F.U. si para todo
elemento r (r ∈ R) no nulo y no unidad se tiene:
7
• r factoriza como un producto finito de elementos irreducibles: a =
p1 p2 · · · pn , donde los pi son elementos irruducibles llamados
factores, y a esta descomposición se le conoce como factorización.
• Esta factorizacion es única salvo asociados y orden.
Máximo comun divisor o mcd
El máximo comun divisor de a y b (se denota mcd(a, b)) es un elemento
d = 0 ∈ R y que cumple:
• d | a y d | b.
• Para cualquier d ∈ R tal que d | a y d | b, entonces se debe
cumplir d | d.
Números coprimos
Decimos que dos números a y b son coprimos, si y solo si mcd(a, d) = u
con u ∈ R∗ ; para el caso particular de N tenemos que mcd(a, b) = 1.
1.2.
Una proposición básica
Proposición: Si R es D.F.U. y p ∈ R, tenemos:
p es un elemento primo en R ⇔ p es irreducible en R.
• Demostración:
⇒
Si p es primo, entonces no es ni cero, ni una unidad, ası́ que la primera
condición es trivial. Veamos la segunda.
Si a | p, tenemos p = a x para algún x ∈ R. Como p | a x (esto es
obvio, pues son iguales), aplicamos la segunda condición de elemento primo
y tenemos que p | a o p | x. En el caso p | a, como a | p, llegamos a que a
y p son asociados (al ser el anillo D.F.U. también es D.I.), ası́ a = p u con
u ∈ R∗ .
En el caso p | x, escribimos x como x = p y y sustituimos: p = a x =
a p y; como p = 0 y el anillo es D.I. conmutativo y unitario (por ser
D.F.U.) llegamos a que 1 = a y = y a donde a ∈ R∗ . Esto prueba la
segunda condición de irreducible.
⇐
8
Al igual que arriba, la primera condición es trivial, ası́ que demostraremos
la segunda. Sea a un elemento de R tal que p | a. Como R es D.F.U.,
a = p p1 p2 · · · pn , donde pi son elementos irreducibles, además p
estará en la factorización de a por ser divisor de a. Nótese que si escribimos
a en dos productos a = bc, con b = pb1 · · ·pbj , y c = pc1 · · ·pcl , donde pci
y pbj son los elementos irreducibles p1 , . . . , pn , y p, pero en cualquier orden.
Nótese entonces que p será un factor bien de b o bien de c, lo que implica,
que p dividirá a alguno de los dos, que es lo que querı́amos demostrar.
1.3.
Consecuencias de la introducción
Una vez vistas estas definiciones de álgebra, estamos en posición de comprender qué es un número primo. Aquı́ expongo las consecuencias más importantes:
El conjunto de los números primos, dependen del conjunto en el cúal
estemos trabajando.
Por ejemplo, en los enteros Z los números primos son:
{2, −2, 3, −3, 5, −5, 7, −7, . . .} ;
sin embargo, en los números racionales Q, no existen los números primos, porque todos los números, menos el cero, son unidades.
No todos los números que sólo pueden dividirse por si mismos o por las
unidades son números primos, ya que esto es la definición de irreducible.
√
√
Por ejemplo en Z[ −5] = a + b −5 | a, b ∈ Z , el elemento: 2 +
√
√
√
−5 es irreducible
pero no es primo. Ya que, 9 = (2+ √
−5)(2− −5).
√
Luego 2 + −5 | 9, pero
√ 9 = 3 3 y sin embargo 2 + −5 3, con lo
que tenemos que
√ 2 + −5 es un elemento irreducible, pero no es primo
en el anillo Z[ −5].
Sin embargo, en Z al ser un D.F.U. tenemos que ser primo es equivalente
a ser irreducible.
Notemos que los números primos de N y de Z no son los mismos, pero
existe cierta relación. Es decir, en N tenemos el 2, y en Z tenemos los
números 2 y −2. En general para cada primo P de N, tendremos dos
números primos de Z, que serán P y −P .
9
Para finalizar, a partir de ahora cuando nos refiramos a los números
primos, nos estaremos refiriendo a los números primos de1 N. Además
la multiplicación (o producto) la escribirimos en, vez de a b, como a · b
o ası́, ab.
1
Quiero indicar que N no es un anillo, ya que no tiene elemento inverso en la suma.
10
Capı́tulo 2
Primera demostración conocida
Empezaremos viendo la primera demostración de la cual tenemos constancia. Esta demostración la podemos encontrar en el famoso libro de Euclides,
Los Elementos. Quisiera recalcar que cuando Euclides escribió su libro, el
álgebra no existı́a, e incluso el concepto de número era comprendido de manera un poco diferente a como se entiende hoy en dı́a. Es por todo ello que
aquı́ veremos la demostración tal y como la desarrolla Euclides en su libro. Y
luego la volveremos a ver con un lenguaje más actual. Además de otras tres
demostraciones más, que son parecidas a la suya. Las siguientes definiciones,
ası́ como la primera demostración, la podemos encontrar en [4].
2.1.
Definiciones de Euclides
Veamos unas cuantas definiciones de Los Elementos (libro VII) que serán
importantes para comprender la demostración:
Definición 1: Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de
las cosas que hay es llamada una.
Definición 2: Un número es una pluralidad compuesta de unidades.
Definición 3: Un número es parte de un número, el menor del mayor,
cuando mide al mayor.
Definición 4: Pero partes1 cuando no lo mide.
1
En la definición anterior, “parte” se refiere a una parte alı́cuota o submúltiplo. Con
11
Definición 5: Y el mayor es múltiplo del menor cuando es medido por
el menor.
Definición 6: Un número par es el que se divide en dos partes iguales.
Definición 7: Un número impar es el que no se divide en dos partes
iguales, o difiere de un número par en una unidad.
Definición 12: Un número primo es aquél que sólo es medido por la
unidad.
Definición 13: Números primos entre sı́ son los medidos por la sola
unidad como medida común.
Hay muchı́simas más definiciones, pero con estas pocas, podemos entender
la demostración tal y como la planteó Euclides.
2.2.
Demostración de Euclides
Este teorema, lo podemos encontrar en el libro IX, en la proposición 20.
Proposición 20: Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos.
Sean A, B y C los números primos propuestos.
Digo que hay más números primos que
A, B, C.
Pues tómese el número menor medido por
A, B, C, y sea DE y añádase a DE la unidad
EZ. Entonces EF es primo o no. Sea primo
en primer lugar; entonces han sido hallados los
números primos A, B, C, y EF, que son más que A, B, and C.
Pero ahora no sea primo EF ; entonces es medido por algún número primo:
sea medido por el número primo G.
Digo que G no es el mismo que ninguno de los números A, B, C. Pues si
fuera posible, séalo. Pero A, B, C, miden a DE, entonces G medirá también
a DE. Pero mide asimismo a EF ; y G, siendo un número, medirá también
“partes”, Euclides alude a un número de partes alı́cuotas o a lo que nosotros llamarı́amos
una fracción propia. Por ejemplo, el número 2 es parte del número 6, pero el número 4 no
es parte sino partes del número 6.
12
a la unidad restante DF ; lo cual es absurdo. Luego G no es el mismo que
ninguno de los números anteriores A, B, C. Y se ha supuesto que es primo.
Por consiguiente, han sido hallados más números primos que la cantidad
propuesta de los números A, B, C.
2.3.
Demostración de Euclides con notación
actual
Lo primero señalar que Euclides no dice exactamente que haya infinitos
primos sino que “Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta
de números primos”. Es obvio que esto es similar a decir que hay infinitos
números primos, algo que no podı́a decir Euclides pues no manejaba el concepto de “infinito”. Una vez aclarado esto, veamos de nuevo la demostración
de Euclides, pero con una notación actual. Esta demostración es muy conocida y la podemos encontrar en cualquier sitio donde se hable de números
primos, por ejemplo en: [14], [15], [19] [24], [25].
Hay infinitos números primos
Demostración: Procederemos por reducción al absurdo. Suponemos que
existe un número finito de números primos y los ordenamos de forma que
p1 < p2 < · · · < pn . Sea A el siguiente número:
A = P1 · P2 · P3 · · · Pn + 1.
Claramente A es mayor que Pn y por tanto no puede ser un número primo,
pero sin embargo A no es divisible por ningún Pi con lo que A es un número
primo, ası́ que aquı́ está nuestra contradicción.
Una consideración sobre esta última demostración: Podemos pensar que, con esta demostración, tenemos un método de construcción de números primos. Es decir podemos pensar que todo número de la forma P1 · P2 · · ·
Pi + 1 es primo. Sin embargo esto no es cierto en general, ya que, el número
30031 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 no es primo porque 30031 = 59 · 509.
2.4.
Demostración de Hermite
Esta demostración y las que le siguen son bastantes similares a la que hizo
Euclides. Quisiera señalar que la demostración fue realizada por H. Brocard
13
en colaboración con Hermite. Esta demostración la podemos ver en [14], [19].
El artı́culo original que apareció publicado es [2].
Hay infinitos números primos
Demostración: Sea qn el divisor primo más pequeño de n! + 1 para
n = 1, 2, . . . Notemos que este número qn será más grande que n, y por tanto
tendremos una sucesión infinita de números primos qi . Ya que tenemos un qn
distinto para cada n.
2.5.
Demostración de Kummer
Esta demostración la podemos ver en [14], [19], [25].
Hay infinitos números primos
Demostración: Suponemos que sólo existen r números primos y los ordenamos de forma que p1 < p2 < · · · < pr . Sea N = p1 · p2 · · · pr ; entonces, el
número N − 1 deberı́a tener un divisor primo pi en común con N , pero eso
es imposible ya que pi | N y pi | N − 1 implicarı́a que pi | N − (N − 1), y
esto a su vez es igual a pi | 1, lo cual es absurdo.
2.6.
Demostración de Stieltjes
Para concluir este capı́tulo veremos la demostración de Stieltjes, la cual
también tiene cierta similitud a la de Euclides. Esta demostración ha sido
recogida de [14] y [25].
Hay infinitos números primos
Demostración: Suponemos que el conjunto de los números primos es
finito. Sea A el producto de todos ellos. A lo podemos reescribir como A =
m · n con m y n enteros positivos y tales que, para cada p primo, bien m
o n es dividido por p, pero p nunca dividirá a ambos. Sea ahora el número
B = m + n. Es claro que ningún número primo p puede dividir a B, y
que además B > 1, luego B es primo. Contradicción. En consecuencia, hay
infinitos números primos.
14
Capı́tulo 3
Números de Fermat y
Fibonacci
En este capı́tulo vamos a demostrar la existencia de infinitos números
primos mediante los números de Fermat y Fibonacci. Pero antes recordaremos
y probaremos alguna propiedad de estos números, pues estas propiedades
serán vitales para la demostración de Goldbach.
3.1.
Definición y propiedades
n
Definimos los números de Fermat de esta forma: Fn = 22 + 1 ∀n ∈ N.
Además tienen las siguientes propiedades:
Todos los números de Fermat son números impares. Esto es obvio por
como los hemos definido, al ser potencias de dos más uno, siempre serán
números impares.
Un número de Fermat es igual al producto de sus anteriores más 2. Es
decir, Fn = F0 ·F1 ·F2 · · · Fn−1 +2. Para ver esta propiedad procederemos
por reducción al absurdo:
1
• Para n = 1 tenemos F0 + 2 = 3 + 2 = 5 = 22 + 1 = F1 .
• Suponemos que es cierto para n − 1. Veamos que es cierto
para n:
F0 · F1 · F2 · · · Fn−1 + 2 = (Fn−1 − 2) · Fn−1 + 2
n−1
n−1
n−1
n−1
= (22 + 1 − 2) · (22 + 1) + 2 = (22 − 1) · (22 + 1) + 2
15
= (22
n−1
n
)2 − 1 + 2 = (22 ) + 1 = Fn .
Todos los números de Fermat son coprimos entre sı́. Veámoslo: Sean Fn
y Fm con n > m. Veamos que son coprimos. Por la propiedad anterior
tenemos Fn = F0 · · · Fm−1 · Fm · Fm+1 · · · Fn−1 + 2. Si hubiera un número
que dividiera a Fm y Fn , entonces ese número deberá dividir a 2. Ese
supuesto divisor de Fm y Fn no puede ser 2 pues los números de Fermat
son impares. Luego Fn y Fm no tienen ningún divisor (mayor que 1) en
común.
3.2.
Demostración de Goldbach
Aunque se usen los números de Fermat, esta prueba no corresponde a
Fermat, sino a Goldbach. Es otra demostración muy conocida y por eso
también se encuentra en numerosos libros y páginas web como [12], [14], [15],
[19], [24], [25], además de la demostración original que fue publicada en [8].
Hay infinitos números primos
Demostración: Cada número de Fermat Fn tendrá al menos un divisor
primo Pn . Como todos los números de Fermat son coprimos entre sı́, eso
significa que sus divisores primos son distintos. Ası́, por cada número de
Fermat que elijamos tendremos al menos un nuevo número primo. Como hay
infinitos números de Fermat (hay un número de Fermat por cada número
natural), tendremos infinitos números primos.
3.3.
Demostración con los números de Fibonacci
A partir de la demostración de Goldbach, es claro que si tenemos una sucesión infinita de números que sean coprimos entre sı́, tendremos otra prueba
más de la existencia de infinitos números primos. Aquı́ va otra demostración
que generaliza todo esto. Luego, lo aplicaremos a una sucesión de Fibonacci
para demostrar la existencia de infinitos números primos. Esta demostración
la podemos ver, por ejemplo, en [14].
Hay infinitos números primos
16
Demostración: Sea {an } una sucesión de números positivos, y que tienen la siguiente propiedad: si mcd(m, n) = 1 entonces mcd(am , an ) = 1.
Suponemos que hay una cantidad finita de números primos {p1 , p2 , . . . , pk },
cogemos los números de la sucesión ap1 , ap2 , . . . , apk , donde como mucho sólo
un api puede ser 1. Sean p, q ı́ndices en los que ap y aq tengan al menos dos
factores primos. Como todos los api son coprimos, entonces el producto de
todos ellos, ap1 · ap2 · · · ap · · · aq · · · apk , tendrá al menos k + 1 números primos,
pero es uno más que los que teniamos por hipótesis, luego ahı́ está nuestra
contradicción.
Para concluir esta demostración sólo nos falta encontrar una sucesión de
números {an } tales que, si mcd(m, n) = 1, entonces mcd(am , an ) = 1. Veamos
que una sucesión de Fibonacci cumple esto último.
Notemos que mcd(fm , fm+1 ) = 1, ya que, cada divisor común d de fm
y fm+1 , dividirá a su vez a fm−1 (por como se construyen los números de
Fibonacci) y por recurrencia llegamos a que d divide a fm−2 , fm−3 , . . . ,
f1 = 1.
Ahora cogemos n > m, y sea d un divisor común de fm , fn . Es fácil
comprobar por inducción que fn cumple
fn = fj+1 · fn−j + fj · fn−j−1
(j = 1, 2, 3, . . . , n − 2).
Si elegimos j = m, tenemos que d ha de dividir a fn y fm . Además, como
no puede dividir a fm+1 (pues mcd(fm , fm+1 ) = 1), entonces d tiene que
dividir a fn−m , y por recurrencia dividirá a fn−2m , fn−3m , . . . , f(n mód m) . Si
aplicamos el algoritmo de división a n y m, obtenemos una serie de qi y ai
(a0 = n y a1 = m), tales que:
n = mq0 + a2
m = a2 q1 + a3
a2 = a3 q2 + a2
···
aj−2 = aj−1 qj−2 + aj
···
as−2 = as−1 qs−2 + as
con as = 1, para j = 2, 3, . . . , s.
17
De este modo tenemos que aj−2 mód aj−1 = aj , y continuando llegamos
a que cada divisor de fn y fm deberá dividir a fa1 , fa2 , . . . , fas = f1 = 1.
Con lo que ya está demostrado que los números de Fibonacci cumplen que,
si mcd(m, n) = 1, entonces mcd(fm , fn ) = 1, y podemos concluir nuestra
demostración.
3.4.
Demostración de Harris
Esta demostración la podemos ver en [25], mientras que la original es [9].
Hay infinitos números primos
Demostración: Sean A0 , A1 , A2 números enteros y coprimos, y para n ≥
3 definimos, recursivamente, An = A0 A1 · · · An−3 An−1 + An−2 . Veamos por
inducción que A0 , A1 , . . . , An son coprimos. Para n = 3 es claro que A3 =
A0 · A2 + A1 es coprimo con A0 , A1 y A2 .
Para efectuar el paso de inducción, suponemos que es cierto para n − 1
y vamos a probarlo para n. Dado un i < n cualquiera, veamos que An y Ai
son coprimos. Empezamos en el caso i = n − 2. Vamos a escribir An según
su fórmula
An = A0 · · · Ai−1 Ai · · · An−3 · An−1 + An−2 ,
donde se ve que An y Ai son coprimos porque Ai es, por hipótesis de inducción, coprimo con An−2 . Para i = n − 2 se sigue un razonamiento similar,
sólo que en este caso lo que habrá que usar es que An−2 es coprimo con
A0 · · · An−3 · An−1 . Acabamos de ver que tenemos infinitos números coprimos
y por tanto hay infinitos números primos.
18
Capı́tulo 4
Dos demostraciones de Euler
En este capı́tulo veremos una demostración de Euler, un poco extraña ya
que lo que haremos es calcular la serie de los inversos de los números primos. Para entender mejor la demostración tenemos que introducir/recordar
algunos conceptos.
4.1.
Definiciones
Veamos las siguientes definiciones:
Función aritmética: Es una función definida sobre los números naturales y que va a parar a los números reales o complejos.
Aditiva: Una función aritmética (no nula), decimos que es aditiva, si
f (m · n) = f (m) + f (n), siempre que mcd(n, m)=1.
Multiplicativa: Una función aritmética (no nula), decimos que es multiplicativa si f (m · n) = f (m) · f (n), siempre que mcd(n, m) = 1.
Completamente aditiva: Una función aritmética es completamente
aditiva si f (m · n) = f (m) + f (n), ∀n, m ∈ N.
Completamente multiplicativa: Una función aritmética es completamente multiplicativa si f (m · n) = f (m) · f (n), ∀n, m ∈ N.
Producto de Dirichlet: Dadas f y g funciones aritméticas,
defini
n
mos su producto de dirichlet como (f ∗ g)(n) =
f
(d)
·
=
d|n
d
a·b=n f (a) · g(b).
19
Notemos que este producto es conmutativo.
4.2.
Teorema básico sobre funciones multiplicativas
Vamos a ver un teorema que utilizaremos más adelante en este capı́tulo.
Teorema: Sean f y g dos funciones aritméticas. Entonces,
f y f ∗ g multiplicativas ⇒ g multiplicativa.
Demostración: Vamos a probarlo por inducción sobre el producto
m · n; probaremos que, cuando mcd(m, n) = 1, se cumple g(m · n) =
g(m) · g(n). Si m · n = 1, entonces n = m = 1. Como f y f ∗ g
son multiplicativas, se tiene que f (1) = 1 y (f ∗ g)(1) = 1. Luego
1 = (f ∗ g)(1) = f (1) · g(1) = g(1). De aquı́,
g(m · n) = g(1) = 1 = g(m) · g(n).
Sean ahora m, n con mcd(m, n) = 1 y m · n > 1. Por hipótesis de
inducción, asumamos que, para a · b < m · n con mcd(a, b) = 1, el
resultado es cierto (es decir, que g(a · b) = g(a) · g(b)). Entonces,
(f ∗ g)(m) · (f ∗ g)(n) = (f ∗ g)(m · n) =
=
f (a) · f (b) · g
a|m
b|n
a·b>1
=
a|m
b|n
f (a) · f (b) · g
m
a
m
a
f (a · b) · g
a|m
b|n
·g
·g
n
b
n
b
m n
·
a b
+ g(m · n)
− g(m) · g(n) + g(m · n)
= (f ∗ g)(m)(f ∗ g)(n) − g(m) · g(n) + g(m · n),
luego g(m · n) = g(m) · g(n), tal como se querı́a demostrar.
20
4.3.
Funciones aritméticas y una demostración de Euler
Veamos algunas funciones aritméticas con especial relevancia y que las
usaremos en nuestras demostraciones futuras.
Función unidad: La función unidad u(n) se define como
u(n) = 1 para todo n ∈ N.
Función N a : Definimos la función N a (n) como
N a (n) = na para todo n ∈ N.
Funcion de Möbius: La función de Möbius μ(n) se define como
⎧
⎪
si n = 1,
⎨1
k
μ(n) = (−1)
si n es una multiplicación de k primos diferentes,
⎪
⎩
0
otro caso.
Función Phi: La función phi o Phi de Euler ϕ(n) se define como
ϕ(n) = cardinal de {m ∈ N | m ≤ n y mcd(n, m) = 1}.
Redactado con palabras, estamos diciendo que Phi de n es el número
de enteros, positivos menores o iguales que n, que son a su vez coprimos
con n.
Propiedades:
• ϕ(p) = p − 1 con p primo. Es obvio por la definición de primo y
coprimo.
• ϕ(pk ) = (p − 1) · pk−1 si p es primo.
Como p es un número primo, el mcd(pk , m) será igual a alguno
de estos valores 1, p, p2 , . . . , pk . Además si m es un múltipilo de p,
entonces el mcd(pk , m) = 1, y sino es 1. Notemos que la cantidad
de esos múltiplos de p menores o iguales que pk son p, 2 · p, 3 ·
p, . . . , pk−1 ·p = pk . Luego hay pk−1 números que no son coprimos
con pk , y por tanto la cantidad de números que son coprimos con
pk (esto es igual a su función ϕ) serán
ϕ(pk ) = pk − pk−1 = (p − 1) · pk−1 .
21
• Se cumple N = ϕ ∗ u, es decir,
n=
ϕ(d).
d|n
Para cada d | n, sea Ad = {k ∈ N : 1 ≤ k ≤ n, mcd(k, n) =
d}.
Nótese que los conjuntos Ad son disjntos y que su unión es
d|n Ad = {1, 2, . . . , n}. Además,
k
k
n
k n
k ∈ Ad ⇔
∈ N, 1 ≤ ≤ , mcd
,
= 1.
d
d
d
d d
Ası́ que la aplicación
Ad → {q ∈ N : 1 ≤ q ≤ n/d, mcd(q, n/d) = 1}
k → k/d
es biyectiva. Entonces, card(Ad ) = ϕ(n/d) y
n card(Ad ) =
ϕ
ϕ(d).
n=
=
d
d|n
d|n
d|n
• La función ϕ(n) es multiplicativa.
Notemos que es obvio que las funciones u y N son multiplicativas.
Como N = ϕ ∗ u = u ∗ ϕ, si aplicamos el teorema visto en 4.2, se
obtiene que ϕ es multiplicativa.
• Se cumple ϕ(n) = n · p|n (1 − p1 ).
Como la función ϕ es multiplicativa, por el teorema fundamental
k
de la aritmética n = pk11 · pk22 · · · pj j , entonces
k
k
ϕ(n) = ϕ(pk11 · pk22 · · · pj j ) = ϕ(pk11 ) · ϕ(pk22 ) · · · ϕ(pj j )
1
1
1
k
k1
k2
= 1−
· p1 · 1 −
· p2 · · · 1 −
· pj j
p1
p2
pj
1
1
1
kj
k1 k 2
= p1 p2 · · · p j 1 −
1−
··· 1 −
p1
p2
pj
1
1
1
=n 1−
1−
··· 1 −
p1
p2
pj
1
.
=n
1−
p
p|n
22
4.4.
Identidad de Euler
Antes de ver la demostración de Euler tenemos que probar la siguiente
propiedad.
Identidad de Euler. Sea f una función multiplicativa tal que la serie
n f (n) es absolutamente convergente. Entonces,
∞
f (n) =
n=1
(1 + f (p) + f (p2 ) + · · · ).
(4.1)
p
Y si f es completamente multiplicativa, se tiene
∞
f (n) =
n=1
p
1
.
1 − f (p)
(4.2)
Demostración: Primero veamos que de (4.1) podemos probar (4.2). Si f
es completamente multiplicativa entonces f (pk ) = f (p)k y por (4.1) y usando
la serie geométrica, se tiene:
1 + f (p) + f (p2 ) + · · · = 1 + f (p) + f (p)2 + · · · =
1
.
1 − f (p)
Sólo nos queda por probar (4.1).
Para cada número real x ≥ 2, cogemos el producto
P (x) =
(1 + f (p) + f (p)2 + · · · ),
p≤x
(4.3)
donde cada factor es una serie. Como n f (n) es absolutamente convergente,
en (4.3) podemos multiplicar y reordenar términos con total libertad; además,
como f es multiplicativa, tenemos
f (pa11 ) · f (pa22 ) · · · f (pakk ) = f (pa11 · pa22 · · · pakk ).
Si cogemos Ax como
Ax = {n ∈ N | todos los factores primos de n que son ≤ x} ,
podemos reescribir P (x) como P (x) = n∈Ax f (n) y
∞
f (n) − P (x) =
n=1
n∈Bx
23
f (n),
donde Bx = N \ Ax es el conjunto de los enteros positivos que tienen algún
factor primo mayor que x. Por tanto,
∞
f (n) − P (x) = f (n) ≤
|f (n)| ≤
|f (n)| .
n=1
Como, por hipótesis,
n∈Bx
∞
n=1
n∈Bx
n>x
|f (n)| es convergente, podemos asegurar que
|f (n)| → 0
n>x
cuando x → ∞. Luego P (x) →
sigue (4.1).
4.5.
∞
n=1 f (n)
cuando x → ∞, de donde se
Demostración de Euler
Esta demostración es mucho más potente que el teorema
1 buscado “hay
infinitos números primos”. Lo que dice es que la serie p p = ∞. Notemos
que la divergencia de la serie implica que hay infinitos números primos, ya
que si los números primos fuesen finitos entonces la serie serı́a convergente.
Esta demostración y la anterior demostración de la identidad de Euler
han sido recogidas de [21], aunque la podemos ver en numerosos sitios como
[1], [25]. La fuente original la podemos encontrar en [5].
Teorema: La serie de los inversos de los números primos es divergente,
es decir
1
= ∞.
p
p
Demostración: Empezaremos usando la función Zeta de Riemann,
∞
1
,
ζ(s) =
ns
n=1
s > 1,
y le aplicamos la identidad de Euler (como s > 1, la serie es convergente y
podemos aplicar la identidad de Euler)
−1
∞
1
1
1
ζ(s) =
=
=
,
1− s
ns
p
1 − p1s
n=1
p
p
24
s > 1.
Si tomamos logaritmos nos queda
∞
1
1
log 1 − s ,
log
=−
ns
p
n=1
p
s > 1.
Por otro lado, notemos que 0 ≤ − log(1 − x) ≤ x + x2 cuando 0 ≤ x ≤ 1/2;
y podemos decir que − log(1 − x) = x + R(x) para alguna función R(x) tal
que |R(x)| ≤ x2 cuando 0 ≤ x ≤ 1/2. Escribimos ahora
∞
1 1
1
+
R
,
(4.4)
=−
log
s
s
s
n
p
p
n=1
p
p
y hacemos tender s → 1; entonces el segundo sumando converge sin ningún
problema, porque
p
−s
|R(p )| ≤
∞
p
−2s
p
≤
∞
m−2s < ∞
m=1
para todo s > 1/2. Pero n=1 n−s → ∞ cuando s → 1, ya que la serie
∞
−1
es divergente.
n=1 n
Ası́, la única posibilidad para que (4.4) sea cierta
cuando s → 1 es que p p−1 = ∞.
4.6.
Otra demostración de Euler con la función ϕ
Esta demostración la podemos ver en [14]. La demostración original [6]
fue publicada por la editorial Petropolis en una obra póstuma.
Hay infinitos números primos
Demostración: Suponemos que los números primos son finitos (exactamente k). Sea A el producto de todos ellos. Entonces su función phi de Euler
será
k
ϕ(A) =
(pi − 1) ≥ 2 · 4 · · · > 2.
i=1
De esto tenemos que deberá existir un número entero a perteneciente al
intervalo [2, A], que será coprimo con A. Luego a será un nuevo primo, con
lo que hemos llegado a un absurdo.
25
Capı́tulo 5
Tres demostraciones perdidas
Las tres demostraciones que vienen a continuación son demostraciones
las cuales pasaron prácticamente desapercibidas hasta que fueron publicadas
por Dickson en [3].
5.1.
Demostración de Perott
Esta demostración está fechada en 1881 y la podemos ver en [3], [14],
[19], [25].
Hay infinitos números primos
Demostración: Para empezar nuestra demostración veremos que la se
2
rie ∞
n=1 (1/n ) es convergente y menor que dos (de hecho, la serie es muy
conocida, ası́ como su suma π 2 /6). En efecto,
∞
∞
∞ 1
1
1
1
<1+
=1+
−
= 1 + 1 = 2.
n2
n(n + 1)
n n+1
n=1
n=1
n=1
Ahora suponemos que los números primos son finitos p1 , p2 , . . . , pr . Sea N
un número tal que p1 · p2 · · · pr < N. Si definimos m < N como la cantidad
de números que no pueden ser divisibles por un número al cuadrado, esa
cantidad es m = 2r , la cual coincide con todos los posibles conjuntos de
primos distintos. Si definimos ahora k < N como la cantidad de números
que pueden ser divisibles por p2i , esa cantidad será mayor o igual que N/p2i ,
26
para cada número primo pi . Luego en total tendremos ri=1 (N/p2i ). Y, por
tanto,
∞
r
1
N
N ≤ 2r +
< 2r + N ·
− 1 = 2r + N (1 − δ), con δ > 0.
2
2
p
n
n=1
i=1 i
Si elegimos un N tal que N δ > 2r , entonces llegamos a contradicción,
∞
r
1
N
N ≤ 2r +
< 2r +N ·
− 1 = 2r +N (1−δ) = 2r −N δ+N = N −a
2
2
p
n
n=1
i=1 i
donde a = N δ −2r es siempre positiva ya que N δ > 2r . Resumiendo, tenemos
N <N −a
con a > 0,
lo cual es absurdo.
5.2.
Demostración de Auric
Esta demostración la podemos encontrar en [3], [19], [25].
Hay infinitos números primos
Demostración: Suponemos que sólo existen r números primos y los ordenamos tales que p1 < p2 < · · · < pr . Sea t un entero positivo cualquiera y
sea N = ptr . Cada número m < N , por el teorema de la factorización única
tendrá esta forma:
m = pf11 pf22 · · · pfrr ,
con fi ≥ 0, para todo i ≤ r,
y con una secuencia definida única (f1 , f2 , . . . , fr ), para cada m.
Notemos que se cumple que pf1i ≤ pfi i ≤ m ≤ N = ptr para i = 1, 2, . . . , r.
Si tomamos logaritmos tenemos la desigualdad fi ≤ tE, donde E = log pr / log p1 .
Además, el número N es, como máximo, el número de secuencias (f1 , f2 , . . . , fr );
y por tanto ptr = N < (fi + 1)r ≤ (t · E + 1)r < tr (E + 1)r . Notemos que si
t → ∞, entonces tr (E + 1)r /ptr → 0, lo que implica que cuando t es grande
entonces ptr > tr (E + 1)r , con lo que ya hemos encontrado una contradicción.
27
5.3.
Demostración de Métrod
Esta demostración está en [3], [14], [19].
Hay infinitos números primos
Demostración: Suponemos que sólo existen r números primos y los ordenamos de la siguiente manera: p1 < p2 < · · · < pr . Sea N = p1 · p2 · · · pr .
Sean los siguientes números Qi = N/pi . Cada Qi será divisible
r por todos los
números primos salvo por pi . Sea ahora el número s = i=1 Qi . Notemos
que entonces no existe ningún primo que divida a S, ya que cada número
primo pi dividirá a cada sumando Qj a excepción del sumando Qi , y como
esto ocurre con todos los sumandos y números primos, significa que S es un
número primo, lo cual es absurdo.
28
Capı́tulo 6
Demostraciones algebraicas
En este capı́tulo veremos dos demostraciones que se basan en el álgebra. La primera hace uso de los grupos, mientras que la segunda utiliza los
dominios de Dedekind.
6.1.
Teorema de Lagrange
Antes de empezar las dos demostraciones, necesitamos probar el teorema
de Lagrange y un lema adicional que nos ayudará a demostrar dicho teorema.
Esta demostracion del teorema de Lagrange la podemos encontrar en [26].
Lema: Sea H un subgrupo de G. Entonces las clases laterales izquierdas
σH tienen el mismo cardinal que H.
Demostración: Sea σH una clase lateral izquierda. Definimos la siguiente función:
fσ : σH → H
σh → h.
Veamos que fσ es inyectiva. Si fσ (σh) = fσ (σh ) entonces h = h , y por tanto
σh = σh . También es sobreyectiva porque, para cada h ∈ H, tendremos
un elemento σh ∈ σH para el cual fσ (σh) = h. Luego fσ es biyectiva y en
consecuencia |σH| = |H|.
Teorema de Lagrange: Sea G un grupo finito de orden n y sea H ⊆ G
un subgrupo. Entonces, el orden de H divide al orden de G.
Demostración: Sea K = |H| el orden de H. Consideramos la colección
de todas las clases laterales de izquierdas σH de H en G. Como G es finito
es claro que sólo hay un número finito de clases laterales izquierdas; sea q el
29
número de clases laterales izquierdas de H en G y sean
σ1 H, σ2 H, . . . , σq H,
q clases laterales. Como las clases de equivalencia de cualquier relación de
equivalencia forman una partición del conjunto, se tiene que las clases laterales izquierdas σH forman una partición de G. En particular son disjuntas
por pares y su unión es todo G. Por tanto tenemos
n = |G| =
q
|σj H|.
(6.1)
j=1
Si aplicamos el lema anterior, todas las clases laterales σi H tienen el mismo
cardinal que H, luego |σi H| = |H|. Sustituimos esto en (6.1) y tenemos
n = |G| =
q
j=1
|σj H| =
q
|H| =
j=1
q
k = kq,
j=1
y por tanto k divide a n, que era lo que querı́amos demostrar.
6.2.
Demostración anónima
Esta demostración ha sido sacada de [1] y [15].
Hay infinitos números primos
Demostración: Suponemos que el conjunto de los números primos es
finito, y sea p el número primo más grande de todos ellos. Sea x = 2p − 1.
Claramente x tiene que ser más grande que p, luego x no puede ser primo (si
fuera primo darı́a lugar a una contradicción y ya habrı́amos acabado).
Ası́ que x debe ser un número compuesto (es decir, existe algún número
distinto de uno y de él mismo que lo divide). Sea q uno de sus divisores
primos. Si q divide a 2p − 1, es equivalente a decir que 2q es congruente con
1 módulo q, y lo reescribimos como
2p ≡ 1 (mód q).
(6.2)
Volvemos ahora a los grupos (Z∗q , ·) con q primo, y recordamos que este grupo
tendrá exactamente (q − 1) elementos. Pero, si observamos (6.2), vemos que
30
el orden del elemento 2 es p, pues al multiplicar 2 consigo mismo p veces se
obtiene el 1. Es más, podemos asegurar que no existe existe ningún número
menor que p que cumpla la congruencia. Sea un número más pequeño r tal que
2r ≡ 1 (mód q). Si operamos la clase del dos 2 consigo misma 2r, 3r, . . . , kr
veces, volveremos a la unidad, después de repetir órbitas de exactamente r
pasos. Luego r múltiplos nos llevararán a la unidad. Resumiendo, tenemos
dos posibilidades:
1. El orden de 2 es p.
2. El orden de 2 es un divisor de p.
Como p es primo no tiene divisores, ası́ que el orden de 2 debe ser p. Aplicamos
ahora el teorema de Lagrange. Nos dice que el orden de un elemento (p en
este caso) es un divisor del orden del grupo Z∗q , luego p ha de dividir a (q −1).
Pero para que esto ocurra p debe ser menor que q, y p era por hipótesis el
primo más grande que habı́a. Luego acabamos de encontrar un número primo
mayor que p, y aquı́ esta nuestra contradicción.
6.3.
Demostración de Washington
La demostración de Washington la podemos ver en [19]; además, nos da
información sobre la fuente original [22].
Antes de la demostración recordaremos tres proposiciones, que serán importantes para la demostración:
(a) En todos los conjuntos de números (con grado finito), su anillo de
enteros será un dominio de Dedekind, esto es: todo ideal no nulo es
producto de ideales primos.
(b) En todos los conjuntos de números (con grado finito), hay un número
finito de ideales primos que dividen al número primo p.
(c) Un dominio de Dedekind con una cantidad finita de ideales primos es
un dominio de ideales principales. Por tanto es dominio de factorización
única.
Hay infinitos números primos
31
Demostración:
Consideramos el conjunto de todos los√números con la
√
forma: {a + b −5 | a, b ∈ Q}. Por tanto el anillo {a + b −5 | a, b ∈ Z}
deberı́a ser un DIP, por la proposicion (a). Veamos que
√ no es DIP
√ (para
ello veremos que no es DFU). Es fácil ver que 2, 3, 1 + −5, 1 − −5, son
elementos irreducibles en dicho anillo. Sin embargo el anillo no es DFU ya
que
√
√
6 = 2 · 3 = (1 + −5) · (1 − −5).
Como 6 no tiene una factorización única de elementos irreducibles, se tiene
que el anillo no es DFU y por tanto no es DIP, con lo cual, si vamos a la
proposición (c), llegamos a que tiene que haber infinitos ideales primos, y
por tanto (por (b)) existen infinitos números primos.
32
Capı́tulo 7
Demostraciones sin catalogar
En este capı́tulo empezaremos con una demostración, la cual utiliza las
transformadas de Möbius y de Dirichlet. Veremos las definiciones de estas
transformadas y un lema que será necesario para nuestra demostración. Esta
primera parte incluida la demostración de Pollack ha sido recogida de [18].
7.1.
Definiciones y lema
En el capı́tulo de Euler hemos visto la función de Möbius, además de las
funciones aritméticas. Aquı́ veremos otras definiciones relacionadas:
Transformada de Möbius
Dada f una función aritmética, definimos su transformada de Möbius
fˇ como
n
μ
f (d).
fˇ(n) =
d
d|n
Transformada de Dirichlet
Dada f una función aritmética, definimos su transformada de Dirichlet
fˆ como
f (d).
fˆ(n) =
d|n
ˇˆ
Decimos que estas transformadas son inversas ya que f = fˆˇ = f.
33
Lema. Si f es una función aritmética y no nula, entonces los soportes de
f y fˇ no pueden ser ambos finitos.
Demostración: Procederemos por reducción al absurdo, suponemos que
ambos soportes son finitos (f y fˇ). Sea
F (z) =
∞
f (n)z n .
n=1
La función F será entera. Por otro lado, para |z| < 1, tenemos
⎛
⎞
∞
∞
n
ˇ
⎝
⎠
F (z) =
f (d) z =
fˇ(d)(z d + z 2d + z 3d + · · · )
n=1
d=1
d|n
(7.1)
∞
zd
.
=
fˇ(d)
d
1
−
z
d=1
Notemos que el intercambio del sumatorio puede hacerse porque
∞ n=1 d|n
|fˇ(d)| · |z n | ≤ A
∞
n · |z|n = A
n=1
|z|
< ∞,
(1 − |z|)2
con A = máxd=1,2,3,... |fˇ(d)|.
Además, f no es la función nula ni fˇ. Sea D el número natural más
grande para el cual se cumple fˇ = 0. Si volvemos a (7.1), vemos que F
será una función racional en el polo z = e2πi/D , lo cual contradice que F es
una función entera.
7.2.
Demostración de Pollack
Hay infinitos números primos
Demostración: Suponemos que los números primos son finitos. Entonces
también habrá un número finito de productos de primos distintos; es decir, μ
tiene soporte finito. Pero μ = fˇ, donde f es una función que cumple f (1) = 1
y f (n) = 0 para n > 1. Luego f y fˇ tienen soportes finitos, pero esto es
contrario al lema que acabamos de ver, y hemos llegado a contradicción.
34
7.3.
Demostración de D. G. Mixon
Esta demostración la podemos ver en [11].
Hay infinitos números primos
Demostración: Suponemos que los números primos son finitos y hay
exactamente N , 2 = p1 < p2 < ··· < pN . Sea k un número natural que cumple
2k > (k + 1)N . Sea la función f : {1, 2, . . . , 2k } → {0, . . . , k}N definida como
f (x) = (k1 , . . . , kN ), donde x = pk11 · · · pkNN es la factorización en números
primos de x. Comprobemos que f está bien definida, y para ello veamos que
que k ≥ máx(k1 , k2 , . . . , kN ).
Del hecho f (x) ∈ {0, . . . , K}N se obtiene
k ≥ log2 x =
N
kn log2 pn ≥
n=1
N
kn ≥ máx(k1 , . . . , kN ).
n=1
Además f es inyectiva por el teorema fundamental de la aritmética, lo cual
contradice al principio del palomar.
35
Capı́tulo 8
Demostración topológica
En este capı́tulo veremos una demostración totalmente diferente a las
vistas anteriormente. Aunque para todos los matemáticos la topologı́a es
algo bastante conocido, puede sorprender que haya una prueba topológica
en un texto en el que la mayorı́a son demostraciones de análisis. Creo que
vienen bién recordar algunas nociones básicas de topologı́a.
Estas definiciones las podemos encontrar en cualquier libro sobre topologı́a, yo he elegido [20].
8.1.
Definiciones básicas de topologı́a
A continuación veamos la definición de espacio topológico y dos ejemplos
que nos ayudarán a entender mejor estos conceptos.
Espacio topológico: Un espacio topológico es un par (X, τ ) donde X es
un conjunto y τ es una colección de subconjuntos de X, llamados abiertos,
y que satisfacen los siguientes axiomas:
El conjunto vacı́o y el total X están en τ :
∅, X ∈ τ.
Toda unión de subconjuntos de τ están en τ :
Xi ∈ τ.
(∀i ∈ I, Xi ∈ τ ) ⇒
i∈I
36
La intersección de cualquier número finito de subconjuntos de τ está en τ :
Xi ∈ τ.
(∀i ∈ I con I finito, Xi ∈ τ ) ⇒
i∈I
Ası́ mismo, recordemos la siguientes definiciones (es fácil comprobar que
son equivalentes):
Subconjunto cerrado: Decimos que un subconjunto es cerrado, si su
complentario es abierto.
Base de abiertos: Sea el espacio topológico (X, τ ) y B una colección
de subconjuntos de X. Diremos que B es una base de abiertos si verifica
que todo abierto de la topologı́a τ puede expresarse como una unión
de elementos de B.
Definición alternativa para base de abiertos: Decimos que B es
una base de la topologı́a τ si, para todo punto p contenido en un abierto
U , existe un elemento b ∈ B tal que p ∈ b ⊂ U.
Continuaremos con dos sencillos ejemplos que nos ayudarán a entender
qué es una topologı́a:
X = {0, 1} y τ = {∅, {0} , {0, 1}}. Es fácil ver que (X, τ ) es un espacio
topológico. Notemos que {∅, X, {0}} serán los subconjuntos abiertos, y
{∅, X, 1} serán los subconjuntos cerrados.
X = Z y τ = {∅, Z, 2Z}. Aquı́ los subconjuntos abiertos son {∅, Z, 2Z}.
Y los subconjuntos cerrados serán: {∅, Z, A} donde A = {1 + 2k | k ∈
Z}.
8.2.
Demostración de Fürstenberg
Esta demostración la podemos encontrar en múltiples lugares como [1],
[13], [14], [19]. La demostración original se puede ver en [7].
Hay infinitos números primos
37
Demostración: Definimos una topologı́a en el conjunto de los enteros
Z, llamado espacio topológico entero, a partir de una base de abiertos. Los
elementos de la base de abiertos son las sucesiones aritméticas S(a, b) dadas
por
S(a, b) = {an + b | n ∈ Z} = aZ + b
(nótese que, por definición de base de abiertos, la unión de dichos abiertos
también será un abierto).
Si aplicamos la “definición alternativa” de base de abiertos, tenemos que
U es abierto si y sólo si es el vacı́o o cada x ∈ U admite algún entero a
distinto de cero tal que S(a, x) ⊆ U . Veamos que esto es una topologı́a, es
decir, que efectivamente cumple los axiomas:
Axioma 1: El ∅ es abierto y Z es igual a la sucesión S(1, 0), luego
también es abierto.
Axioma 2: Cualquier unión de abiertos es abierto. Dado un número
x para cada subconjunto
un número ai tal que
abierto Ui , existirá
S(ai , x) ⊆ Ui , por tanto i∈I S(ai , x) ⊆ i∈I Ui .
Axioma 3: La interseción de dos abiertos (y ası́ un número finito
de
ellos) es abierto. Sean U1 y U2 subconjuntos abiertos. Sea x ∈ U1 U2
(con los números a1 y a2 respectivamente). Cogemos a como el mı́nimo
cumún múltiplo dea1 y a2 , entonces tenemos que S(a, x) ⊆ S(ai , x) ⊆
Ui ⇒ S(a, x) ⊆ U1 U2 .
Esta topologı́a tiene dos propiedades:
(a) Ningún abierto (menos el vacı́o) puede ser un conjunto finito. Esto
se debe a que S(a, b), con a = 0, siempre será una sucesión infinita.
Además se tiene que el complementario de un conjunto finito no puede
ser cerrado.
(b) Los subconjuntos S(a, b) son abiertos (por definición) y cerrados. Esto
es ası́ porque podemos escribir S(a, b) como el complementario de una
unión de subconjuntos abiertos,
S(a, b) = Z \
a−1
j=1
38
S(a, b + j).
Notemos que los únicos números que no son múltiplos de números primos
son −1 y +1. Es decir
Z \ {−1, +1} =
S(p, 0).
(8.1)
p primo
Por la propiedad (a), p primo S(p, 0) no puede ser cerrado ya que su complementario es un conjunto finito. Por otro, lado según la propiedad (b),
los subconjuntos S(p, 0) son cerrados. Ası́, si hubiera una cantidad finita de
números primos, en (8.1) tendrı́amos unaunión finita de subconjuntos cerrados, y esa unión será cerrada. Luego p primo S(p, 0) es cerrado, lo cual
acabamos de ver que es absurdo por (a).
39
Capı́tulo 9
Demostración de Whang
Esta demostración es bastante moderna (2010). Antes necesitamos probar
la identidad de Legendre. La demostración de la identidad de Legendre ha
sido sacada de [21], mientras que la demostración de Whang ha sido extraı́da
de [23].
9.1.
La identidad de Legendre
Identidad de Legendre: Para todo n entero positivo, se tiene
pα(n,p) ,
n! =
p≤n
con
∞ n
α(n, p) =
=
m
p
m=1
∞
n
.
m
p
log(n)
m≤ log(p)
Demostración: Es obvio que n! tiene esta forma: n! = p≤n pα(n,p) ; luego
lo único que tenemos que hacer es identificar a los exponentes α(n, p). Notemos que n/pm = 0, cuando pm > n, es decir, cuando m > log(n)/ log(p).
Como n! = 1 · 2 · · · n, cada divisor primo p de n! (lógicamente debe ser
p ≤ n) tendrá un exponente que se calculará ası́:
Cada factor de la forma k · p, con 1 ≤ k ≤ n/p para que kp ≤ n, nos
dará un factor p.
40
Cada kp2 , con 1 ≤ k ≤ n/p2 , nos proporcionará otro factor p, además
del que ya tenı́amos.
Cada kp3 , con 1 ≤ k ≤ n/p3 , nos dará otro más, además de los
anteriores.
m
Y ası́ sucesivamente llegamos a que en total son ∞
m=1 n/p .
9.2.
Demostración de Whang
Hay infinitos números primos
Demostración: Sea k un número entero positivo. Por la identidad de
Legendre tenemos
k! =
pα(k,p) ,
p≤k
con
Además,
∞ k
α(k, p) =
.
pm
m=1
∞ ∞
k
k
k
α(k, p) =
< k.
=
<
m
m
p
p
p−1
m=1
m=1
Notemos que si los números primos son finitos, entonces
( p p)k
lı́m
= 0,
k→∞
k!
lo cual es imposible, ya que si usamos la identidad de Legendre tenemos
k
( p p)k
( p p)k
pp
pk−α(k,p) ,
= lı́m α(k,p) = lı́m α(k,p) = lı́m
lı́m
k→∞
k→∞
k→∞
k→∞
k!
p
p
p
p
p
y ese lı́mite no puede ser 0 debido a la desigualdad α(k, p) < k. Por tanto
hemos encontrado una contradicción.
41
Capı́tulo 10
Dos demostraciones con acento
latino
Para finalizar, vamos a ver un par de demostraciones hechas por el profesor argentino J.P. Pinasco. Fueron publicadas en The American Mathematical Monthly en 2009. Más concretamente las podemos encontrar en [16] o
también directamente a través de su página web [17].
10.1.
Primera demostración de Pinasco
Hay infinitos números primos
Demostración: Suponemos que los números primos son finitos y están
ordenados de la siguiente forma p1 < p2 < · · · < pN . Definimos la siguiente
sucesión de números por recurrencia:
a0 = 0,
ak+1 = ak +
1 − ak
.
pk+1
Notemos que para el término N la recurrencia dará:
1 1
1
1
aN =
−
+
− · · · + (−1)N +1
.
p
p
p
p
p
p
p
·
·
·
p
i
i
j
i
j
k
1
N
i
i<j
i<j<k
Además aN puede escribirse como
aN = 1 −
N i=1
42
1
1−
pi
.
Y esto implica que 0 < aN < 1.
Para cualquier x ≥ 1, sea Ai , con i = 1, 2, . . . , N, el conjunto de los enteros
[1, x] que son divisibles por pi . Por tanto, el número de enteros positivos en
[1, x] se obtiene usando
el principio de inclusion-exclusión, para encontrar la
N
cardinalidad de i−1 Ai :
x x x x
N +1
x = 1+
−
+
−· · ·+(−1)
.
pi
pi pj
pi pj pk
p1 p2 · · · pN
i
i<j
i<j<k
Notemos que
x
1
= .
t
t
Ahora, si multiplicamos la expresión de x por x−1 y hacemos tender x → ∞,
encontraremos una contradicción,
lı́m x
−1
x→∞
1 > aN =
10.2.
1 1
1
1
−
+
− · · · + (−1)N +1
= 1.
p
p
p
p
p
p
p
·
·
·
p
i
i
j
i
j
k
1
N
i
i<j
i<j<k
El dos por uno de Pinasco
Hemos visto, en la demostración de Euler, que otra forma
∞ de probar que
los números primos son infinitos es demostrar que la serie i=1 (1/pi ) diverge.
Eso es lo que haremos en este caso.
Teorema: La serie de los inversos de los números primos es divergente,
es decir,
1
= ∞.
p
p
Demostración: A partir de lo visto en la sección 10.1, notar que la
densidad asintótica D(p1 , . . . , pN ) del conjunto de los enteros que no son
divisibles por ninguno de los primos p1 , . . . , pN es, exactamente,
D(p1 , . . . , pN ) = aN =
1 1
1
−
+
pi
pp
pi pj pk
i
i<j i j
i<j<k
− · · · + (−1)N +1
43
1
.
p1 · · · pN
Esto es equivalente a
1 − aN = D(p1 , . . . , pN ) =
N j=1
1
1−
pi
.
Ahora cogemos D como D = lı́mN →∞ D(p1 , . . . , pN ) y tomamos logaritmos,
1
log lı́m D(p1 , . . . , pN ) =
log 1 −
.
N →∞
p
p
convergerá si D > 0, y será divergente si D = 0. Luego p (1/p)
converge si y sólo si p log 1 − p1 converge.
Queremos ver que D = 0.
Sea 0 < <D y elegimos N suficientemente grande para que <
D(p1 , . . . , pN ) y p>pN p1 < . De este modo, la densidad asintótica de los
enteros que no son divisibles por ninguno de los primos p1 , . . . , pN , estará acotada inferiormente por . Sin embargo, esos enteros deben ser divisibles por
algún primo
p > pN , por lo que su densidad deberá estar acotada superiormente por p>pN p1 , que es menor que . Luego obtenemos
La serie
1
p p
< D(p1 , . . . , pN ) <
1
< ,
p
p>p
N
lo cual es absurdo, y por tanto D = 0 y la serie diverge.
44
Conclusiones
En este documento nos hemos encontrado con una recopilación de demostraciones sobre la infinitud de los números primos, como su propio tı́tulo
indicaba. En primer lugar hemos visto una introducción algebraica, en la cual
hemos definido qué es un número primo. Después comienza la recopilación
con la demostración de Euclides, que es la primera demostración conocida,
además de otras demostraciones parecidas a la suya como las de Hermite,
Kummer y Stieltjes. En general hemos podido ver más de 20 demostraciones
que hemos agrupado bien por autor, como las de Euler y Pinasco (capı́tulos 4
y 10), bien por el tipo de demostración, como las de Goldbach, Fibonacci,
Harris, Washington (capı́tulos 3 y 6). Otras demostraciones fueron lo suficientemente importantes y/o extensas para tener su propio capı́tulo, como las de
Fürstenberg y Whang (capı́tulos 8 y 9). También pudimos ver otras demostraciones difı́cilmente catalogables, como las Perott, Auric, Métrod, Pollack
y Mixon (capı́tulos 5 y 7). Por último hemos incluido las referencias que han
sido utilizadas para la realización de este proyecto. Además, a lo largo de la
memoria hemos reseñado numerosas referencias a las fuentes originales.
45
Bibliografı́a
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Springer (2010).
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Sala, revisión técnica de Lorenzo Abellanas Rapun, 2a edición, Madrid,
McGraw-Hill (1992).
46
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Mathematical Monthly 119, página 811 (2012).
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la-infinitud-de-los-numeros-primos-y-fermat/ (29-08-2006).
[13] M.
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Gaussianos,
http://gaussianos.com/
demostracion-topologica-de-la-infinitud-de-los-numeros-primos/
(06-10-2008).
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[15] T. Petros, Historias matemáticas, http://tiopetrus.blogia.com/
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Mathematical Monthly 116, páginas 172–174 (2009).
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//mate.dm.uba.ar/~jpinasco/pub/jpp-amm.pdf (2009).
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120, http://www.ems-ph.org/journals/show_abstract.php?issn=
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47
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Euclid’s_theorem (26-02-2013).
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Mexicana (2006).
48