El número 1 es un número natural 2.

Números Naturales N
Un poco de números Naturales.
Axiomas de Peano
1.- El número 1 es un número natural
2.-Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también lo es
3.-El 1 no es sucesor de ningún número natural
4.-Si m y n tienen el mismo sucesor entonces m = n
5.-Si 1 ∈ A y si n ∈ A entonces n + 1 ∈ A, se tiene entonces que A es precisamente el conjunto de los
número naturales.
Desde un punto de vista conjuntista se define el conjunto de los números naturales como e mı́nimo conjunto que es inductivo.
También podemos definir a los naturales como sigue:
0 = ∅S
1 = ∅ {0}
2 = {∅, {0}
3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 4 = {0, 1, 2, 3} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}
Se puede definir una relación de orden
a ≤ b ⇔ a ⊆ b ó a ≤ b ⇔ a ∈ b es decir que un número a es menor o igual a un número b si y solo si b
contiene a todos los elementos de a.
Operaciones con los números naturales
Definimos una operación binaria N × N → N(suma) de la siguiente forma
a) 0 + m = m
b)(m + 1) + n = (m + n) + 1
Propiedades de las opraciones
A1 Asociatividad ∀ m,n,p∈ N
m + (n + p) = (m + n) + p
Demostración. Sean n, p ∈ N fijos y sea
M = {m ∈ N|m + (n + p) = (m + n) + p}
y vamos a probar que M = N usando el principio de inducción, tenemos que
0 ∈ M pues 0 + (n + p) = (0 + n) + p.
Supongamos que m ∈ M entonces
(m + 1) + (m + p) = [m + (n + p)] + 1 = [(m + n) + p] + 1 = [(m + n) + 1] + p = [(m + 1) + n] + p
por lo que m + 1 ∈ M por lo tanto M = N
Números Enteros Z
Tenemos que −3 = 5 − 8 donde se puede asociar el numero −3 al par ordenado (5, 8).
Def.Por una diferencia entendemos un par ordenado (m, n) ∈ N × N. Ahora bien dos pares ordenados
(a, b y (c, d) pueden ser sociados al mismo entero si a − b = c − d, el problema es que esta operación no
esta definida en N cuando a < b pero esto se remedia si a − b = c − d equivale a a + d = b + c.
Las operaciones se definen entonces de la siguiente forma.
Si a, b ∈ Z ∃ (m, n), (p, q) ∈ N × N tales que a = (m, n) y b = (p, q) por tanto definimos
a + b = (m, n) + (p, q) = (m + p, n + q)
1
a · b = (m, n) · (p, q) = (mp + nq, mq + np)
De la cerradura en N se sigue que a + b ∈ Z.
Análogamente para la multiplicación sobre Z si a, b ∈ Z entonces a · b ∈ Z
Las propiedades de las operaciones.
A1 asociatividad para la suma
∀a, b, c ∈ Z a + (b + c) = (a + b) + c
Demostración. Tenemos que
a + (b + c) = (m, n) + [(p, q) + (r, s)] = (m, n) + (p + r, q + s) = (m + p + r, n + q + s) = (m + p, n + q) + (r, s)
= [(m, n) + (p, q)] + (r, s) = (a + b) + c
M1 Asociatividad para la multiplicación
∀a, b, c ∈ Z a · (b · c) = (a · b) · c
Demostración. Tenemos que
a·(b·c) = (m, n)·((p, q)·(r, s)) = (m, n)·(pr+qs, ps+qr) = (m(pr+qs)+n(ps+qr), m(ps+qr)+n(pr+qs)))
(mpr + mqs + mps + nqr, mps + mqr + npr + nqs) = ((mp + nq)r + (mq + np)s, (mp + nq)s + (mq + np)r)
(mp + nq, mq + np) · (r, s) = ((m, n) · (p, q)) · (r, s) = (a · b) · c
Propiedad conmutativas
Para la suma se tiene
∀a, b, c ∈ Z a + b = b + a
Demostración.
a + b = (m, n) + (p, q) = (m + p, n + q) = (p + m, q + n) = (p, q) + (m, n) = b + a
Para la multiplicación se tiene
∀a, b, c ∈ Z a · b = b · a
Demostración.
a · b = (m, n) · (p, q) = (mp + nq, mq + np) = (pm + qn, qm + pn) = (p, q) · (m, n) = b · a
Propiedad distributiva
∀a, b, c ∈ Z se tiene que m(a + b) = ma + mb
2
Demostración.
m · (a + b) = (m, n) · [(p, q) + (r, s)] = (m, n) · [p + r, q + s] = (m(p + r) + n(q + s), m(q + s) + n(p + r)) =
(mp+mr+nq+ns, mq+ms+np+nr) = (mp+nq+mr+ns, mq+np+ms+nr) = (mp+nq, mq+np)+(mr+ns, ms+nr)
= (m, n) · (p, q) + (m, n) · (r, s)
Existencia del neutro aditivo
Tenemos que 0 = (n, n) por lo tanto
b + 0 = (p, q) + (n, n) = (p + n, q + n) = (p, q) = b
Existencia del neutro multiplicativo
Se defina 1 = (1 + n, n) por lo tanto
b · 1 = (p, q) · (n + 1, n) = (p(1 + n) + qn, pn + q(n + 1)) = (p + pn + qn, pn + q + qn) = (p, q) = b
Existencia de elemento inverso
Definimos a = (0, a) = −a por lo que tenemos
a + a = (a, 0) + (0, a) = (a, a) = 0
Números Racionales Q
Consideremos las parejas de números enteros (a,b) donde b6= 0.
números se les denota Q = { pq |p ∈ Z, q ∈ Z, q 6= 0}
a
−1
b = ab
c
a
−1
+ cd−1
b + d = ab
ad+bc
= (ad + bc)(bd)−1 = ad(bd)−1 + bc(bd)−1
bd
a
b
denota (a,b) y al conjunto de estos
Axiomas que satisfacen los números racionales.
Sean a, b, c ∈ Q, entonces
A1
A2
A3
A4
A5
a + b ∈ Q (Cerradura)
a + b = b + a (Conmutatividad)
a + (b + c) = (a + b) + c ∈ Q (Asociatividad)
∃0 ∈ Q tal que a + 0 = 0 + a = a (Neutro Aditivo)
Dado a ∃ − a ∈ Q tal que a + (−a) = 0 (Inverso Aditivo)
M1
M2
M3
M4
M5
a · b = ab ∈ Q (Cerradura)
ab = ba ∈ Q (Conmutatividad)
(ab)c = a(bc) ∈ Q (Asociatividad)
∃1 ∈ Q tal que a1 = 1a = 1 (Neutro Multiplicativo)
Dado a 6= 0∃a−1 ∈ Q tal que aa−1 = a−1 a = 1 (Inverso Multiplicativo)
3
Distrbutividad: a(b + c) = ab + ac
Orden.
O1
O2
O3
O4
Sucede una y sólo una de las siguientes a = b, a < b o a > b (Tricotomı́a)
Si a < b y b < c, entonces a < c (Transitividad)
Si a < b entonces a + c < b + c
Si 0 < c y a < b, entonces ac < bc
Proposición. Entre cualesquiera dos racionales hay un racional, es decir, Q es denso en R.
Dem.
Sean r, s ∈ Q dos racionales diferentes. Queremos ver que ∃t ∈ Q tal que r < t < s. Sin pérdida de
generalidad, podemos suponer que r < s.
Definamos t =
r+s
2
∈ Q.
r < s ⇒ 2r = r + r < r + s ⇒ r < r+s
2
r < s ⇒ r + s < s + s = 2s ⇒ r+s
2 <s
∴ r < r+s
2 <s
4