soluciones algunos problemas ecuaciones y sistemas

Departamento de Matemáticas
3º E.S.O.
I.E.S. Juan García Valdemora
3ª Evaluación
Abril de 2012
SOLUCIONES DE ALGUNOS PROBLEMAS
15.- Un alumno debe sumar 1 a un número, restar de 4 el número dado y multiplicar después los
resultados. Sin embargo, se equivoca y suma 4 al número, resta 1 de dicho número y multiplica
también los resultados, obteniendo el mismo resultado que si no se hubiera equivocado. ¿Cuál
fue el número que utilizó?
Sea x el número que buscamos. Primero vamos a hacer las operaciones correctas que debería
haber hecho el alumno:
Sumamos 1: x + 1
Restamos de 4 el número dado x: 4 – x
Multiplicamos ambos resultados: ( x + 1 ) ( 4 – x ) = 4x – x2 + 4 – x = – x2 + 3x + 4
A continuación, hacemos las mismas operaciones que hizo el alumno:
Sumamos 4: x + 4
Restamos 1 al número:
x–1
Multiplicamos ambos resultados: ( x + 4 ) ( x – 1 ) = x2 – x + 4x – 4 = x2 + 3x – 4
Sólo nos queda imponer que ambos resultados son el mismo, es decir, que son iguales, con lo
que obtenemos la ecuación cuyas soluciones serán las soluciones del problema:
– x2 + 3x + 4 = x2 + 3x – 4
⇒
2x2 = 8
⇒
x= ±2
16.- Hallar tres números naturales consecutivos, cuyo producto es igual a 15 veces el segundo.
Sea x el número central de los tres. Los otros dos son, entonces, x + 1 y x – 1.
El producto de los tres es: ( x + 1 ) ⋅ x ⋅ ( x – 1 ) = x ⋅ ( x2 – 1 ) = x3 – x
Quince veces el segundo es: 15x
Ambos resultados son iguales, por lo que ya tenemos la ecuación a resolver:
x3 – x = 15x
⇒
⇒
x3 – 16x = 0
⇒
x ⋅ ( x2 – 16 ) = 0
x⋅ ( x + 4 ) ⋅ ( x – 4 ) = 0
Sus soluciones (o lo que es lo mismo, las raíces de x3 – 16x) son 0, 4 y – 4, todas simples.
Como vemos, hay tres soluciones:
- Cuando x = 0, los tres números son – 1, 0 y 1, que no valen por no ser naturales los tres.
- Cuando x = – 4, los tres números son – 5, – 4 y – 3, que tampoco valen.
- Cuando x = 4, los tres números son 3, 4 y 5, que sí que son la solución.
17.- La diferencia de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 25. Calcula ambos
números.
Sea x un número. Por tanto, su consecutivo es x + 1.
Los dos cuadrados son, entonces, x2 y ( x + 1 )2.
La diferencia de los cuadrados es ( x + 1 )2 – x2. Nótese que ponemos delante el mayor de los dos
números, ya que si los situamos al revés nunca su diferencia podría ser un nº positivo como 25.
La ecuación que hay que resolver es: ( x + 1 )2 – x2 = 25
x2 + 2x + 1 – x2 = 25
⇒
2x = 24
⇒
x = 12
⇒
De modo que los dos números son 12 y 13.
18.- Sergio quiere construir un triángulo rectángulo tal que las medidas de sus lados sean
números consecutivos, ¿cuáles son estos números?.
Sean los tres lados x – 1, x y x + 1, evidentemente la hipotenusa
tiene que ser x + 1, por ser el mayor de los 3.
x+1
x-1
Aplicamos el teorema de Pitágoras y tenemos la ecuación:
x
( x + 1 )2 = ( x – 1 )2 + x2
x2 + 2x + 1 = x2 – 2x + 1
x2 – 4x = 0
⇒
+ x2
x ⋅ (x–4) = 0
Las soluciones son x = 0 y x = 4.
Para x = 0, los tres lados serían – 1, 0 y 1, lo que no tiene sentido geométrico.
Para x = 4, los tres lados son 3, 4 y 5, la solución del problema.
12.- La suma de un número con su inverso es 37/6. Halla el número.
Dos números se dicen inversos cuando su producto es la unidad (no confundir con dos números
opuestos, que se definen como aquellos cuya suma es cero).
Sea x el número, entonces su inverso es 1/x. La ecuación a resolver es x + 1/x = 37/6, una
ecuación con la x en el denominador, también llamada ecuación racional.
x
1
x
+
⇒
=
37
6
x=
⇒
6x 2
6x
+
6
6x
37 ± 1369 − 144 37 ± 35
=
12
12
=
37 x
6x
⇒
⇒
x1 = 6
6 x 2 + 6 = 37 x
x2 =
⇒
6 x 2 − 37 x + 6 = 0
1
6
Las dos soluciones son 6 y 1/6, lógico pues una es la inversa de la otra, dado que la suma cumple
la propiedad conmutativa.
⇒