Guía Combinatoria y probabilidad

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Matemática
Programa Entrenamiento
Combinatoria y probabilidad
Desafío
Sea N un número natural múltiplo de 10. Si se escoge al azar un número natural menor o igual
que N, ¿cuál es la probabilidad de que el número escogido sea par o múltiplo de 5?
A)
B)
C)
D)
E)
0,2
0,5
0,6
0,7
Depende del valor de N.
Mis observaciones
GUICEN035MT22-A16V1
Resolución
1
Programa Entrenamiento - Matemática
Marco teórico
Combinatoria
Permutación
Combinación
Sin repetición
Con repetición
Sin repetición
Con repetición
Se ordenan un total
de n elementos
distintos.
Se ordenan
un total de n
elementos, siendo
a de un tipo, b de
otro, c de otro, etc.
De un total de n
elementos distintos,
se escogen k
elementos, sin
importar el orden.
De n tipos de
elementos, se
escogen k elementos
que pueden repetirse,
sin importar el orden.
PRna,b,c... =
Por ejemplo,
ordenar las letras
de la palabra
MATEMATICA.
De un total de n
elementos distintos se
escogen k elementos,
importando el orden.
Vn,k =
n!
(n – k)!
Por ejemplo, determinar
el 1er, 2do y 3er lugar en
un concurso de
7 personas.
2
n!
(n – k)! • k!
Por ejemplo,
escoger 3
personas de un
total de 7.
CRn,k =
(n + k – 1)!
k! • (n – 1)!
Por ejemplo,
escoger 3 bolitas
de una bolsa con
bolitas de 2 colores.
Triángulo de Pascal: se utiliza en experimentos
dicotómicos reiterados. Indica la cantidad de
combinaciones con un cierto resultado.
Variación o arreglo
Sin repetición
Cn,k =
Con repetición
De un total de n
elementos, se escogen
k elementos, pudiendo
repetirse e importando
el orden.
VRn,k = nk
Por ejemplo,
formar un número
de 3 cifras.
Por ejemplo, si se lanza
una moneda 5 veces.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
2 caras / 3 sellos
1 cara / 4 sellos
0 caras / 5 sellos
Por ejemplo,
ordenar las letras
de la palabra
MURCIELAGO.
n!
a! • b! • c! •...
5 caras / 0 sellos
4 caras / 1 sello
3 caras / 2 sellos
Pn = n!
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Probabilidad clásica
Experimento aleatorio: es aquel en que
el resultado no se puede predecir.
Espacio muestral: es el conjunto
de todos los posibles resultados
de un experimento aleatorio.
Evento o suceso (A): es un
subconjunto del espacio muestral,
definido por alguna condición.
La cantidad de elementos del espacio
muestral se conoce como “casos totales”
o “casos posibles” del experimento.
La cantidad de elementos del evento
o suceso se conoce como “casos
favorables” del evento.
0
P=0
P=1
P
1
evento imposible.
evento seguro.
La probabilidad de que ocurra A es el
cuociente entre los casos favorables de
A y los casos posibles del experimento.
Regla de Laplace
P(A) =
casos favorables
casos posibles
Probabilidad de que
no ocurra A:
P(A) = 1 – P(A)
3
Programa Entrenamiento - Matemática
Tipos de probabilidades
Excluyentes: no es
posible que ocurran
simultáneamente.
Dependientes: la probabilidad de uno
está influida por la ocurrencia del otro.
Tipos de eventos
No excluyentes: es
posible que ocurran
simultáneamente.
Independientes: la probabilidad de uno
NO está influida por la ocurrencia del otro.
Tipos de probabilidades
Producto de
probabilidades:
probabilidad de que
ocurra A y B.
Probabilidad condicional:
probabilidad de que ocurra
B, dado que ocurrió A.
Suma de probabilidades:
probabilidad de que ocurra
A o B.
Sucesos independientes:
P(A B) = P(A) P(B)
Sucesos independientes:
P(B/A) = P(B)
Sucesos excluyentes:
P(A B) = P(A) + P(B)
Sucesos dependientes:
P(A B) = P(A) P(B/A)
Sucesos dependientes:
Sucesos no excluyentes:
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
P(B/A) =
P(A/B) =
4
P(B/A) P(A)
P(B)
P(A B)
P(A)
Teorema de Bayes
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Ejercicios PSU
1.
De un curso, se han elegido 4 alumnos para formar la directiva y se decide sortear los siguientes
cargos: presidente, vicepresidente, secretario y tesorero. ¿De cuántas maneras distintas puede
quedar constituida la directiva?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
¿De cuántas maneras distintas pueden ordenarse 4 personas dentro de un auto sabiendo que
solo una de ellas maneja?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
256
24
16
10
4
6
9
16
24
27
Se dispone de dos tarjetas con la letra A, dos tarjetas con la letra B y cuatro tarjetas con la letra
C. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las tarjetas en una fila?
A)
8!
B)
8!
3!
C)
8!
16
D)
8!
2! • 4!
E)
8!
2! • 2! • 4!
5
Programa Entrenamiento - Matemática
4.
Para asistir a un gimnasio, una persona debe escoger dos días cualesquiera, de lunes a sábado.
¿De cuántas formas distintas puede realizar esta selección?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
6.
6
15
21
30
360
720
En una urna se tienen n tarjetas numeradas de 1 a n, todas de igual peso y tamaño, con n un
número natural distinto de 1. Al extraer una tarjeta al azar, la probabilidad de extraer el número
(n – 1) es
A)
1
n
B)
1
n–1
C)
n–1
n
D)
1
E)
n
n–1
Sobre una mesa se encuentran tres cajas idénticas y en cada una de ellas se encuentran cinco
tarjetas, todas de igual peso y tamaño, con una vocal distinta escrita en cada una. Si se escoge
una caja al azar, y de ella se escoge una tarjeta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que en la
tarjeta escogida esté escrita la vocal O?
A)
1
125
B)
1
15
C)
1
5
D)
1
3
E)
8
15
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
7.
Un experimento consiste en lanzar dos dados comunes y una moneda, y su resultado se determina
de la siguiente manera:
• Si en la moneda sale cara, se suman los números que hayan salido en los dados.
• Si en la moneda sale sello, se multiplican los números que hayan salido en los dados.
Al realizar el experimento una vez, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de este sea 6?
8.
A)
5
72
B)
1
9
C)
1
8
D)
5
36
E)
5
18
En una urna solo hay fichas de tres colores: azules, rojas y verdes, todas de igual peso y tamaño.
Al escoger una ficha al azar, la probabilidad de que esta no sea roja es
que no sea verde es
19
y la probabilidad de
30
17
. ¿Cuál es la probabilidad de que, al escoger una ficha al azar, esta NO
30
sea azul?
A)
1
5
B)
3
10
C)
7
10
D)
4
5
E)
Faltan datos para determinarla.
7
Programa Entrenamiento - Matemática
9.
10.
8
Si se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número
impar mayor que 5?
A)
0
B)
1
12
C)
1
6
D)
1
2
E)
2
3
En un curso de 40 estudiantes, los alumnos pueden inscribirse a teatro o atletismo, teniendo
la posibilidad de integrase a una, a ambas o a ninguna de esas actividades. Luego de las
inscripciones, 16 alumnos del curso se han inscrito en el grupo de teatro, 18 alumnos se han
inscrito en el grupo de atletismo y 12 alumnos han decidido no inscribirse en ninguna de las dos
actividades. Si se escoge una persona del curso al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dicho
alumno esté inscrito solo en atletismo?
A)
1
4
B)
3
10
C)
3
8
D)
2
5
E)
9
20
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
11.
12.
En una caja hay 150 figuras entre esferas y cubos, pintadas cada una de ellas de un color: verde
o rojo; 70 de las figuras de la caja son cubos y 60 de las figuras de la caja son verdes. Si un 20%
de las figuras de la caja son cubos verdes entonces, al extraer una figura al azar, la probabilidad
de que esta sea una esfera roja es
A)
2
15
B)
5
15
C)
8
15
D)
9
15
E)
12
15
Si se lanzan simultáneamente dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de
sus caras sea 7 o 12?
A)
4
36
B)
7
36
C)
4
6
D)
7
6
E)
Ninguna de las probabilidades anteriores.
9
Programa Entrenamiento - Matemática
13.
14.
15.
Al lanzar un dado común una vez, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor o igual
que 2 o mayor que 3?
A)
1
3
B)
1
2
C)
2
3
D)
5
6
E)
5
3
Se lanzan dos dados comunes, siendo P la suma de sus resultados. ¿Cuál(es) de los siguientes
eventos tiene(n) una probabilidad de ocurrir mayor que 40%?
I)
II)
III)
Que P sea un número primo.
Que P sea menor que 5 o mayor que 9.
Que P sea 6, 7 u 8.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
En una caja solo hay tarjetas de tres colores: 30 son amarillas, 25 verdes y 20 rojas, todas de
igual forma y tamaño. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
10
Al escoger una tarjeta al azar, la probabilidad de obtener una tarjeta amarilla es mayor que
la probabilidad de no obtenerla.
Al escoger una tarjeta al azar, hay un 45% de probabilidad de obtener una tarjeta roja o una
tarjeta verde.
Si luego de (n – 1) extracciones sin reposición, con n entero mayor que uno, solo se han
obtenido tarjetas verdes y amarillas, entonces la probabilidad de obtener una tarjeta roja al
azar en la enésima extracción es mayor que en la primera extracción.
Solo I
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
Ninguna de ellas.
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
16.
17.
18.
Al lanzar dos dados comunes simultáneamente, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
1
.
4
I)
La probabilidad de obtener dos números impares es
II)
La probabilidad de que la suma de sus caras sea 5 es
III)
La probabilidad de obtener dos números distintos es
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
1
.
9
5
.
6
En un examen de seis preguntas, un alumno debe contestar verdadero o falso en cada una de
ellas. Si un alumno contestó todas las preguntas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que conteste
correctamente las cinco primeras si acertó en la última?
A)
1
64
B)
1
32
C)
1
5
D)
1
2
E)
5
6
Al lanzar dos dados comunes al mismo tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de las
caras superiores sea un número primo?
A)
0
B)
1
12
C)
1
9
D)
1
6
E)
7
36
11
Programa Entrenamiento - Matemática
19.
20.
En una jaula se introducen cuatro ratones de una misma especie: una hembra negra, una hembra
blanca, un macho negro y un macho blanco. En esa especie, si dos ratones del mismo color se
reproducen, entonces la cría siempre nace del mismo color de los padres. En cambio, si uno de
los padres es de color blanco y el otro de color negro, entonces la cría siempre nace de color gris.
Luego de dos semanas, los ratones de la jaula han formado dos parejas al azar y se han
reproducido, teniendo cada pareja una cría. En ese momento, al escoger un ratón al azar de la
jaula, ¿cuál es la probabilidad de que el ratón escogido sea de color gris?
A)
1
12
B)
1
6
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
Al lanzar tres monedas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan al menos
dos sellos?
A)
1
B)
1
2
C)
1
4
D)
1
8
E)
12
Ninguna de las probabilidades anteriores.
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
21.
22.
23.
Al lanzar cuatro monedas a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan exactamente tres
sellos?
A)
3
4
B)
3
8
C)
3
16
D)
1
8
E)
1
4
Al lanzar simultáneamente 5 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas
tenga un resultado distinto de las demás?
A)
1
32
B)
1
16
C)
3
8
D)
5
8
E)
15
16
El segmento AB de la figura mide 7 metros. Una persona que se encuentra en el punto A realiza
el siguiente procedimiento: lanza una moneda y, si sale cara, avanza un metro hacia B. En caso
de que salga sello, la persona no se mueve. Luego de lanzar la moneda seis veces, ¿cuál es la
probabilidad de que la persona haya superado la mitad del camino de A a B?
A)
1
16
B)
15
64
C)
11
32
D)
4
7
E)
1
A
B
13
Programa Entrenamiento - Matemática
24.
25.
En un experimento de dos partes, la probabilidad de que la primera parte sea exitosa es 2m, con
0 < m < 0,25. Si eso ocurre, la probabilidad de que la segunda parte sea exitosa es m. En cambio,
si la primera parte no es exitosa, la probabilidad de que la segunda parte no sea exitosa es 4m. Si
la segunda parte del experimento no fue exitosa, entonces la probabilidad de que la primera parte
haya sido exitosa se expresa siempre como
A)
1–m
3 – 5m
B)
m
2 – 3m
C)
2m
1–m
D)
2–m
1 – 3m
E)
un valor constante que no depende de m.
Una niña, cuando va a la casa de su abuela, la mitad de las veces utiliza un camino A, un tercio
de las veces utiliza un camino B y el resto de las veces utiliza un camino C. En su viaje, a veces
se encuentra con un lobo, lo que ocurre una de cada nueve veces en el camino A, una de cada
cinco veces en el camino B y una de cada cuatro veces en el camino C. Si la niña va a la casa de
su abuela y se encuentra con el lobo, entonces la probabilidad de que haya sido en el camino B
está más cercana al
A)
B)
C)
D)
E)
26.
14
20%
30%
10%
40%
50%
En la figura se muestran tres bloques formados por cuadrados iguales, que pueden ser blancos
o grises. Si entre todos los cuadrados se escoge uno al azar y este resulta ser gris, entonces la
probabilidad de que provenga del bloque 3 es
A)
5
9
B)
1
4
C)
3
5
D)
1
2
E)
9
20
Bloque 1
Bloque 2
Bloque 3
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
27.
28.
29.
30.
Se tiene una caja con plumones rojos y negros, todos de igual forma, peso y tamaño. Se puede
determinar la probabilidad de extraer un plumón rojo si:
(1)
(2)
7
.
La probabilidad de extraer un plumón negro es
15
El número total de plumones es 15.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
Se tiene una bolsa con bolitas azules y amarillas, todas de igual peso y tamaño. Se puede
determinar la cantidad de bolitas azules que hay en la bolsa si:
(1)
(2)
El total de bolitas es 20.
3
La probabilidad de extraer una bolita amarilla es
.
10
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
En una caja solo hay cubos azules, rojos y verdes, todos de igual peso y tamaño. Al escoger de
la caja un cubo al azar, se puede calcular la probabilidad de que el cubo sea azul o rojo si:
(1)
(2)
Los cubos verdes corresponden a la quinta parte del total.
La cantidad de cubos rojos es igual a la cantidad de cubos azules.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
Se tiene una lista con diez números naturales, ninguno de ellos repetido. Al extraer de la lista dos
números al azar, uno tras otro y sin reposición, se puede determinar la probabilidad de que ambos
sean pares si:
(1)
(2)
El menor de los números es 5.
Los números son consecutivos.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
15
Programa Entrenamiento - Matemática
ü
Tabla de corrección
Ítem
Alternativa
Habilidad
1
Aplicación
2
ASE
3
Comprensión
4
Aplicación
5
Comprensión
6
Aplicación
7
ASE
8
ASE
9
Comprensión
10
ASE
11
ASE
12
Aplicación
13
Aplicación
14
ASE
15
ASE
16
ASE
17
ASE
18
Aplicación
19
ASE
20
Aplicación
21
Aplicación
22
Aplicación
23
Aplicación
24
Comprensión
25
Aplicación
26
Comprensión
27
ASE
28
ASE
29
ASE
30
ASE
Registro de propiedad intelectual de Cpech.
Prohibida su reproducción total o parcial.
16