pitagora - Matmedia

Nella determinazione dell’elemento unico in grado di
spiegare la causa dei fenomeni, Pitagora (o meglio i
Pitagorici) attribuisce al numero la facoltà di
regolatore del mondo intero. Anzi per Pitagora il
numero non era soltanto la forma che governa la
combinazione delle cose, ma la materia stessa delle
cose.
PITAGORA
Filosofo e Matematico
a cura di Maria Rosa Valente
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Gli intervalli musicali trovati da Pitagora sono detti
la quarta, la quinta e l’ottava (contata dalla nota
emessa dal martello più pesante)
Pitagora e ….
La musica
Pitagora continuò gli esperimenti e studiò la relazione tra la
lunghezza di una corda vibrante e il suono che produce: se si
accorcia una corda a 3/4 della sua lunghezza si sente la
quarta, se la si accorcia a 2/3 si sente la quinta e se la si
accorcia a 1/2 si sente l’ottava.
Boezio racconta che Pitagora, passando davanti al
negozio di un fabbro, fu colpito dal fatto che i suoni
provocati dal battere di differenti martelli
sull’incudine formavano quasi un’armonia
armonia musicale.
musicale
Entrò nella bottega e chiese agli artigiani di
scambiarsi i martelli: l’effetto musicale era lo stesso.
Pesò i martelli e trovò che i pesi stavano tra loro come
i numeri 12, 9, 8, 6.
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Se la corda è lunga 12 → quarta se la lunghezza è 9,
quinta se la lunghezza 8, ottava se la lunghezza è 6.
I numeri 6, 8, 9 e 12 avevano particolarità non solo
nell’acustica ma anche nell’aritmetica.
Infatti
Il numero gioca un ruolo nelle cose con cui abbiamo
contatto quotidiano, per cui il numero sta alla base
di tutta la scienza naturale.
9=
6 + 12
2
1 1
+
1 6 12
=
8
2
6 9
=
8 12
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Inoltre …… il cubo ha 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli
6 8
=
9 12
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Pitagora e ……
l’aritmetica
Il carattere armonico è considerato una proprietà di
questi numeri, in modo che quando questi numeri
“capitano” da qualche parte, anche in questa parte si
trova l’armonia peculiare di tali numeri.
Aritmetica = studio delle proprietà matematiche
astratte dei numeri
Numeri figurati
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1 → punto
2 → retta
3 → piano
4 → spazio
Relazione particolare tra i numeri quadrati e le terne
pitagoriche, infatti sfruttando la formula
2
2
⎛ m2 + 1 ⎞ ⎛ m2 −1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ + m 2
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
con m dispari, si ottengono sia terne pitagoriche che
numeri quadrati.
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I pitagorici dedicarono particolare attenzione allo studio
delle proprietà di singoli numeri o di classi di numeri:
studiarono i numeri dispari, i pari, i primi e i composti e
le loro proprietà furono utilizzate in vari modi.
Teoria dei numeri pari e dispari:
Numeri perfetti = numeri uguali alla somma dei loro
divisori propri (es. 6 = 3+2+1; 28; 496)
¾Se un numero dispari divide un numero pari, divide
anche la sua metà
10
¾ la somma di due numeri pari è pari
¾Il prodotto di due numeri dispari è dispari
Numeri amici = coppie di numeri che godono della
proprietà che ciascun numero è la somma dei divisori
propri dell’altro (es. 220 e 284 infatti i divisori di
220 sono 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, la cui
somma è 284)
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Associare numeri a solidi (es. cubo) perché il solido può
essere pensato come una manifestazione del numero.
Pitagora e ……
la numerologia
Particolare importanza è data al numero 10: i greci
usavano il sistema decimale e già questo è sufficiente a
spiegare l’importanza del 10. Ma non basta:
Qualità non matematiche ai numeri
Il numero è l’essenza delle cose e come tale ha potere
magico
“Veramente ogni cosa che si conosce reca un numero;
infatti è impossibile, senza numeri, conoscere o capire
con la ragione alcunché. L’Uno è il fondamento di tutte le
cose” (Filolao)
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Ma l’importanza del 10 è anche al di fuori della
matematica:
“L’attività e l’essenza del numero possono essere dedotte
dal potere contenuto nel concetto di 10. Infatti (tale
potere) è enorme, abbraccia ed è responsabile di tutte le
cose, è il fondamento e la guida sia della vita divina e
celeste, sia di quella umana…
Senza questo (potere) ogni cosa non ha confini ed è vaga
e indistinta.
Infatti la natura del numero dà informazioni, guida e
istruisce ciascuno in ogni cosa che sia soggetta al dubbio
e che sia sconosciuta.
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9 è il più piccolo numero che contiene tanti numeri
composti quanti non-composti (composti 4, 6,8, 9 e 10,
non-composti 1, 2, 3, 5 e 7)
9 è la somma dei numeri 1, 2, 3 e 4 i quattro numeri
fondamentali della geometria
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Infatti nulla circa le cose sarebbe comprensibile a
chicchessia, se il numero e la sua essenza non
esistessero: né le cose in se stesse, né l’una in relazione
all’altra.
L’essenza del numero e il potere che è in esso si possono
osservare non solo nelle azioni degli dei e semidei, ma
anche ovunque nelle azioni e nelle parole degli uomini,
nella musica e nelle opere manuali.
L’essenza del numero, così come l’armonia, non permette
equivoci, perché questi le sono estranei; …La verità
tuttavia è intriseca alla natura del numero ed è
connaturata con esso.” (Filolao)
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Numero = elemento fondamentale in molte cose della
natura e della morale.
Pitagora e……
l’astronomia
Numeri dispari = numeri maschili
Numeri pari = numeri femminili
La somma del primo numero dispari e del primo
numero pari (5 = 2+3) era il simbolo del matrimonio.
L’Universo era formato da sfere concentriche: a
partire dalla sfera più esterna vi erano la sfera delle
stelle fisse, le sfere di ciascuno dei pianeti e le sfere
del sole, della luna e della terra.
Un quadrato simboleggiava la giustizia; il 6 era il
simbolo dell’anima; il 7 dell’intelligenza e della salute;
l’8 dell’amore e dell’amicizia.
In tutto 9 corpi che ruotavano intorno ad un centro
comune, il fuoco centrale, dove risiedeva Zeus, il
potere che reggeva l’universo.
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Perché 9 corpi se è il 10 il numero più importante?
Infatti esisteva anche un decimo corpo celeste detto
l’antiterra che però non poteva essere osservato
perché diametralmente opposto alla terra rispetto al
fuoco centrale oppure tra la terra ed il fuoco centrale
(la parte abitata della terra è sempre rivolta in
direzione opposta al fuoco centrale).
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Anche le distanze dei corpi celesti dal fuoco centrale
erano soggette a leggi numeriche → i rapporti numerici
che erano causa dell’armonia musicale implicavano anche
l’armonia dell’universo.
Rapporti tra le dimensioni dell’universo determinavano i
corrispondenti toni musicali perché, così come sulla
Terra un corpo muovendosi produce un suono,
analogamente il moto dei corpi celesti produce una
musica celeste detta armonie delle sfere, che però non
può essere udita dagli uomini.
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Studiarono le rette parallele, dimostrarono che la
somma degli angoli interni di un triangolo è uguale alla
somma di due angoli retti e svilupparono in metodo di
applicazione delle aree che sarà poi contenuto
nell’algebra geometrica di Euclide (300 a.C.).
Pitagora e ……
la geometria
Non si sa con certezza quali siano le scoperte
geometriche greche proprie di Pitagora, comunque è
certo che le ricerche effettuate non si limitarono alle
sole relazioni tra numeri e geometria.
Forse conoscevano anche i cinque poliedri regolari
detti solidi platonici (esaedro o cubo, ottaedro,
tetraedo, dodecaedro e icosaedro)
Fu sviluppato un sistema di teoremi dimostrati da
proposizioni precedenti tra cui il teorema di Pitagora
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Ma la scoperta più importante e sconvolgente fu quella
dei numeri irrazionali!!!!
Ma
E tale scoperta fu effettuata proprio applicando il teorema di
Pitagora ad un triangolo rettangolo isoscele ABC.
Come esprimere il rapporto AB/AC? Supponiamo che,
dati p e q due numeri primi tra loro, sia
BC = AC
quindi
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AB 2 = 2AC 2
AB/AC = p/q
Poiché
Si ha che
Infatti abbiamo che
AB 2 = AC 2 + BC 2
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cioè
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AB 2 / AC 2 = 2
p2 / q2 = 2
p2 =2q2
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Quindi
p2
è pari, ma allora anche p è pari per cui
possiamo porlo uguale a 2r. Dunque
In particolare se AC = 1 si ha
4r 2 = 2q 2
Da cui
AB 2 = 2
AB= 2
cioè
2r 2 = q 2
quindi
Quindi q è pari e ciò è impossibile perché i due
numeri p e q dovevano essere primi tra loro!!!!!
Dunque non è possibile che il rapporto tra l’ipotenusa e
un cateto di un triangolo rettangolo isoscele si possa
esprimere come rapporto tra due numeri naturali
primi.
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I pitagorici non ammettevano che tali numeri
potessero esistere perché la scoperta dei numeri
irrazionali fu disastrosa per la filosofia pitagorica
secondo cui l’essenza di ogni cosa poteva essere
ridotta ai numeri naturali.
2
è un numero irrazionale!!!
In termini geometrici diciamo che il cateto e
l’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele sono
incommensurabili.
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Generalizzando la scoperta: la radice quadrata di ogni
numero naturale, che non sia esso stesso il quadrato di
un numero naturale, è irrazionale.
Dobbiamo aspettare circa 100 anni (400 a.C.) per la
scoperta di altri numeri irrazionali da parte di
Teodoro.
Leggende:
‰ Ippaso svelò la scoperta e così, per aver violato la
regola della confraternita, morì in mare per mano degli
dei
‰ lo scopritore sacrificò un bue in onore della scoperta
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