radicales - cepaantoniogala

ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
RADICALES
Un ra d i c a l e s una e x p re s i ó n d e l a fo rma
, e n l a q ue n
y
a
; c o n ta l q ue c ua nd o a s e a neg a t ivo , n ha d e s e r i mp a r.
Se
p ue d e
e xp re s a r
ra d i c a l
en
f o rma
p o t e nc i a:
un
de
Radicales equivalentes
Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las
fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un
mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:
Si s e mul t i p l i c a n o d i vi d e n e l í ndi c e y e l e x po ne nt e d e un
ra d i c a l po r un mi s mo nú me ro na t u r a l , s e o b t ie ne o t ro rad i c a l
e q ui va l e nt e .
Simplificación de radicales
Si e x i s t e un nú me ro na t ura l q u e d i vi d a al í nd i c e y a l
e x p o ne nt e ( o lo s e x po ne nt e s ) d e l ra d i c a nd o , s e o bt i e ne un
ra d i c a l s i mp l if i c ad o .
Reducción de radicales a índice común
1 Hallamos el mí ni mo c o mún múl t i p l o d e l os í nd i c e s, que será el
común índice
2 Di vi d i mo s e l co mún í nd i c e p o r c ad a uno d e l o s í nd i c e s y cada
resultado
obtenido
se
mul t i p l i c a
por
s us
e x p o ne nt e s
correspondientes.
ROSA
1
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Extracción de factores fuera del signo radical
Se d e s c o mp o ne el radicando e n f a c to re s . Si:
Un e x p o ne nt e e s me no r que el índice, el factor correspondiente se d e ja
e n e l ra d i c a nd o .
Un e x p o ne nt e e s i g ua l al índice, el factor correspondiente s a l e f ue ra
d e l ra d i ca nd o .
Un exponente e s ma yo r q ue e l í nd i c e , s e d i vi d e dicho exponente po r
e l í nd i c e . El c oc i e nt e obtenido es el e xp o ne nt e d e l f a ct o r f ue ra del
radicando y el re s to es el ex po ne nt e d e l f a c to r d e nt ro del radicando.
Introducción de factores dentro del signo radical
Se
i nt ro d uc e n
los
f a c t o re s
e l e va d o s
c o rre s p o nd i e nt e d e l rad i c a l .
al
í nd i c e
Operaciones con radicales
Suma de radicales
So l a me nt e p ue d e n s uma rs e ( o re s ta rs e ) do s ra d ic a l e s c ua nd o
s o n ra d i c a l e s s e me j a nt es , e s d ec ir, s i s o n ra d i c a l e s c o n e l
mi s mo í nd i c e e ig ua l ra d i c a ndo .
ROSA
2
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Multiplicación de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice s e
ra d i c a nd o s y s e d e j a e l mi s mo í nd ic e .
mul t i pl i c a n l o s
Cua nd o t e rmi ne mo s d e re a l i za r u na o p e ra c i ó n e x t ra e re mo s
f a c to re s d e l ra d i c a l , s i e s p os i b l e.
Radicales de distinto índice
Pri me ro s e re d uc e n a í nd i c e c o mún y l ue g o s e mul t i p l i c a n.
División de radicales
Radicales del mismo índice
Para dividir radicales con el mismo índice se d i vi d e n l o s ra d i c a nd o s y
s e d e j a e l mi s mo í nd i ce .
Radicales de distinto índice
Pri me ro s e re d uc e n a í nd i c e c o mún y l ue g o s e d i vi d e n.
ROSA
3
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Cua nd o
t e rmi ne mo s
de
re a l i za r
s i mp l i f i c a re mo s e l ra d i ca l , s i e s pos i b l e .
una
o p e ra c i ó n
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia s e e l e va a d i c ha p ot e nc i a e l
ra d i c a nd o y s e de j a e l mi s mo í nd i ce .
Raíz de un radical
L a ra í z d e un ra d i c a l e s o t ro ra di c a l d e i g ua l ra d i c a ndo y
c uyo í nd i c e e s e l p rod uc t o d e lo s do s í nd i c es .
Racionalizar
Co ns i s t e e n q ui ta r l o s ra di c a l e s d el d e no mi na d o r, lo que permite
facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
ROSA
4
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1 Del tipo
Se mul t i p l i c a e l nume ra d o r y e l d e no mi na d o r p o r
.
2 Del tipo
Se mul t i p l i c a nume ra d o r y d e no mi n a d o r po r
.
3 Del tipo
, y en general cuando el denominador sea un b i no mi o
c o n a l me no s un ra d i c a l .
Se mul t i p l i c a e l nume ra d o r y d e no mi na d o r p o r e l c o nj ug a d o
d e l de no mi na d o r.
El c o nj ug a d o d e un b i no mi o e s i g ua l a l b i no mi o c o n e l s i g no
c e nt ra l c a mb i a do :
ROSA
5
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
También tenemos que tener en cuenta que: "s uma p o r d i f e re nc i a e s
i g ua l a d if e re nc i a d e c ua d ra d os ".
ROSA
6
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Un radical es u na ex pres ió n de la for ma
a
, e n la q ue n
y
; co n ta l q ue cu and o a sea neg ativ o, n h a de ser impar.
Potenci as y radic ales
Se puede expre sar un radical en form a de potenci a:
R a d i a l e s e q u i v a l e n te s
Utilizand o la not ac ió n de expone nte fra cc io nar io y la pr op iedad
de
la s
fraccione s
que
d ice
que
si
se
mu ltip lica
numerad or
y
ROSA
7
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
denominador
por
un
mismo
número
la
fracción
es
eq uiv ale nte,
obtenemos que:
Si se
radic al
mu lt iplic an
por
un
mismo
o div iden e l ín dic e y
número
nat ural,
se
el expon ent e de
obt iene
otro
un
radic al
equ ival ent e.
S i m p l i f i c a c i ón d e r a d i c a l e s
Si
ex iste
un
número
natural
que
d ivida
al
ín dice
y
al
expon ent e (o los exp one ntes) de l ra dicand o, se obt ie ne u n radical
simpl ificado.
1Halla mo s el míni mo co mún múl tiplo de l os índic es, que será
el co mún índ ice
2Dividi mos el comú n índic e po r cada uno de los ín dic es y
cada
resu ltad o
obten id o
se
multi plic a
po r
sus
expon ent es
correspondientes.
ROSA
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ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Ex t r a c c ió n de fa c to re s fue r a de l s i g n o r a d i ca l
Se desco mpone e l r adican do en f acto res. Si:
1
Un
expon ent e
es
menor
que
el
índ ice,
el
fact or
corre spondiente s e deja en el radic an do.
2Un expon ente es igual a l índ ic e, el fa ctor c orresp ond ie nte
sale f uera del radic ando.
3Un exponente
es
mayor
que
el
ín dic e,
se
divi de
d ich o
expone nte po r el í ndic e. E l cocient e obte nid o es el expo nen te del
factor fuera de l ra dicand o y el resto es el expo nen te del facto r
den tro de l r adica ndo.
ROSA
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ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
I n t r o du c c i ón de fa c to re s d en t ro d e l s i gn o r a d i ca l
Se introducen lo s facto res elev ado s al í n dice corre spo nd iente
del radic al.
Solamente
pueden
s umars e
(o
restarse)
dos
radical es
cua ndo so n radical es se me jan tes, e s dec ir , si so n radicales co n e l
mismo ín dice e i gu al radic an do.
ROSA
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ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Radic ales del mis mo í ndice
Para
m ulti plicar
radical es
con
el
mismo
ín dice
se
multi plican los radic an dos y s e deja el m ismo ín dic e.
Cua ndo
term in em os
de
rea lizar
una
operación
e xtraeremos
factores del radical, s i e s p os ib le.
Radic ales de distint o ín dice
Primero se re ducen a í ndic e co mún y lueg o se multi plic an.
ROSA
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ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Ra dica le s de l mis mo ín dice
Para
d ivid ir
r adica les
con
el
mismo
índ ice
se
div iden
los
radic an dos y s e dej a el mis mo í ndic e.
Ra dica le s de dis tin to ín dice
Primero se re ducen a í ndic e co mún y lueg o se divi de n.
ROSA
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ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Cua ndo term ine mo s de re alizar una oper ac ión si mplificare mos
el radical, s i e s p os ib le.
Para
e levar
un
radic al
a
una
potenci a,
se
eleva
a
d ic ha
pot enci a e l radic an do y se dej a e l mism o í ndice.
ROSA
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ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
La raíz de un radic al es otr o radic al de igual radican do y
cuyo ín dice es e l producto de l os dos ín di ces.
ROSA
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ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
La
racion aliz ación
de
radic al es
consiste
en
quit ar
los
radic ales del de nom inador, lo que perm ite fac ilitar e l cá lc ulo de
operac ione s com o la s uma de fra cc io nes.
Podem os d ist ing uir tres c as os.
1Racion aliz ació n de l t ip o
Se mu lti plica el n um erador y el deno min ador po r
.
2Racion aliz ació n de l t ip o
Se mu lti plica num erado r y den omi nado r po r
.
ROSA
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ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
3Racion aliz ació n de l t ipo
, y en general cuando el
denom inador sea un bi nomi o con al men os un radical.
Se multi plic a el nu merador y denomi nador po r el co nju gado
del deno min ador.
El co njug ado de u n bino m io e s igua l al binom io c on e l signo
central cambiado:
Tambié n
tenemos
que
tener
en
cuenta
que:
"suma
por
diferencia es i gu al a diferenci a de cu adrados".
ROSA
16
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
RESUMEN
Un radical es un a expresió n de la f orma
y
a
; con
t al
que cu an do
a s ea
, en la que n
negat ivo,
n
ha de ser
impar.
Se puede expresar u n radical en f orma de potencia:
R a d i a l e s e q u i v a l e n te s
S i m p l i f i c a c i ón d e r a d i c a l e s
ROSA
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ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Si
exist e
expon ent e
(o
un
los
nú mero
nat ural
exponentes )
del
qu e
divi da
al
radican do,
ín dice
se
y
obt ien e
al
un
radic al sim plific ado.
R e d u c c i ó n d e r a d i c a l e s a í n d i c e c o mú n
1Halla mo s el míni mo co mún múl tiplo de l os índic es, que será
el co mún índ ice
2Dividi mos el comú n índic e po r cada uno de los ín dic es y
cada
resu ltad o
se
obten id o
multi plic a
po r
sus
expon ent es
correspondientes.
E x t r a c c i ón d e f a c t or e s f u e r a d e l s i g n o r a d i c a l
Se desco mpone e l r adican do en f acto res. Si:
Un
expon ente
es
menor
que
el
índ ice,
el
factor
corre spondiente s e deja en el radic an do.
Un e xpone nte es igual a l índ ic e, el fa ctor corre spo ndiente s al e
fuera del radican do.
Un
exponente
es
mayor
qu e
el
í ndic e,
se
divi de
d ich o
expone nte po r el í ndic e. E l cocient e obte nid o es el expo nen te del
factor fuera de l ra dicand o y el resto es el expo nen te del facto r
den tro de l r adica ndo.
I n tr o d u c c i ón d e f a c t o r e s d e n tr o d e l s i g n o r a d i c a l
Se
introducen
los
fact ores
el ev ados
al
ín dice
corres pon di ente del radic al.
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ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
O p e r a ci o ne s co n r a d i ca le s
Su ma de radic ale s
Solamente
pueden
sumarse
(o
restarse)
dos
radical es
cuan do so n radicales s em ej ant ess, es decir, si son radical es con
el mis mo í ndic e e igual radic an do.
Produc to de radicale s
Radic ales del mis mo í ndice
Radic ales de distint o ín dice
Prim ero se reduc en a ín dice c omú n y lu ego s e mu lti plican.
C o c i e n te d e r a d i c a l e s
Radic ales del mis mo í ndice
Radic ales de distint o ín dice
Prim ero se reduc en a ín dice c omú n y lu ego s e divi den.
Pote nci a de ra di cal es
ROSA
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ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
R a í z d e u n r a di c a l
R a c i on al i za r
Consiste en
permite
fac ilit ar
quit ar l os radical es
el
c álcu lo
de
del
denomin ado r,
op eraciones
como
la
lo que
suma
de
fraccione s.
Podem os d ist ing uir tres c as os.
1Del t ipo
Se mu lti plica el n um erador y el deno min ador po r
.
2Del t ipo
Se mu lti plica num erado r y den omi nado r po r
.
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ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
3Del tip o
, y en general cuando el denominador sea
un bin omi o con al m enos un radic al.
Se multi plic a el nu merador y denomi nador po r el co nju gado
del deno min ador.
ROSA
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ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
EJERCICIOS RADICALES
1 Ca l cu la l o s val or e s d e la s si g ui e n tes p o t e n ci a s:
1
2
3
4
2 Ext r a e r f a ct o r e s:
1
2
3 I n t r o du cir f a cto r e s :
1
2
4 Po n e r a co mú n í n di ce :
5 Re a li za la s su ma s:
1
ROSA
22
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
2
3
4
6 Ha ll a l a s su ma s:
1
2
3
4
7 Ef e ct ú a l a s su ma s:
1
2
8 Re a li zar l o s pr o d u cto s:
1
2
3
9 Efectúa las divisones de radicales:
ROSA
23
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
1
2
3
1 0 Calcula:
1 1 O p e r a:
1 2 Re al i za l a s o pe r a ci o ne s co n po t e nci a s:
1
2
13Realiza
l as op er ac i on es :
ROSA
24
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
1
2
3
4
14Ca lc u la:
1
2
15Efe ctuar:
1
2
3
16Racionalizar
los rad ica le s:
ROSA
25
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
1
2
3
4
5
17Racionalizar
1
2
3
4
5
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26
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
ROSA
27