trabajo - CFIE de Valladolid

El batido de
rana.
Maite González Expósito
Proponemos el siguiente problema en la clase:
Una bruja quiere preparar un batido de rana. Para ello puedo comprar ranas en
conserva, pero solo en paquetes de cinco o de ocho. Teniendo en cuenta que la
bruja sólo quiere comprar el número exacto de ranas necesarias, ¿cuál es el
número mayor de ranas que NO puede comprar?
Una vez propuesto el problema, se empieza a explicar poniendo ejemplos para
que lo entiendan:
Escribimos en la pizarra los números como siguen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14 15
16 17
18
19 20
21
22 23 24 25 26 27 28 29 30
31
32 33 34 35 36 37 38 39 40
41
42 43 44 45 46 47 48 49 50
......................................................................................................
Los batidos de 1 a 4 ranas no los podrá hacer porque el paquete más pequeño
tiene 5 ranas y no queremos que sobre ninguna. Rodeamos esos números.
De 16 ranas sí podrá hacerlos porque son 2 paquetes de 8 ranas. Tachamos el
16.
A continuación, se pide que vayan diciendo los números que pueden hacer con
combinaciones de 5 y 8.
Los alumnos comenzarán a decir números y los vamos tachando.
Después de unos minutos, se habrán tachado muchos números pero quedarán
muchísimos. Se tienen que ir dando cuenta que ir diciendo números no es un
buen método porque no se acabaría nunca.
Tienen que estar convencidos de que hay que buscar otro método. Si a algún
alumno se le ocurre otro método, se comprueba entre todos si es factible o no.
El método que proponemos nosotros es el siguiente:
Igual que antes, vamos a rodear los números que no podamos conseguir y a
tachar los que sí podamos. Así, cuando hayamos acabado, el último número que
haya rodeado será el mayor número de ranas que la bruja NO puede comprar.
Los números menores que 4 no les podemos conseguir ni tampoco el 6, 7 y 9.
Los rodeamos. (esos son sencillos de ver).
El número 10 lo tenemos fácilmente (5 + 5). Lo tachamos.
Puesto que tenemos el 10, también tendremos todos los múltiplos de 10:
tachamos el 20, 30, 40, 50...
Lo mismo nos pasa con el 5. Al tener el 5 y el 10, tendremos todos los números
que acaben en 5 (15 = 5 + 10; 25 = 5 + 10 + 10; 35 = 5 + 10 + 10 + 10...) Aunque
estos ya los teníamos porque son múltiplos de 5, hay que hacer ver a los
alumnos que en este problema es más fácil ir sumando decenas al número que
tengo, que buscar sus múltiplos.
Del mismo modo, tenemos cubierto el 8 y todos los números que acaben en 8
(por la misma razón que antes). Tachamos el 8, 18, 28...
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14 15
16 17
18
19 20
21
22 23 24 25 26 27 28 29 30
31
32 33 34 35 36 37 38 39 40
41
42 43 44 45 46 47 48 49 50
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Continuamos el problema con el primer número que no esté tachado ni rodeado.
En nuestro caso es el 11. Les preguntamos si se puede conseguir 11 con
paquetes de 5 y 8. Como no se puede, lo rodeamos. Lo mismo nos pasa con el 12.
Ahora llegamos al 13. Enseguida se darán cuenta de que 13 es la suma de 5 y 8,
así que lo tachamos.
Siguiendo el razonamiento de antes, al tener el 13 y el 10 tendremos también el
23, 33, 43, es decir, todos los que acaban en 3 a partir del 13.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14 15
16 17
18
19 20
21
22 23 24 25 26 27 28 29 30
31
32 33 34 35 36 37 38 39 40
41
42 43 44 45 46 47 48 49 50
......................................................................................................
Vamos haciendo lo mismo con los números que no tengamos tachados ni
rodeados. Siempre empezando por el más pequeño.
El 14 no se puede conseguir. Lo rodeamos.
El 16 es 8 + 8 así que lo tachamos y del mismo modo todos los que acaban en 6 a
partir de él: 26, 36...
El 17 y el 19 no podemos conseguirlos. Los rodeamos.
El 21 es 8 + 8 + 5. Lo tachamos y también el 31, 41...
El 22 lo rodeamos.
El 24 es 8 + 8 + 8. Lo tachamos y también el 34, 44...
El 27 lo rodeamos.
El 29 es 8 + 8 + 8 + 5. Lo tachamos y el 39, 49...
Los números que habíamos escrito en la pizarra estarán como sigue:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14 15
16 17
18
19 20
21
22 23 24 25 26 27 28 29 30
31
32 33 34 35 36 37 38 39 40
41
42 43 44 45 46 47 48 49 50
......................................................................................................
Vemos que las tres primeras filas ya no tienen ningún número que no esté ni
tachado ni rodeado.
Continuamos con la cuarta fila:
El 32 es 8 + 8 + 8 + 8. También lo tachamos y el 42...
El 37 es 8 + 8 + 8 + 8 + 5, luego también lo tachamos junto con el 47...
Ahora tendremos la siguiente situación en la pizarra:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14 15
16 17
18
19 20
21
22 23 24 25 26 27 28 29 30
31
32 33 34 35 36 37 38 39 40
41
42 43 44 45 46 47 48 49 50
......................................................................................................
Vemos que ya no hay ningún número que no esté ni tachado ni rodeado. Además,
la fila de puntos suspensivos tiene todas las columnas tachadas, luego a partir
del 50 todos los números están tachados.
Los alumnos se tienen que dar cuenta que el método ha acabado.
Ahora tienen que interpretar lo que ven.
El número más grande que está rodeado es el 27 y por tanto, ese es el número
más grande de ranas que la bruja no puede conseguir sin que sobre nada.