Tema: Cuadrado del Binomio CUADRADO DEL BINOMIO

Nivel: I Medio
Profesora: Estela Muñoz Vilches.
Unidad III: Productos Notables
Tema: Cuadrado del Binomio
Nombre: ………………………………………………………………….. Curso: I°………
Si se calcula el área ( A ) de un cuadrado de lado “a+b” (supongamos que a = 3 y que b = 2; por lo tanto es un
cuadrado de lado 5), ¿Cuál es el área de este cuadrado?
Observa los dos primeros cuadrados de lado 5 unidades y la forma de calcular su área, luego observa el tercer
cuadrado y su estrategia para calcular su área.
3
3
2
9
6
5
3
a
a
b
a2
ab
25
2
6
4
3
2
2
5
En este se obtienen dos
cuadrados, uno de área 9 y
otro de área 4, además de dos
rectángulos iguales de área 6.
Al sumar:
A = (3 + 2)2 = 9 +2veces 6 + 4
25 = 25
(3 + 2 )2 = 32 + 2.3.2 + 22
b
b2
ab
a
5
En este se obtiene un
cuadrado de área 25
b
b
a+b
En este caso generalizado se
obtienen dos cuadrados, uno
de área a2 y otro de área b2,
además de dos rectángulos
iguales de área ab.
Por lo tanto:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
CUADRADO DEL BINOMIO
x
a) Si pensamos en un cuadrado de lado (x + 3), al dibujarlo tenemos:
a
x
Encuentra su área……………………………………..
3
+
3
b) Si el lado del cuadrado es (r + s) , el área sería:
(r + s) (r + s) = (r + s)2 = _____ + ____ + ____
c) Si el lado del cuadrado es (p + q), entonces
(p + q)2 = ____ + ____ + _____
Observa que el cuadrado de un binomio corresponde al cuadrado del primer
término del binomio, más el doble del 1° por el 2° término, más el cuadrado del
segundo término del binomio
A = ( a + b )2
=
a2
=
+
2ab
+
Observa los ejemplos resueltos:
a) (x + 4)2
= x2 + 2x4 + 42
= x2 + 8x + 16
b) (3a2 + b2)2
= (3a2)2 + 2  3a2  b2 + (b2)2
= 9a4 + 6a2b2 + b4
Aplicando la fórmula anterior al caso (a – b)2 se obtiene:
(a – b)2 = a + (-b)2 = a2 + 2a(-b) + (-b)2 = a2 – 2ab + b2
Observa los ejemplos resueltos:
a) (4ax – y)2 = (4ax)2 – 2 4ax  y + y2
= 16a2x2 – 8axy + y2
b) (0,5x2 – 0,2x2y)2 = (0,5x2)2 – 2 0,5x2  0,2x2y + (0,2x2y)2
= 0,25x4 – 0,2x4y + 0,04x4y2
+
+
b2
Ejercicios: Ahora pon en práctica lo que aprendiste
A) Resuelve en tu cuaderno los siguientes cuadrados de binomios:
1) (p + q)2
2
3 2
5) (x + y )
2) (t + 5)2
3) (2x + 7)2
3
2
6) (10x – 9x)
2
2
7) (0,1x – 0,1y)
4) (2m + 3n)2
1

8)  a  b2 
4

2
B) Completa el término que falta para sea el desarrollo del cuadrado de un binomio
1) x2 + 10x + _____ = ( ___ + ____ )2
2
Ayúdate con esta
estrategia para
encontrar lo que
buscas.
2
2) 25y – 90y + _____ = ( ___ - ____ )
3) 36p2 + _____ + 64 = ( ___
____ )2
4) ____ - 42x + 49 = ( ___
____ )2
5) x2 – 2x + _____ = (___
____ )2
6) 9x2 + _____ + 16 = ( ___
____ )2
C) Calcular en cada figura (cuadrados) la medida de sus lados, el área total de la figura y el de cada una de
sus partes interiores, según corresponda:
1)
2)
3)
4)
D) Marca la alternativa correcta después de realizar un desarrollo:
2
2
1) (a – 2b) – (b – 2a) =
2
2
a) -3a + 3b
2
2
b) 5a + 3b
2
c) -3a – 3b
2
2
d) 5a – 8ab + 3b
2
e) 5a – 3b
2
2
2) Si (a – 2b)2 = a2 + kab + 4b2, entonces k =
A) -4
B) -2
C) -1
D) 2
E) 4
2
1
3)  4x   
8

1
A) 16x 2 
64
1
64
x 1
C) 16x 2  
2 64
1
D) 16x 2  x 
64
1
E) 8x 
4
B) 16x 2  x 
4) En la figura, aparecen tres cuadrados dentro de un rectángulo, dos de ellos de lado a y el otro de
lado b, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área achurada es 2a2+2ab−b2
II) El perímetro de la zona sombreada es 12a
III) El perímetro del rectángulo es 8a + 2b
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
2
5) (3m – 5p) =
2
2
2
2
A) 6m – 10p
B) 9m – 25p
2
2
2
2
2
2
C) 9m – 15mp + 25p
D) 9m – 30mp – 25p
E) 9m – 30mp + 25p
6) Si al cuadrado de u – 3 se le resta el triple de u + 3, resulta
A) u2 – 9u
B) u2 – 9u - 18
C) u2 – 9u + 18
D) u2 – 3u – 12
E) u2 – 3u + 18
3 2
3
7) Al desarrollar la expresión (3 – 2a ) Pablo comete un error y da la siguiente respuesta: 9 – 12a
5
+ 4a . El error está en el
A) Doble producto donde falta el exponente 2 en 1.
B) Exponente del tercer término.
C) Exponente del primer término.
D) Signo del segundo término.
E) Signo del tercer término.
8) (5p – 7q)2 =
A) 10p2 – 14q2
B) 25p2 – 49q2
C) 25p2 – 35pq + 49q2
D) 25p2 – 70pq + 49q2
E) 25p2 – 70pq – 49q2
9) ¿Cuánto mide el área de un cuadrado cuyo lado mide (3x + 5y) ?
2
A) (15xy)
2
2
B) 9x + 25y
2
C) (6x + 10y)
D) 4(3x + 5y)
E) (3x + 5y)
2
2
10) Si a2 + b2 = 53 y ab = 14, entonces el valor de (a+b) es:
A) 2
B) 4
C) 7
D) 9
E) 14
RESPUESTAS:
A) 1) p2 + 2pq + q2
2) t2 + 10t + 25
3) 4x2 + 28x + 49
4) 4m2 + 12mn + 9n2
5) x4 + 2x2y3 + y6
6) 100x6 – 180x4 + 81x2
7) 0,01x4 – 0,02x2y + 0,01y2
B) 1) 25 ; (x + 5)2
4) 9x2 ; (3x – 7)2
8)
1 2 1 2
a  ab  b4
16
2
2) 81 ; (5y – 9)2
3) 96p ; (6p + 8)2
5) 1 ; (x – 1)2
6) 24x ; (3x + 4)2
C) 1) Lado 35, interior 900, 150, 150, 25 2) lado (5a+2b), interior 25a2, 10ab, 10ab, 4b2
3) Lado total (x+y), lados parciales x e y 4) Lado total (4a+3b), lados parciales 4a y 3b
D)
1A
2A
3B
4E
5E
6A
7B
8D
9E
10D