Práctica PDF

NOTA : Esta práctica está diseñada para trabajar solamente con la versión 6.0 de Mathematica
Gráficas paramétricas
Antes de trabajar con el oscilador armónico, vamos a hacer unas gráficas paramétricas ya que trabajaremos en el espacio fase.
Para hacer gráficas paramétricas se utiliza el comando ParametricPlot[{x(t),y(t)},{t,inicio,final}]. En donde
debemos tener dos funciones que dependen de un mismo parámetro. En este ejemplo hemos usado a (x, y) que dependen del
parámetro t.
A continuación se tienen varios ejemplos para generar gráficas paramétricas
ParametricPlot@8Cos@tetaD, Sin@tetaD<, 8teta, 0, 2 Pi<, AspectRatio ® 1D
ParametricPlot@83 Cos@tetaD ^ 3, 3 Sin@tetaD ^ 3<, 8teta, 0, 2 Pi<, AspectRatio ® 1D
ParametricPlot@8Cos@tetaD, Cos@tetaD Sin@tetaD<, 8teta, 0, 2 Pi<, AspectRatio ® 1D
La versión 6.0 de Mathematica permite realizar gráficas en donde se puede variar una variable y ver de manera instantánea su
impacto sobre la gráfica. Para hacer esto se usa el comando Manipulate. A continuación haremos una gráfica donde la varible a
representa el valor máximo que puede tomar el parámetro t.
Manipulate@ParametricPlot@83 Ht - Sin@tDL, 3 H1 - Cos@tDL<,
8t, 0, a<, AspectRatio ® 0.4, PlotRange ® 880, 60<, 80, 6<<D,
8a, 0.01, 25<D
Manipulate@ParametricPlot@8Exp@tD Cos@tD, Exp@tD Sin@tD<,
8t, 0, a<, PlotRange ® 88-40, 900<, 8-200, 1000<<D, 8a, .1, 8<D
Oscilador Armónico
Lo primero que haremos será resolver las ecuaciones de Newton cuando la fuerza es F = −k*x. A continuación usaremos el
parámetro w0 que definimos en la clase de teoría
solucion = DSolve@8x ’’@tD + w0 ^ 2 * x@tD Š 0, x@0D Š x0, x ’@0D == v0<, x@tD, tD
Simplify@solucionD
Con esta solcució definiremos una función, x, que por conveniencia dependerá del tiempo (t), la w0, la posición inicial(x0) y la
velocidad inicial (v0)
v0 Sin@t w0D
x@t_, w0_, x0_, v0_D = x0 Cos@t w0D + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
w0
v0 Sin@t w0D
x0 Cos@t w0D + €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
w0
Por supuesto que la velocidad se obtiene directamente al derivar la posición con respecto al tiempo
velocidad = D@x@t, w0, x0, v0D, tD
y con esto definimos a la función que representa la velocidad del móvil
v@t_, w0_, x0_, v0_D = v0 Cos@t w0D - w0 x0 Sin@t w0D
v0 Cos@t w0D - w0 x0 Sin@t w0D
Hagamos las gráficas de la posición y la velocidad suponiendo que k = 1, m = 1, x0=0.2 y v0=0
2 oscilador.nb
k = 1.;
m = 1.;
Plot@x@t, Sqrt@k  mD, 0.1, 0D, 8t, 0, 3 Pi<, AxesLabel ® 8"t", "x"<D
Plot@v@t, Sqrt@k  mD, 0.1, 0D, 8t, 0, 3 Pi<, AxesLabel ® 8"t", "v"<D
Evidentemente el comportamiento de estas funciones dependerá de los diferentes valores que tenga w0
Manipulate@Plot@x@t, w0, x0, v0D, 8t, 0, 6 Pi<, AxesLabel ® 8"t", "x"<, PlotRange ® 8-1, 1<D,
8w0, 0.1, 2<, 8x0, 0, 1<, 8v0, 0, 1<D
Manipulate@Plot@v@t, w0, x0, v0D, 8t, 0, 6 Pi<, AxesLabel ® 8"t", "v"<, PlotRange ® 8-1, 1<D,
8w0, 0.1, 2<, 8x0, 0, 1<, 8v0, 0, 1<D
Es claro que podemos estar interesados en una gráfica de v vs x, para lo cual el comando ParametricPlot es muy útil
ParametricPlot@8x@t, Sqrt@k  mD, 0.1, 0.D, v@t, Sqrt@k  mD, 0.1, 0.D<,
8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio ® 1, AxesLabel ® 8"x", "v"<D
De acuerdo a lo discutido en la clase de teoría podemos encontrar las componentes de la energía al multiplicar las ecuaciones de
Newton por la velocidad e integrar el resultado con respecto al tiempo
Clear@k, mD
energia = Integrate@x ’@tD * Hm * x ’’@tD + k * x@tDL, tD
De este resultado definimos a la función que representa a la energía cinética
cinetica@t_, w0_, x0_, v0_D = H1  2L * m * v@t, w0, x0, v0D ^ 2
y a la que representa a la energía potencial
potencial@t_, w0_, x0_, v0_D = H1  2L * k * x@t, w0, x0, v0D ^ 2
Con esto podemos ver cómo varian estas componentes de la energía con respecto al tiempo
m = 1.; k = 1.;
Plot@cinetica@t, Sqrt@k  mD, 0.1, 0D, 8t, 0, 2 * Pi<D
Plot@potencial@t, Sqrt@k  mD, 0.1, 0D, 8t, 0, 2 * Pi<D
Sin embargo, también podemos hacer un gráfico de cinética vs velocidad
ParametricPlot@8v@t, Sqrt@k  mD, 0.1, 0D, cinetica@t, Sqrt@k  mD, 0.1, 0D<,
8t, 0, 2 * Pi<, AspectRatio ® 0.4, AxesLabel ® 8"v", "E Cinetica"<D
ParametricPlot@8x@t, Sqrt@k  mD, 0.1, 0D, potencial@t, Sqrt@k  mD, 0.1, 0D<,
8t, 0, 2 * Pi<, AspectRatio ® 0.4, AxesLabel ® 8"x", "E Potencial"<D
ParametricPlot@8cinetica@t, Sqrt@k  mD, 0.1, 0D, potencial@t, Sqrt@k  mD, 0.1, 0D<,
8t, 0, 2 * Pi<, AxesLabel ® 8"E Cinetica", "E Potencial"<D