EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA BÁSICA 2005 − I ( prueba resuelta )

EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA BÁSICA
2005 − I
( prueba resuelta )
PROGRAMA PROFESIONAL : Ingeniería Informática
SEMESTRE : Primer Semestre
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1.− ( 2 puntos )
• Enunciar los axiomas de orden de los números reales
Existe un subconjunto de R, denotado por R+ que satisface los siguientes axiomas
O1 Tricotomía: todo numero real a o bien esta en R+, es cero o −a esta en R+
O2 Clausura: para todo par de números a y b de R+ se cumple que
a+b esta en R+
ab esta en R+
• Definir el valor absoluto de un número real
|a| = a si a >0
|a| = 0 si a =0
|a| = −a si a<0
• Definir el supremo de un subconjunto de números reales
Dada un subconjunto A de R se dice que S = Sup(A) si:
S es cota superior de A
S es la menor de las cotas superiores de A
f) Definir función inyectiva
Una función f A −> B se dice que es inyectiva si para u, v en A; f(u) = f(v) entonces u = v
2.− ( 2 puntos ) Si
halle A " B
A = ] −10, − sqrt(8) ] U [ sqrt(8) , 10[ ( sqrt = raiz cuadrada )
1
B = ] −Inf , − 2/5 ] U [ 2 , Inf [
Respuesta: A " B = ] −10 , − 2/5 ] U [ 2 , Inf [ ( Inf = infinito )
3.− ( 2 puntos ) Si
, y x diferente de 0 simplifique
Respuesta: 2/ (9 − x2)
4.− (2 puntos ) Halle el dominio de la función
Respuesta: Dom f = ] −Inf , 0 [ U [ 3/2 , Inf [
5.− (2 puntos ) Grafique la función
6.− ( 2 puntos) Si
. Halle
f(2) = 0.3745
Respuesta : f(f(2)) = 0.4334
7.− ( 2 puntos ) La gráfica de f ( x ) es la que se muestra, encuentre su regla de correspondencia
La pendiente m = (k+2)/2 luego
f(x) = (K+2)x/2 − 2 si x es menor o igual a 2
f(x) = K si x es mayor a 2
8.− ( 2 puntos ) Resuelva la ecuación cuadrática :
x1 = (a+|a|sqrt(2))
x2 = (a−|a|sqrt(2))
9.− ( 2 puntos ) Racionalice y simplifique:
Respuesta: a (a)^(1/3)
2
10.−
• ( 1 punto )Probar que ] 0 , Inf [ y R tienen la misma cardinalidad
La funcion logaritmo es biyectiva
Ln : ] 0, Inf [ R al ser biyectiva prueba que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad
b) ( 1 puntos ) Halle
Respuesta: x = − 7/3
Universidad Católica San Pablo
−3
2
−2
X
Y
3