La ecuación cúbica su historia y solución

Revista del Profesor de Matemáticas, RPM No.11 (2010)
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La ecuación cúbica su historia y solución
Juan Pablo Prieto
Instituto de Matemática y Fı́sica
Universidad de Talca
Siglo XVI. El despertar del álgebra
La solución de ecuaciones ha sido históricamente una de las fuentes más
fructı́feras de creación matemática. Las ecuaciones cuadráticas aparecen ya en
la antigüedad (Babilonia, 2000 AC) y la solución de la ecuación general, aun
cuando aparece en distintas formas en el tratado Elementos de Euclides mediante argumentos geométricos, es obtenida algebraicamente por el matemático
árabe al-Khowarizmi (c. 780- 850).
En Europa la matemática entra en un profundo estancamiento durante
la Edad Media, la única actividad se desarrollaba en el lejano oriente y fundamentalmente en el mundo árabe, donde se hizo un importante trabajo de
recopilación y traducción de los tratados griegos clásicos.
El Renacimiento es una era de gran expansión artı́stica e intelectual, pero
la matemática tuvo poco desarrollo. Lo único notable de este perı́odo (fines del
renacimiento) es el desarrollo del álgebra en la Escuela Italiana, especı́ficamente
los trabajos de Fibonacci y el trabajo sobre la ecuación cúbica que aquı́ tratamos.
Los actores
• Nicolo Tartaglia (1500-1557)
Nació en Brescia, en el norte de Italia. Debido a su pobreza, no pudo
acceder a estudios formales, pero en base a esfuerzo y estudio personal y
gracias a su capacidad logró un gran dominio de la matemática, lo que
le permitió acceder a puestos de profesor en Verona y Venecia. En 1530
un amigo le envió dos problemas:
– Encontrar un número cuyo cubo sumado a tres veces su cuadrado
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es 5, es decir resolver la ecuación: x3 + 3x2 = 5
– Encontrar tres números, el segundo de ellos supera al primero en 2,
el tercero supera al segundo también en 2, y cuyo producto es 100,
es decir, resolver la ecuación: x(x + 2)(x + 4) = 100 .
En 1535 Tartaglia pudo finalmente resolver estos problemas, y anunció
que podı́a resolver cualquier ecuación del tipo: x3 + px2 = q . Otro
matemático, Fiore, no creyendo esta afirmación, lo desafió a una competencia pública de resolución de problemas (algo muy común en esa época
y que permitı́a que los matemáticos exitosos escalaran posiciones en las
universidades). Debido a este desafı́o, Tartaglia trabajó arduamente para
encontrar la solución general de la ecuación cúbica. Un poco antes de
la competencia, Tartaglia desarrolló un esquema para resolver todas las
ecuaciones cúbicas que no tengan el término cuadrático. Después de dos
horas de competencia, Tartaglia habı́a reducido los 30 problemas que se
le propusieron a casos particulares de la ecuación x3 + px = q , para
las cuales él conocı́a la solución. Sin embargo, de los problemas que él
propuso a su oponente, éste no habı́a logrado solucionar ninguno.
• Girolamo Cardano (1501-1576)
La vida de Cardano fue deplorable, aun para los estándares de la época.
Ejecutaron a uno de sus hijos por envenenar a su esposa, él personalmente tuvo que cortarle la oreja a otro de sus hijos por la misma razón;
fue encarcelado por herejı́a por haber publicado el horóscopo de Cristo; y
en general dividı́a su vida entre el estudio intensivo y un gran libertinaje.
Pero aun ası́, en su rango de intereses, Cardano fue un verdadero “hombre
del renacimiento”: médico, filósofo, matemático, astrólogo, aficionado al
ocultismo y escritor prolı́fico. Después de una juventud dedicada a las
apuestas, Cardano comenzó sus estudios en la Universidad de Pavia y
los completó en la Universidad de Padua en 1525, con un doctorado en
medicina (a la edad de 50 años, Cardano era considerado uno de los
dos médicos más prominentes de Europa). Cuando Cardano supo de la
competencia entre Tartaglia y Fiore, le suplicó a Tartaglia que le diera
a conocer la solución de la ecuación cúbica, ofreciéndole incluirla en su
próximo libro Practica Artimeticae (1539), con el nombre de Tartaglia.
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Después de arduas negociaciones, Tartaglia finalmente accedió, sin embargo la solución no fue publicada en ese libro a petición de Tartaglia.
En 1545 fue publicado el clásico libro de Cardano Ars Magna en el cual
apareció la fórmula y el método de solución. En virtud de esta obra y de
una gran disputa entre Tartaglia y Cardano, la fórmula para la solución
de la ecuación cúbica lleva por nombre Fórmula de Cardano.
• Ludovico Ferrari (1522-1565)
Hijo de padres pobres, Ferrari fue llevado a los 14 años a la casa de Cardano como un sirviente. Debido a su gran talento, Cardano lo instruyó
en latı́n, griego y matemáticas. Luego se transformó en el secretario de
Cardano y después de 4 años de servicio se fue a la Universidad de Milán
como profesor. En 1565 se estableció de profesor en la Universidad de
Boloña y murió el mismo año por envenenamiento con arsénico (se dice
que fue su hermana). Ferrari fue el primer matemático que obtuvo la
solución de la ecuación general de cuarto grado.
• Niels Henrik Abel (1802-1829)
Un genio noruego que a los 19 años probó que es imposible resolver la
ecuación general de quinto grado por medio de las operaciones aritméticas y la extracción de raı́ces. Sin embargo hay ecuaciones de quinto grado
cuyas soluciones se pueden expresar mediante las operaciones aritméticas y la extracción de raı́ces. El matemático francés E. Galois (18111832), considerado uno de los matemáticos más grandes de todos los
tiempos, aun cuando vivió sólo 21 años, fue capaz de caracterizar aquellas
ecuaciones que son resolubles por radicales.
Ecuación cúbica general:
x3 + ax2 + bx + c = 0 .
(1)
El problema a tratar es la resolución de esta ecuación. En el comienzo del
siglo XVI los números complejos no “existı́an” como tales. Una ecuación con
soluciones complejas era considerada una ecuación sin soluciones. De hecho
este capı́tulo de la historia es fundamental en la aceptación de los números
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complejos en la matemática. En resumen, a estas alturas de la historia, se
pretendı́a encontrar una solución real a la cúbica.
El análisis que mostramos a continuación, es lo desarrollado por Cardano y
está basado en el trabajo previo de Tartaglia. Sin embargo, hay que reconocer
que Cardano evitó aquellas ecuaciones que dieran lugar a raı́ces (reales) mediante números complejos (ver el ejemplo de la página 20). En cualquier caso,
la técnica utilizada es la original de hace más de 450 años.
Solución de la cúbica
El primer paso para resolver esta cúbica es la siguiente sustitución que
permite simplificarla o reducirla: x = y − a/3 . Reemplazando en (1) tenemos:
a 2
a
+b y−
+c
3
3!
!
2a2 ab
a2
y+
−
+c .
= y3 + b −
3
27
3
0 =
Si definimos p = b −
ecuación de la forma:
y−
a2
3
a
3
3
y q=−
2a2
27
−
+a y−
ab
3
+ c , podemos escribir la última
y 3 + py = q .
(2)
Un ejemplo. Cardano resolvió la ecuación cúbica x3 + 20x = 6x2 + 33 con
esta técnica de reducción. Mediante la sustitución x = y − (−6)/3 = y + 2 la
ecuación se transforma en
(y 3 + 6y 2 + 12y + 8) + 20(y + 2) = 6(y 2 + 4y + 4) + 33
que en una vez simplificada es
y 3 + 8y = 9 .
Por simple inspección se puede estimar la solución y = 1, y por lo tanto
x = y + 2 = 3 satisface la ecuación cúbica original.
Ahora veremos como Cardano resolvió la ecuación cúbica reducida (2).
Consideremos la identidad (algebraica)
(a − b)3 + 3ab(a − b) = a3 − b3 .
(3)
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Si se eligen a y b de modo que 3ab = p y a3 − b3 = q, entonces la identidad
(3) se puede reescribir
(a − b)3 + p(a − b) = q .
De este modo, x = a − b será una solución de la ecuación cúbica (2). El problema de resolver la cúbica reducida se transforma en el problema de resolver
el sistema de ecuaciones simultáneas:
a3 − b3 = q
p
.
ab =
3
Para lograrlo, se eleva al cuadrado la primera ecuación y la segunda se eleva
al cubo y se multiplica por 4, luego se suman ambas, para obtener
4p3
27
(a3 + b3 )2 = a6 + 2a3 b3 + b6 = q 2 +
o bien
s
a3 + b3 =
q2 +
4p3
.
27
Ahora, si resolvemos las ecuaciones
s
a3 − b 3 = q
a3 + b 3 =
y
q2 +
4p3
27
en forma simultánea, se pueden obtener los valores de a3 y b3 , y por lo tanto
de a y b ,
v 
v

s
s
u
u
u1
u
3
4p
q 2 p3
3 q
u
t
3
=
a = t q + q 2 +
+
+
,
2
27
2
4
27
b=
v 
u
u1
u
3
−q
t
2
s
+
q2 +
4p3

27

=
−
v
u
u
3
t
v
u
u
3
t
q
− +
2
s
q 2 p3
+
.
4
27
Por consiguiente, como x = a − b
x=
v
u
u
3 q
t
2
s
+
q2
4
+
p3
27
q
− +
2
s
q 2 p3
+
4
27
Esta es la fórmula conocida como “Fórmula de Cardano”.
(4)
20
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Nótese que basta conocer una raı́z de la ecuación cúbica, puesto que mediante una división obtenemos un polinomio cuadrático, para el cual ya conocemos una fórmula algebraica para sus raı́ces. Veamos un ejemplo concreto.
Consideremos la ecuación: x3 + 6x = 20. En este caso, p = 6 y q = 20,
de modo que p3 /27 = 8 y q 2 /4 = 100, y la fórmula (4) nos da:
x=
q√
3
108 + 10 −
q√
3
108 − 10
Actividad
• Para esta ecuación,
1. Compruebe que este valor es efectivamente una raı́z.
2. Encuentre las otras dos raı́ces de la ecuación.
• Encuentre en forma exacta las tres raı́ces de las siguientes ecuaciones
cúbicas, reduciéndolas primero a una sin el término x2 :
1. x3 + 11x = 6x2 + 6
2. x3 + 6x2 + x = 14
Una dificultad, que logró afirmar la idea de los números complejos, se puede
ejemplificar con la siguiente ecuación: x3 − 15x = 4 .
Una aplicación directa de la fórmula de Cardano-Tartaglia (4) nos da
q
x =
3
2+
q
√
√
3
−121 + 2 − −121
que a simple vista parece ser un número complejo. Sin embargo, un análisis
más fino nos demostrará que este número es en efecto un número real. El
análisis que viene a continuación está basado en el libro Algebra de Rafael
Bombelli de 1572. Bombelli fue el primer matemático que se atrevió a trabajar
con números imaginarios.
q
√
√
Supongamos que 3 2 + −121 = a + bi, entonces 2 + −121 = (a + bi)3
q
√
y por lo tanto 3 2 − −121 = a − bi. Ahora bien, si calculamos (a + bi)3
obtenemos la siguiente ecuación:
√
√
√
2 + −121 = 1 + 11 −1 = a(a2 − 3b2 ) + b(3a2 − b2 ) −1 .
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Ası́, obtenemos a(a2 − 3b2 ) = 2
y
21
b(3a2 − b2 ) = 11.
Si buscamos soluciones en los enteros, se puede ver que los valores son a = 2
√
√
√
√
y b = 1. Por lo tanto, 2 + −121 = (2 + −1)3 y 2 − −121 = (2 − −1)3 .
Con todo esto se puede concluir (asombroso?)
q
q
√
√
√
√
3
3
x = 2 + −121 + 2 − −121 = (2 + −1) + (2 − −1) = 4
Al probar que la solución es un número real, Bombelli demostró que los
números reales pueden ser engendrados por números imaginarios.
Actividad
Encuentre una raı́z real de las siguientes ecuaciones cúbicas.
√
√
• x3 = 63x2 + 126 (Ayuda: 81 ± 30 −3 = (−3 ± 2 −3)3 )
√
√ 3
1
3
±
• x3 = 7x + 6 (Ayuda: 3 ± 10
−3
=
−3 . )
9
2
6
El Método de Viêta
F. Viêta usó un método alternativo para resolver la cúbica reducida x3 +
a
ax = b. Mediante la sustitución, x = 3y
− y, la ecuación se transforma en
y 6 + by 3 −
a3
=0
27
que es una ecuación cuadrática en y 3 . Por la fórmula cuadrática,

1
y 3 = −b ±
2
s

4a3 
b2 +
27
de esta ecuación se puede encontrar y tomando la raı́z cúbica y luego usando
la sustitución se encuentra el valor de x.
Actividad
Usando este método, encuentre las raı́ces de las siguientes ecuaciones:
• x3 + 81x = 702
• x3 + 6x2 + 18x + 13 = 0 (Nota.
√
142884 = 378 ).