El comportamiento del precio de las acciones

El comportamiento del precio de las acciones
Estrella Perotti
Investigador Senior
Bolsa de Comercio de Rosario
[email protected]
Para comprender el funcionamiento de los modelos de valuación de opciones
sobre acciones primeramente es necesario tener cierto conocimiento sobre el
comportamiento de los precios de dicho activo y los pilares sobre los que se
basa el modelo.
En el presente trabajo se desarrollan los lineamientos generales del modelo de
comportamiento del precio de las acciones, para continuar en las publicaciones
subsiguientes adentrándonos en el modelo de Black - Scholes propiamente
dicho.
1. Nociones preliminares
A principios de los 70’, Fisher Black y Myron Scholes realizaron un descubrimiento
científico de gran importancia (que luego les valiera el premio Nóbel de Economía
junto a Robert Merton) en la valoración de las opciones sobre acciones.
El modelo de Black- Scholes (BS) es una aplicación de la idea de replicación que
provee una elegante forma de solución para valuar calls europeos1. La derivación de la
solución está basada en los siguientes supuestos:
•
•
•
•
•
•
El precio del activo subyacente se mueve de manera continua
La tasa de interés es conocida y constante (tasa libre de riesgo)
La varianza de los retornos es constante
No se realizan pagos de dividendos
Mercado de capitales perfecto (es decir, se permiten las ventas en corto, no
existen costos de transacción o impuestos y el mercado opera continuamente).
No existen oportunidades de arbitraje
El supuesto más importante dentro del modelo es que los precios son continuos.
El supuesto subyacente al modelo es que el precio de las acciones sigue lo que se
denomina un “recorrido aleatorio” (random walk). Esto significa que los cambios
proporcionales en el precio de las acciones en un período de tiempo muy corto se
1
Las opciones europeas son aquellas que pueden ser ejercidas sólo en la fecha de vencimiento de las mismas.
1
distribuyen normalmente, lo que implica, por otra parte, que el precio de las acciones
en cualquier momento futuro tiene lo que se conoce como distribución lognormal2.
En las secciones siguientes tratará de desarrollarse en mayor profundidad los
procesos estadísticos pilares del modelo de Black – Scholes para la valuación de
opciones sobre acciones.
2. Procesos estocásticos continuos
A partir de este momento trataremos de determinar cómo medir el cambio en una
variable cualquiera durante un período de tiempo. Para ello utilizaremos diferentes
procesos estocásticos.
Consideremos una variable que sigue un proceso estocástico Markov3. Supongamos
que su valor actual es de $ 10 y que el cambio de valor durante un año es φ (0,1),
donde φ (µ, σ) denota una distribución de probabilidad distribuida normalmente con
media µ y desvío estándar σ. Cuál es la distribución de probabilidad del cambio en el
valor de la variable durante dos años?.
El cambio en dos años es la suma de dos distribuciones normales, cada una de las
cuales tiene media cero y desviación estándar 1. Debido a que se trata de una variable
del tipo Markov, las dos distribuciones de probabilidades son independientes. Cuando
sumamos dos distribuciones de probabilidades normales independientes, el resultado
es una distribución normal donde la media es la suma de las medias y la varianza es la
suma de las varianzas4. La media del cambio en dos años de la variable considerada
será cero y la varianza de este cambio dos. El cambio en una variable en dos años es
entonces φ (0, 2 ) .
Considere nuevamente un cambio en la variable pero durante seis meses. De acuerdo
a lo expuesto en el párrafo anterior, un cambio en la variable durante un año podría
ser considerado como la suma del cambio en la variable durante los primeros seis
meses más el cambio en la variable durante los segundos seis meses del año. Si
damos por sentado que estos resultados son equivalentes, la varianza del cambio
durante seis meses debe ser 0.5, por lo que su desvío estándar es
0.5 . La
distribución de probabilidad del cambio durante los seis meses sería entonces
φ (0, 0.5 ) .
Generalizando, podríamos decir que el cambio de una variable durante un período de
tiempo T podría considerarse como φ (0, T ) . En particular, el cambio en una variable
durante un período de tiempo muy corto ∆t es φ (0, ∆t ) .
2
Mientras que una variable con distribución normal puede tomar valor positivo o negativo, una variable distribuida lognormalmente
sólo puede ser positiva. Una distribución normal es simétrica, la lognormal es asimétrica con media, mediana y moda, todas ellas
diferentes.
3
Un proceso Markov es un tipo especial de proceso estocástico donde sólo el valor presente de la variable es relevante para predecir
el futuro. La historia pasada de la variable y el camino seguido por ésta para llegar al valor presente son irrelevantes.
4
La varianza es el cuadrado del desvío estándar.
2
El proceso seguido por la variable considerada es conocido como proceso Wiener.
Este es un caso particular del proceso estocástico de Markov con media cero y
varianza 1 por año. Éste ha sido utilizado en física para describir el movimiento de una
partícula, referido a menudo como movimiento Browniano.
Formalmente, una variable z sigue un proceso Wiener si cumple con las siguientes
propiedades:
1. El cambio ∆z durante un período de tiempo muy corto ∆t es:
∆z = ε ∆t
Donde:
ε = es una variable aleatoria para una distribución normal estandarizada, φ (0,1).
2. El valor de ∆z, para dos intervalos de tiempo diferentes ∆t , es independiente.
De las propiedades enunciadas se puede concluirse que, ∆z tiene distribución normal
con media igual a cero, desvío estándar igual a ∆t y varianza igual a ∆t. De la
segunda propiedad también puede inferirse que z sigue un proceso Markov.
Un proceso Wiener es el límite cuando ∆t→ 0 del proceso descripto para z. El proceso
Wiener básico, dz, ha sido desarrollado de manera de tener una tasa de cambio de
cero y una tasa de varianza de 1. La tasa de cambio de cero significa que el valor
esperado de z en cualquier momento futuro es igual a su valor actual. La tasa de
varianza de 1 significa que la varianza del cambio en z en un intervalo de tiempo T es
igual a T. Un proceso Wiener generalizado para una variable x puede ser definido en
términos de dz como:
dx = adt + bdz
Donde
a y b son constantes
adt = implica que x tiene una tasa de cambio de a por unidad de tiempo
bdz = es la variabilidad (riesgo) del camino seguido por x
Como vimos anteriormente, en un intervalo de tiempo muy reducido ∆t, el cambio en el
valor de x, ∆x, se determina por:
∆x = a∆t + bε ∆t
Donde:
ε ∆t
= ∆z
De lo expuesto puede derivarse que ∆x tiene distribución normal con media igual al
primer término de la derecha de la ecuación y desvío estándar igual al segundo
término a la derecha de la ecuación.
3
3. El proceso para precios de las acciones
A partir de ahora nos centraremos en los procesos estocásticos comúnmente
utilizados para el precio de acciones que no pagan dividendos5.
Sería tentador sugerir que los precios de una acción siguen un proceso Wiener
generalizado, esto es, que su tasa de cambio es constante y que su tasa de varianza
también lo es. Sin embargo, este método sería obsoleto al momento de capturar la
característica más importante del precio de las acciones, esto es, que el porcentaje
de retorno esperado requerido por los inversores en una acción es
independiente del precio de la misma. Claramente, el supuesto de que la tasa de
cambio es constante sería inapropiado y debe ser reemplazado por el supuesto de que
el retorno esperado (esto es, el cambio esperado sobre el precio de la acción) es
constante. Si llamamos S al precio de la acción en un momento determinado t, la tasa
de cambio esperada en S debería suponerse como µS, para algún parámetro
constante µ. Esto implica que, para un intervalo de tiempo muy reducido, ∆t, el
incremento esperado en S es µS∆t. El parámetro µ representa la tasa de retorno
esperada, expresada decimalmente. Si la volatilidad del precio de la acción fuera cero,
este modelo determinaría que ∆S = µS∆t. En el límite, cuando ∆t→ 0, dS = µSdt ó
dS
= µdt de manera que:
S
S T = S 0 e µT
Donde:
S0 = el precio de la acción al momento cero
ST = el precio de la acción al momento T
La ecuación precedente nos indica que, cuando la varianza es cero, el precio de la
acción crece a una tasa µ que capitaliza de manera continua. Obviamente, la realidad
nos indica que el precio de la acción exhibe una determinada volatilidad. Un supuesto
razonable es que la variabilidad del porcentaje de retorno en un período de tiempo
muy corto, ∆t, es la misma sin tener en cuenta el precio de la acción. En otras
palabras, un inversor tiene la misma incertidumbre acerca del porcentaje de retorno de
la acción cuando el precio de la misma es $50 que cuando es $10. Esto nos sugiere
que la desviación estándar del cambio en un período de tiempo muy pequeño ∆t
debería ser proporcional al precio de la acción y conducir al modelo
dS = µSdt + σSdz ó
dS
= µdt + σdz
S
La última ecuación es el modelo más utilizado para determinar el comportamiento del
precio de una acción. Este modelo también se conoce como movimiento geométrico
Browniano. La versión en un intervalo discreto de tiempo del modelo es:
∆S
= µ∆t + σε ∆t ó ∆S = µS∆t + σSε ∆t
S
Donde:
5
Este es uno de los supuestos sobre los que se basa el modelo de B-S.
4
∆S = es el cambio en el precio de la acción
S = precio de la acción en un momento determinado
∆t = intervalo de tiempo muy corto
ε = variable aleatoria de una distribución normal estandarizada N(0,1)
µ = tasa de retorno esperada por unidad de tiempo. Se presume constante
σ = volatilidad del precio de la acción. Se presume constante
El término µ∆t es el valor esperado del retorno y el término σε ∆t es el componente
estocástico del retorno. La varianza del componente estocástico es σ 2 ∆t , consistente
con la definición de volatilidad; esto es σ es tal que σ ∆t es la desviación estándar
del retorno en un intervalo reducido de tiempo ∆t. De lo visto hasta el momento
podemos concluir que ∆S/S se distribuye normalmente con media µ∆t y desvío
estándar σ ∆t . De manera algebraica,
∆S
≈ φ ( µ∆t , σ ∆t )
S
4. Ito’s Lemma
Este desarrollo es de suma importancia en la derivación del modelo de Black –
Scholes.
Además de los mencionados, puede definirse otro tipo de proceso estocástico
continuo, conocido como el lema de Ito, el cual es un proceso generalizado Wiener
donde los parámetros a y b son funciones del valor de la variable subyacente x y del
tiempo, d. Algebraicamente,
dx = a ( x, t )dt + b( x, t )dz
En un intervalo de tiempo reducido entre t y t + ∆t, el cambio de la variable x a x + ∆x
será:
∆x = a ( x, t )∆t + b( x, t )ε ∆t
Esta relación asume que tanto la tasa de cambio como de varianza permanecen
constantes e iguales a a(x, t) y b(x, t)2 respectivamente durante el intervalo de tiempo
entre t y t + ∆t.
El precio de una opción sobre acciones es función del precio de la acción subyacente
y el tiempo. En otras palabras, el precio de cualquier derivado es una función de una
variable estocástica subyacente al derivado y del tiempo, motivo por el cual, un estudio
acerca de los derivados debería ofrecernos algún entendimiento sobre el
comportamiento de funciones de variables estocásticas. Un importante avance en esta
área fue realizado por K. Ito y se lo conoce como Ito’s Lemma.
El mismo supone que dz es un proceso Wiener y que el valor de una variable x sigue
el proceso Ito explicado anteriormente, donde la variable x tenía una tasa de cambio
5
de a y una varianza de b2. El lema de Ito muestra que una función G(x, t) sigue el
proceso:
⎛ ∂G
∂G
∂G 1 ∂ 2 G 2 ⎞
dG = ⎜⎜
a+
b ⎟⎟dt +
bdz
+
2
∂x
∂t 2 ∂x
⎠
⎝ ∂x
Esta tiene una tasa de cambio de:
⎛ ∂G
∂G 1 ∂ 2 G 2 ⎞
⎜⎜
a+
b ⎟⎟
+
∂t 2 ∂x 2
⎠
⎝ ∂x
y una tasa de varianza de
⎛ ∂G ⎞ 2
⎟ b
⎜
⎝ ∂x ⎠
2
Anteriormente habíamos expresado que dS = µSdt + σSdz con µ y σ constantes, es un
modelo razonable del movimiento de los precios. El lema de Ito nos indica que el
proceso seguido por una función G(S, t) es:
⎛ ∂G
∂G
∂G 1 ∂ 2 G 2 2 ⎞
dG = ⎜⎜
µS +
σ S ⎟⎟dt +
σSdz
+
2
S
t
S
2
∂
∂
∂
S
∂
⎠
⎝
S y G se ven afectadas por la misma fuente de incertidumbre subyacente dz. Esto es
muy importante en la derivación del resultado de Black – Scholes.
Si además, utilizamos el lema de Ito para derivar el proceso seguido por Ln S y
1 ∂G
∂G 1 ∂ 2 G
definimos G = lnS debido a que
= 0 , podemos determinar
= ; 2 =− 2;
∂S S ∂S
S ∂t
que el proceso seguido por G es:
⎛
σ2
dG = ⎜⎜ µ −
2
⎝
⎞
⎟⎟dt + σdz
⎠
Debido a que µ y σ son constantes, esta ecuación indica que G sigue un proceso
⎛
σ2 ⎞
⎟ y una
Wiener generalizado. Este tiene una tasa de cambio constante ⎜⎜ µ −
2 ⎟⎠
⎝
varianza constante σ2. El cambio en G entre el momento cero y un momento futuro T
⎛
σ2 ⎞
⎟⎟T y varianza σ2T.
está por lo tanto distribuido normalmente con media ⎜⎜ µ −
2 ⎠
⎝
Veremos en las sucesivas publicaciones la importancia de este resultado.
6
5. Conclusiones
Se han presentado hasta aquí lineamientos generales sobre los que se basará
posteriormente el desarrollo de Black – Scholes. Si bien han sido tratados en forma
independiente, en conjunción derivan en uno de los descubrimientos más importantes
de los últimos 30 años en materia financiera.
6. Bibliografía
Hull, John .- Futures, Options & Other Derivatives (Fourth Edition) – Prentice Hall
1994.
Jorion, Philippe - Financial Risk Management Handbook - Wiley Finance (2000-2001).
Chriss, Neil – Black – Scholes and Beyond – Irwin 1997.
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