Integrales de la forma

k
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
Integrales de la forma
VI
INTEGRALES DE LA FORMA
∫ ( mx + n ) ( ax
2
k
2
+ bx + c ) dx
, con k = ± 1, - 2
Estas integrales difieren de las vistas en el capítulo anterior solamente en el binomio mx + n
que debe aparecer en el numerador con exponente 1. Ejemplos de integrales de esta forma son:
∫ ( 2 x − 5)
∫
∫
4 x 2 − x + 6 dx
( 5 x + 12 ) dx
9 x 2 + 18 x − 21
( 8 x − 1) dx
16 x 2 + 21x − 1
La técnica para integrar estas funciones consiste en hacer primero el cambio de variable del
trinomio cuadrático u = ax2 + bx + c, a partir del cual se calcula la diferencial du = (2ax + b)dx.
Como el polinomio 2ax + b de esta diferencial es de la misma forma que el binomio mx + n del
numerador de la integral original, a base de multiplicaciones y sumas, con sus respectivas operaciones inversas (divisiones y restas) para que no se altere, debe transformarse el binomio original
57
k
Integrales de la forma
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
mx + n en el polinomio 2ax + b de la diferencial de u. Una vez logrado, la integral resultante se
parte en dos integrales, las cuales ya se pueden realizar por alguno de los métodos ya estudiados
hasta ahora.
En síntesis:
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c )
Para integrar funciones de la forma
k/2
dx , con k = ± 1, - 2:
a) Hágase u = ax2 + bx + c.
b) Obténgase la diferencial du = (2ax + b)dx.
c) Multiplíquese y divídase simultáneamente la integral original por
m
2a
∫
k/2
2a
( mx + n ) ( ax 2 + bx + c ) dx =
m
k/2
m ⎛
2an ⎞ 2
=
2
+
+
+
ax
ax
bx
c
dx
(
)
⎜
⎟
2a ∫ ⎝
m ⎠
d) Súmese y réstese b en el binomio:
m
2a
∫
k/2
2an ⎞ 2
⎛
⎜ 2ax + b − b +
⎟ ( ax + bx + c ) dx
m ⎠
⎝
e) Pártase en dos integrales:
m
2a
∫ ( 2ax + b ) ( ax
+
m
2a
∫
2
+ bx + c )
k/2
dx +
k/2
⎛ 2an
⎞
− b ⎟ ( ax 2 + bx + c ) dx
⎜
⎝ m
⎠
58
2a
:
m
k
Integrales de la forma
∫
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
( 27 x − 8 ) dx
Ejemplo 1:
Integrar
Solución:
Sea u = 81x 2 + 36x + 8 , de donde
du = (162x + 36) dx
81x 2 + 36 x + 8
Si el binomio del numerador de la integral original se multiplica (y se divide) por 6, se obtiene
como primer término 162x , que es el primer término de la diferencial du. Haciéndolo:
1
6
∫
6 ( 27 x − 8 ) dx
81x + 36 x + 8
2
=
1
6
∫
(162 x − 48) dx
81x 2 + 36 x + 8
Ahora debe sumarse (y restarse) + 36 al mismo binomio:
=
1
6
∫
(162 x + 36 − 36 − 48) dx
81x 2 + 36 x + 8
Y dividiéndola en dos integrales, resulta:
=
1
6
∫
(162 x + 36 ) dx
81x 2 + 36 x + 8
+
1
6
∫
( − 36 − 48 ) dx
81x 2 + 36 x + 8
En esta primera integral, el numerador es du y el denominador es u (ver el cambio de variable
con el que se inicio este procedimiento). En la segunda integral, se pueden sumar las constantes
del numerador y escribirse afuera de la integral:
=
1
6
∫
du
84
−
u
6
∫
dx
81x + 36 x + 8
2
Como la 2ª integral es de la forma estudiada en el capítulo anterior, se tiene que
59
k
Integrales de la forma
=
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
1
ln u − 14 ∫
6
dx
(9x + 2)
2
+4
v2 = (9x + 2)2
v = 9x + 2
dv= 9 dx
a2 = 4
a=2
∫
( 27 x − 8) dx
81x + 36 x + 8
2
de donde:
=
1
14
ln ( 81x 2 + 36 x + 8 ) −
6
9
∫ (9x + 2)
9 dx
=
1
14
ln ( 81x 2 + 36 x + 8 ) −
6
9
∫
=
1
14 ⎡ 1
u⎤
ln ( 81x 2 + 36 x + 8 ) −
arc tan ⎥ + c
⎢
6
9 ⎣a
a⎦
=
1
14 ⎡ 1
9x + 2 ⎤
ln ( 81x 2 + 36 x + 8 ) −
arc tan
+c
⎢
6
9 ⎣2
2 ⎥⎦
=
1
7
9x + 2
+c
ln ( 81x 2 + 36 x + 8 ) − arc tan
6
9
2
2
+4
du
u + a2
2
COMPROBACIÓN:
Para efectos de abreviar símbolos al momento de referirse a la derivada del resultado de la
60
k
Integrales de la forma
integral, hágase I =
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
1
7
9x + 2
ln ( 81x 2 + 36 x + 8 ) − arc tan
+c.
6
9
2
Entonces
⎡ d
81x 2 + 36 x + 8 )
1 ⎢ dx (
dI
= ⎢
dx
6 ⎢
81x 2 + 36 x + 8
⎣
1 ⎡ 162 x + 36
= ⎢
6 ⎣ 81x 2 + 36 x + 8
⎡ d ⎛ 9x + 2 ⎞ ⎤
⎤
⎢
⎥ 7 ⎢ dx ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥⎥
+0
⎥− ⎢
2
⎥ 9 ⎢ ⎛ 9 x + 2 ⎞ + 1 ⎥⎥
⎜
⎟
⎦
⎣⎝ 2 ⎠
⎦
⎡
⎤
9
⎥
⎤ 7 ⎢
2
⎥
⎥− ⎢
2
⎦ 9 ⎢ 81x + 36 x + 4 + 1 ⎥
⎢⎣
⎥⎦
4
⎡
1 ⎡ 6 ( 27 x + 6 ) ⎤ 7 ⎢
1
= ⎢
⎥− ⎢
2
2
6 ⎣ 81x + 36 x + 8 ⎦ 2 ⎢ 81x + 36 x + 4 + 4
⎣⎢
4
=
⎤
27 x + 6
7 ⎡
4
− ⎢
⎥
2
2
2 ⎣ 81x + 36 x + 8 ⎦
81x + 36 x + 8
=
27 x + 6
14
−
2
2
81x + 36 x + 8
81x + 36 x + 8
dI
27 x − 8
=
2
dx
81x + 36 x + 8
61
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
k
Integrales de la forma
∫
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
( 5 x − 1) dx
Ejemplo 2:
Integrar
Solución:
Sea u = 16x 2 + 40x + 21 , de donde
du = (32x + 40)dx
16 x 2 + 40 x + 21
Si el binomio del numerador de la integral original se multiplica (y se divide) por
32
, se
5
obtiene como primer término 32x , que es el primer término de la diferencial du. Haciéndolo:
5
32
∫
32
( 5 x − 1) dx
5
5
=
2
16 x + 40 x + 21
32
∫
32 ⎞
⎛
⎜ 32 x −
⎟ dx
5 ⎠
⎝
16 x 2 + 40 x + 21
Ahora debe sumarse y restarse + 40 (ver du) al mismo binomio para obtener du:
=
5
32
∫
32 ⎞
⎛
⎜ 32 x + 40 − 40 −
⎟ dx
5 ⎠
⎝
16 x 2 + 40 x + 21
Y dividiéndola en dos integrales, resulta:
=
5
32
∫
( 32 x + 40 ) dx
16 x + 40 x + 21
2
+
5
32
∫
32 ⎞
⎛
⎜ − 40 −
⎟ dx
5 ⎠
⎝
16 x 2 + 40 x + 21
En esta primera integral, el numerador es du y el denominador es u (ver el cambio de variable
con el que se inicio este procedimiento). En la segunda integral, se pueden sumar las constantes
del numerador y escribirse afuera de la integral:
62
k
Integrales de la forma
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
=
5
32
∫
=
5
32
∫
du ⎛ 5 ⎞ ⎛ 232 ⎞
dx
−⎜
⎟⎜−
⎟∫
2
u
5 ⎠ 16 x + 40 x + 21
⎝ 32 ⎠ ⎝
du
29
−
u
4
∫
dx
16 x + 40 x + 21
2
La segunda integral es de la forma estudiada en el capítulo anterior; la primera ya es de fórmula, de modo que
=
5
29
ln u −
32
4
dx
∫ ( 4 x + 5)
2
−4
v2 = (4x + 5)2
v = 4x + 5
dv= 4 dx
a2 = 4
a=2
de donde:
=
5
29 ⎛ 1 ⎞
ln u −
⎜ ⎟
32
4 ⎝ 4 ⎠∫
=
5
29
ln (16 x 2 + 40 x + 21) −
32
16
=
⎛ u − a ⎞⎤
5
29 ⎡ 1
ln (16 x 2 + 40 x + 21) −
ln ⎜
⎢
⎟⎥ + c
32
16 ⎣ 2a ⎝ u + a ⎠ ⎦
=
⎛ 4x + 5 − 2
5
29 ⎡ 1
ln (16 x 2 + 40 x + 21) −
ln ⎜
⎢
32
16 ⎢⎣ 2 ( 2 ) ⎝ 4 x + 5 + 2
63
4 dx
( 4 x + 5)
2
∫
−4
du
u − a2
2
⎞⎤
⎟⎥ + c
⎠ ⎥⎦
k
Integrales de la forma
∫
( 5 x − 1) dx
16 x + 40 x + 21
2
=
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
5
29 ⎛ 4 x + 3 ⎞
ln (16 x 2 + 40 x + 21) −
ln ⎜
⎟+c
32
64 ⎝ 4 x + 7 ⎠
( 7 x − 6 ) dx
∫
Ejemplo 3:
Integrar
Solución:
Sea u = 3 - 6x - 9x2 , de donde
du = (- 18x - 6)dx
3 − 6x − 9x2
Si el binomio del numerador de la integral original se multiplica (y se divide) por −
18
, se
7
obtiene como primer término - 18x , que es el primer término de la diferencial du. Haciéndolo:
−
7
18
∫
−
18
( 7 x − 6 ) dx
7
7
=−
18
3 − 6x − 9x2
∫
108 ⎞
⎛
⎜ − 18 x +
⎟ dx
7 ⎠
⎝
3 − 6x − 9x2
Ahora debe restarse (y sumarse) 6 al mismo binomio para obtener du:
=−
Y dividiéndola en dos integrales, resulta:
64
7
18
∫
108
⎛
⎜ − 18 x − 6 + 6 +
7
⎝
3 − 6 x − 9 x2
⎞
⎟ dx
⎠
k
Integrales de la forma
=−
7
18
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
( − 18 x − 6 ) dx
∫
3 − 6x − 9x2
−
7
18
108 ⎞
⎛
⎜6 +
⎟ dx
7 ⎠
⎝
3 − 6 x − 9 x2
∫
En esta primera integral, el numerador es du y el denominador es
u (ver el cambio de
variable con el que se inicio este procedimiento). En la segunda integral, se pueden sumar las
constantes del numerador y escribirse afuera de la integral:
=−
7
18
du
∫
u
−
7 ⎛ 150 ⎞
⎜
⎟
18 ⎝ 7 ⎠ ∫
dx
3 − 6 x − 9 x2
La segunda integral es de la forma estudiada en el capítulo anterior:
=−
7
18
∫
u
−
1
2
du −
25
3
∫
dx
4 − ( 3 x + 1)
2
v2 = (3x + 1)2
v = 3x + 1
dv= 3 dx
a2 = 4
a=2
⎡ − 1 +1 ⎤
⎥
7 ⎢ u 2
25 ⎛ 1 ⎞
=−
⎢ 1
⎥ −
⎜ ⎟
18 ⎢ −
3 ⎝ 3 ⎠∫
+1 ⎥
⎣ 2
⎦
65
de donde:
3 dx
4 − ( 3 x + 1)
2
k
Integrales de la forma
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
⎡
7 ⎢ u 1/ 2
=−
⎢
18 ⎢ 1
⎣ 2
∫
( 7 x − 6 ) dx
3 − 6x − 9x
∫
2
⎤
⎥ 25
⎥−
9
⎥
⎦
∫
dv
a − v2
2
=−
7
25 ⎡
v⎤
⎡⎣ 2u 1/ 2 ⎤⎦ −
arc sen ⎥ + c
⎢
18
9 ⎣
a⎦
=−
7
9
3 − 6x − 9 x2 −
25
3x + 1
arc sen
+c
9
2
(11x + 2 ) dx
Ejemplo 4:
Integrar
Solución:
Sea u = 5x2 + 6x - 39 , de donde
du = (10x + 6)dx
5 x 2 + 6 x − 39
Si el binomio del numerador de la integral original se multiplica (y se divide) por
10
11
, se
obtiene como primer término 10x , que es el primer término de la diferencial du. Haciéndolo:
11
10
∫
10
(11x + 2 ) dx 11
11
=
5 x 2 + 6 x − 39
10
∫
20 ⎞
⎛
⎜ 10 x +
⎟ dx
11
⎝
⎠
5 x 2 + 6 x − 39
Ahora debe sumarse (y restarse) 6 al mismo binomio para obtener du:
66
k
Integrales de la forma
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
11
=
10
∫
20
⎛
⎜ 10 x + 6 − 6 +
11
⎝
2
5 x + 6 x − 39
⎞
⎟ dx
⎠
Y dividiéndola en dos integrales, resulta:
11
=
10
11
=
10
∫
∫
(10 x + 6 ) dx
11
+
2
10
5 x + 6 x − 39
∫
(10 x + 6 ) dx
11
+
2
10
5 x + 6 x − 39
20 ⎞
⎛
⎜− 6 +
⎟ dx
11
⎝
⎠
5 x 2 + 6 x − 39
∫
46
dx
11
5 x 2 + 6 x − 39
−
En esta primera integral, el numerador es du y el denominador es u (ver el cambio de variable
con el que se inicio este procedimiento). En la segunda integral, se pueden sumar las constantes
del numerador y escribirse afuera de la integral:
=
11
10
∫
du
23
−
u
5
∫
dx
5 x + 6 x − 39
2
La segunda integral es de la forma estudiada en el capítulo anterior:
=
11
10
∫
du
23
−
u
5
∫
dx
⎛
⎜ 5 x+
⎝
⎛
v =⎜ 5 x+
⎝
2
67
2
3 ⎞
204
⎟ − 5
5 ⎠
3 ⎞
⎟
5 ⎠
2
de donde:
k
Integrales de la forma
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
v=
dv =
a2 =
a=
=
3
5 x+
5
5 dx
204
5
204
5
11
23 ⎛ 1 ⎞
5 dx
ln u −
⎜
⎟∫
2
10
5 ⎝ 5 ⎠ ⎛
3 ⎞
204
⎜ 5 x+
⎟ − 5
5 ⎠
⎝
du
u − a2
=
11
23
ln ( 5 x 2 + 6 x − 39 ) −
10
5 5
=
11
23 ⎡ 1
⎛ u − a ⎞⎤
ln ( 5 x 2 + 6 x − 39 ) −
ln ⎜
⎟⎥ + c
⎢
10
5 5 ⎣ 2a ⎝ u + a ⎠ ⎦
⎡
⎢
11
23 ⎢
2
=
ln ( 5 x + 6 x − 39 ) −
10
5 5 ⎢
⎢2
⎣
⎛
⎜
1
ln ⎜
⎜
204
⎜
5
⎝
⎡
⎢
11
23 ⎢
5
=
ln ( 5 x 2 + 6 x − 39 ) −
ln
10
5 5 ⎢ 2 204
⎢
⎣
68
∫
5 x+
5 x+
5 x+
5 x+
2
3
−
5
3
+
5
204
5
204
5
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥ + c
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
3
−
5
3
+
5
204
5
204
5
⎤
⎥
⎥+c
⎥
⎥
⎦
k
Integrales de la forma
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
5 que aparece en el numerador y denominador del
Para eliminar el denominador parcial
argumento del logaritmo natural de la segunda integral, basta multiplicar numerador y denominador por
=
∫
5 :
(11x + 2 ) dx
5 x + 6 x − 39
2
3
+
5
⎞
⎟⎟
⎠ +c
204 ⎞
⎟
5 ⎟⎠
⎛ 5x + 3 −
11
23
ln ( 5 x 2 + 6 x − 39 ) −
ln ⎜⎜
10
10 204
⎝ 5x + 3 +
204 ⎞
⎟+c
204 ⎟⎠
11
23
ln ( 5 x 2 + 6 x − 39 ) −
ln
10
10 204
=
69
⎛
5 ⎜⎜ 5 x +
⎝
⎛
5 ⎜⎜ 5 x +
⎝
3
−
5
204
5
k
Integrales de la forma
2
∫ ( mx + n ) ( ax + bx + c ) 2 dx
EJERCICIO 24
Realizar las siguientes integrales:
1)
3)
5)
∫
∫
∫
7)
∫
9)
∫
11)
∫
13)
∫
15)
∫
( 2 x − 7 ) dx
2)
81x + 36 x + 5
2
( 2 x + 17 ) dx
4)
4 x − 28 x + 33
2
( 9 x − 1) dx
6)
16 x 2 − 56 x − 15
(17 x + 13) dx
25 x 2 − 10 x + 2
( 9 x − 7 ) dx
35 + 12 x − 36 x
2
( x + 6 ) dx
25 x 2 − 11x + 5
( 7 x + 9 ) dx
2 x + 3 x − 13
2
( 5 − 2 x ) dx
8x + 7 x − 6
2
70
∫
∫
∫
( 4 x − 11) dx
23 + 44 x − 4 x 2
( 7 x − 2 ) dx
9 x 2 + 60 x + 125
(13x + 11) dx
45 − 12 x − x 2
( 6 x + 13) dx
8)
∫
10)
∫ ( x − 9)
12)
∫
3 x dx
6 x − 24 x − 5
14)
∫
6x
16)
∫
36 x 2 + 60 x − 75
9 x 2 − 7 x dx
2
10 + 10 x − 13 x 2 dx
( 2 − 3x ) dx
5 − x − x2