D:\LIBROS TEXTO\Cálculo Integral AREA 2\4 integrales de la forma

Integrales de la forma
∫
k
( ± u 2 ± a 2 ) 2 dx
IV
INTEGRALES DE LA FORMA
∫ (± u
2
± a
2
)
k
2
dx , con k = ± 1, - 2
En este capítulo se verán nueve fórmulas más, las cuales pueden enunciarse de manera no formal
con el siguiente texto: Son las fórmulas de todas las posibles combinaciones de u2 y a2, sumadas
o restadas, con raíz cuadrada o sin ella, en el numerador o en el denominador.
a) Sumadas o restadas: Según se tome el signo positivo o negativo del ± que aparece en la forma
delante de u y de a.
b) Con raíz cuadrada: Si k = ± 1, ya que el exponente toma el valor de ½ o de - ½, o sin raíz
cuadrada si k = - 2.
c) En el numerador o en el denominador: Si k es positivo el exponente es positivo y la expresión
está en el numerador; si k es negativo el exponente es negativo y la expresión está en el
denominador.
Las nueve fórmulas son:
31
Integrales de la forma
I)
Con raíz cuadrada en el numerador:
(8)
∫
(9)
∫
(10)
II)
III)
∫
k
( ± u 2 ± a 2 ) 2 dx
∫
2
u 2 − a 2 du =
u
2
2
2
u2 − a2 −
u
a − u du =
2
2
(
a2
u +a +
ln u +
2
u
u + a du =
2
2
2
(
a2
u
a −u +
arc sen + c
a
2
2
2
(11)
∫
du
1
u
= arc tan + c
2
u +a
a
a
(12)
∫
⎛ u−a ⎞
du
1
=
ln ⎜
⎟+c
2
u −a
2a ⎝ u + a ⎠
(13)
∫
⎛ a+u ⎞
du
1
=
ln ⎜
⎟+c
2
a −u
2a ⎝ a − u ⎠
2
2
2
Con raíz cuadrada en el denominador:
∫
(15)
∫
du
u +a
2
2
du
u 2 − a2
= ln u +
(
u2 + a2
)+c
(
u 2 − a2
)+c
= ln u +
32
)
)+c
a2
ln u + u 2 − a 2 + c
2
Sin raíz cuadrada en el denominador:
(14)
u 2 + a2
(16)
Ejemplo 1: Integrar
Solución:
Sean
∫
∫
du
a2 − u 2
= arc sen
k
( ± u 2 ± a 2 ) 2 dx
∫
Integrales de la forma
u
+c
a
9 x 2 + 25 dx
a2 = 25
u2 = 9x2 , por lo que
u = 3x
du = 3dx
a=5
No olvidar que en el uso de cualquier fórmula debe hacerse cambio de variable. En este caso,
si se va a utilizar la fórmula (8) , ésta pide, además del radical, la diferencial du que en este
ejemplo vale 3 dx. Por lo tanto, tiene que multiplicarse y dividirse la integral original por 3:
∫
9 x 2 + 25 dx =
1
3
∫
9 x 2 + 25 N
3 dx
u2 + a2
=
1 ⎡u
⎢
3 ⎣2
u2 + a2 +
du
(
a2
ln u +
2
)
⎤
u2 + a2 ⎥ + c
⎦
Sustituyendo los valores de u y a que para este ejemplo corresponden:
=
1 ⎡ 3x
3 ⎢⎣ 2
33
9 x 2 + 25 +
(
25
ln 3 x +
2
)
⎤
9 x 2 + 25 ⎥ + c
⎦
Integrales de la forma
∫
Ejemplo 2: Integrar
Solución:
∫
9 x 2 + 25 dx =
x
2
∫
k
( ± u 2 ± a 2 ) 2 dx
9 x 2 + 25 +
(
25
ln 3 x +
6
)
9 x 2 + 25 + c
dx
36 − 49 x 2
La integral tiene la forma de la fórmula (13) (sin raíz cuadrada y en el denominador):
Sean
a2 = 36
u2 = 49x2
u = 7x
du = 7dx
a=6
por lo que
Para tener la diferencial du que pide la fórmula (13) debe multiplicarse y dividirse la integral
original por 7:
∫
dx
1
=
2
36 − 49 x
7
∫
7 dx
36 − 49 x 2
=
1
7
∫
du
a − u2
=
⎛ a+u
1 ⎡ 1
ln ⎜
⎢
7 ⎣ 2a ⎝ a − u
du
a2 − u2
2
⎞⎤
⎟⎥ + c
⎠⎦
Sustituyendo los valores de u y a que para este ejemplo corresponden:
=
34
1
7
⎡ 1
⎛ 6 + 7x
ln ⎜
⎢
⎢⎣ 2 ( 6 ) ⎝ 6 − 7 x
⎞⎤
⎟⎥ + c
⎠ ⎥⎦
∫
Integrales de la forma
∫
Ejemplo 3: Integrar
Solución:
k
( ± u 2 ± a 2 ) 2 dx
⎛ 6 + 7x ⎞
dx
1
=
ln ⎜
⎟+c
2
84 ⎝ 6 − 7 x ⎠
36 − 49 x
5 dx
∫
81x 2 − 4
La integral tiene la forma de la fórmula (15) (con raíz cuadrada y en el denominador):
Sean
a2 = 4
u2 = 81x2
u = 9x
du = 9dx
a=2
por lo que
El 5 del numerador es una constante que puede echarse afuera de la integral. Además, para tener
la diferencial du que pide la fórmula (15) debe multiplicarse y dividirse la integral por 9:
∫
⎛ 1⎞
= 5⎜ ⎟ ∫
2
⎝ 9⎠
81x − 4
5 dx
du
9 dx
u2 − a2
81x 2 − 4
=
5
9
du
=
5 ⎡
ln u +
9 ⎣⎢
∫
u2 − a2
(
)
u2 − a2 ⎤ + c
⎦⎥
Sustituyendo los valores de u y a que para este ejemplo corresponden:
∫
5 dx
81x − 4
2
=
(
5
ln 9 x +
9
35
)
81x 2 − 4 + c
Integrales de la forma
∫
k
( ± u 2 ± a 2 ) 2 dx
EJERCICIO 22
Realizar las siguientes integrales:
1)
∫
3)
∫
5)
∫
7)
∫
9 dx
100 x 2 + 81
9)
∫
dx
64 x 2 + 121 dx
7 dx
1 − 4x2
100 − 9x 2 dx
x 2 − 25
11)
∫
13)
∫
12 dx
400 x − 121
2
8 dx
1 − x2
36
2)
∫
4)
∫
6)
∫
8)
∫
81 − 144x 2 dx
2 dx
25 − 169 x 2
9 x 2 − 1 dx
6 dx
16 x 2 − 49
10 dx
10)
∫
12)
∫
81 − 121x 2 dx
14)
∫
11 dx
9 x 2 + 100
x2 + 1