TEMA 8. SINTONIZACION DE CONTROLADORES PID. DISEÑO DE

Sintonización de Controladores PID.-
89
TEMA 8. SINTONIZACION DE CONTROLADORES PID. DISEÑO DE
COMPENSADORES.
En los capítulos anteriores se ha visto como los controladores PID son apropiados para ser usados
en lazos de realimentación. Ahora bien, con objeto de conseguir una alta eficacia de control, se hará
necesario el sintonizar sus tres parámetros KC, τI y τD de forma adecuada.
Previamente se han dado una serie de consideraciones para sintonizar controladores PID basados
en valores de los márgenes de fase y ganancia. Sin embargo, también existen métodos para sintonizar
controladores basados en el comportamiento en el dominio del tiempo. En este capítulo se verán con más
detalle varios métodos de sintonización tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la
frecuencia.
Por otro lado, la sintonización en el dominio del tiempo requiere en algunos casos el uso de
compensadores de adelanto, atraso o atraso-adelanto los cuales pueden ser diseñados mediante la técnica
del lugar de las raíces o a través de los diagramas de respuesta en frecuencia.
8.1. Sintonización de controladores de realimentación.
El diseño de un controlador presenta dos cuestiones básicas:
-El tipo de controlador (P, PI, PID) apropiado.
-La sintonización del controlador.
La respuesta deseada en lazo cerrado se suele especificar con referencia a un criterio de calidad de
respuesta. A este planteamineto básico del problema de sintonización hay que incorporar cuatro factores a
tener en cuenta:
*Los algoritmos PID en los distintos controladores comerciales no son exactamente iguales. Así,
hay controladores digitales y analógicos y que la acción derivativa puede actuar sobre el error o sobre la
variable del proceso a controlar.
*El modelo dinámico del proceso representa solo una aproximación a su comportamiento real que
además, debido a la no linealidad del proceso real, puede variar de unas condiciones de operación a otras.
*La variable del proceso manipulada no debe experimentar cambios excesivamente bruscos que
afecten negativamente al equipo.
*La calidad de respuesta deseada puede referirse a cambios en el punto de consigna o a cambios
en las perturbaciones.
Sintonización de Controladores PID.-
90
8.2. Criterios de calidad de respuesta.
Generalmente el criterio de calidad de respuesta se refiere a cambios en escalón. Por otro lado, un
mismo criterio de calidad determinará diferentes parámetros de ajuste del controlador dependiendo si el
escalón se da en el punto de consigna o en una variable de perturbación, sin embargo, la diferencia no
será demasidao apreciable puesto que el comportamiento en lazo cerrado depende fuertemente del
comportamiento en lazo abierto GCGP en la que no está involucrada GD. Solo en casos en los que los
cambios en perturbación sean más frecuentes que los cambios en el punto de consigna se justifica un
criterio de calidad basado en la perturbación. Los criterios de calidad de respuesta se dividen en:
-Criterios de estabilidad (margen de fase o ganancia).
-Criterios basados en la respuesta en estado estacionario (offset permitido).
-Criterios basados en la respuesta dinámica del sistema. Se distinguen en este apartado:
-Criterios basados en características puntuales de respuesta.
-Criterios basados en toda la respuesta.
De los criterios mencionados anteriormente, los dos primeros son fácilmente impuestos. La única
especificación razonable es que el sistema sea estable y que el error en régimen permanente sea mínimo.
En el tercer caso la especificación es subjetiva y depende del tipo de sistema, factores ingenieriles, etc.
8.2.1. Criterios basados en una característica puntual de respuesta.
Características puntuales en criterios de calidad de respuesta
.
Pueden citarse por ejemplo:
-Mínimo tiempo de levantamiento.
-Mínimo tiempo de asentamiento.
-Máximo sobrepaso permitido.
-Relación de amortiguamiento ¼.
Sintonización de Controladores PID.-
91
Dentro de esta categoría uno de los criterios más utilizados es el denominado de relación de
amortiguamiento ¼. En este caso la respuesta óptima del proceso es una respuesta subamortiguada en la
que la segunda sobreoscilación S2 es un cuarto de la primera S1. Este criterio es un compromiso entre la
velocidad de respuesta (tiempo para alcanzar el valor deseado de respuesta) y el tiempo de asentamiento
(tiempo para que la respuesta presente oscilaciones inferiores a 5% del valor deseado).
Este criterio no suele ser aceptable para cambios en escalón del punto de consigna ya que produce
una sobreoscilación demasiado elevada (S1 ≈ 0.5Δyr), aunque sí es aceptable para cambios en la
perturbación. El conjunto de parámetros de ajuste no es único excepto en el caso del controlador
proporcional.
8.2.2. Criterios basados en toda la respuesta.
a-La integral del error.
ym(t)
ym(t)
t
t
Cambios en consigna y en perturbación
ym(t)
ITAE
IAE
ISE
t
Respuesta según criterio.
Los criterios basados en la integración del error más utilizados son:
Sintonización de Controladores PID.-
92
∞
1. Integral del cuadrado del error: ISE = ∫ e 2 (t )dt
0
∞
2. Integral del valor absoluto del error: IAE =
∫ e(t ) dt
0
∞
3. Integral del valor absoluto del error por el tiempo: ITAE = ∫ t e(t ) dt
0
La sintonización óptima es la que minimiza el criterio seleccionado (ISE, IAE, ITAE). Un
controlador P no puede sintonizarse con estos criterios ya que no elimina el error en régimen permanente
y por tanto las tres integrales darían un valor infinito.
De forma general, se considerarán lo siguientes aspectos:
*Para eliminar grandes errores ISE es mejor que IAE ya que los errores están elevados al cuadrado
contribuyendo de forma más importante al valor de la integral.
*Para suprimir pequeños errores IAE es mejor que ISE ya que al elevar al cuadrado pequeños
números (<1) estos se hacen incluso menores.
*Para suprimir errores que persisten en el tiempo el criterio ITAE es el óptimo ya que la presencia
del tiempo dentro de la integral amplifica el error aunque este sea pequeño.
b- Predeterminación de respuesta dinámica.
Mediante este criterio se especifica de antemano la forma de respuesta dinámica y se sintoniza el
controlador para que el lazo cerrado responda de la forma predeterminada, (se suelen especificar los polos
dominantes en lazo cerrado)
De todas formas, se obtendrán diseños de controlador diferentes en función de tres aspectos:
-Criterio elegido (ISE, IAE, ITAE).
-Tipo de respuesta en lazo cerrado.
-Tipo de entrada.
8.3. Métodos de sintonización de controladores PID.
El proceso de sintonización de controladores se puede llevar a cabo bien de manera rigurosa con
modelos detallados de proceso o bien con la utilización de modelos aproximados de proceso sin necesidad
de tener en cuenta de forma estricta los pormenores del sistema. Existen métodos de sintonización de
controladores sin modelo, entre los que destacan el modelo de sintonización en lazo cerrado de Ziegler
Nichols que se puede implementar de forma totalmente experimental. En nuestro caso, sin embargo, se
Sintonización de Controladores PID.-
93
incluye dentro de los métodos que requieren un modelo riguroso puesto que también es posible utilizarlo
sin necesidad de experimentación. (Ogunnaike 555).
A continuación se verán algunos métodos de sintonización de controladores que utilizan bien
modelos aproximados del proceso a sistemas de primer orden con tiempo muerto, bien otro tipo de
modelos más ajustados a la realidad en el dominio de Laplace o de la frecuencia.
8.3.1. Métodos basados en modelos aproximados.
i-Método de ajuste de Cohen Coon. (Process reaction curve method).
Controlador
Parámetros
Cohen-Coon
P
Kc
1 τ⎡
θ⎤
1+ ⎥
⎢
K θ ⎣ 3τ ⎦
PI
Kc
1 τ⎡
θ ⎤
0.9 +
⎢
K θ⎣
12τ ⎥⎦
θ[30 + 3(θ τ )]
9 + 20(θ τ )
τI
PID
1 τ ⎡16τ + 30 ⎤
K θ ⎢⎣ 12τ ⎥⎦
θ[32 + 6(θ τ)]
13 + 8(θ τ )
Kc
τI
4θ
11 + 2(θ τ)
τD
Se basa en ajustar la curva de respuesta del proceso (elemento final, proceso en sí y elemento
sensor medidor) a un sistema de primer orden con tiempo muerto. Cohen Coon basándose en diferentes
criterios de optimización (1/4 decay ratio, mínimo offset, ISE) propuso las anteriores relaciones.
ii-Método de ajuste de Ziegler-Nichols de lazo abierto.
Controlador
P
PI
PID
Kc
1 τ
Kθ
0.9 τ
K θ
1.2 τ
K θ
τI
τD
--
--
3.33θ
--
2θ
0.5θ
Sintonización de Controladores PID.-
94
Similar al anterior, y basándose en el decay ratio ¼, Ziegler y Nichols propusieron las anteriores
reglas de sintonización. Smith y Corripio recomiendan utilizar este método sólo cuando el cociente
tiempo muerto/constante de tiempo se sitúe en el rango 0.1-1.0.
iii-Método de Smith.
Smith y colaboradores han desarrollado varias correlaciones para la sintonización de controladores
PID basándose en la minimización de la integral del error. Al igual que en el caso anterior se recomienda
usarlas sólo cuando el cociente tiempo muerto/constante de tiempo se sitúe en el rango 0.1-1.0.
Las correlaciones se dan en las siguientes tablas para cambios en consigna o perturbación:
Cambios en el punto de consigna:
Integral del error
b
a ⎛t ⎞ 1
Kc = 1 ⎜ m ⎟
K⎝τ ⎠
τI =
τ
⎛t ⎞
a2 + b2 ⎜ m ⎟
⎝τ ⎠
b
a ⎛t ⎞ 1
Kc = 1 ⎜ m ⎟
K⎝τ ⎠
τI =
τ
⎛t ⎞
a2 + b2 ⎜ m ⎟
⎝τ ⎠
⎛t ⎞
τ D = a3τ ⎜ m ⎟
⎝τ ⎠
b3
IAE
IAET
a1 = 0.758
0.586
b1 = -0.861
-0.916
a2 = 1.02
1.03
b2 = -0.323
-0.165
a1 = 1.086
0.965
b1 = -0.869
-0.855
a2 = 0.740
0.796
b2 = -0.130
-0.147
a3= 0.348
0.308
b3= 0.914
0.9292
Sintonización de Controladores PID.-
95
Cambios en perturbación
Integral del error
Kc =
IAE
IAET
a ⎛ tm ⎞b
⎜ ⎟
K⎝τ ⎠
a = 1.411
0.902
0.490
b = -0.917
-0.985
-1.084
b
a1 = 1.305
0.984
0.859
b1 = -0.959
-0.986
-0.977
a2 = 0.492
0.608
0.674
b2 = 0.739
0.707
0.680
a1 = 1.495
1.435
1.357
b1 = -0.945
-0.921
-0.947
a2 = 1.101
0.878
0.842
b2 = 0.771
0.749
0.738
a3= 0.560
0.482
0.381
b3= 1.006
1.137
0.995
a ⎛t ⎞ 1
Kc = 1 ⎜ m ⎟
K⎝τ ⎠
τ ⎛t ⎞
τI = ⎜ m ⎟
a2 ⎝ τ ⎠
b2
b
a1 ⎛ tm ⎞ 1
Kc = ⎜ ⎟
K⎝τ ⎠
τI =
ICE
τ
⎛t ⎞
a2 + b2 ⎜ m ⎟
⎝τ ⎠
⎛t ⎞
τ D = a3τ ⎜ m ⎟
⎝τ ⎠
b3
iv- Método de Ciancone
Ciancone, por su parte, obtuvo correlaciones diferentes para cambios en el punto de consigna y en
la perturbación. Asumiendo GP = GD las premisas en las que se basó fueron las siguientes:
-Errores de +25% en los parámetros del modelo
-Modelo simple de primer orden con tiempo muerto.
-Minimización del índice IAE en la respuesta a un escalón.
-Restricciones en la variación de la variable manipulada.
-Controlador PID no interactivo con la acción derivativa sobre la variable de proceso a controlar.
⎛
dy (t ) ⎞
1
m(t ) = m(t ) + K C ⎜ e(t ) + ∫ e(t )dt + τ D m ⎟
dt ⎠
τl
⎝
Para tener en cuenta la aproximación al comportamiento real, los parámetros de sintonización del
controlador son los que minimizan la suma de los tres IAE obtenidos con tres conjuntos de parámetros:
los nominales, y los incrementados y disminuidos un 25%. Las correlaciones de Ciancone para un PID se
muestran en las figuras. Estas correlaciones deben utilizarse en el rango 0.1<tm/(tm+τp)<1.0
Sintonización de Controladores PID.-
2
0.3
0.1
0.5 τ /(t +τ )
I m
p
0.05
KCKP & τI/(tm+τp)
KCKP & τI/(tm+τp)
0.15
0.25
1.2
τD/(tm+τp)
1 K K
C P
0.8
0.15
0.6
0.1
0.4 τ /(t +τ )
I m
p
0.05
0.2
0
0
0.2
0.4
0
0.8
0.6
τm/(tm+τp)
0.2
0
0
τD/(tm+τp)
1
0.2
τD/(tm+τp)
τD/(tm+τp)
KCKP
Cambios Consigna
1.4
0.25
1.5
0.3
1.6
Cambios Perturbación
96
0.2
0.4
0.6
0
0.8
τm/(tm+τp)
v-Método de sintonización de síntesis directa.
Es posible desarrollar reglas de sintonización de controladores PID basados en una trayectoria
preconcebida de la respuesta en lazo cerrado. (Ogunnaike capítulo 19, ejemplo en pag. 526). En este caso
la sintonización del controlador viene determinada porque la salida será un sistema de primer orden con
tiempo muerto, siendo τr la constante de tiempo de la salida y el tiempo muerto igual al del modelo de
proceso. Las reglas de sintonización son:
Sintonización por síntesis directa.
Kc
PI
PID
τ
K (τ r + tm )
2τ + tm
2 K (τ r + tm )
τI
τD
τ
τ+
tm
2
τ tm
2τ + tm
Este método es un caso particular del método de sintonización directa basado en modelos
rigurosos.
vi- Sintonización mediante el método del modelo interno de control.
El fundamento es similar al método de sintonización de síntesis directa. En este caso es necesario
un parámetro de filtro lambda que considera la constante de tiempo en lazo cerrado del sistema. Las
reglas de sintonización son:
Sintonización de Controladores PID.-
Valor recomendado de λ
(Siempre > 0.2τ)
PI
λ
tm
PI
λ
mejorado
tm
PID
λ
tm
Kc
τI
> 1.7
τ
Kλ
τ
> 1.7
2τ + tm
2λ K
τ+
tm
2
> 0.25
2τ + tm
2 K ( λ + tm )
τ+
tm
2
97
τD
τ tm
2τ + tm
Cuestión. Considerar un proceso de tres tanques en serie con función de transferencia del elemento final de control y elemento
sensor transmisor unidad. Diseñar controladores PI y PID según los diferentes métodos vistos. Resp.
Las ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo que representan el sistema son las ya anteriormente vistas:
dh1
= F0 − c1h1
dt
sA1h1 = F0 − c1h1
dh 2
A2
= c1h1 − c2 h 2 . En el dominio de Laplace: sA 2 h 2 = c1h1 − c2 h 2 y operando:
dt
sA3h 3 = c2 h 2 − c3h 3
dh
A3 3 = c2 h 2 − c3h 3
dt
A1
h1 =
1/ c1
F
( A1 / c1 ) s + 1 0
h2 =
c1 / c2
h Con lo cual:
( A 2 / c2 ) s + 1 1
h3 =
c 2 / c3
h
( A 3 / c3 ) s + 1 2
h3 =
c 2 / c3
c1 / c2
1/ c1
K
F0 =
F
( A3 / c3 ) s + 1 ( A2 / c2 ) s + 1 ( A1 / c1 ) s + 1
( τ3s + 1) ( τ2s + 1)( τ1s + 1) 0
Donde K = 6; τ1 = 2; τ2 = 4; τ3 = 6. De forma experimental se obtiene la siguiente respuesta ante escalón unitario de Fo.
Sintonización de Controladores PID.-
98
6
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
El ajuste a un sistema de primer orden con tiempo muerto da lugar a: h 3 =
transferencia es: G(s) =
G(s) =
50
6 exp( −3s)
F es decir, la función de
(15s + 1) 0
6 exp( −3s)
. Si se hace de forma más cuidadosa se obtiene t63=13 y t28=7 con lo cual resulta en:
(15s + 1)
6 exp(−4s)
. Aplicando las reglas de sintonización finalmente:
( 9s + 1)
Sintonización de Controladores PID.-
99
8.3.2. Métodos basados en modelos detallados.
i-Métodos basados en una característica puntual de respuesta (1/4 decay).
Supóngase un sistema de primer orden controlado por un regulador PI, al cerrar el lazo la función
de transferencia que relaciona setpoint con salida viene determinada por:
y ( s) =
τ I s +1
τ Iτ P
τI
ysp , donde τ =
; ξ = 0.5
(1 + K P K C )
τ s + 2ξτ s + 1
K P KC
τ P K P KC
2 2
En temas anteriores se comprobó como los máximos y mínimos de un sistema oscilante venían
⎛ nπξ
impuestos por: exp ⎜
⎜ 1− ξ 2
⎝
⎞
⎛ πξ
⎟ , el primer sobrepaso se dará por tanto en exp ⎜
⎟
⎜ 1− ξ 2
⎠
⎝
⎞
⎟ mientras que el
⎟
⎠
⎛ 3πξ ⎞
⎛ −2πξ
segundo lo hará en exp ⎜
⎟ , si la relación entre ambos es de ¼ se tiene: exp ⎜
⎜ 1− ξ 2
⎜ 1− ξ 2 ⎟
⎝
⎝
⎠
⎞ 1
⎟= y
⎟ 4
⎠
⎛
⎞
τI
1
(1 + K P K C ) ⎟
⎜ −2π
2 τ P K P KC
⎟ = 1 que tras la correspondiente manipulación
sustituyendo valores exp ⎜
⎜
⎟ 4
1 τI
(1 + K P K C ) 2 ⎟⎟
⎜⎜ 1 −
4 τ P K P KC
⎝
⎠
matemática resulta en: −2π
τI
1
(1 + K P K C ) = ln , con esta ecuación se tienen dos
2
4τ P K P K C − τ I (1 + K P K C )
4
variables que son Kc y τI, por lo tanto existirán infinitas combinaciones que cumplan el requisito ¼.
En la figura se muestran las respuestas para pares de valores (1, 0.153), (10, 0.464), (30, 0.348). El
optar por una pareja de valores u otra depende de las características del proceso y especificaciones
concretas en el domino del tiempo (máximo sobrepaso, tiempo de asentamiento, etc.)
Respuesta de un sistema de primer orden con control PI con criterio de sintonización ¼.
Sintonización de Controladores PID.- 100
ii-Métodos basados en la minimización de la integral del error.
Ya definido anteriormente, se basa en elegir una función de error y minimizarla.
1/(1+s)
+
-
PI
20/(1+s)
Considérese el sistema mostrado en la figura, la función de transferencia para cambios en el set-
τI
s
20 K C
τ s +1
ysp + 2 2
d
point y perturbaciones es: y ( s ) = 2 2 I
τ s + 2ξτ s + 1
τ s + 2ξτ s + 1
donde τ =
τI
20 K C
; ξ=
1
τI
(1 + 20 K C )
2 20 K C
Los valores de ganancia y tiempo integral se computan eligiendo en primera instancia la expresión
de error (ISE, IAE, ITAE) y sobre que entrada se consideran los cambios (consigna o perturbación).
y ( s) =
Supóngase un escalón unitario en la consigna:
τ I s +1
1
, hallando la
τ s + 2ξτ s + 1 s
2 2
antitransformada de Laplace para sistemas subamortiguados:
y (t ) = 1 +
−ξ
t
⎡τ
t
⎛
⎢ I sen ⎜ 1 − ξ 2
2
τ
⎝
1 − ξ ⎢⎣ τ
e
τ
2
⎛
⎞
2 t
−1 1 − ξ
−
⎜
−
+
1
tan
ξ
sen
⎟
⎜
τ
ξ
⎠
⎝
∞
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
2
El problema se resume en minimizar: ISE = ∫ ⎡⎣ ysp − y (t ) ⎤⎦ dt
0
El proceso puede implementarse por ordenador con el consiguiente ahorro en esfuerzo
matemático. El optimizador de Excel Solver puede realizar la tarea.
Sintonización de Controladores PID.- 101
iii- Sintonización por síntesis directa.
Considérese el sistema dado por la función de transferencia en lazo cerrado: y ( s ) =
GC G
yd ( s ) ,
1 + GC G
supóngase ahora que se pre-especifica una respuesta en el dominio del tiempo dada por: y(s) = q(s)yd(s)
Donde q(s) es la trayectoria de referencia que deberá tener en cuenta si en el proceso existen de
antemano tiempos muertos o respuesta inversa (la trayectoria deseada no puede eliminar la existencia de
tiempos muertos o ceros en el semiplano derecho).
Una vez elegida q(s) la función de transferencia del controlador se puede obtener fácilmente
mediante: q( s ) =
GC G
1⎛ q ⎞
y despejando: GC = ⎜
⎟
1 + GC G
G ⎝ 1− q ⎠
La trayectoria q(s) debe contemplar los siguientes puntos a la hora de ser elegida:
-Mínimo o nulo offset
-Respuesta rápida y estable con el mínimo sobrepaso.
-Posibilidad del proceso de seguir a q(s).
-Forma matemática lo más simple posible.
Las trayectorias más utilizadas corresponden a sistemas de primer orden con y sin tiempo muerto
y segundo orden con y sin ceros a la derecha del semiplano imaginario.
A continuación se aborda el caso más sencillo en el que q(s) sea una trayectoria de primer orden.
* q(s) =
1
1 1
, se aplicará esta
. La función de transferencia del controlador es: GC =
τ r s +1
τrs G
expresión a varios sistemas diferentes (distinta G):
-Ganancia pura G = K, GC =
deseada con tiempo integral
1
τI
=
1 1
. Un controlador integral puro dará la respuesta
τrs K
1
.
τrK
-Capacitor puro G = K/s, GC =
1 1
. Un controlador proporcional consigue el
τr K
efecto deseado.
-Proceso de primer orden G =
controlador PI.
τ s +1 τ ⎛
1⎞
K
, GC =
=
⎜1 + ⎟ que es un
Kτ r s Kτ r ⎝ τ s ⎠
τ s +1
Sintonización de Controladores PID.- 102
Ejemplo: dado G =
0.66
, sintonizar un controlador PI que de cómo resultado una respuesta de
6.7 s + 1
primer orden sin offset y constante de tiempo 5. (comparar los resultados con los obtenidos si τr = 1).
1 ⎞
⎛
Mediante las expresiones obtenidas anteriormente: GC = 2.03 ⎜1 +
⎟ (Ver en Control IP)
⎝ 6.7 s ⎠
1 ⎞
⎛
Si τr = 1 entonces, GC = 10.15 ⎜1 +
⎟ (Solo aumenta la ganancia, el tiempo integral permanece
⎝ 6.7 s ⎠
invariable).
-Proceso de segundo orden G =
controlador PID: GC =
2ξτ
Kτ r
Ejemplo: dado G =
⎛
1
τ
+
⎜1 +
⎝ 2ξτ s 2ξ
1
τ 2 s 2 + 2ξτ s + 1
=
, es decir un
;
G
C
Kτ r s
τ 2 s 2 + 2ξτ s + 1
⎞
s⎟.
⎠
1
, sintonizar un controlador PID que de cómo resultado una
(2s + 1)(5s + 1)
respuesta de primer orden sin offset y constante de tiempo 5. (comparar los resultados con los obtenidos
si τr = 1).
1
⎛
⎞
Mediante las expresiones obtenidas anteriormente: GC = 1.4 ⎜1 + + 1.43s ⎟ (Ver en Control IP)
⎝ 7s
⎠
1
⎛
⎞
Si τr = 1 entonces, GC = 7 ⎜1 + + 1.43s ⎟ (Solo aumenta la ganancia, los tiempos integral y
⎝ 7s
⎠
derivativo permanecen invariables).
En el caso de requerir una trayectoria de segundo orden:
* q(s) =
1
.
τ s + 2ξ rτ r s + 1
2 2
r
-Si se tiene un proceso de orden dos G =
el controlador debe ser: GC =
GC = =
K
K
=
τ s + 2ξτ s + 1 (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1)
2 2
(τ 1s + 1)(τ 2 s + 1) (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1)
=
, haciendo τ2 = φ
Kτ r s (τ r s + 2ξ r )
β s(φ s + 1)
(τ 1s + 1) τ 1
1
= (1 + ) .
βs
β
τ 1s
-Si se tiene un proceso de orden tres: G =
el controlador debe ser: GC =
K
(τ 1s + 1)(τ 2 s + 1)(τ 3 s + 1)
(τ 1s + 1)(τ 2 s + 1)(τ 3 s + 1) (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1)(τ 3 s + 1)
=
, haciendo τ3 = φ
Kτ r s (τ r s + 2ξ r )
β s (φ s + 1)
Sintonización de Controladores PID.- 103
GC =
(τ 1s + 1)(τ 2 s + 1) (τ 1 + τ 2 ) ⎡
ττ
1
=
+ 1 2
⎢1 +
βs
β ⎣ (τ 1 + τ 2 ) s τ 1 + τ 2
⎤
s ⎥ que es un controlador PID.
⎦
Ejemplo (examen junio 2004): Se pretende diseñar un regulador PID para controlar un sistema de
tercer orden tal como el descrito por la función de transferencia: G(s) =
6
ante cambios
( 2s + 1)( 4s + 1)( 6s + 1)
en la referencia. Las funciones de transferencia del elemento final de control y sensor transmisor son la
unidad. Para ello se pretende utilizar el método de sintonización de síntesis directa. Se desea que la
respuesta en lazo cerrado del sistema siga una trayectoria correspondiente a un sistema de segundo orden
subamortiguado: q(s) =
1
τr2s2
+ 2τr ξr s + 1
.
-Obtener y justificar los valores de τr y ξr que faciliten el diseño.
-Obtener y justificar los valores de los parámetros de sintonización del controlador PID.
-Calcular el tiempo pico.
-Calcular el sobrepaso máximo de la respuesta.
-Determinar el error en régimen permanente.
Cuando en G existen tiempos muertos o respuesta inversa, q(s) debe contemplar dichos eventos.
Véase el ejemplo de un sistema de primer orden con tiempo muerto, en este caso, la mejor opción es
considerar q con una trayectoria similar:
* q(s) =
e −α r s
τ r s +1
-G =
sencillo de αr = α, GC =
Ke −α s
τ s + 1 ⎡ e − (α r −α ) s ⎤
, el controlador será: GC =
⎢
⎥ , para el caso más
τ s +1
K ⎣ τ r s + 1 − e −α r s ⎦
τ s +1 ⎡
⎤
1
, tomando la expansión en series de Taylor de primer orden
⎢
−α r s ⎥
K ⎣τ r s + 1 − e ⎦
para el término exponencial, exp(-αrs) = 1 - αrs, y sustituyendo: GC =
τ
1⎤
⎡
1+ ⎥ .
⎢
K (τ r + α ) ⎣ τ s ⎦
Sin embargo si se adopta la aproximación de primer orden de Padé para el término exponencial:
e −α r s =
1 − 0.5α r s
ατ r
τ
1 ⎤ ⎡1 + 0.5α s ⎤
⎡
1+ ⎥ ⎢
donde τ * =
que
se obtiene: : GC =
⎢
⎥
2(α + τ r )
1 + 0.5α r s
K (τ r + α ) ⎣ τ s ⎦ ⎣ 1 + τ * s ⎦
puede ser ordenado de manera: GC =
τ + 0.5α ⎡
1
0.5τ
+
1+
⎢
K (τ r + α ) ⎣ (τ + 0.5α ) s τ + 0.5α
un controlador PID en serie con un filtro de primer orden.
⎤⎡ 1 ⎤
s⎥ ⎢
⎥ que corresponde a
⎦ ⎣1 + τ * s ⎦
Sintonización de Controladores PID.- 104
Ejemplo: G(s) =
0.66e −2.6 s
, se requiere una trayectoria con el mismo tiempo muerto y constante
6.7 s + 1
de tiempo de 5.
1 ⎤
⎡
.
PI: GC = 1.34 ⎢1 +
⎣ 6.7s ⎥⎦
1
1
⎡
⎤⎡
⎤
PID: GC = 1.59 ⎢1 + + 1.09s ⎥ ⎢
⎣ 8s
⎦ ⎣1 + 0.86s ⎥⎦
iv- Sintonización por control de modelo interno.
Similar al anterior método trata de llegar al control perfecto teniendo en cuenta tanto cambios en
el set-point como en las variables de perturbación. Supóngase el diagrama de bloques mostrado donde “d”
representa el colectivo de todas las perturbaciones no medidas.
d
ysp
u
Gc
Gp
y
Un control perfecto sería aquel que diese como salida el setpoint: y(s)=ysp(s)=Gp(s) u(s)+d. Por
tanto, la salida del controlador debe ser: u(s) = 1/Gp(s)[ysp(s)-d)]. Esto implica que tanto el modelo del
proceso como las perturbaciones son conocidos, lo cual es incierto. Por un lado “d” no es medido y en la
mayoría de casos se dispone de un modelo más o menos detallado pero que no es perfecto. Sea este
modelo g*, entonces la mejor predicción de las perturbaciones es:
notación: c(s) =
d$ = y − g *(s)u(s) . Cambiando la
1
$ ⎤.
. Por tanto: u(s) = c(s) ⎡ ysp (s) − d(s)
⎣
⎦
g *(s)
El diagrama de control que habría que implementar sería (según las ecuaciones anteriores):
d
yd
+
-
u
c(s)
g(s)
g*
d$
+
+
y
+
-
Sintonización de Controladores PID.- 105
La reducción del anterior diagrama de bloques conduce a:
d
ysp
c( s )
1 − c( s ) g * ( s)
+
-
g(s)
El controlador que hay que implementar tiene como función de transferencia GC =
c( s)
1 − c( s ) g *( s )
Las funciones de transferencia de la salida con la consigna y la perturbación serán:
y=
g ( s )c ( s )
1 − g *( s )c( s )
ysp +
d
1 + c( s ) [ g ( s ) − g *( s ) ]
1 + c( s ) [ g ( s ) − g *( s ) ]
por tanto si el modelo es perfecto g ( s ) = g *( s ) , el control resulta también perfecto y = yd.
No obstante lo anterior, al diseñar un controlador mediante IMC se deben tener en cuenta las
siguientes puntualizaciones:
-Normalmente g ( s ) ≠ g *( s )
-El hecho de que c(s) sea la inversa de g *( s ) implica la aparición de dificultades como
exponenciales positivas o polos en el semiplano derecho.
-Incluso aunque g *( s ) fuera invertible, los controladores obtenidos son físicamente difíciles de
conseguir.
Debido a todo lo anterior, el procedimiento IMC se modifica de la siguiente forma:
-El modelo de proceso se separa en dos partes: g *( s ) = g *( s )+ g *( s ) − donde g *( s ) + contiene los
factores que no se pueden invertir (tiempos muertos, ceros en el semiplano derecho) y posee una ganancia
unidad, g *( s ) − lo constituyen el resto de factores.
-El controlador se diseña según función de transferencia: c( s ) =
filtro de función de transferencia: f (s) =
1
( λs + 1)
n
1
f ( s ) donde f(s) es un
g *( s ) −
. Lambda y n se eligen de tal manera que la función de
transferencia del controlador cumpla que el orden del denominador sea mayor que el orden del
numerador.
Ejemplo: Diseñar un controlador mediante IMC para el proceso g *( s) =
5
,
8s + 1
El modelo de proceso es convertible, por tanto 1/ g *( s) = (8s+1)/5 que requiere solamente un
filtro de primer orden para conseguir el mismo orden en s para numerador y denominador.
Sintonización de Controladores PID.- 106
c(s) =
1 ⎛ 8s + 1 ⎞
⎜
⎟ , el lazo realimentado puede implementarse de forma convencional si se tiene en
5 ⎝ λs +1 ⎠
cuenta que GC =
8 ⎛
1⎞
c( s)
=
⎜1 + ⎟
1 − c( s ) g *( s ) 5λ ⎝ 8s ⎠
Ejemplo: Diseñar un controlador mediante IMC para el proceso g *( s) =
5e −3 s
,
8s + 1
Se tiene una parte no invertible: e −3s y el resto invertible. El controlador obtenido es similar al
caso anterior con un filtro de primer orden c(s) =
1 ⎛ 8s + 1 ⎞
⎜
⎟ , no obstante GC es completamente diferente.
5 ⎝ λs +1 ⎠
v- Emplazamiento de polos.
-Método del lugar de las raíces.
http://www.ece.gatech.edu/research/ccss/education/Java/1998.Winter/Projects/garner-
meeks/ee3833/
La sintonización se hace en base a la localización de los polos en lazo cerrado a través del lugar de
las raíces. Veamos algún ejemplo para diferentes procesos.
Ejemplo. Diseñar un controlador que proporcione un sobrepaso máximo del 25% y un tiempo pico
de 1 segundo en un proceso de dos sistemas de primer orden en serie con ganancia global 5/3 y
constantes de tiempo 1 y 1/3. (Sep 2s).
En primer lugar, se expresan las especificaciones pedidas para el régimen transitorio como la zona del
plano complejo donde podrían encontrarse los polos del sistema:
ysp
+
-
C(s)
5
( s + 1)( s + 3)
Se cumple por tanto:
teniendo en cuenta que para un sistema de orden dos se cumple que las raíces se sitúan en -σ ± ωdj
la localización de los polos en lazo cerrado queda como:
3.14j
66.2
3.14
-
Sintonización de Controladores PID.- 107
Se prueba en primer lugar con el controlador más sencillo que es el proporcional. El lugar de las
raíces para el sistema por tanto resulta ser:
El lugar de las raíces pasa por la zona válida, el controlador proporcional es suficiente para
cumplir con las especificaciones del transitorio. Para minimizar el offset se elige la mayor K que no haga
salir a los polos de la zona restringida. Estos polos son -2 ± 2*tg(66.2)j = -2 ± 4.53j. El valor de K que
proporciona dichos polos se halla por sustitución directa en la ecuación característica y comparación de
módulos: 5 K =
∏ s− p
∏ s−z
i
= 4.532 + 12 4.532 + 12 ; K = 4.3
i
El error de estado estacionario se calcula a continuación mediante el teorema del valor final.
Dicho error es de un 12.2%, si no se permitiera tal error el controlador proporcional no sería válido y
habría que introducir un compensador.
Ejemplo. Diseñar un controlador para un proceso con polos en lazo abierto de 1, -4+0.5j y -4 -0.5j.
(Nov2000). G(s) =
1
( s − 1)( s + 8s + 16.25)
2
El lugar de las raíces para este sistema es:
Se hará el diseño tal que los polos dominantes (más
cercanos al eje imaginario) provean al sistema de un factor
de amortiguamiento de 0.707, es decir se deben situar a
+45º en el semiplano izquierdo. El valor de la constante K
que proporciona dichos polos se halla a partir de la lectura
directa de polos de la gráfica o se calcula mediante
SOLVER. Los valores de los polos son -0.649 + 0.649j
para un valor de K=21.06 (el tercer polo se sitúa en -5.7).
Sintonización de Controladores PID.- 108
Ejemplo. Diseñar un controlador para un proceso con polos en lazo abierto de 0, -4+3j y -4 -3j que
proporcione el menor tiempo de establecimiento con sobreimpulsos inferiores al 10%. (2001Feb1)
G(s) =
1
( s + 8s 2 + 25s )
3
El lugar de las raíces para el sistema anterior es el
que se muestra en la figura. La especificación limita el
sobreimpulso máximo a un 10% de la salida.
Si el sistema fuese de segundo orden, por la siguiente
fórmula, se ve que el ángulo de los polos dominantes
quedaría limitado a un máximo de 54º.
MP = e
−
π
tgϕ
< 0.1; ϕ < 54º
Al haber otro polo más de primer orden, este va a influir
disminuyendo el sobreimpluso, con lo que se estará
trabajando del lado de la seguridad si se impone que ningún
polo ha de formar un ángulo ϕ mayor a 54º
Una buena forma de conseguir un tiempo de establecimiento bueno, aunque no el óptimo, es exigir que
los polos del sistema estén lo más alejados posible del eje imaginario.
A continuación se observa cómo se mueven los polos del sistema en el l.d.r. Para Valores bajos de K, el
polo dominante es el polo real de la rama que sale de s=0. Para valores de K mayores de 142.86 el
sistema se vuelve inestable. Para valores altos de K, que no superen 142.86, los polos dominantes son los
dos polos complejos conjugados de las ramas que surgen de s=-4±3j. Se sabe que la suma de la parte real
de los tres polos tiene que ser igual al coeficiente de s2 de la ecuación característica del sistema, cambiado
de signo (esto es así siempre que el coeficiente de mayor exponente sea la unidad). La ecuación
característica del sistema en lazo cerrado es: s +8s +25s+K=0. Luego, la suma de las partes reales de los
3
2
polos del sistema ha de ser igual a -8. La forma de que el tiempo de establecimiento sea mínimo es que
los polos del sistema estén lo más alejados posibles del eje imaginario. Esto ocurrirá en el punto donde
coinciden las partes reales de los tres polos. Dicha concurrencia ocurre cuando la parte real es de -8/3. Se
calcula la ganancia que hace que exista un polo situado en s=-8/3 por sustitución directa o mediante
solver. Dicha ganancia es 28.74 y los tres polos buscados son -8/3, -8/3 + 1.915j. El ángulo de los polos
complejos es 35.7º < 54º (que proporciona un sobreimpulso de 10%).
-Emplazamiento directo de polos (Goodwing 179).
Consiste en predefinir los polos cerrados de antemano, o lo que es lo mismo la ecuación
característica del sistema. Supóngase un controlador con función de transferencia dada por el cociente de
Sintonización de Controladores PID.- 109
polinomios en s C(s) = P(s)/L(s) y el proceso dado por G(s) = B(s)/A(s). Si se define una ecuación
característica de lazo cerrado dada por EC(s) = (polinomio en s), el procedimiento consiste en encontrar
P(s) y L(s) tal que EC(s) = A(s)L(s) + B(s)P(s).
Ejemplo. Sea la planta con función de transferencia
controlador del tipo
característica será: 1 +
p1s + p0
l1s + l0
1
, se pretende diseñar un
s + 3s + 2
2
tal que la ecuación característica sea s3+3s2+3s+1. La ecuación
p1s + p0
1
= 0;
2
l1s + l0 s + 3s + 2
(s
2
+ 3s + 2 ) ( l1s + l0 ) + ( p1s + p0 ) = 0
Igualando términos y resolviendo: l1 =1, l0 = 0, p1 =1, p0 = 1. El controlador buscado es:
GC = 1 +
1
s
De forma general para que este procedimiento sea aplicable con EC(s) de grado 2n-1 se necesitan
grados n-1 tanto para P(s) como para L(s). Si el grado de EC(s) es 2n-1+k (k es natural) el grado de L(s)
será también n-1+k. Si el grado de EC(s) es menor de 2n-1 no hay solución excepto para casos muy
concretos.
vi- Uso de márgenes de estabilidad Método de ajuste de Ziegler-Nichols de lazo cerrado.
En este caso la caracterización dinámica se basa en la ganacia última Ku y en el período último Pu.
es decir, en los parámetros característicos de respuesta en frecuencia en lazo cerrado. El período último
es:
Pu = 2π / ωu
Estos parámetros se pueden obtener de forma experimental mediante el siguiente método:
-Se lleva el proceso manualmente al punto nominal de operación.
-Se anulan las acciones I y D del controlador y se sintoniza la ganancia a un bajo valor.
-Se pone el controlador en automático y se
1.5
provoca un cambio en el punto de consigna o en
Periodo ultimo
1
una perturbación, como la ganancia tiene un valor
bajo
0.5
obtendrá
una
respuesta
lenta
y
sobreamortiguada.
0
0
-0.5
se
5
10
15
20
25
30
35
40
-Se incrementa la ganancia en sucesivos
pasos y se provoca el cambio en cada uno de ellos
-1
hasta conseguir una respuesta con oscilación
-1.5
mantenida (fig.).
Sintonización de Controladores PID.- 110
-La ganancia última es la ganancia del controlador en esas condiciones, y el período último se
mide sobre la respuesta.
El criterio de sintonización de Z-N en lazo cerrado es la relación de amortiguamiento ¼. Se
asumió un PID analógico no interactivo con la acción derivativa actuando sobre el error.
τI
CONTROLADOR
KC
P
0.5 KU
PI
0.45 KU
0.83 PU
PID
0.6 KU
0.50 PU
τD
0.125 PU
Parámetros de sintonización Z-N.
Se hace notar del cuadro anterior que es necesario reducir la ganancia del controlador cuando se
añade acción integral y cómo pueden incrementarse las acciones proporcional e integral (aumentar KC y
disminuir τI) cuando se implementa la acción derivativa.
Ejemplo.
Considerar el sistema de tres tanques en serie estudiado en la sección 8.3.1 (vii).
La ganancia última del sistema es 1.667 mientras que la frecuencia última es 0.5 rad/min, siendo
por lo tanto el período último 12.56. (Comprobar de forma analítica, por el grafico de Bode y mediante el
método experimental descrito anteriormente).
RA =
6 KC
4ω + 1 16ω + 1 36ω + 1
2
2
2
; -180º = -tg-1(2ωu) -tg-1(4ωu) -tg-1(6ωu)
Ejemplo. Stephanopoulos 353.
Considerar el proceso de segundo orden de función de transferencia: G p =
elemento de medida de primer orden G m =
1
( 5s + 1)( 2s + 1)
1
y elemento final de actuación unidad. Sintonizar un
(10s + 1)
controlador P, PI y PID por el método del modelo aproximado de Cohen Coon y Z-N de lazo cerrado.
El proceso responde en el dominio del tiempo según:
y=
0.01
1
=
( s + 0.2 )( s + 0.5) (s + 0.1) s
y(t) = 1−
−tê2
6
+
5
−tê5
3
−
5
−tê10
2
,
1.
2.5
1.66667 0.166667
−
+
−
s 0.1+ 1.s 0.2+ 1.s 0.5+ 1.s
Sintonización de Controladores PID.- 111
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Del gráfico anterior se deduce K = 1, τ= 12.75, tm = 5.25
Mediante Cohen Coon se obtiene:
Controlador
P
PI
Parámetros
Kc
Kc
τI
Cohen-Coon
2.76
2.26
9.51
3.71
7.08
PID
τI
Kc
τD
1.77
Aplicando Z-N de lazo cerrado:
La frecuencia última es 0.415 rad/s, la ganancia última 12.6 y el período último 15.14 s/ciclo. Los
parámetros de sintonización por tanto:
Controlador
P
PI
Parámetros
Kc
Kc
τI
Ziegler-Nichols
6.3
5.7
12.62
7.4
7.57
PID
τI
Kc
τD
1.89
Más Ejemplos en formato pdf en archivo temario.
Sintonización de Controladores PID.- 112
8.4. Diseño de compensadores.
Los compensadores son dispositivos reguladores que se introducen en los lazos de control para
cumplir con unas especificaciones de respuesta transitoria predeterminada. Para su diseño se puede acudir
al lugar de las raíces o se puede utilizar la respuesta en frecuencia del proceso. La compensación puede
realizarse en serie o en paralelo, en este caso el estudio se centrará en el diseño en serie con respecto al
proceso. Los compensadores pueden ser de adelanto, retardo o adelanto – retardo.
8.4.1. Método del lugar de las raíces.
*Compensación de adelanto. Los compensadores de adelanto tienen como función de
1
T ; α < 1 . El procedimiento para elegir los parámetros de la red de
= KC
1
s+
αT
s+
transferencia GCAd
adelanto es:
1- A partir de las especificaciones de desempeño, determínese la ubicación deseada para los polos
dominantes en lazo cerrado.
2. Por medio de una gráfica del lugar geométrico de las raíces, compruébese si el ajuste de la
ganancia puede o no por sí solo producir los polos en lazo cerrado convenientes (caso ya visto en
ejemplos anteriores). Si no, calcúlese la deficiencia de ángulo φ. Este ángulo debe ser una contribución
del compensador de adelanto si el nuevo lugar geométrico de las raíces va a pasar por las ubicaciones
deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado.
1
T ; α <1.
3. Supóngase que el compensador de adelanto G,(s) es: GCAd = K C
1
s+
αT
s+
en donde α y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo. Kc se determina a partir del
requerimiento de la ganancia en lazo abierto.
4. Si no se especifican las constantes de error estático, determine la ubicación del polo y del cero
del compensador de adelanto, para que el compensador de adelanto contribuya al ángulo φ necesario. Si
no se imponen otros requerimientos sobre el sistema, intente aumentar lo más posible el valor de α. Un
valor más grande de α por lo general produce un valor más grande de la constante de error de velocidad,
lo cual es conveniente. Si se especifica una constante de error estático, por lo general es más sencillo usar
el enfoque de la respuesta en frecuencia que se verá posteriormente.
5. Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condición de
magnitud.
Sintonización de Controladores PID.- 113
Una vez diseñado un compensador, verifique que se hayan cumplido todas las especificaciones de
desempeño. Si el sistema no cumple las especificaciones de desempeño, repita el procedimiento de diseño
ajustando el polo y el cero del compensador hasta cumplir con todas las especificaciones. Si se requiere
de una constante de error estático grande, enlace en cascada una red de atraso o convierta el compensador
de adelanto en un compensador de atraso-adelanto.
Ejemplo. Considérese el sistema en lazo cerrado dado por la figura cuya gráfica del lugar de las
ysp
raíces se muestra también. Los polos en
+
-
4
( s )( s + 2)
lazo cerrado son -1+ 3 j. El factor de
amortiguamiento
es
0.5
siendo
la
frecuencia natural no amortiguada de 2
rad/s. La constante de error de velocidad es
2. Se pretende modificar los polos en lazo cerrado para obtener ωn =
4 rad/s sin cambiar ξ.
Si ξ = 0.5, los polos de lazo cerrado deben estar en ángulos
de cos(θ) = 0.5, θ = 60º. Por otro lado, la distancia del origen a los
polos es ωn = 4, con estos datos los nuevos polos de lazo cerrado se
deben situar en ωd = 4sen(60) = 2 3 (parte imaginaria) y σ = 4cos(60) = -2, es decir, polos = -2+2 3 j.
Se observa que la nueva ubicación de polos no se consigue
con un simple ajuste de ganancia, es necesario un compensador, en
este caso de adelanto (hay que desplazar el lugar de las raíces a la izquierda, lo que se consigue mediante
adición de ceros dominantes en el compensador).
En primer lugar se suman los ángulos de los nuevos polos (uno de ellos) con los polos y ceros
originales y se determina el ángulo necesario φ para que la suma total sea de +180(2k+1). El
1
T G ( s) .
= KC
1
s+
αT
s+
compensador debe contribuir con ese ángulo. El nuevo lazo abierto será: GOL
El paso siguiente es determinar las ubicaciones del cero y el polo del compensador de adelanto. Existen
muchas posibilidades para elegir tales ubicaciones. A continuación se presenta un procedimiento con el
propósito de obtener el valor más grande posible para α. (Observe que un valor más grande de α
producirá un valor más grande de KV. Primero se dibuja una línea horizontal que pase por el punto P,
ubicación deseada para uno de los polos dominantes en lazo cerrado. Esto corresponde a la línea PA de la
Sintonización de Controladores PID.- 114
figura. Se dibuja una línea que conecte el punto P con el origen. Se bisecta el ángulo que forman las
líneas PA y PO, como se aprecia en la figura. Se trazan dos líneas PC y PD que formen ángulos de +φ/2
con la bisectriz PB. Las intersecciones de PC y PD con el eje real negativo proporcionan la ubicación
necesaria para el polo y el cero de la red de adelanto. Por tanto, el compensador diseñado hará de P un
punto sobre el lugar geométrico de las raíces del sistema compensado. La ganancia en lazo abierto se
determina mediante el uso de la condición de magnitud.
En el sistema actual, el ángulo de G(s) del polo en lazo cerrado
se halla mediante: ∠
4
s ( s + 2) s =−2+ 2
= −210º
3j
El compensador debe contribuir con +30º (red de
adelanto)
Siguiendo el procedimiento anteriormente descrito se
calcula el cero en -2.9 y el polo en -5.4, con lo cual T=0.345 y α=0.537. La nueva función de
transferencia en lazo abierto se convierte en: GOL = K C
s + 2.9
4
s + 2.9
. El root loci
=K
s + 5.4 ( s + 2 ) s
s ( s + 5.4 )( s + 2 )
del sistema compensado se muestra en la gráfica derecha. La ganancia
que proporciona los polos en -2+2 3 j se halla por sustitución directa
(condición de magnitud). K
s + 2.9
s ( s + 5.4 )( s + 2 ) s =−2+ 2
=1
3j
K = 18.7 y por tanto KC = 18.7/4=4.68
La KV será: lim sGOL (0) = 5.02s −1 .
s →0
Ejemplo. Dado el sistema de orden dos con ganancia 25 y polos en -2 y -0.5, se pide:
a-Dibujar el lugar de las raíces.
b-Si se requiere en lazo cerrado un sobrepaso máximo del 4.98% y un tiempo pico de 1.05, ¿es
posible utilizar un controlador proporcional que cumpla los requisitos?¿Por qué?
c-Diseñar un compensador de adelanto mediante el método del lugar de las raíces tal que se
cancele el polo en -2 de la planta.
Ejemplo Dado el sistema de orden dos:
a-Dibujar el lugar de las raíces.
G ( s) =
K
s2
b-Si se requiere en lazo cerrado un sobrepaso máximo del 19 % y un tiempo pico de 0.83, ¿es
posible utilizar un controlador proporcional que cumpla los requisitos?¿Por qué?
Sintonización de Controladores PID.- 115
c-Diseñar un compensador de adelanto mediante el método del lugar de las raíces tal que el cero
del mismo se sitúe en la vertical de los polos deseados en lazo cerrado.
*Compensación de retardo.
Considérese el problema de encontrar una red de compensación conveniente para un sistema que
exhibe características satisfactorias de la respuesta transitoria, pero características insatisfactorias en
estado estable. En este caso la compensación consiste, esencialmente, en incrementar la ganancia en lazo
cerrado sin modificar en forma notable las características de la respuesta transitoria. Esto quiere decir que
no debe cambiarse de manera significativa el lugar geométrico de las raíces en la vecindad de los polos
dominantes en lazo cerrado, sino que debe incrementarse la ganancia en lazo abierto en la medida en que
se necesite. Esto se consigue si se coloca un compensador de atraso en serie con la función de
transferencia de la trayectoria directa determinada. Para evitar un cambio notable en los lugares
geométricos de las raíces, la contribución de ángulo de la red de atraso debe limitarse a una cantidad
pequeña, por ejemplo 5º. Para asegurar esto, colocamos el polo y el cero de la red de atraso relativamente
cerca uno del otro y cerca del origen del plano s. De este modo, los polos en lazo cerrado del sistema
compensado sólo se alejarán ligeramente de sus ubicaciones originales. Por tanto, la característica de la
respuesta transitoria cambiará muy poco. Considere un compensador de atraso GCAt(s):
1
T ; β > 1 . Si se sitúan el polo y el cero del compensador muy cerca uno del
GCAt(s) = K C
1
s+
βT
s+
otro, en s = s1, (donde s1 es uno de los polos dominantes en lazo cerrado), las magnitudes de s1 +1/T y
1
T ≈K .
s1+1/(βT) serán casi iguales: GC At ( s ) = K C
C
1
s1 +
βT
s1 +
Para que la contribución de ángulo del compensador sea pequeña se necesita que:
⎛
1
s1 +
⎜
T
−5º < arg umento ⎜ KC
1
⎜
s1 +
⎜
βT
⎝
⎞
⎟
⎟ < 0º . Esto implica que si la ganancia del compensador se hace
⎟
⎟
⎠
igual a la unidad la respuesta transitoria no se alterará. El incremento en la constante de error de velocidad
vendrá dado por la expresión: KVNew = K C β KVOld .
Sintonización de Controladores PID.- 116
La principal desventaja de la compensación de atraso es que el cero del regulador genera un polo
en lazo cerrado cerca del origen que será parcialmente compensado por un cero cerca del origen también
con lo que el tiempo de asentamiento aumentará.
El procedimiento de diseño es el que sigue:
1. Dibújese la gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado, cuya
función de transferencia en lazo abierto sea G(s). Con base en las especificaciones de la respuesta
transitoria, se ubican los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geométrico de las raíces.
2. Calcular la constante de error estático especificada en el problema.
3. Determinar el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las
especificaciones.
4. Determinar el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento necesario
en la constante de error estático determinado sin alterar apreciablemente los lugares geométricos de las
raíces originales. (Obsérvese que la razón entre el valor de la ganancia requerido en las especificaciones y
la ganancia que se encuentra en el sistema no compensado es la razón entre la distancia del cero al origen
y la del polo al origen.)
5. Dibujar una nueva gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado.
Localícense los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre el lugar geométrico de las raíces. (Si la
contribución de ángulo de la red de atraso es muy pequeña, es decir, de pocos grados, los lugares
geométricos de las raíces originales y los nuevos serán casi idénticos. Sin embargo, habrá una ligera
discrepancia entre ellos. A continuación se ubican, sobre el nuevo lugar geométrico de las raíces, los
polos dominantes en lazo cerrado deseados a partir de las especificaciones de la respuesta transitoria.)
6. Ajústese la ganancia del compensador (aproximadamente será la unidad) a partir de la
condición de magnitud, a fin de que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación
deseada.
Ejemplo. Considérese el sistema cuyo lugar
de las raíces es el representado en la figura. En lazo
ysp
+
-
C(s)
1.06
( s)( s + 1)( s + 2)
cerrado los polos se
sitúan en -2.3386 y
-0.3307 + 0.5864j. Estos últimos son los polos dominantes. El factor de
amortiguamiento de los polos dominantes es 0.491 mientras que la
frecuencia natural no amortiguada es 0.673 rad/s. La constante de error
estático de velocidad del sistema es 0.53 s-1.
Sintonización de Controladores PID.- 117
Se pretende incrementar KV hasta 5 s-1 sin modificar notablemente la localización de polos
dominantes (respuesta transitoria). Para incrementar la constante KV 10 veces se elige un valor de β = 10
y se sitúa el polo y el cero cerca del origen, por ejemplo el cero en -0.05 y el polo por lo tanto en -0.005.
El compensador tiene la forma: GCAt =
K C ( s + 0.05 )
. La contribución de ángulo de esta red de atraso
s + 0.005
cerca de un polo dominante en lazo cerrado es aproximadamente:
⎛ s + 0.05 ⎞
Arg ⎜
= −3.47º . La función de
⎟
⎝ s + 0.005 ⎠ s =−0.3307 + 0.5864 j
transferencia en lazo abierto nueva es:
GOL =
K C ( s + 0.05 )
1.06
, el lugar de las
s + 0.005 s( s + 1)( s + 2)
raíces se representa en la figura.
Como ξ no cambia se puede leer directamente de la
gráfica los nuevos polos de lazo cerrado en -0.31+ 0.55j.
Obsérvese cerca del origen cómo se ha creado una rama
circular que termina también cerca y que por tanto no afectan a la dinámica del sistema. La ganancia por
sustitución directa resulta ser 0.9656 y la nueva constante KV = lim[sGOL(0)] = 5.12 s-1. La frecuencia
natural no amortiguada del sistema compensado es 0.631 rad/s, un 6% menor que en el sistema sin
compensar, lo que hace al sistema compensado ligeramente más lento. En la figura se muestra la mejora
del sistema compensado ante entradas en rampa.
Ejemplo (Febrero 2008). Diseñar un controlador de atraso con error de posición inferior al 4% y
sobrepaso máximo menor de 5%. G(s) = 3(s+2.6)/[(s+1)(s+2.5)(s+7)]
Sintonización de Controladores PID.- 118
*Compensación de retardo – adelanto.
La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del
sistema. La compensación de atraso mejora la precisión en estado estable del sistema, pero reduce la
velocidad de la respuesta.
Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estable, debe usarse
en forma simultánea un compensador de adelanto y un compensador de atraso. Sin embargo, en lugar de
introducir un compensador de adelanto y un compensador de atraso, ambos como elementos separados, es
más económico sólo usar un compensador de atraso-adelanto. La compensación de atraso-adelanto
combina las ventajas de las compensaciones de atraso y de adelanto. Dado que el compensador de atrasoadelanto posee dos polos y dos ceros, tal compensación aumenta en dos el orden del sistema, a menos que
ocurra una cancelación de polos y ceros en el sistema compensado. El compensador tiene la forma:
1
1
s+
T1
T2
GC = K C
; χ > 1; β > 1 , supóngase que la ganancia corresponde a la parte de
χ
1
s+ s+
β T2
T1
s+
adelanto del compensador. Se consideran dos casos:
χ≠β. El procedimiento de diseño consiste en: a) determinar la localización de polos en lazo
cerrado, b) utilizar la función de lazo abierto sin compensar para determinar la deficiencia de ángulo. La
parte de adelanto de fase debe contribuir con esta deficiencia. χ y T1 se hallan a partir de la deficiencia de
ángulo, KC se halla mediante la condición de magnitud c) se selecciona T2 suficientemente grande para
que la magnitud de la parte de retardo se acerque a la unidad. Así si se predetermina una constante de
error
de
velocidad
se
escoge
un
valor
de
β
adecuado.
Esta
constante
KV
1
1
s+
T1
T2
β
G ( s ) = lim sK C G ( s )
es: KV = lim sGC ( s )G ( s ) = lim sK C
s →0
s →0
s →0
γ
1
γ
s+ s+
β T2
T1
s+
El valor de T2 se selecciona para cumplir que el módulo de la parte de atraso del compensador sea
aproximadamente la unidad para los polos deseados en lazo cerrado y el argumento se sitúe en el rango 05º.
Ejemplo. Se tiene el sistema dado por el diagrama de bloques inferior. Los polos de lazo cerrado
ysp
son
+
-
C(s)
4
( s )( s + 0.5)
-0.25
+
1.9843j.
El
factor
de
amortiguamiento relativo es 0.125, ωn = 2 rad/s
y KV = 8 s-1.
Se desean los siguientes valores: ξ = 0.5,
Sintonización de Controladores PID.- 119
ωn = 5 rad/s y KV = 80 s-1.
Los nuevos polos de lazo cerrado se deben situar en -2.5 + 4.33j. El ángulo de fase en esos polos es:
∠
4
= −235º . La parte de adelanto del compensador debe contribuir con 55º.
s ( s + 0.5) s =−2.5+ 4.33 j
Una de las posibilidades es elegir el cero en -0.5 para cancelar el polo de G(s). El polo se debe
situar en -5.021. Este dato se calcula de forma similar a como se realizó en el diseño de la red de adelanto
sola. Así pues: T1 = 2 y χ = 10.04. El valor de ganancia se determina a partir de la condición de magnitud.
KC
s + 0.5
4
= 1 ; siendo KC = 6.25.
s + 5.021 s( s + 0.5)
La parte de retardo de fase se diseña del modo siguiente. Primero se determina el valor de β que
satisface el requisito de KV. 80 = KV = lim sGC ( s )G ( s ) = lim sK C
s →0
s →0
β
β
4
G ( s ) = lim s (6.26)
;
s →0
10.04 s( s + 0.5)
χ
despejando β = 16.04. El valor de T2 se elige de manera que la contribución de ángulo sea muy pequeña y
el módulo de la red de atraso sea próximo a la unidad.
1
T2
1
s+
16.04T2
s+
≈ 1;
s =−2.5 + 4.33 j
1
⎡
⎢ s+T
2
− 5º < Arg ⎢
1
⎢s +
⎢⎣ 16.04T2
⎤
⎥
⎥ < 0º . Un valor de T2 = 2 (o mayor) cumple
⎥
⎥⎦
con ambos criterios. Se elige T2 = 5, la función de transferencia del compensador queda finalmente: GC(s)
=
10(2s + 1)(5s + 1)
.
(0.1992s + 1)(80.19s + 1)
Si χ=β
a) En primer lugar se determina la localización de los polos en lazo cerrado. El compensador tiene
1
1
s+
T1
T2
; β > 1 b) ahora la constante de error de velocidad
como función de transferencia: K C
1
β
s+ s+
β T2
T1
s+
estática es KV = lim sGC ( s )G ( s ) = lim sK C G ( s ) , c) se calcula la contribución de fase d) T1 y β se
s →0
s →0
determinan a partir de la condición de magnitud y ángulo e) se selecciona T2 lo suficientemente grande
para que el módulo de la parte de atraso de fase sea próximo a la unidad para los polos en lazo cerrado
deseados. Así mismo su contribución de ángulo debe ser pequeña en el rango -5º - 0º.
Ejemplo. Se considera el mismo sistema que en el ejemplo anterior con las mismas
especificaciones.
Sintonización de Controladores PID.- 120
Los nuevos polos de lazo cerrado se deben situar en -2.5 + 4.33j. El valor de KC que satisface el
requisito de KV. 80 = KV = lim sGC ( s )G ( s ) = lim K C
s →0
s →0
s+
condición de ángulo y magnitud.
4
; KC =10. T1 y β se determinan a partir de la
0.5
1
T1
40
β s( s + 0.5) s =−2.5+ 4.33 j
s+
T1
1
⎛
⎜s+T
1
= 1 ; Arg ⎜
β
⎜s+
⎜
T1
⎝
⎞
⎟
⎟
= 55º
⎟
⎟
⎠ s =−2.5+ 4.33 j
Los valores que se obtienen son T1 = 0.42 y β= 3.503. (resolución de triángulo escaleno, ver Ogata
página 448).
Para la parte de atraso de fase se selecciona T2 = 10 y el compensador se transforma en:
10
s + 2.38 s + 0.1
. En la figura se muestra la mejora de entrada en rampa y escalón
s + 8.34 s + 0.0285
conseguida mediante el compensador.
8.4.2. Método basado en la respuesta frecuencial.
*Compensación de adelanto. El compensador de adelanto tiene un cero en s =-1/T y un polo en s =-1/αT.
El cero siempre se ubica a la derecha del polo en el plano complejo. Obsérvese que, para un valor
pequeño de α, el polo se localiza lejos hacia la izquierda. El valor mínimo de α está limitado por la
construcción física del compensador de adelanto. Por lo general, el valor mínimo de α se ubica cerca de
0.05. (Esto significa que el adelanto de fase máximo que produce
el compensador es de alrededor de 65º)
Sintonización de Controladores PID.- 121
La figura muestra la traza polar del compensador K Cα
jωT + 1
jωα T + 1
con ganancia unidad. Para un valor determinado de α, el ángulo entre el eje real positivo y la línea
tangente al semicírculo dibujada desde el origen proporciona el ángulo de adelanto de fase máximo φm. Se
1−α
1−α
. La
llamará ωm a la frecuencia en el punto tangente y φm se calculará mediante: seno(φm ) = 2 =
1+ α 1+ α
2
figura muestra el diagrama de Bode de un compensador de adelanto con ganancia unidad y α = 0.1. ωm
es la media geométrica de las dos frecuencias de esquina:
1⎛
1
1
log (ωm ) = ⎜ log + log
2⎝
T
αT
1
⎞
.
⎟ ; ωm =
T α
⎠
Las técnicas de compensación en adelanto mediante el diagrama
de Bode se resumen a continuación.
Para el compensador con función de transferencia K Cα
Ts + 1
α Ts + 1
se define la constante K = K Cα .
Así pues la GOL = K
Ts + 1
Ts + 1
G(s) =
G (s)
α Ts + 1
α Ts + 1 1
a) Se halla K para cumplir con los requisitos de error pre-establecidos b) se determina el ángulo de fase
necesario para añadir al sistema con un incremento adicional de 5-12º ya que el compensador de adelanto
desplaza la frecuencia de cruce a la derecha disminuyendo el margen de fase c) se halla α a partir de la
ecuación de ángulo máximo. d) se determina la frecuencia a la cual el sistema no compensado G1(s) se
iguala a -20log
1
T α
, es decir,
1
α
. Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce de ganancia y corresponde a ωm =
Ts + 1
α Ts + 1 ω =
1
T α
=
1
α
. El cero del compensador está en 1/T y el polo en 1/Tα. e) con el
valor de K y α se calcula KC. f) finalmente se verifica el margen de ganancia.
Ejemplo. Se tiene el sistema de segundo orden con ganancia 4 y polos en lazo abierto 0 y -2. Se
quiere diseñar un compensador tal que KV sea de 20 s-1, el margen de fase sea de 50º como mínimo y el
margen de ganancia de al menos 10 dB.
El sistema tiene la función de lazo abierto dada por GC(s)G(s).
Sintonización de Controladores PID.- 122
4K
donde K = KCα. El primer paso es el ajuste de K que proporciona la
s ( s + 2)
Se define G1(s) =
constante de error de velocidad requerida:
20 = lim sGC ( s )G ( s ) = lim s
s →0
s →0
Ts + 1
4K
G1 ( s ) = lim s
= 2 K . Con K = 10 se representa el
s →0
s ( s + 2)
α Ts + 1
diagrama de Bode de G1(s). Los márgenes de
fase y ganancia del sistema son 18º e infinito
respectivamente. El margen de fase es pequeño,
lo cual implica que el sistema es bastante
oscilatorio. El compensador debe contribuir con
50-18 = 32º para satisfacer los requisitos del
problema. Se añaden 6º más para tener en cuenta
el desplazamiento de la frecuencia de cruce de
ganancia, con lo que el compensador debe contribuir con 38º de adelanto de fase:
seno(38º ) =
1−α
; α = 0.24
1+ α
Las frecuencias de esquina en 1/T y 1/αT se obtienen teniendo en cuenta que el ángulo máximo de
adelanto de fase ocurre en ωm =
1
T α
. Debido al compensador, la curva de magnitud se modifica en esa
frecuencia:
jωT + 1
jωα T + 1 ω =1/ T
=
α
1
α
=
1
= 6.2dB . Como G1 (ω j ) = −6.2dB corresponde a frecuencia 9
0.24
rad/s, se selecciona esta frecuencia como la nueva frecuencia
de cruce de ganancia. Igualando términos se obtiene
finalmente: 9 =
1
T α
, 1/T = 4.41 y 1/αT=18.4. El
compensador es: GC Ad = K Cα
0.227 s + 1
K
; K C = = 41.7 . En
0.054s + 1
α
la figura se muestra el diagrama de Bode de los sistemas
compensado y sin compensar:
Las líneas continuas de la figura representan la curva
de magnitud y la curva del ángulo de fase para el sistema
compensado. El compensador de adelanto provoca que la
frecuencia de cruce de ganancia se incremente de 6.3 a 9
Sintonización de Controladores PID.- 123
rad/seg. El incremento de esta frecuencia significa un aumento en el ancho de banda. Esto implica, a su
vez, un incremento en la velocidad de respuesta.
Se observa que los márgenes de fase y de ganancia son de cerca de 50º y +∞ dB, respectivamente.
Por tanto, el sistema compensado de la figura cumple los requerimientos en estado estable y de
estabilidad relativa.
Para los sistemas de tipo 1, como el sistema recién considerado, el valor de la constante de error estático
de velocidad KV es simplemente el valor de la frecuencia en la intersección de la extensión de la línea de
pendiente inicial -20 dB/década con la línea 0 dB.
Ejemplo Diseñar un controlador de adelanto mediante la respuesta en frecuencia que proporcione
un error ante entrada rampa del 5% como máximo y un margen de fase de 45 º. (Utilizar un colchón de 3º
1
para el margen de fase a la hora de realizar el diseño).
G=
( s )( s + 2)
Ejemplo: Dado el sistema de orden dos:
2500
( s )( s + 25)
a-Diseñar un controlador de adelanto mediante la respuesta en frecuencia que proporcione un error
G ( s) =
ante entrada rampa del 1% como máximo y un margen de fase de 45 º. (Utilizar un colchón de 8º para el
margen de fase a la hora de realizar el diseño).
*Compensación de retardo. Los diagramas de respuesta en frecuencia para un compensador de
retardo con β = 10 y KC = 1 se muestran a continuación:
Sintonización de Controladores PID.- 124
El diseño de compensadores de retardo se ejecuta teniendo en cuenta su función de transferencia
como sigue GC At = K C β
Ts + 1
. Se define K=KCβ. La función de transferencia del sistema compensado
β Ts + 1
en lazo abierto será: GOL = K
Ts + 1
Ts + 1
G ( s) =
G ( s ) . a) se determina la ganancia K para que se
β Ts + 1
β Ts + 1 1
cumplan los requisitos de error estático de velocidad b) si una vez elegida K no se cumplen los márgenes
de fase y ganancia se busca la frecuencia a la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo
abierto sea igual a – 180º más el margen de fase requerido. Éste es el margen de fase especificado entre 5
y 12º. (La adición de entre 5º y 12º compensa el atraso de fase del compensador de atraso.). Se selecciona
ésta como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. c) para evitar los efectos nocivos del atraso de fase
producido por el compensador de atraso, el polo y el cero del compensador de atraso deben ubicarse
mucho más abajo que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por tanto, se elige la frecuencia de
esquina ω = 1/T (que corresponde al cero del compensador de atraso) entre una octava y una década por
debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. (Si las constantes de tiempo del compensador de
atraso no se vuelven demasiado grandes, se selecciona la frecuencia de esquina ω = 1/T una década por
debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.). d) se determina la atenuación necesaria para
disminuir la curva de magnitud a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Considerando que
esta atenuación es de -20 log β, determínese el valor de β. Luego se obtiene la otra frecuencia de esquina
(que corresponde al polo del compensador de atraso) a partir de ω = 1/βT. e) usando el valor de K
determinado en el paso primero y el de β obtenido en el paso último, se calcula la constante KC a partir de
K/β=KC.
Ejemplo. Sea el sistema de orden tres con polos
en 0, -1 y -2 (ganancia unidad). Se pretende compensar
el sistema para que KV = 5 s-1, el margen de fase sea de
40º y el de ganancia de 10 dB.
Siguiendo las pautas anteriores se tiene que
G1(s) =
K
. Mediante la restricción de
s ( s + 1)(0.5s + 1)
error de velocidad:
Ts + 1
G ( s ) = lim sG1 ( s ) = K
s →0
s →0
s →0
β Ts + 1 1
El diagrama de Bode de G1(s) es el de la figura:
5 = lim sGC ( s )G ( s ) = lim s
El margen de fase es -13º, es decir el sistema no
compensado y ajustado en ganancia es inestable.
Sintonización de Controladores PID.- 125
Considerando que la adición de un compensador de atraso modifica la curva de fase de las trazas
de Bode, se debe permitir entre 5 y 12º a fin de que el margen de fase especificado compense la
modificación de la curva de fase. Dado que la frecuencia correspondiente a un margen de fase de 40º es
de 0.63 rad/seg, la nueva frecuencia de cruce de ganancia (del sistema compensado) debe seleccionarse
cercana a este valor.
Con el fin de evitar las constantes de tiempo muy grandes para el compensador de atraso, debemos
elegir la frecuencia de esquina ω = 1/T (que corresponde al cero del compensador de atraso) como 0.1
rad/seg (normalmente se pone a una década como mínimo de la nueva frecuencia de cruce). Dado que
esta frecuencia de esquina no está muy abajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia, la
modificación de la curva de fase tal vez no sea pequeña. Por tanto, agregamos cerca de 12º al margen de
fase proporcionado, como una tolerancia para considerar el ángulo de atraso introducido mediante el
compensador de atraso. El margen de fase requerido es ahora de 52º. El ángulo de fase de la función de
transferencia en lazo abierto no compensada es de – 128º en la cercanía de ω = 0.46 rad/seg. Por tanto, se
toma la nueva frecuencia de cruce de ganancia como de 0.46 rad/seg. Para bajar la curva de magnitud
hasta 0 dB en esta nueva frecuencia de cruce de ganancia, el compensador de atraso debe proporcionar la
atenuación necesaria que, en este caso, es de aproximadamente -20 dB (en la gráfica se ve que es algo
menos). Por tanto, se cumple que: 20log1/β=-20; β=10. La otra frecuencia de esquina se determina como
1/Tβ=0.01 rad/s. La función de transferencia del compensador es: GC At = K C 10
10s + 1
K
; K C = = 0.5 .
100s + 1
β
La GOL de lazo abierto tras compensar el sistema queda finalmente como:
GOL =
5(10s + 1)
.
s (100 s + 1)( s + 1)(0.5s + 1)
Ejemplo: Diseñar un compensador de atraso a través de la respuesta frecuencial para el sistema
5
de tal manera que el margen de ganancia sea de 20dB y el error de posición inferior al
2
( s + 1) ( s + 5)
10%.
*Compensación de retardo-adelanto.
1
⎛
⎜s+T
1
Este tipo de compensadores tiene como función de transferencia: GC = K C ⎜
χ
⎜s+
⎜
T1
⎝
1
⎞⎛
⎟⎜ s + T
2
⎟⎜
1
⎟⎜ s +
⎟⎜
β T2
⎠⎝
El diagrama de Nyquist de este tipo de compensadores es el que aparece en la figura
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Sintonización de Controladores PID.- 126
Al diseñar un regulador atraso-adelanto es común (aunque no
obligatorio) seleccionar χ=β. En este caso, si la ganancia es
unidad el diagrama de Bode se muestra a continuación con
χ=β= 10 y T2 = 10T1.
La frecuencia a la cual el ángulo de fase es cero se determina:
ω1 =
1
.
T1T2
El diseño de compensadores atraso-adelanto es una
mezcla de procedimientos de compensación individual.
Véase un ejemplo:
Ejemplo. Sea el sistema con función de transferencia:
G(s) =
K
. Se desea que KV tenga un valor
s ( s + 1)( s + 2)
de 10s-1, el margen de fase de 50º y el margen de
ganancia de 10
dB. El requisito de KV impone la ganancia del proceso que es
ajustable (se toma por tanto KC=1). lim sGC ( s )G ( s ) =
s →0
K
= 10 . El
2
diagrama de Bode del sistema sin compensar pero ajustado en
ganancia es:
El margen de fase es de -28º (sistema inestable). Se selecciona la
nueva frecuencia de cruce de ganancia que se sitúa en 1.4 rad/s
para un desfase de 180º.
La frecuencia esquina del cero de la parte de retraso ω=1/T2 se
sitúa una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de
ganancia en ω=0.15 rad/s. El adelanto de fase se expresa como:
1−
seno(φm ) =
1+
1
β
1
β
=
β −1
. Si β = 10 el ángulo es 54.9º, con lo que una buena elección es β = 10. La otra
β +1
frecuencia esquina ω=1/βT2 correspondiente al polo de la parte de atraso será ω=0.015 rad/s.
La parte de adelanto de fase se determina computando el valor de módulo del sistema sin compensar y
ajustado en ganancia para la nueva frecuencia de cruce de ganancia. En este caso G(1.4j)= 10.5 dB. Los
cortes con las líneas de 0 dB y -20 dB de la recta de pendiente 20 dB/década que pasa por el punto 1.4,-
Sintonización de Controladores PID.- 127
10.5 determinan las frecuencias esquina de la parte de adelanto. Estas frecuencias esquina son 0.45 y 4.5
rad/s.
El compensador final es: GC =
( s + 0.45)( s + 0.15)
.
( s + 4.5)( s + 0.015)
Ejemplo: Diseñar un compensador de atraso-adelanto para que el sistema G(s) tenga un error de posición
inferior al 5% y margen de fase superior a 60º. G ( s ) =
2
s + 2s + 2
2