Aproximación y Optimización

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matemáticas
Óptica y Optometrı́a
Relación de Problemas no 5
Curso 2005-2006
Aproximación y Optimización
102. ¿En qué punto de la gráfica de la función f (x) = x2 − 6x + 8 la tangente es paralela al
eje de abscisas?
103. Determine los puntos de la curva y = x3 + 9x2 − 9x + 15 en los cuales la tangente es
paralela a la recta y = 12x + 5.
104. Determine los puntos de la curva y = x4 − 7x3 + 13x2 + x + 1 que tienen la tangente
formando un ángulo de π4 radianes con el eje de abscisas.
105. Compruebe que la recta tangente a la curva f (x) = ln2 x en cualquier punto (a, f (a)) es
la recta que pasa por dicho punto y el punto (0, f (a) − 2 ln a).
106. Calcule a, b, c y d para que la curva dada por y = ax3 + bx2 + cx + d tenga un máximo en
el punto (−2, 21) y un mı́nimo en el punto (−1, 6).
107. Halle dos números cuya suma sea un número real dado k > 0 y su su producto sea el
mayor posible.
108. Descomponga un número real k en dos sumandos tales que el doble del cuadrado del
primero más el triple del cuadrado del segundo sea mı́nimo.
109. Calcule las dimensiones del mayor rectángulo cuyo perı́metro es 40.
110. Demuestre que la suma de un número real positivo distinto de cero y su inverso es mayor
o igual que 2.
111. Calcule las dimensiones de un campo rectangular de 3600 m2 de área para que poderlo
cercar con un valla de longitud mı́nima.
112. Un jardinero ha de construir un parterre en forma de sector circular con perı́metro de 20
metros, ¿cuál es el radio que da como resultado el parterre de área máxima?¿Cuál será la
amplitud, en radianes, del sector?
113. ¿Cuál es el volumen máximo que puede tener un cono circular recto de 1 metro de generatriz?
114. Determinar las dimensiones del espejo rectangular de mayor superficie que puede construirse a partir de un semicı́rculo de radio R.
115. Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo son cilı́ndricos con una capacidad de
160 litros. Calcule las dimensiones del barril para que la chapa empleada en su fabricación
sea la menor posible.
116. Halle las dimensiones del jardı́n rectangular de mayor área que se puede inscribir en un
terreno circular de radio R.
117. Inscribimos un triángulo isósceles en una circunferencia de radio R. Determine las dimensiones del triángulo de área máxima.
118. Considere el triángulo rectángulo cuyos vértices son O(0, 0), A(x, 0) y B(x, y); con x, y > 0
tales que están sobre la elipse de ecuación x2 +2y 2 = 2. Calcule las coordenadas del vértice
B para que el triángulo rectángulo tenga área máxima.
119. Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior
de 2 cm y márgenes laterales de 1 cm. Obtenga, razonadamente, las dimensiones que
minimizan la superficie del papel.
120. Considere una esfera de radio R en la que se inscribe un cilindro circular recto. Halle las
dimensiones del cilindro para que su área lateral sea máxima.
121. En un cono circular recto (radio de la base R y altura h), se quiere inscribir un cilindro
circular recto de volumen máximo. Halle las dimensiones del cilindro.
122. Calcule √el polinomio de Taylor de tercer grado alrededor de xo = 0 para √
la función
f (x) = 1 + x. Utilice dicho polinomio para obtener un valor aproximado de 1, 1. Con
el polinomio de Taylor de tercer grado P3 (x) anterior, aproxime f (0, 1), f (0, 5), f (1), f (2)
y f (10). Obtenga el error cometido en cada caso.
123. Encuentre el polinomio de Taylor de grado 2 para f (x) = x2 − 3 alrededor del punto
xo = 1 y del punto xo = 0.
124. Sea f (x) = ln (1 + x). Calcule el polinomio de Taylor de grado 4 para f alrededor de
xo = 0 y úselo para aproximar ln (1, 1).
125.
a) Use los valores siguientes para obtener un polinomio de Lagrange de grado 2, o menor,
y después dé una aproximación del sen 0, 34: sen 0, 3 = 0, 29552, sen 0, 32 = 0, 31457,
sen 0, 35 = 0, 3429.
b) Agregue a los anteriores, el valor sen 0, 33 = 0, 32402 y calcule el polinomio de
Lagrange de grado 3 o menor y aproxime de nuevo el sen 0, 34.
126. Dada la función f (x) = log10 (tan x), utilice el polinomio de Lagrange a partir de los
valores f (1) = 0, 1924, f (1, 05) = 0, 2414, f (1, 1) = 0, 2933, f (1, 15) = 0, 3492, para
aproximar f (1, 09).
127. A partir del polinomio de Lagrange de los valores cos 0, 698 = 0, 7661, cos 0, 733 = 0, 7432,
cos 0, 768 = 0, 7193, cos 0, 803 = 0, 6946, aproxime cos 0, 75.
128. La función f (x) = x3 + 4x2 − 10 tiene una raı́z en [1, 2]. Utilice el algoritmo de bisección
reiterándolo diez veces para obtener una aproximación de dicha raı́z. Calcule el error
sabiendo que el valor exacto de la raı́z buscada es 1, 365230013.
129. La ecuación x3 − x = 1 tiene una solución en el intervalo [1, 2]. Aproxime dicha solución
con una precisión de una centésima mediante el algoritmo de bisección.
130. Busque intervalos adecuados para encontrar, con precisión de 0, 001 soluciones de la
ecuación x3 − 7x2 + 14x − 6 = 0.
131. Mediante el método de bisección encuentre una solución aproximada hasta una centésima
de la ecuación x = tan x en el intervalo [4, 29 ].